ECE 2 MATHEMATIQUES DS 7 - durée : 2h
2 mars 2021
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Soitf la fonction définie surR2par f(x, y) = 2x2+ 2y2+ 2xy−x−y.
1. Justifier quefest de classeC2surR2.
2. a. Calculer les dérivées partielles premières def. b. En déduire que le seul point critique def estA=
1 6,1
6
. 3. a. Calculer les dérivées partielles secondes def.
b. Montrer quef présente un extremum local enA(en précisant lequel) et donner la valeurM de cet extremum.
4. a. Développer b(x, y) = 2
x+y 2 −1
4 2
+3 2
y−1
6 2
. b. En déduire queM est un extremum global def surR2.
5. On considère la fonction g définie surR2par g(x, y) = 2e2x+ 2e2y+ 2ex+y−ex−ey. a. Utiliser la question4.pour établir que ∀(x, y)∈R2, g(x, y)≥ −1
6.
b. En déduire quegpossède un minimum global surR2et préciser en quel point celui-ci est atteint.
Exercice II.
Partie A. Étude d’une variable aléatoire
On considère la fonctionf définie surRpar f(t) = e−t (1 +e−t)2. 1. Etudier la parité def surR.
2. Montrer quef est une densité d’une variable aléatoire réelle.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoire réelleXà densité, de densitéf. 3. Déterminer la fonction de répartition deX.
Partie B. Étude d’une convergence en loi
On considère une suite de variables aléatoires réelles(Xn)n∈N∗, mutuellement indépendantes, de même densité f, oùf a été définie dans la partie I.
On pose, pour toutndeN∗, Tn= max(X1, . . . , Xn) et Un=Tn−ln(n).
1. a. Déterminer la fonction de répartition deTn. b. En déduire que ∀n∈N∗, ∀x∈R, FUn(x) =
1 +e−x n
−n
.
2. En déduire que la suite de variables aléatoires(Un)n∈N∗ converge en loi vers une variable aléatoire U, dont on montrera qu’elle est à densité, et dont on précisera la fonction de répartition et une densité.
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ECE 2 MATHEMATIQUES DS 7 - durée : 2h
2 mars 2021
Exercice III.
Dans cet exercice,θdésigne un réel strictement positif etnun entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour toutkdeN, on pose uk= 1 1 +θ
θ 1 +θ
k
. 1. Montrer que la suite(uk)k∈
Ndéfinit bien une loi de probabilité.
On considère maintenant une v.a.Xà valeurs dansN, et dont la loi est donnée par ∀k∈N, P(X=k) =uk. 2. a. On poseY =X+ 1. Reconnaître la loi deY, puis en déduire l’espérance et la variance deX.
b. Compléter le programme suivant pour qu’il simule la loi d’une variable aléatoireX.
theta=input(’entrez theta’) y=...
while rand()>...
y=...
end x=...
disp(x)
3. Dans cette question, on souhaite estimer le paramètreθpar la méthode du maximum de vraisemblance.
Pour ce faire, on considère un échantillon (X1, X2, . . . , Xn) composé de variables aléatoires indépen- dantes ayant toutes la même loi queX, et on intoduit la fonctionL, deR∗+dansR, définie par :
∀θ∈R∗+, L(θ) =
n
Y
k=1
P(Xk=xk)
oùx1, x2, . . . , xndésignent des entiers naturels éléments deX(Ω).
L’objectif est de choisir la valeur deθqui rendL(θ)maximale.
a. Ecrireln(L(θ))en fontion deθet deSn=
n
X
k=1
xk.
b. On considère la fonctionϕ, définie par ∀θ∈]0; +∞[, ϕ(θ) =Snlnθ−(Sn+n) ln(1 +θ).
Montrer queϕadmet un maximum, atteint en un seul réel que l’on noteraθˆnet que l’on exprimera en fonction deSn. Que représenteθˆnpour la fonctionL?
On pose dorénavant Tn= 1 n
n
X
k=1
Xk, v.a. appelée estimateur du maximum de vraisemblance pourθ.
Dans les questions qui suivent, les calculs devront être détaillés.
c. Vérifier queTnest un estimateur sans biais deθ.
d. Calculer le risque quadratiquerθ(Tn).Tnest-il un estimateur convergent deθ? e. On suppose pour cette question seulement, que l’on a déjà observé que 0< θ610.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer un intervalle de confiance de niveau de confiance 95% pourθ.
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