P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
C HRISTINE C HARRETTON D ENIS R ICHARD
Éléments d’une théorie non standard des groupes topologiques
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1972, tome 9, fascicule 2 , p. 1-29
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Lyon 1972 b 94,
ELEMENTS D'UNE THEORIE NON STANDARD DES GROUPES TOPOLOGIQUES
C h r i s t i n e CHARRETTON et Denis RICHARD
" . . . D'où i l s ' e n s u i t , que s i quelqu'un n ' a d - met p o i n t l e s l i g n e s i n f i n i e s et infiniment p e t i t e s à l a r i g u e u r métaphysique e t comme des choses r é e l l e s , i l peut s'en s e r v i r s û r e - ment e t comme des notions i d é a l e s qui abrègent l e raisonnement, semblables à ce qu'on a p p e l - l e r a c i n e s i m a g i n a i r e s dans l ' a n a l y s e commune
(comme par exemple / - 2 )
LEIBNIZ (1702)
INTRODUCTION. - SKOLEM montra en 1931* qu'aucun système axiomatique donné dans un langage du premier ordre ne pouvait caractériser l'arithmétique classique de façon catégorique. Ce r é s u l t a t f u t obtenu en prouvant l ' e x i s - tence de s t r u c t u r e s {modèles non standards) où t o u t ce qui e s t v a l a b l e en arithmétique c l a s s i q u e l e r e s t e et qui c o n t i e n n e n t , en p l u s , d ' a u t r e s "en- t i e r sM (non i n t u i t i f s ) que l e s e n t i e r s n a t u r e l s .
Ces modèles non standards de l ' a r i t h m é t i q u e f u r e n t é t u d i é s , quinze ans a p r è s , par HENKIN, KEISLER, MENDELSON et R0BINS0N. A p a r t i r de i960., l e s idées u t i l i s é e s en arithmétique amenèrent R0BINS0N à reprendre c e l l e s de LEIBNIZ concernant l e s éléments infinitésimaux, mais c e t t e f o i s dans un f o r - malisme q u i l e s rende " o p é r a t i o n n e l l e s " .
R0BINS0N f a i t remarquer dans l ' i n t r o d u c t i o n de son l i v r e "Non Standard A n a l y s i s " q u e , du p o i n t de vue de l ' A n a l y s e ( s t a n d a r d ! ) , s i l a d i s t a n c e
entre deux nombres ( v a l e u r absolue de l e u r d i f f é r e n c e ) e s t infiniment petite
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
( i . e . plus p e t i t e que tout nombre strictement p o s i t i f ) , cfe s t que ces deux nombres c o ï n c i d e n t . Cependant, a j o u t e - t - i l , l e s quantités infinitésimales nous viennent à l ' e s p r i t comme o u t i l de raisonnement et e x i s t e n t dans n o t r e
i n t u i t i o n . D'où l ' i d é e , d é j à développée par LEIBNIZ» d ' i n t r o d u i r e des nom- bres i d é a u x , infiniment grands ou infiniment p e t i t s par r a p p o r t aux nombres r é e l s , mais qui possèdent les mêmes propriétés qu'eux. L ' A n a l y s e non s t a n - dard permet c e t t e i n t r o d u c t i o n , en s ' a p p u y a n t , comme l e d i t ROBINSON
" . . . on the d e t a i l e d a n a l y s i s o f the r e l a t i o n between mathematical languages and mathematical s t r u c t u r e s which l i e s a t the botton of contemporary model theory".
Les a p p l i c a t i o n s mathématiques de l a Théorie des Modèles à l ' A n a l y s e (ou à l ' A l g è b r e . . . ) u t i l i s e n t t o u j o u r s , parmi d ' a u t r e s r é s u l t a t s , l e
théorème suivant conséquence des théorèmes de LOWENHEIM-SKOLEM et du théorème d i t de finitude ou de compacité, qu'on peut formuler a i n s i :
Si M e s t une s t r u c t u r e mathématique, R ( x , y ) une r e l a t i o n b i n a i r e de domaine D„ contenue dans M, et s i pour tout e n t i e r n , on a l a p r o p r i é t é :
V a . . . . V a 3 b ( a e M A . . . A a € M A b e M A R ( an , b ) A . . . A R ( a , b ) )
1 n i n 1 n
a l o r s i l e x i s t e une s t r u c t u r e M*, d i t e enlargement de M, t e l l e que
( 1 ) S i une formule F e s t s a t i s f a i t e en un point de M, F e s t s a t i s f a i t e au même p o i n t de M ,
( 2 ) V a 3 bR( a e DR A bR€ M*A R * ( a , bR) )
(R d é s i g n e i c i l a ré-interprétation de l a r e l a t i o n R dans l e modèle M ).
Remarque* - ( l ) veut d i r e que toute formule s a t i s f a i t e dans M, l ' e s t dans M * ( M * e s t une irrwnersion élémentaire de M) ; ( 2 ) s i g n i f i e que D- e s t bornée pour R dans M .
Le b u t de ce premier a r t i c l e e s t de mettre en p l a c e une Théorie non Standard des Groupes T o p o l o g i q u e s , en donnant des preuves non standards de r é s u l t a t s standards connus e t en é t a b l i s s a n t un c e r t a i n nombre de r é s u l t a t s non s t a n d a r d s . D'une p a r t i l nous semble que cet a r t i c l e p o u r r a i t ê t r e
ultérieurement u t i l i s é pour l ' é t u d e de l a s t r u c t u r e des groupes a b é l i e n s localement compacts. D ' a u t r e p a r t , i l peut ê t r e envisagé d ' a b o r d e r avec ce m a t é r i e l beaucoup d ' a u t r e s problèmes de ThSorie des Groupes (mesure de Haar, p r o d u i t s l o c a u x , • • • ) et éventuellement l a Théorie de GALOIS i n f i n i e . Nous espérons aborder c e r t a i n e s de ces questions dans une prochaine p u b l i c a t i o n .
PRELIMINAIRES ET NOTATIONS. - S o i t G un groupe t o p o l o g i q u e , G* un a - e n l a r g e - ment de G pour un o r d i n a l l i m i t e a ( [ 2 ] p . 1 6 ) . La p r o j e c t i o n i d é a l e A* de A , une p a r t i e de G, e s t l'ensemble des éléments de A au sens de G . On é c r i r a donc x e A pour exprimer l ' a p p a r t e n a n c e de x à un ensemble A dans G . P l u s généralement G N x e l s ' é c r i r a , même s i I n ' e s t pas s t a n d a r d , x e l •
V d é s i g n e r a l e f i l t r e des v o i s i n a g e s de l'élément neutre de G ; une p r e - mière notion e s s e n t i e l l e e s t c e l l e de monade de e p a r c e q u ' e l l e e s t "l'ensem- b l e1' des éléments "infiniment proches" de e : on l a n o t e r a v u ( e ) ou y ( e ) et e l l e est é g a l e à l ' i n t e r s e c t i o n des p r o j e c t i o n s i d é a l e s des éléments de
s o i t :
yr( e ) = H V * .
G V e V e
Une deuxième notion e s s e n t i e l l e e s t c e l l e de v o i s i n a g e infinitésimal de e , contenu, au sens de G , dans l a monade de e , et dont l ' e x i s t e n c e et l e s p r o p r i é t é s r é s u l t e n t du théorème r a p p e l é dans l ' i n t r o d u c t i o n ^ et on l e s t r o u v e r a en [ l ] p . 90. Les monades des p o i n t s , x, de G, seront d é f i n i e s de
façon strictement a n a l o g u e s , à p a r t i r des f i l t r e s de v o i s i n a g e s . On l e s n o t e - ra UG( x ) OU V ( X ) .
Une t r o i s i è m e et d e r n i è r e notion e s s e n t i e l l e e s t c e l l e de p o i n t s
quasi-standards qui sont l e s p o i n t s de G appartenant à l a monade d ' a u moins un p o i n t de G. I l s permettent de c a r a c t é r i s e r l e s espaces quasi-compacts : A est un sous-espace quasi-compact d'un espace t o p o l o g i q u e X s i et seulement s i tous l e s - p o i n t s de A sont q u a s i - s t a n d a r d s . On d é s i g n e r a par q s ( A ) l ' e n - semble des p o i n t s q u a s i - s t a n d a r d s qui appartiennent à l a monade d'un p o i n t de A .
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
Dans [ l ] et [2] on trouve l a t r a d u c t i o n non-standard de l a d é f i n i t i o n des groupes t o p o l o g i q u e s i n t r o d u i t s comme groupes munis d'une t o p o l o g i e q u i rend l e s a p p l i c a t i o n s ( x , y ) xy e t x x 1 continues ; comme pour t o u t e s p a - ce t o p o l o g i q u e , l e s monades des points c a r a c t é r i s e n t l a t o p o l o g i e dans l e s groupes t o p o l o g i q u e s mais de p l u s , d a n s ce d e r n i e r cas U ç ( e ) e s t un s o u s - g r o u - pe de G* qui s u f f i t à c e t t e c a r a c t é r i s a t i o n .
Les n o t a t i o n s u t i l i s é e s dans cet a r t i c l e sont en g é n é r a l c e l l e s de [ l ] et [2] , a v e c , éventuellement, l e s mêmes "abus" : on é c r i r a par exemple
"contenu" au l i e u de " -contenu" s ' i l ne peut y a v o i r a m b i g u i t é . Le noyau d'un ensemble F de p a r t i e s , noté N u e ( F ) , e s t l ' i n t e r s e c t i o n des p r o j e c t i o n s i d é a l e s des éléments de F. A i n s i une monade e s t un noyau de f i l t r e par
exemple. L ' e x i s t e n c e d ' i n f i n i t é s i m a u x contenus dans y ( e ) , r a p p e l é e p l u s h a u t , e s t un cas p a r t i c u l i e r de l a même p r o p r i é t é pour l e s f a m i l l e s de p a r t i e s possédant l a condition d ' i n t e r s e c t i o n f i n i e : l e noyau d'une t e l l e f a m i l l e contient également ses i n f i n i t é s i m a u x .
1 . - DEFINITIONS STANDARDS ET NON STANDARDS DES GROUPES TOPOLOGIQUES. Dans ce p a r a g r a p h e , nous a l l o n s montrer l ' é q u i v a l e n c e entre l e s deux d é f i n i t i o n s standards suivantes : c e l l e basée sur l a c o n t i n u i t é des o p é r a t i o n s et c e l l e s'appuyant sur des p r o p r i é t é s du f i l t r e des v o i s i n a g e s de e . Nous donnerons e n s u i t e une d é f i n i t i o n non-standard qui f a i t appel aux v o i s i n a g e s i n f i n i t é - simaux de e , dont l ' i n t é r ê t e s t , dans b i e n des démonstrations, d ' é v i t e r d ' a v o i r à c o n s t r u i r e des v o i s i n a g e s p a r t i c u l i e r s .
( 1 . 1 ) IHEOREME ( S t . ) : Soit U une base d'ouverts en e du groupe topologi- que G, alors :
(i) pour tout U e II, il existe V e U tel que V2 c U , (ii) pour tout U e il existe V e U tel que v "1 c u,
(iii) pour tout U e Uj pour tout x c U, il existe Ve U tel que xV c u, (iv) pour tout U e U3 pour tout x e G , il existe V e U tel que xVx""1 e U . Preuve : S o i t I £ V un v o i s i n a g e i n f i n i t é s i m a l de e . Comme U e s t une b a s e pour V 9 I € (i* ( T h . 5.1.2 [ 2 ] ) . On a donc pour tout U appartenant à U :
U* D u ( e ) = 11(e) . vie) O I * . I * ,
U * ? U ( e ) = ( u ( e ) ) -1 O ( I * ) "1 = ( I "1) * ;
par a i l l e u r s , puisque U e s t o u v e r t , U contient l a monade de chacun des p o i n t s de U et par conséquent :
vx( ( x e U ) A (u* 3 u ( x ) = x\x(e)D x i * ) ) .
Ces t r o i s p r o p r i é t é s du modèle G, r é - i n t e r p r é t é e s dans G , prouvent ( i ) , ( i i ) , ( i i i ) . Cette r é - i n t e r p r é t a t i o n e s t a i s é e : nous a l l o n s l ' e x p l i c i t e r pour ( i v ) . D'après l e Th. 5 . 7 . 2 . ( [ 2 ] ) y ( e ) e s t un sous-groupe d i s t i n g u é de q s ( G ) , on a donc, pour tout élément x de G, x y ( e ) x ^ = u ( e ) , et par s u i -
* - 1 •*
t e x i x C U , pour tout U de U et tout x de U . On a : G* t 3 I ( ( I € V ) A ( x l x " "1c U ) ) , et par s u i t e
G * 3 l ( ( l e \J ) A ( x l x "1 C U ) ) . e
Nous a l l o n s prouver un lemme non standard qui permet de montrer l a réciproque du théorème c i - d e s s u s . On o b t i e n d r a a i n s i l a s t r u c t u r e de groupe t o p o l o g i q u e par l a c a r a c t é r i s a t i o n c l a s s i q u e de l/^.
( 1 . 2 ) LEMME ( N . S t . ) : Soit U une famille de parties de G, groupe topologi- que vérifiant la condition d'intersection finie ainsi que les condi- tions (i)3 (ii)3 (iii)y (iv) du théorème précédent ; (I satisfait les propositions suivantes :
(1) Nuc(U) est un sous-groupe de G, (2) pour tout g de G* gNuc(U) = N u c ( U ) g .
Preuve : L'ensemble N u c ( ü ) dont i l s ' a g i t est tout d ' a b o r d non v i d e comme i l e s t montré au T h . 2 .U . 1 . ( \ h ] ) .
Soient x et y deux éléments de Nuc(U) ; x et y appartiennent à U* pour tout U de U. Pour t o u t U de U, i l e x i s t e V e t W éléments de Ü t e l s que VW 1 C u, d ' a p r è s l e s conditions ( i ) et ( i i ) du théorème p r é c é d e n t . Par s u i - t e xy""1^ V* W "1* , s o i t x y "1^ U * . L'élément x y "1 e s t donc dans N u c ( U ) , ce qui achève l a démonstration de ( l ) .
Elements d'une théorie non standard des groupes topologiques
Montrons que pour tout y de N u c ( U ) , et pour tout x de G, x y x "1 a p p a r - t i e n t à N u c ( U ) . Pour un U quelconque de U et pour tout x de G, i l e x i s t e V
a —1 * —1 * de U, t e l que xV x c U , donc xyx & U .
Remarque : Si U e s t l'ensemble des i n t e r s e c t i o n s f i n i e s d'éléments de Ü, et s i U e s t l e f i l t r e engendré par U, a l o r s d ' a p r è s l e T h . 5 . 1 . 1 . ( L 2 ] ) , Nuc(U) = Nuc(U) = N u c ( U ) . Dès q u ' i l e s t question de f i l t r e s , on v o i t i c i que l ' a n a l y s e non standard permet de r a i s o n n e r sur l e noyau d'une f a m i l l e de p a r - t i e s engendrant l e f i l t r e pour é t u d i e r ce d e r n i e r .
Les deux r é s u l t a t s précédents permettent maintenant d ' i n t r o d u i r e l a d é f i n i t i o n qui s u i t :
( 1 . 3 ) DEPIMjnON ( S t . ) : Si U est une fcanille de parties d'un groupe topo-
Ionique G et si U vérifie les conditions du terme précédent^ G est alors un groupe topologique dont tout élément x admet pour filtre de voisi-
nages le filtre engendré par les x U ( U e U ) , qui en constituent une sous-base ouverte.
Justification : Les éléments de (J sont ouverts par c o n s t r u c t i o n . N u c ( U ) e s t un sous-groupe qui v é r i f i e l e s conditions du lemme p r é c é d e n t , donc du
Th. 5 . 7 . 3 . ( [ 2 ] ) . Par conséquent U d é f i n i t une t o p o l o g i e qui e s t c e l l e du groupe t o p o l o g i q u e donné.
Cette d é f i n i t i o n e s t l a c a r á c t e r i s a t i o n c l a s s i q u e de G comme groupe t o p o l o g i q u e à p a r t i r d'une sous-base U de 1/^. Nous sommes n a t u r e l l e m e n t conduits peu: c e t t e d e r n i è r e d é f i n i t i o n à i n t r o d u i r e une d é f i n i t i o n non standard des groupes t o p o l o g i q u e s à p a r t i r des v o i s i n a g e s i n f i n i t é s i m a u x , dont on s a i t qu'en tant q u ' o b j e t s internes de G , i l s v é r i f i e n t l e s c o n d i - t i o n s du Th. 1 . 1 . c i - d e s s u s .
( l . U ) THEOREME-DEFINITION ( N . S t . ) :
(1) Soit G un groupe topologique ; soient I et J deux éléments infini- tésimaux de 1/ . Pour tout & de G et tout x de Nuc(l/ )
e e
(a) gxIJ~^x~^g""**" est élément infinitésimal de V , (b) Nucil/^) = U I * ( I voisinage infinitésimal de VQ) .
(2) Soit F un filtre de parties d'un groupe G, qui contiennent tou- tes e et vérifiant :
(a) N u c ( F ) = U l ( I élément infinitésimal de F¿
(b) Pour tout I et tout J de F , pour tout g de G et pour tout x de N u c ( F ) , gxIJ"^x"^g""^ est un infinitésimal de F,
Le groupe G est dans oe cas un groupe topologique dont la topologie est définie par les x F ( F e F) qui constituent un filtre de voisinages du point pour tout x de G.
Preuve : ( l ) ( a ) I et J é t a n t des o b j e t s i n t e r n e s de G , l e r é s u l t a t v i e n t de l a r é - i n t e r p r é t a t i o n des c o n d i t i o n s ( i ) , ( i i ) , ( i v ) du théorème 1 . 1 . c i - d e s - sus •
( b ) Nuc(l/ ) = y ( e ) p a r d é f i n i t i o n . S o i t x e vi(e) et I un élément i n f i n i - t é s i m a l de 1/ 5 a l o r s x i e s t contenu dans y ( e ) c a r y ( e ) e s t un sous-groupe
*
e•* *
de G ; x i U I e s t contenu dans u ( e ) e t c ' e s t un élément de V p u i s q u ' i l
*
econtient I • On a donc :
U I ( I élément i n f i n i t é s i m a l de V ) D y ( e ) . e
L ' i n c l u s i o n i n v e r s e e s t é v i d e n t e puisque t o u t i n f i n i t é s i m a l e s t contenu dans u ( e ) .
( 2 ) Pour démontrer que G e s t un groupe dont l a t o p o l o g i e e s t donnée par l e s xF ( F ^ F ) , i l s u f f i t de v é r i f i e r l e s deux c o n d i t i o n s du Th. 5 . 7 . 3 - ( [ 2 ] ) • Nuc(F) est b i e n un sous-groupe puisque s i x et y sont deux éléments de N u c ( F ) , on s a i t d ' a p r è s ( 2 ) ( a ) q u ' i l e x i s t e deux éléments i n f i n i t é s i m a u x I et J t e l s que x e l e t y e J et on s a i t par s u i t e de ( 2 ) ( b ) que xy~ e ( I J ~ ) c N u c ( F ) . Montrons maintenant que pour t o u t g de G, gNuc(F) c N u c ( F ) g . Si x e . N u c ( F ) on
- 1 * - 1
a gxg e g pour un élément I i n f i n i t é s i m a l au moins à cause de ( 2 ) ( a ) , e t , à cause de ( 2 ) ( b ) , gl^g""1 c N u c ( F ) . Finalement g N u c ( F ) g- 1 C N u c ( F ) .
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
2. - QUELQUES PROPRIETES ELEMENTAIRES DES GROUPES TOPOLOGIQUES, Nous a l l o n s r e t r o u v e r de façon non standard l e s p r o p r i é t é s de r é g u l a r i t é , d ' e x i s t e n c e de v o i s i n a g e s symétriques, de t r a n s f e r t par p r o d u i t des p r o p r i é t é s d!o u v e r - t u r e , de fermeture ou de compacité.
( 2 . 1 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique,
(1) Soit U une base ouverte de V ; pour tout U ^ U il existe V e V
_ e e tel aue V c
u,
(2) il existe une base Ur de V^, telle que pour tout U c Uf, U = u "1, (3) Si G est T^-séparé, il est T^séparé, c'est-à-dire d'HAUSDORFF.
Preuve^ : Les d é f i n i t i o n s de T ^ - s é p a r a t i o n pour i = 0, 1, 2 , 3, h sont données dans [5] . V désigne l a fermeture t o p o l o g i q u e de V .
( 1 ) S o i t V e V t e l que V2 c u. S o i t x e V , i . e . t e l que y ( x ) n V*V 0 ;
• —1 ^2 ^ on a, pour un n de i i ( e ) , x e V TI c V C U .
( 2 ) S o i t U' = { U ^ n U ( U € U ) } ; d ' a p r è s l e Th. 5.1.2 ( [ 2 ] ) , U» e s t une base de U : nous avons en e f f e t démontré au T h . l . U que s i I e s t un élément i n f i n i t é s i m a l de U, I n 1"^ en é t a i t un aussi et ce d e r n i e r élément a p p a r t i e n t à Uf .
( 3 ) Ce r é s u l t a t e s t démontré en [ 2 ] , p . 35 et e s t r a p p e l é i c i pour mémoire.
Le r é s u l t a t suivant a n t i c i p e un peu sur l e paragraphe qui t r a i t e r a de l a compacité : i l e s t t r è s simple e t , comme nous l ' a v o n s d é j à mentionné, l a c a r a c t é r i s a t i o n non standard q u ' i l u t i l i s e est c e l l e qui d é f i n i t l e s espaces quasi-compacts comme ceux dont l a p r o j e c t i o n i d é a l e e s t formée de p o i n t s q u a s i - s t a n d a r d s •
( 2 . 2 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique et A et B deux sous-en- sembles de G,
(1) si k est ouvert, AB et BA le sont,
(2) si A et B sont compacts, AB l'est aussi ,
(3) si A est fermé et B compact, AB et BA sont fermés.
4t
Preuve : ( l ) Montrons que ( A B ) contient l a monade de chacun des p o i n t s de AB, ce qui e s t une c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e pour que AB s o i t o u v e r t . Pour tout a e A et t o u t b e B , nous avons :
u ( a b ) « y ( a ) b ( T h . 5 . 7 . 1 [ 2 ] ) C ( A B ) * .
( 2 ) Si a1 et b1 sont des p o i n t s de A et de B r e s p e c t i v e m e n t , i l e x i s - t e a e A et b€>B t e l s que a'e y ( a ) et b ' e y ( b ) ( T h . 5 . 5 . 1 . [ 2 ] ) , on a a l o r s
a ' b ' c u ( a ) y ( b ) = y ( a b ) . Tout élément de (AB) e s t donc proche d'un p o i n t de AB.
( 3 ) Nous c i t o n s ce r é s u l t a t pour mémoire, i l e s t démontré dans [ 2 ] p . 3 6 .
Le théorème qui s u i t s e r a u t i l i s é pour montrer que l ' a d h é r e n c e d'un sous-groupe t o p o l o g i q u e e s t un sous-groupe ; i l p r é s e n t e également un i n t é - r ê t i n t r i n s è q u e .
( 2 . 3 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique 3 A e t B des parties de 03 alors :
A.B c AB ; ( A ) "1 = A "1 ; xAy = xAy pour tout x et tout y éléments de G •
Preuve : Dire que ae. A et que b e B équivaut à d i r e q u ' i l e x i s t e x et y dans G t e l s que x e y ( a ) n A et que y& y ( b ) n B . I l v i e n t donc x y c y ( a b ) n ( A B ) , ce qui implique que a b e A B .
—1 ~~—ï * —1 —1 *
( A ) c A puisque y ( a ) n A ^ 0 implique y ( a ) O (A ) ¿ 0 . E n f i n , s ' i l e x i s t e z c y ( a ) o A et s i x et y sont des p o i n t s de G,
_____
x z y e y ( x a y ) n ( x A y ) et par s u i t e xAy c xAy. L ' é g a l i t é cherchée v i e n t de l ' i n c l u s i o n i n v e r s e obtenue en m u l t i p l i a n t convenablement par x ^ e t y ^ .
3« - SOUS-GROUPES TOPOLOGIQUES. I l e s t n a t u r e l de v o i r s i , comme dans l e cas des groupes t o p o l o g i q u e s , l a monade de e permet l a c a r a c t é r i s a t i o n de l a t o p o - l o g i e i n d u i t e . Puisque l e s v o i s i n a g e s de e pour l a t o p o l o g i e i n d u i t e sur un
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
sous-groupe H par un groupe t o p o l o g i q u e G sont de l a forme V rï H, où V e (/
e • posons : ^
UH( e ) = p ( e ) n H
Cette d é f i n i t i o n e s t j u s t i f i é e dans l a preuve du théorème s u i v a n t .
( 3 . 1 ) THEOREME-DEFINITION ( S t . ) : Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G, alors la topologie induite sur H par G fait de H un groupe topologique.
H sera dit sous-groupe topologique de G.
Preuve : ^ ( e ) e s t b i e n un noyau de f i l t r e de v o i s i n a g e s de e puisque p ( e ) = [ P ) V* ) O H* = H v * n H* = H v ' * , où (/• d é s i g n e l e
n
V
v e V ) V £ 1/ vf 6 I/1 e\ e ' e e f i l t r e des v o i s i n a g e s de e dans H.
* *
Vi(e) n H e s t un sous-groupe de H , t e l que pour t o u t h de H ,
hiiy(e) = y ^ ( e ) h ; ces p r o p r i é t é s s u f f i s e n t pour f a i r e de H un groupe t o p o - l o g i q u e d ' a p r è s [ 2 ] , T h . 5 . 7 - 3 . .
Nous a l l o n s maintenant r e t r o u v e r rapidement l e s p r o p r i é t é s h a b i t u e l l e s des sous-groupes t o p o l o g i q u e s d'un groupe t o p o l o g i q u e .
( 3 . 2 ) THEOREME ( S t . ) :
(1) Si H est un sous-demi-groupe> un sous-groupe, ou un sous-groupe distingué de 0* groupe topologique > il en est respectivement de même pour H,
(2) Pour que le sous-groupe H soit ouvert 3 il faut et il suffit qufil ait un point intérieur,
(3) Pour que le sous-groupe H soit discret> il faut et il suffit qu'il ait un point isolé 9
(4) Tout sous-demi-groupe unitaire ouvert de G est fermé.
Preuve : ( l ) Si x et y sont éléments de H où H est un demi-groupe, i l e x i s t e x!e yn( x ) n H e t i l e x i s t e y%e vAy) n H . Par conséquent x ' y ' e y - f x y ) O H .
G - G - i u *
Donc xye H. De p l u s s i H e s t un s o u s - g r o u p e , i l e x i s t e x ' e U ~ ( x ) O H ,
—1 *
donc x!yf£ uu(x y ) n H . S i H e s t d i s t i n g u é dans G e t s i y e. H, a l o r s pour tout x de G, vn(y) O H ¿ 0 e n t r a î n e M„(xyx ) n H ^ 0, car H e s t , p a r r é - i n t e r p r é t a t i o n , d i s t i n g u é dans G .
( 2 ) S o i t p un p o i n t i n t é r i e u r à H et s o i t qc H. On s a i t que U Q ( P ) c H
—1 • •
et que qp i ! . ( p ) C H , d'où nn( q ) C H et par conséquent H e s t un v o i s i n a g e de q . La r é c i p r o q u e e s t immédiate.
( 3 ) Dfa p r è s l e théorème 5 . 3 . 3 . ( i v ) de [ 2 ] , un p o i n t e s t i s o l é s i et seulement s i sa monade se r é d u i t à lui-même. S o i t p un p o i n t i s o l é de H, a l o r s VH( p ) - ( p ) et en conséquence, pour t o u t qc H, UH( q ) = q p ^ U ^ p ) = ( q ) • Ceci montre que tout p o i n t de H e s t i s o l é et q u ' a i n s i l a t o p o l o g i e i n d u i t e sur H e s t d i s c r è t e . La r é c i p r o q u e e s t é v i d e n t e .
(h) S o i t H un sous-demi-groupe u n i t a i r e o u v e r t , on s a i t que U ç ( e ) C H . Soit y e H, i l e x i s t e donc h c uG( y ) O H et par s u i t e U ç ( y ) = h MQ( e ) .
. Par conséquent u „ ( y ) e s t contenu dans H • H • H • L'élément y , étant standard et appartenant à H , a p p a r t i e n t à H , c . q . f . d . .
h. - QUELQUES PROPRIETES NON STANDARDS DES GROUPES TOPOLOGIQUES, Rappelons l a d é f i n i t i o n donnée p a r ROBINSON de l a Q - t o p o l o g i e de G : c ' e s t l a t o p o - l o g i e pour l a q u e l l e l e s o u v e r t s i n t e r n e s c o n s t i t u e n t une b a s e .
Nous avons un premier r é s u l t a t important :
( U . l ) THEOREME ( N . S t . ) : La Q-topologie fait de G* un groupe topologique.
Preuve : Montrons que l a m u l t i p l i c a t i o n e s t continue pour l a Q - t o p o l o g i e dans G * . S o i t x et y deux éléments de <j*et s o i t Z un Q-ouvert contenant x y , c ' e s t - à - d i r e un Q - v o i s i n a g e de x y . I l e x i s t e un ouvert i n t e r n e T t e l que T C Z . L ' a s s e r t i o n suivante e s t s a t i s f a i t e :
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
G » V x V y V T 3 V 3 W ( ( x e G ) A ( y e G) A ( T e l / ) A ( V e 1/ ) A ( w e l / ) A (VW C T ) ) Xy X y * ' % par s u i t e ,
G* K - f x V y V T 3 V 3 W ( ( x e G ) A ( y c G ) A ( T É V ) A (V e V ) A ( W 6 | / ) A ( V W C T ) ) . Xy X y
Ceci montre q u ' é t a n t donné un v o i s i n a g e i n t e r n e T de x y , i l e x i s t e deux ouverts i n t e r n e s contenant respectivement x et y dont l e p r o d u i t s o i t i n c l u s dans T • Par a i l l e u r s nous savons que tout ouvert i n t e r n e e s t un Q-ouvert ( T h . U . 2 . 9 . [ l ] ) . Si 1/^ désigne l e f i l t r e des Q - v o i s i n a g e s d'un point a de G , nous pouvons a f f i r m e r :
V z 3 V 3 W ( ( Z € \fi ) A ( V e l ^ ) A (W€ l /Q) A ( V * W* c Z * ) )
xy x y
L ' a p p l i c a t i o n ( x , y ) xy e s t Q-continue dans G . De même on montre- - 1 * r a i t que l ' a p p l i c a t i o n x x e s t Q-continue dans G •
( U . 2 ) THEOREME ( N . S t . ) :
(1) Le sous-groupe p ( e ) est Q-ouvert dans G %
(2) Le sous-groupe q s ( G ) est Couvert dans G et contient la Q-ferme-
* —0 ture de G dans G , G ,
(3) Si G est séparé, G est Q-séparé et G = G7
Remarque : Les sous-groupes c i - d e s s u s sont Q-fermés l o r s q u ' i l s sont Q - o u v e r t s , en v e r t u du théorème 3 . 2 . ( (V] ) p r é c é d e n t .
Preuve : On a vu au théorème 1.4. que y ( e ) e s t l ' u n i o n d ' o u v e r t s i n t e r n e s ( l e s éléments i n f i n i t é s i m a u x de 1/^), par s u i t e u ( e ) e s t Q - o u v e r t . On s a i t que y ( e ) n ' e s t pas interne s i y ( e ) ^ { e } .
( 2 ) q s ( G ) = G u ( e ) permet de d i r e que q s ( G ) e s t Q-ouvert comme p r o d u i t d'un Q-ouvert avec un sous-ensemble quelconque de G f d ' a p r è s l e théorème 2 , 2 . précédent ; comme G C q s ( G ) , l a remarque permet de c o n c l u r e . q s ( G ) n ' e s t pas non p l u s un ouvert i n t e r n e .
4
~~{3) G étant s é p a r é , G est Q-séparé par r é - i n t e r p r é t a t i o n et compte tenu du f a i t que l e s ouverts i n t e r n e s forment une b a s e de G. S o i t maintenant y £ G et y4 G. Puisque "G^c q s ( Q ) , i l e x i s t e x e G t e l que y e y ( x ) . Soient 0 et 0
x y des Q - v o i s i n a g e s de x et y respectivement t e l s que 0 C\ 0 = 0 . Les Q - v o i s i n a - ges y ( x ) O O et y ( x ) H O de x et y respectivement sont d i s j o i n t s , et i l e x i s -x y
x y
t e par conséquent un z d i f f é r e n t de x dans y ( x ) O 0 , l e q u e l z a p p a r t i e n t à G.
A i n s i y a u r a i t - i l s i y n * é t a i t pas dans G dans y ( x ) deux éléments d i s t i n c t s de G, en c o n t r a d i c t i o n de l ' h y p o t h è s e de s é p a r a t i o n f a i t e sur ce d e r n i e r .
5. - ESPACES QUOTIENTS D'UN GROUPE PAR UN SOUS-GROUPE TOPOLOGIQUE - GROUPES QUOTIENTS.
Du f a i t de l1isomorphisme canonique e n t r e G /H e t ( G / H ) , dans l e mode- l e G , nous pouvons c o n s i d é r e r l e s éléments de ( G / H ) comme l e s c l a s s e s a des
* *
éléments de G modulo l e sous-groupe H .
Comme pour l e s s o u s - g r o u p e s , l a t o p o l o g i e q u o t i e n t s e r a encore d é f i n i e par l e s monades, et même p a r l a monade de l'élément neutre H du groupe G/H s i H e s t d i s t i n g u é dans G.
( 5 . 1 ) DEFINITION ( N . S t . ) : On appelle monade de xH dans l'espace quotient du groupe topologique G par le sous-groupe tcpologique H, l'ensemble : H ( j/ H( x H ) = { a € ( G / H ) * ( a * = x ' H * A x ' e y ^ x ) ) }
( 5 . 2 ) TOBDRHΠ( S t . ) :
(1) Les monades de G/H déterminent une topologie pour laquelle les voisi- nages de xH sont les {uH ( u e U A U e H } ,
(2) pour cette topologie, Vapplication canonique <J> de G dans G/H est continue et ouverte>
(Z) cette topologie est la plus fine qui rende $ continue.
Preuve. Par c o n s t r u c t i o n de l a t o p o l o g i e déterminée par l e s monades , un ouvert contenant xH dans G/H e s t un ensemble W de c l a s s e s yH, où y p a r c o u r t un ensen- b l e E de G de t e l l e s o r t e que W O yG^ ( x H ) , ce qui peut encore s ' é c r i r e :
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
{ x ' H ( x ' e UG( x ) } C {yH ( y e E * ) } .
Par s u i t e E D y - , ( x ) , e t en conséquence E est un v o i s i n a g e de x dans G . G
Remarquons que nous retrouvons a i n s i l a t o p o l o g i e h a b i t u e l l e d'un espace q u o t i e n t de groupe t o p o l o g i q u e par un de ses s o u s - g r o u p e s .
( 2 ) Rappelons qu'une a p p l i c a t i o n f d'un espace t o p o l o g i q u e X dans un espace topologique Y e s t continue s i et seulement s i , pour tout x de X,
f ( y ^ ( x ) ) c U y ( f ( x ) ) ; e l l e e s t ouverte s i et seulement s i on a l ' i n c l u s i o n i n v e r s e . I l en e s t a i n s i pour un enlargement comme c e l u i dans l e q u e l nous nous sommes p l a c é s au début de l ' e x p o s é .
I l nous s u f f i t i c i de montrer l ' é g a l i t é de uG^H(<f>(x)) avec < j > * ( uG( x ) ) . Par d é f i n i t i o n :
UG / HU ( x ) ) = { a e ( G / H ) * ( a * - x ' H * A x'e MQ( X ) ) }
* { a 6 ( G / H ) * ( a * = <f>*(x') A x ' e UG( X ) ) } = < | > * ( uG( x ) ) . Ces é g a l i t é s prouvent que $ e s t continue et o u v e r t e .
( 3 ) S o i t x une t o p o l o g i e plus f i n e que c e l l e précédemment d é f i n i e : nous devons donc a v o i r pour un x au moins de G :
UG / HU ( x ) ) D UTU ( X ) ) .
De c e t t e i n c l u s i o n s t r i c t e on peut d é d u i r e que : 0 > * ( ur( x ) ) D u U ( x ) ) ,
G i
ce qui c o n t r e d i t l a c o n t i n u i t é de <j> comme a p p l i c a t i o n de G muni de s a t o p o l o g i e i n i t i a l e dans G/H muni de l a t o p o l o g i e T .
Le r é s u l t a t , c o n c e r n a n t l a r é g u l a r i t é des espaces q u o t i e n t s que nous c o n s i d é r o n s , s e r a é t a b l i à l ' a i d e du lemme suivant :
( 5 . 3 ) ( S t . ) : Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe topolo- 2
gique de G ; si U et V sont des voisinages de e tels que V c U et si 4
est l'application canonique usuelle, <J>(xV) c <t>(xU), pour tout x e G .
Preuve^. L1 appartenance de yH à <(>(xV) iinpli iue l ' e x i s t e n c e d'éléments n e y ^ t e ) , v e V , h e t h1 de H t e l s que yh = xvh1 et par s u i t e d'un t\'e Vq^^ (d u fa ^ t
que yG( e ) e s t d i s t i n g u é dans q s ( G ) qui c o n t i e n t G) t e l que yh = x nf v hf. Puisque n! e s t élément de y ~ ( e ) l u i même contenu dans V * . on a :
yhe xV* V* H* c xU* H* et yH € * ( U ) * .
Comme yH e s t s t a n d a r d , yH e s t nécessairement dans <(>(U), c . q . f . d . .
Venons en maintenant aux r é s u l t a t s annoncés plus haut :
( 5 . M THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique, H un de ses sous-grou- pes, <t> l'application canonique habituelle :
(1) G/H est discret si et seulement si H est ouvert dans G,
(2) G/H est régulier j si H est fermé, G/H est même espace d'HAUSDORFF, (3) Si G/H est TQ-séparé, alors H est fermé et G/H est un espace régu- lier.
Remarque. La r é g u l a r i t é considérée i c i e s t c e l l e d é f i n i e par K e l l e y dans ¡5] ; e l l e n'implique pas l a s é p a r a t i o n .
frjMVe. ( 1 ) s i H e s t o u v e r t , pour tout x de G, xH l ' e s t a u s s i et U ç ( x ) C xH . Ceci prouve que yG^ ( x H ) » { x H } » { x H } et p a r conséquent que G / H est d i s c r e t . Réciproquement s i G/H e s t d i s c r e t , l a monade de chacun des p o i n t s de G/H se r é d u i t à ce p o i n t et yn / 1 J( H ) = { H } . Pour t o u t n ^ u ^ e ) , on d o i t donc a v o i r
nH = H , e t par s u i t e yQ( e ) C H , ce qui s i g n i f i e l ' o u v e r t u r e de H.
( 2 ) Le lemme 5.3 prouve que G/H e s t r é g u l i e r : en e f f e t tout v o i s i n a g e U de e contenant l e p r o d u i t V2 pour un V de 1/ f l ' i n c l u s i o n <j>(xV) C 4>(xU) a s s u r e l ' e x i s t e n c e d'un système de v o i s i n a g e s fermés de l'élément xH.
( 3 ) Un espace ^ - s é p a r é et r é g u l i e r étant d'HAUSDORFF ( [ 5 ] ) » montrons q u e , l o r s q u e H e s t fermé, chaque { x H } e s t fermé dans G/H et nous aurons l a p r o - p r i é t é annoncée. Soit y H € , { x H } ; c e t t e appartenance s ' é c r i t :
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
uG /,H( y H ) n { x H } i 0 ou encore xH € PG/H( yH) - 1 1 e x i s t e a l o r s yfe . uQ( y ) t e l
* *fc —1 —1 —1 que xH = y'H • D'une p a r t , x y ' e ^^(x y ) et d ' a u t r e p a r t x" y'é, H . De
—1 * —1
c e l a , i l r é s u l t e que y ) n n ^ 0 , donc que x y G H = H et que yH = x H . Supposons maintenant que G/H s o i t T^-sëparé • Si x e H, ^ ( x ) O H ^ 0>
et pour un n de MG( e ) , xH = nH . Cette é g a l i t é impliquant que xH e ^ Q /H( H ) ,
donc que H*€ ^ Q / ^ (X HK l'hypothèse de s é p a r a t i o n assure que xH = H et que x € H ,
( 5 . 5 ) COROLLAIRE ( N . S t . ) : L'espace quotient q s ( G ) / v i ( e ) où q s ( G ) et vie) so?rt considérés comme sous-groupes Q-topologiques de G , est discret.
Preuve. Le théorème précédent et l e f a i t que p ( e ) s o i e n t Q-ouvert (théorème U.2 c i - d e s s u s ) f o u r n i s s e n t l e r é s u l t a t .
Remarque. L'isomorphisme a l g é b r i q u e entre G et q s ( G ) / v i ( e ) , remarqué par ROBINSON ( t h . 8 . 1 . 9 [ l ] ) l o r s q u e l a t o p o l o g i e de départ de G est s é p a r é e , devient i c i t o p o l o g i q u e . En e f f e t l a Q - t o p o l o g i e i n d u i t sur G l a t o p o l o g i e d i s c r è t e s i G est séparé : y ( x ) O G = { x } , u ( x ) Q-ouvert pour t o u t x de G ; puisque l e c o r o l l a i r e c i - d e s s u s a s s u r e l a ciiscrétude de q s ( G ) / p ( e ) , l a remar- que est j u s t i f i é e .
Plaçons-nous maintenant dans l e cas où l e sous-groupe H du groupe t o p o - l o g i q u e G est d i s t i n g u é dans G ; on a évidemment :
( 5 . 6 ) THEOREME ( S t . ) : Si H est un sous-groupe distingué du groupe topologi- que Gy l'espace quotient G/H est un groupe topologique, pour la multi- plication naturelle de G / H .
Preuve. U t i l i s a n t l e théorème 5.7.3 de [2] , i l nous s u f f i t i c i de montrer que MQ^JJ(H) e s t un sous-groupe n u c l é a i r e (noyau d'un f i l t r e ) v é r i f i a n t , pour tout xH de G / H , x H pG / H( H ) » yQ / H( H ) x H .
y ^ j ( H ) e s t un sous-groupe car U ç ( e ) en est un, du f a i t que l ' a p p l i c a t i o n
$ est continue et o u v e r t e . UQ^JJ(H) peut s ' é c r i r e : { u H * ( u é U * A U e l / ) } = C) ( u H * ( u e U ) } * •
e
ce qui montre que M Q ^ ( H ) e s t n u c l é a i r e .
Viç,(e) étant d i s t i n g u é dans q s ( G ) , on a , pour t o u t uH de ^Q/JJ(H) e^ pour tout x de G :
xHuH* = xuH* = uxH* c uHxH* , du f a i t que U 6 yn( e ) .
La f i n de ce paragraphe e s t consacrée à l a démonstration des r é s u l t a t s c l a s s i q u e s concernant l e s homomorphismes et isomorphismes t o p o l o g i q u e s de groupes t o p o l o g i q u e s .
( 5 . 7 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G et G deux groupes topologiques d'éléments neu- très respectifs e et e ; soit t : G G un morphisme continu* ouvert de G sur G*. L'application $ : G + G / f ^ e ) telle que <|>(x) = f^ix) est un homêomorphieme et un isomorphisme de G sur G / f A( e ) . muni de sa struc- ture de groupe topologique quotient.
Preuve. 4 étant évidemment un isomorphisme de g r o u p e , l e théorème r é s u l t e des é g a l i t é s entre monades que nous a l l o n s démontrer. Remarquons que s i M e s t un o-enlargement pour un o r d i n a l l i m i t e a t e l que nous ayons une immersion élémentaire de G et de G dans M^, nous pouvons é c r i r e ;
M % V 2 ( ( X £ G ) A ( x f ' ^ ë ) = * ( x ) = * ( x ) « ( e ) ) puisque c e t t e a s s e r t i o n v r a i e dans G, l e r e s t e dans M*. L a preuve du théorème se r é d u i t a l o r s aux é g a l i t é s :
y
G / f- l
(Ç ) U ( e ) )
= { x ' * ( e ) * ( x ' eu
G(e))> »
{ • * ( x » ) ( $ » ewg(8))> =
•*(ug(»))
où x ' » * * ( x ' ) .( 5 . 8 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique, H un sous-groupe distin- gué et li un sous-groupe quelconque de G. Si 4> est le morphisme canonique G - + G / H , LH/H est topologiquement isomorphe à • ( L ) .
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
Remarque. "Topologiquement isomorphe'1 s i g n i f i e comme dans [3] , q u ' i l e x i s t e une a p p l i c a t i o n r é a l i s a n t 1'isomorphisme qui est b i c o n t i n u e , et non q u ' i l e x i s t e d'une p a r t un isomorphisme et d ' a u t r e p a r t un homéomorphisme q u i
p o u r r a i e n t ê t r e d i s t i n c t s .
Preuve. L ' a p p l i c a t i o n i d e n t i q u e de LH/H $ ( L ) est b i c o n t i n u e car s i m e L et h e H,
um / H( m h H ) = { m ' h ' H * ( mfh ' € pL( m ) v iR( h ) ) } = uG / H( m h H ) D ( L H / H ) * = MG / H( m h H ) n <|>(L)* = u ^( L )( m h H )
( 5 . 9 ) THEOREME ( S t . ) : L'application canonique T : LH/H + L / L n H est ou- verte .
Preuve. v iL / L n R( T ( H ) ) = { a » U n H ) * ( a » e yL( e ) ) } C { x * ( a ' H * ) ( a ' e W ( J( e ) ) } C T ( vG/H( H ) ) .
Dans [ 3 ] , i l e s t donné un contre-exemple prouvant que T n ' e s t pas en g é n é r a l c o n t i n u e . Nous démontrerons plus l o i n que c e r t a i n e s c o n d i t i o n s de compacité rendent T continue.
( 5 . 1 0 ) THEOREME ( S t . ) :
(1) Soit G un groupe topo logique, H e t N des sous-groupes distingués de G tels que N e H. Alors G/H est topo logiquement isomorphe à
( G / N ) / ( H / N ) .
(2) Soit f un morphisme ouvert et continu du groupe topologique G sur le groupe topologique G ; soxt H un sous-groupe distingué de G. Alors : G / f - ^ H ) , G / H ,
{G/f^
1{%))/{t'
1{K)/t'
mlG))
sont des groupes topologiques.Preuve. Nous ne rappelons pas i c i l a démonstration de l a p a r t i e a l g é b r i q u e de ce théorème ; montrons que l e s a p p l i c a t i o n s r é a l i s a n t l e s isomorphismes sont b i c o n t i n u e s .
( 1 ) S o i t • : G/H G/H t e l l e que * ( x N ) = xH ; i l s u f f i t d ' a p r è s l e t h é o r è - me 5*7 c i - d e s s u s de v é r i f i e r que $ est b i c o n t i n u e :
* * ( UG / H( N ) ) = * * ( { x ' N * ( x ' e uG( e ) ) > ) = { x ' H * ( x ' € uG( e ) } =
^ G / H ( H ) 5 W * ( N ) ) '
( 2 ) De même, i l s u f f i t i c i de v é r i f i e r que
t : G/H • » G/H où H = f_ 1( H ) et où + ( x f "1( H ) ) = f ( x ) H e s t b i c o n t i n u e . O r ,
* * ( uG / H( H ) ) = { f V ) H * ( f * ( x ' ) € f \ ( e ) ) } =
{f*(x»jS*(f*(x')€
M g № ) > -» G / H( 5 ) = ^ / H(* (H))-
Donc ( G / H ) / ( H / N ) e s t topologiquement isomorphe à G / H , e t , en u t i l i s a n t l e ( 1 ) c i - d e s s u sf G/N e s t topologiquement isomorphe à G/H*
6 - COMPACITE ET LOCALE COMPACITE.
Un o u t i l e s s e n t i e l , t o u t au l o n g de ce p a r a g r a p h e , nous e s t f o u r n i p a r l a c a r a c t é r i s â t i o n des compacts p a r l e s p o i n t s q u a s i - s t a n d a r d s . On é t a b l i r a par exemple au lemme 6.7 l a r e l a t i o n e n t r e l e s p o i n t s q u a s i - s t a n d a r d s d'un groupe t o p o l o g i q u e et ceux de l ' e s p a c e quotient de ce groupe p a r un de ses s o u s - g r o u p e s .
L ' é t u d e de l a l o c a l e compacité u t i l i s e r a l e r é s u l t a t b i e n connu
( t h . 3 . 7 . 1 M , t h . 5 . 5 . U C 2 ] ) assurant qu'un espace X est localement compact l o r s q u e tout q u a s i - s t a n d a r d de X , a p p a r t i e n t à l a p r o j e c t i o n i d é a l e d'une p a r t i e compacte de cet e s p a c e , d'une p a r t , et d ' a u t r e p o r t , un r é s u l t a t que nous avons é t a b l i au lemme 6.9 q u i permet de " s t a n d a r d i s e r " c e r t a i n e s preuves non standards ( i . e . u t i l i s e r des p r o p r i é t é s standards d ' o b j e t B i n t e r n e s con- venablement c h o i s i s , t e l l e s que des p r o p r i é t é s t o p o l o g i q u e s r é - i n t e r p r é t é e s , par e x e m p l e ) .
Les lemmes et théorèmes 6 . 1 , 6 . 2 , 6 . 6 , 6.9* 6 . 1 0 , 6.11 e t 6.12 sont é t a - b l i s , indépendamment de l e u r i n t é r ê t i n t r i n s è q u e , pour s e r v i r éventuellement
à l ' é t u d e de l a s t r u c t u r e des groupes a b e l i e n s localement compacts. F i g u r e également dans c e t t e s e c t i o n une étude de ! • é q u i v a l e n c e des s t r u c t u r e s u n i -
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
formes i n d u i t e s à d r o i t e et à gauche sur un groupe t o p o l o g i q u e . Soit e n f i n donnés l e u r s r é s u l t a t s connus sur l e s espaces q u o t i e n t s qui concernent l a compacité•
Nous r e g r e t t o n s de n ' a v o i r pas pu donner de démonstration réellement non standard du théorème de BAIRE que nous u t i l i s o n s au théorème 6.1 ; c e t t e d i f f i c u l t é s e r a peut ê t r e l ' o r i g i n e de n o u v e l l e s et fructueuses n o t i o n s non s t a n d a r d s , ou l e point de départ d'une u t i l i s a t i o n n o u v e l l e de l a t h é o - r i e des modèles pour l ' é t u d e de problèmes t o p o l o g i q u e s .
( 6 . 1 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique, soit U c V , et soit F un sous ensemble compact de G. Dans ces hypothèses, il existe V e 1/ tel
- 1 e
que, pour tout x de F, xVx c U .
Preuve. Puisque F e s t compact et contenu dans q s ( G ) , puisque \i{e) e s t d i s - t i n g u é dans q s ( G ) , on peut é c r i r e pour t o u t I élément i n f i n i t é s i m a l de V ,
M —1 * ® et pour t o u t x de F , x i x c y ( e ) C U .
Par s u i t e :
G* M 3 V tfx(Ve M x e F A x V x "1 C U ) ,
ce q u i , r é - i n t e r p r é t é dans G, prouve l e théorème.
( 6 . 2 ) THEOREME : Soit G un groupe topologique ; soit F un compact de G et U un ouvert contenant F ; il existe alors V e | / ^ tel que FY u VF c U .
Si G est localement compact, on peut choisir V tel que FV u VF soit compact•
Preuve. Le f a i t que F* c Fii(e) puisque F e s t compact, l e f a i t que U i j ( e ) C U*
puisque U e s t ouvert et l a donnée d'un élément i n f i n i t é s i m a l I de 1/ nous e
permettent d ' a f f i r m e r que :
F* I * C F ( e ) l * C F ( e ) C U ( e ) C ; et d ' é c r i r e de même que I F C u .
La r é - i n t e r p r é t â t i o n de ce r é s u l t a t de G* dans G, f o u r n i t l e r é s u l t a t : l a première p a r t i e du théorème e s t montrée. La seconde p a r t i e est un c o r o l - l a i r e du théorème 2 . 1 p r é c é d e n t .
Ces deux p r o p r i é t é s des groupes t o p o l o g i q u e s s o n t , en p a r t i c u l i e r , u t i l e s dans l ' é t u d e des groupes a b é l i e n s localement compacts.
L ' a n a l y s e non-standard permet une bonne approche des s t r u c t u r e s uniformes ( c f . MACHOVER [ 2 ] ) ; voyons ce q u ' i l en e s t dans l e cas des groupes t o p o l o - giques .
( 6 . 3 ) THEOREME : Soit <j> une application continue du groupe topologique G dans le groupe topologique G* telle que pour tout Me V , il existe un compact Aw tel que •(G-^AW) C W.
L'application $ est dans ces conditions continue pour chacun des couples possibles de structures uniformes induites sur G et sur G.
Remarque. Cette preuve e s t un bon exemple des s i m p l i f i c a t i o n s que peut appor- t e r l ' A n a l y s e non s t a n d a r d ; on comparera avec l a démonstration du même r é s u l - t a t donné en [ 3 ] p . 2 2 - 2 3 , dont nous nous sommes i n s p i r é s .
Preuve. S o i t W un élément f i x é de I/h et Y un élément symétrique de li-» é g a l e -
?
e ement t e l que 1 C W. S o i t A^ une p a r t i e compacte t e l l e que ^ ( G - A ^ ) c. W.
( 1 ) Supposons que x £ A ^ . I l nous s u f f i t de montrer que pour t o u t y de G t e l
—1 —1
que x y € ur( e . ) nous avons $ ( x ~ ) <j>(y)£ y ^ ( e ) ( c a r a c t é r i s â t i o n de l a c o n t i - nui té uniforme donnée au t h . 9 . 1 . 2 . en [2]^. Puisque A^ e s t compact, i l e x i s t e a€ Ay t e l que VG( a ) = U Q (x) i t o u t y v é r i f i a n t x"\^ ^Q^E^ E S T DONC CONT E NU dans x yG( e ) c V Q ( * ) V iQ( e ) - VG( a ) ; p a r s u i t e :
• ( x ) "1 * ( y ) * • ( vG( a ) ) "1< f r ( uG( a ) ) C v g U U ) ) "1 u g U ( a ) ) = y g ( e ) , à cause de l a c o n t i n u i t é simple de <J) •
( 2 ) Soit maintenant l e cas dans l e q u e l x ^ A ^ et s o i t I un v o i s i n a g e i n f i n i t é s i -
—1 * * mal de t e l que x y e I . On suppose que y e s t dans A y , sinon l e r a i s o n -
Eléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
nement ( l ) p e r a e t de c o n c l u r e . Nous disons a l o r s que :
• ( x ) "1 + ( y ) 6 * ( G - AY) * -1
• ( < W l
ï) * c Y * ~ V
C Y* Y* C w \En r é - i n t e r p r é t a n t ce r é s u l t a t de G dans G, on o b t i e n t l a c o n t i n u i t é uniforme de Pour l e s autres couples p o s s i b l e s de s t r u c t u r e s uniformes i n d u i t e s , on procède à un raisonnement a n a l o g u e .
( 6 . U ) COROLLAIRE ( S t . ) : Toutes les applications continues d'un groupe ru
topologique compact G dans un groupe topologique G sont uniformément continues pour tous les couples possibles de structures uniformes in-
'Vf
duites à droite et à gauche sur G et 0.
Preuve. Les hypothèses du théorème précédent sont v i s i b l e m e n t r é a l i s é e s .
( 6 . 5 ) COROLLAIRE. Si G est compact, les structures uniformes induites à droi- te et à gauche coïncident.
Preuve. On a p p l i q u e l e c o r o l l a i r e précédent en remarquant que l1 a p p l i c a t i o n identique dans G est uniformément b i c o n t i n u e , l o r s q u e G est muni au d é p a r t de l a s t r u c t u r e uniforme i n d u i t e à d r o i t e et à l ' a r r i v é e de l a s t r u c t u r e u n i f o r - me i n d u i t e à gauche.
On peut donner une autre preuve t r è s simple de ce c o r o l l a i r e en remar- quant que, G é t a n t compact, G » q s ( G ) et q u ' a l o r s uG( e ) e s t d i s t i n g u é dans G*
ce qui est une c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e pour que l e s s t r u c t u r e s uniformes i n d u i t e s à d r o i t e et à gauche s o i e n t é q u i v a l e n t e s ( [ 2 ] p . 3 6 ) .
Venons en maintenant à l a compacité des espaces q u o t i e n t s d'un groupe t o p o l o g i q u e G par un de ses sous-groupes H :
( 6 . 6 ) LEMME ( N . S t . ) . Un élément nH de ( G /H) e s t q u a s i - s t a n d a r d dans ( G yH) * s i et seulement s i n € q s ( G ) .
Preuve. S o i t q un point q u a s i - s t a n d a r d de G donc t e l que q e w „ ( p ) , pour un p £ G ; qH e VÇ/ji/P**) V** d é f i n i t i o n de c e t t e d e r n i è r e monade et qH est q u a s i - s t a n d a r d dans ( G / H ) * . L ' i n c l u s i o n i n v e r s e est t o u t a u s s i é v i d e n t e .
( 6 . 7 ) LEMME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique et U un sous-groupe de G,
$ Vapplication canonique G -> G / H . Soit U un voisinage symétrique de tel que U r\ H s o i t compact e t tel que { x H ( x e X ) } c { u H ( u € U ) } soit un sous-ensemble fermé et compact.
U n xH est alors un sous-ensemble fermé et compact de G.
Preuve. xH = ^ ( { x H ( x e X ) } ) est fermé comme image r é c i p r o q u e d'un fermé et par s u i t e U n xH e s t fermé. Montrons que U o XH est compact. S o i t x e ( U ^ XH) A l o r s x € xfH * pour un x ' e X * . On a : x ' H * € { X H ( X É X ) } * C q s ( { x H ( x £ X ) } ) puisque { x H ( x € . x ) } est compact. Par l e lemme 6 . 6 , xfH € y ^ ^ i x ^ H ) , pour un x e X. Compte tenu de l ' h y p o t h è s e , x H s ' é c r i t u H pour un u e U . F i n a l e -
o ^ 9 o o o ^
ment x€ x'H e i U / u (u H ) . D'où r é s u l t e l ' e x i s t e n c e de n € \xn(e) et de h e H G/h o - 1 - 1 t e l s que x = n1^ *1» s o i t encore t e l s que h » u~ n" On peut donc a f f i r m e r
que : he U ' W c U3 C U3. A i n s i est prouvé que h e ( ? n H ) * .
Ce d e r n i e r ensemble é t a n t compact, i l e x i s t e hQ t e l que h £ uG( hQ) avec h c ÏÏ3 O H .
o
L ' é g a l i t é yp( u h ) = u „ ( n u h ) e n t r a î n e x e \iAu h ) . P a r a i l l e u r s x e U ,
vr O O vjt O \J O O
et p a r s u i t e y . ( u h ) O U e s t d i f f é r e n t du v i d e et u h e U . Puisque u h e x H
u O O O O O O O
qui e s t contenu dans x H , cet élément u 0h 0 G XH O U . La preuve est achevée dès que l ' o n constate que x e U Q ( Z ) pour un z e XH n U .
Nous sommes maintenant en mesure de donner l e s r é s u l t a t s e s s e n t i e l s sur l e s r a p p o r t s e n t r e l e groupe t o p o l o g i q u e G et l ' e s p a c e q u o t i e n t G/H pour un sous-groupe H de G du p o i n t de vue de l a compacité et de l a l o c a l e compacité.
( 6 . 8 ) THEOREME ( S t . ) : Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe fermé de G. Soit <fr l'application canonique de G sur G / H .
(1) Si H est compacty $ est fermé,
Éléments d'une théorie non standard des groupes topologiques
(2) Si G est compact (resp. localement compact); G/H est compact (resp.
localement compact)3
(3) Si E et G/H sont compacts (resp. localement compacts), G est compact (resp. localement compacts).
Preuve. H é t a n t fermé, G/H est d'HAUSDORFF après l e théorème 5.5 c i - d e s s u s . ( 1 ) Soit A un sous-ensemble fermé de G, montrons que G/H - <}>(A) est o u v e r t . Soit xH£ G/H - <J>(A), a l o r s x£ AH = ÂH puisque H est fermé et A compact
(théorème 2 . 2 ) . Par s u i t e uQ( x ) 0 ( A H ) * = 0, et y ( x ) c G * - ( A H ) * . L ' a p p l i c a - t i o n 4» étant continue et o u v e r t e , U Q ^ ( X H ) = <j> ( uG( x ) ) C ( G / H ) - 4 (A ) . La p a r t i e G/H - $ ( A ) est ouverte puisque que l a monade de chacun de ses p o i n t s est contenue dans l a p r o j e c t i o n i d é a l e de c e t t e p a r t i e .
( 2 ) D ' a p r è s l e lemme 6.6 et compte tenu de ce que q s ( G ) = G , G/H est compact.
Supposons G localement compact ; pour prouver que G/H l ' e s t a u s s i , i l s u f f i t d ' a p r è s l e théorème 5.5.1* de [ 2 ] , de prouver q u e , s i x H £ q s ( G / H ) , i l e x i s t e B X H , une p a r t i e compacte de G/H, t e l l e que X H G B ^ . En a p p l i q u a n t l e lemme 6 . 6 , nous savons que x est q u a s i - s t a n d a r d , donc q u ' i l e x i s t e A , une p a r t i e compacte de G, t e l l e que x e A * . Par s u i t e xH = <J>(x)e <f>*(A*)) = (<j>(A ) ) * .
x x x Comme <j> est continue, 4>(AX) est compacte.
( 3 ) I l s u f f i t de montrer que G * C q s ( G ) . G/H étant compact, q s ( G ) / H * = G * / H * . On en d é d u i t <)>*(qs(G)) = 4>*(G*), s o i t encore q s ( G ) H * = G*H*. Mais H é t a n t compact, H est contenu dans q s ( G ) . Finalement G = G H c qs(G)H c q s ( G ) .
Supposons maintenant que G/H et H sont localement compacts. I l e x i s t e un v o i s i n a g e V de e dans G, t e l que V H H s o i t compact.
—3 _ Z3 ^
Soit U 6 V t e l que U C V ; U n H est évidemment compact. Si I e s t un
e *
v o i s i n a g e i n f i n i t é s i m a l de e que l ' o n peut c h o i s i r -fermé ( p a r r é - i n t e r p r é - t a t i o n du f a i t q u ' i l e x i s t e dans G un système fondamental de v o i s i n a g e s f e r - més (théorème 2 . 1 ) de e ) , a l o r s :
- { x H * ( x e I * ) } C { x H * ( x 6 U * ) } ,
- {xH ( x e I ) } e s t un v o i s i n a g e i n f i n i t é s i m a l de H dans G/H p a r d é f i n i - t i o n de MG/H(H) >
