Géometrie des relations de double mélange

(1)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Stuffle et intégrales : ex.

Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Les espacesM_0,n Double mélange surM_0,n

Stuffle motivique

Stratégie

Stratégie : cas général Construction deX_n Stuffle et motifs de Tate mixtes

En cours de rédaction et projets

Associateurs et relations explicites entre MZV Géométrie et régularisation

Géometrie des relations de double mélange

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire Claude Chevalley

25 mars 2010

(2)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle)

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin

5 En cours de rédaction et projets

(3)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n ₁ >...>n _p >0

1 n ₁ ^k ¹ · · · n ^k _p ^p .

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(4)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n ₁ >...>n _p >0

1 n ₁ ^k ¹ · · · n ^k _p ^p .

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(5)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ _n

ω _k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ω _k ], [Φ _n ] .

on notera B ^A pour B \ (A ∩ B)

(6)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Résultats et propriétés

Théorème ([Sou09])

Soit k, l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 alors ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M _0,m+3 (l) = X

σterme du shuffle

ζ _M ^fr ^.M _0,n+m+3 (σ)

et ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

0,m+3 (l) = X

σterme du stuffle

ζ _M ^fr ^.M

0,n+m+3 (σ) On parlera ici essentiellement du stuffle.

Étapes intermédiaires

Obtenir une représentation intégrale du stuffle.

Observer les similitudes de stuffle et shuffle sur M _0,n+m+3 . Problèmes pour passer aux motifs dans le cas du stuffle.

Construire une famille de variétés X _n compatible aux symétries du stuffle et simple d’un point vue des motifs.

Construire de nouvelles MZV motiviques.

Conclure.

(7)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(8)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Mélange contractant (stuffle) et séries

Combinatoire du mélange contractant

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

Définition (Stuffle)

Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

On écrira σ ∈ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k ∗ l.

Exemple

(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m)

(u)∗(v , w ) = (u , v , w )+(v , u, w )+(v , w , u)+(u +v , w )+(v , u +w ).

(9)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Mélange contractant (stuffle) et séries

Stuffle et valeurs zêta multiple

Proposition (Relations de stuffle)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité

ζ (k)ζ (l) =





X

n ₁ >...>n _p >0

1 n ^k ₁ ¹ · · · n ^k p ^p









X

m ₁ >...>m _q >0

1 m ^l ₁ ¹ · · · m ^l q ^q





= X

σ∈st(k,l)

ζ (σ).

Exemple

ζ(k )ζ (l ) =

+∞

X

n=1

+∞

X

m=1

1 n ^k m ^l = X

n>m>0

1 n ^k m ^l + X

m>n>0

1 m ^l n ^k + X

n=m

1 n ^k ^+l

= ζ (k , l ) + ζ (l , k ) + ζ (k + l ).

(10)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV et intégrales simpliciales

À un p -uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k ₁ −1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k _p −1 fois

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ (k) =

Z

∆ _n

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

| {z }

=ω _k =ω

k

.

Exemple

On a

ζ (2) = Z

∆ ₂

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ , ζ (2, 2) = Z

∆ ₄

dt ₄ t ₄

dt ₃ 1 − t ₃

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ ,

(11)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

Le changement de variables

t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ (2) = Z

[0,1] ²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂

1 − x ₁ x ₂ = Z

[0,1] ²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ ,

et pour n = 4 ζ (4) =

Z

[0,1] ⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ (2, 2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) . On a aussi

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(12)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

Le changement de variables

t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ (2) = Z

[0,1] ²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂

1 − x ₁ x ₂ = Z

[0,1] ²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ , et pour n = 4

ζ(4) = Z

[0,1] ⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ (2, 2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) . On a aussi

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(13)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

ζ(2)ζ(2) par les intégrales

Pour toute variable α et β on a l’égalité 1

(1 − α)(1 − β) = α

(1 − α)(1 − αβ) + β

(1 − β)(1 − βα)

+ 1

1 − αβ . (3) En posant α = x ₁ x ₂ et β = x ₃ x ₄ dans (3), on retrouve la relation de stuffle

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ )

+ x ₃ x ₄

(1 − x ₃ x ₄ )(1 − x ₃ x ₄ x ₁ x ₂ ) + 1

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄

d ⁴ x c’est à dire,

ζ (2)ζ (2) = ζ (2, 2) + ζ (2, 2) + ζ (4).

(14)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p -uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p .

Définition

On définit la fonction f _k ₁ _,...,k _p de n variables sur [0, 1] ⁿ comme f _k ₁ _,...,k _p (x) = f _k ₁ _,...,k _p−1 (x ₀ )

Q x ₀ 1 − Q

x (4)

avec x ₀ = ((x ₁ , . . . , x _n−k _p )), Q

x ₀ =

n−k p

Y

i =1

x _i , Q

x =

n

Y

i=1

x _i .

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ (k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1] ⁿ

f _k ₁ _,...,k _p (x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x .

(15)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p -uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p .

Définition

On définit la fonction f _k ₁ _,...,k _p de n variables sur [0, 1] ⁿ comme f _k ₁ _,...,k _p (x) = f _k ₁ _,...,k _p−1 (x ₀ )

Q x ₀ 1 − Q

x (4)

avec x ₀ = ((x ₁ , . . . , x _n−k _p )), Q

x ₀ =

n−k p

Y

i =1

x _i , Q

x =

n

Y

i=1

x _i .

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ(k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1] ⁿ

f _k ₁ _,...,k _p (x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x .

(16)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition (Décomposition de Cartier)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets avec n = k ₁ + · · · + k _p et m = l ₁ + · · · + l _q . On a alors

f _k ₁ _,...,k _p (x) · f _l ₁ _,...,l _q (x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f _σ (y _σ ).

Idée

On part de f _k f _l = f _k ₀ f _l ₀ Q

x ₀ Q

x ⁰ ₀ 1 1 − Q

x

1 1 − Q

x ⁰ On applique (3) à 1

1 − Q x

1 1 − Q

x ⁰

On réorganise pour remarquer que le produit f _k f _l vérifie la

même équation de récurrence que le produit stuffle.

(17)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

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Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, n = k ₁ + · · · k _p .

Objectifs

Il s’agit d’écrire

ζ (k) = Z

Φ _n

ω _k

où le lieu A _k des singularités de ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n . Ce n’est pas le cas dans la représentation

ζ(2) = Z

0<t ₁ <t ₂ <1

1 t ₂

1 1 − t ₁ dt ₁ dt ₂ . Par contre après éclatement de (0, 0) (1, 1) (et (∞, ∞))

0 0 1

1

(19)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ), z _i ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ). Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(20)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ), z _i ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ).

Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(21)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Exemples

Pour n = 1 on a

M _0,4 ' P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}.

Pour n = 2 on a

M _0,5 ( C ) ' ( P ¹ ( C )\{0, 1, ∞}) ² \{t ₁ = t ₂ }.

0 0 1

1 Fig. : M _0,5 dans P ¹ ( R ) ²

Il existe une compactification M _0,n qui continue à être un espace de modules.

Théorème ([DM69],[Knu83])

M _0,n est projectif, irréductible lisse. Le bord de M _0,n est un diviseur à

croisements normaux.

Fig. : M _0,5 ( R )

(22)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Notations générales sur M _0,j ₊₃

On note t _i la coordonnée (simpliciale) telle que t _i (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) = z _i .

L’ensemble des points réels M _0,j ₊₃ ( R ) de M _0,j ₊₃ n’est pas connexe.

Une comp. connexe (cellule) de M _0,j ₊₃ ( R ) peut s’identifier à l’ordre (sur R ) dans lequel sont classés les points.

On note β _j : M _0,j ₊₃ → ( P ¹ ) ^j l’application

(0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) 7→ (z ₁ , . . . , z _j ),

et Φ _j = β _j ⁻¹ (∆ _j ) la cellule ouverte (cellule standard) de M _0,j ₊₃ ( R ) préimage de ∆ _j par β _j

On a donc (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) ∈ Φ _j ssi

0 < z ₁ < . . . < z _j < 1 < ∞.

(23)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n (k ₁ > 2). On a ζ (k ₁ , · · · , k _p ) =

Z

Φ _n ω f _k avec ω f _k = β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n = β _n ⁻¹ (∆ _n ).

De plus, le diviseur A _k des singularités de f ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n .

Théorème ([GM04])

Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ ω f _k ], [Φ _n ]

où B _n est la clôture de Zariski du bord de Φ _n .

(24)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n (k ₁ > 2). On a ζ (k ₁ , · · · , k _p ) =

Z

Φ _n ω f _k avec ω f _k = β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n = β _n ⁻¹ (∆ _n ).

De plus, le diviseur A _k des singularités de f ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n .

Théorème ([GM04])

Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ(k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ f ω _k ], [Φ _n ]

où B _n est la clôture de Zariski du bord de Φ _n .

(25)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit shuffle

Soit β : M _0,n+m+3 → M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7→ (0, z ₁ , . . . , z _n , 1, ∞)×

(0, z _n+1 , . . . , z _n+m , 1, ∞).

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être déduit du changement de variables :

Z

Φ _n ×Φ m

ω f _k ∧ ω e _l = Z

β ⁻¹ (Φ _n ×Φ m )

β ^∗ ( ω f _k ∧ ω e _l ).

(26)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Coordonnées cubiques

Les coordonnées cubiques sur M _0,r ₊₃ sont définies par u ₁ = t _r , u ₁ u ₂ = t _r ₋₁ , . . . , u ₁ · · · u _r = t ₁ .

Soit δ : M _0,n+m+3 → M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par : (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7−→ (0, z _m+1 , . . . , z _m+n , 1, ∞)×

(0, z ₁ , . . . , z _m , z _m+1 , ∞).

Proposition

Le produit de mélange stuffle peut être peut être déduit du changement de variables :

Z

Φ _n ×Φ m

ω _k ∧ ω _l = Z

δ ⁻¹ (Φ _n ×Φ m )

δ ^∗ (ω _k ∧ ω _l )

avec ω _k = f _k (u ₁ , . . . , u _n ) d ⁿ u et ω _l = f _l (u _n+1 , . . . , u _n+m ) d ^m u.

(27)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Remarque

La décomposition de Cartier ne reste pas (d’un point de vue algébrique) dans les espaces de module de courbes.

En effet, des formes différentielles qui ne sont pas

holomorphes à l’intérieur de l’espace de modules apparaissent.

Par exemple dans la décomposition du produit f _2,1 (u ₁ , u ₂ , u ₃ )f _2,1 (u ₄ , u ₅ , u ₆ ) on trouve le terme

u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ du ₁ du ₂ du ₃ du ₄ du ₅ du ₆ (1 − u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ )(1 − u ₁ u ₂ u ₃ u ₄ u ₅ u ₆ )

qui n’est pas holomorphe sur M _0,9 (mais holomorphe sur Φ ₆ ).

Il faut séparer le diviseur des singularités du bord du domaine d’intégration.

Il faut pouvoir permuter les u _i (ou les x _i ).

(28)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(29)

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : le cas de n = 3

Description de la situation pour M _0,6

Fig. : A ³

éclatement de (0,0,0)

←−−−−−−−−−−

puis de (0,0,z )

Fig. : vers M _0,6

Situation symétrique en les x _i

Fig. : vers X ₃

(30)

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig. : A ³

(31)

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig. : A ³

On doit donc éclater un point,

3 lignes,

3 courbes hyperboles.

(32)

Double mélange, éclatements et M 0,n

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

Stratégie : cas général

Construction deX_n Stuffle et motifs de Tate mixtes

En cours de rédaction et projets

Stratégie : cas général

Ce que l’on veut

On cherche à obtenir pour chaque uplet k (k ₁ > 2) et pour toute permutation s un motif de Tate mixte encadré

h

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b _n \ ( A b ^s _k ∩ B b _n )); [ω _k,s ]; [ C b _n ] i

on notera B ^A pour B \ (A ∩ B)

X _n est une variété issue d’une suite d’éclatements p _n : X _n −→ A ⁿ .

X _n admet une action du groupe symétrique correspondant « à la permutation des variables x _i . »

A b ^s _k est le diviseur des singularités de ω _k,s pull-back sur X _n de f _k (x _s ) d ⁿ x .

B b _n est la clôture de Zariski du bord de C b _n préimage du cube [0, 1] ⁿ .

A b ^s _k n’intersecte pas le bord de C b _n .

A b ^s _k ∪ B b _n est un diviseur à croisements normaux (d.c.n).

(33)

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : obtenir un motif de Tate mixte

Considérons :

M une variété quasi-projective (dim. n, def. sur Q ).

D = A ∪ B un diviseur à croisements normaux à composantes irréductibles lisses, A et B sans composantes irréductibles

communes.

M ainsi que chaque composante irréductible de A _I ∩ B _J est une variété de Tate (leur motif est ⊕ _i Q (m _i )[n _i ]) .

Sous ces hypothèses, on a :

Théorème (Goncharov [Gon02])

On a un motif de Tate mixte

H ⁿ (M \ A; B \ (B ∩ A))

dont la réalisation de Hodge est le groupe de cohomologie relative

correspondant.

(34)

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

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Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : cas général

Situation de départ

On a les diviseurs suivants de A ⁿ :

pour I ⊂ [[1, n]] A _I : 1 − Y

i∈I

x _i = 0.

Un ensemble de strates :

D = {comp. irr. de A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k tel que I _j ⊂ [[1; n]]}

Étapes

1 Construire p _n : X _n −→ A ⁿ ainsi que D b _n ¹ d.c.n. au-dessus de

∪A _I .

2 Décrire les formes ω _k,s = p _n ^∗ (f _k (x _s ) d ⁿ x ) et leurs comportements vis à vis de C b _n .

3 Vérifier que X _n et les strates de D b _n sont des variétés de Tate.

4 Obtenir un motif de Tate mixte encadré associé à ζ (k) et X _n .

(35)

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

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Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Construction des espaces X _n

Théorème (Hu [Hu03])

Soit X ₀ ouvert de X lisse avec X \ X ₀ = ∪ _i∈I D _i tel que D _i fermée, lisse irréductible ;

D _i et D _j se rencontrent proprement avec D _i ∩ D _j = ∅ ou ∪D _r . En posant D = {D _i } _i∈I , il existe alors une suite d’éclatements

Bl _D X → Bl _D ₆ _k ₋₁ X → · · · → Bl _D ₆ ₀ X → X telle que Bl _D X soit lisse et (Bl _D X ) \ X ₀ = S

i∈I f D _i soit un diviseur à croisements normaux ;

Il faut adapter le théorème au cadre des motifs de Tate mixtes.

Proposition ([Sou09])

Soit X et D = ∪D _i comme précédemment. Supposons de plus que X ainsi que tous les D _i sont des variétés de Tate.

Alors Bl _D X ainsi que tous les intersections des f D _i sont des

variétés de Tate.

(36)

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Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Construction des espaces X _n

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A _I = {1 − Q

i ∈I x _i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅ D _n ¹ = [

I

A _I = [

i

{x _i = 1} [

( [

I , |I | > 2

A _I )

Lemme ([Sou09])

Soit I ₁ , . . . I _k des sous ensemble des [[1, n]]. L’intersection A _I ₁ ∩ A _I ₂ ∩ · · · ∩ A _I _k est isomorphe à

A ^r × G ^m ^s × Y

{x ^e ⁱ = 1}.

Construction de X _n

La variété X _n −→ ^p ⁿ A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {comp. irr. de A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k tel que I _j ⊂ [[1; n]]}

En particulier X _n \ D b _n ¹ ' A ⁿ \ D _n ¹ et D b _n ¹ est un d.c.n.

Géometrie des relations de double mélange

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Géometrie des relations de double mélange

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire Claude Chevalley

25 mars 2010

Double mélange, éclatements et M 0,n

I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle)

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin

5 En cours de rédaction et projets

Double mélange, éclatements et M 0,n

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Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n 1 >...>n p >0

1

n 1 k 1 · · · n k p p .

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

Double mélange, éclatements et M 0,n

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Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n 1 >...>n p >0

1

n 1 k 1 · · · n k p p .

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k 1 , · · · , k p ) = Z

Φ n

ω k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k 1 , · · · , k p ) :

ζ M fr .M 0,n+3 (k 1 , · · · , k p ) =

H n M 0,n+3 \ A k ; B n A k

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

n ₁ >...>n _p >0

n ₁ ^k ¹ · · · n ^k _p ^p .

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

n ₁ >...>n _p >0

n ₁ ^k ¹ · · · n ^k _p ^p .

D’une part ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ _n

ω _k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ω _k ], [Φ _n ] .

on notera B ^A pour B \ (A ∩ B)

Soit k, l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 alors ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M _0,m+3 (l) = X

ζ _M ^fr ^.M _0,n+m+3 (σ)

et ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

ζ _M ^fr ^.M

Observer les similitudes de stuffle et shuffle sur M _0,n+m+3 . Problèmes pour passer aux motifs dans le cas du stuffle.

Construire une famille de variétés X _n compatible aux symétries du stuffle et simple d’un point vue des motifs.

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

Éclatements, construction de X _n et stratification Le mélange contractant est motivique

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité