DS 01 Corrigé : Mercatique (ou TCF)

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TM1 TM2 Devoir de mathématiques (3 heures) Calculatrice autorisée

Exercice I (7 points)

Le tableau suivant donne le chiffre d’affaire, en millions d’euros, d’une entreprise pour quatre années consécutives.

Rang de l'année: 1 2 3 4

Chiffre d'affaire en millions d'euros: 64,34 69,07 74,84 80,94

1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série ( ; ) dans un repère orthogonal.

L’allure du nuage justifie-t-elle l'ajustement du nuage par une droite ? 2. Calculer les coordonnées du point moyen G. Le placer sur le graphique.

3. On désigne par A et B les points de coordonnées (1 ; 64,34) et (4 ; 80,94). Dans cette question on décide de prendre comme droite d'ajustement du nuage la droite (AB).

Tracer la droite (AB) sur le graphique.

a. Déterminer une équation de la droite (AB) sous la forme y=ax b+ (arrondir a et b à 10^-²).

b. Déterminer graphiquement une prévision du chiffre d'affaires pour l'année de rang 7 (arrondir au million d’euros)

c. Retrouver ce résultat par le calcul et comparer.

4a. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés sous la forme y = ax + b (arrondir a et b au centième).

4b. Déduire du 4a) une prévision du chiffre d'affaires pour l'année de rang 7 (en million d’euros).

5. Comparer les deux valeurs obtenues aux questions 3 et 4, qu’en pensez vous ?

Exercice II (5 points).

Entre le 10 janvier 2008 et le 10 octobre 2008, le CAC 40 a baissé de 37,71% pour passer à un indice de 3442,7.

1. Quel était l’indice du CAC 40 le 10 janvier 2008 ?

2. Déterminer la baisse mensuelle moyenne entre le 10/01/08 et le 10/10/08, arrondir à 0,01%.

3. Si cette évolution se poursuit, donner la valeur de l’indice du CAC le 10/01/09 (arrondir à 0,01).

4. Une étude plus précise montre que le 10/03/08, le CAC 40 avait un indice de 4570.

a.Déterminer alors la hausse globale entre le 10/03/2008 et le 10/10/08.

b. En déduire la baisse moyenne mensuelle durant cette période.

Exercice III (3 points).

Dans une entreprise on a relevé les productions annuelles, calculé leurs variations d’une année sur l’autre, et on a obtenu les résultats suivants :

année 2001 2002 2003 2004 2005

production 25000 32500 35815

variation annuelle réelle -9750

taux d'évolution annuel +25%

indice 100

1. Recopier et compléter le tableau.

2. La plus forte variation relative (en pourcentage) correspond-elle à la plus forte variation de production en grandeur réelle ? Expliquer.

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Exercice IV (5 points) : Centres Etrangers 2007.

Le tableau suivant montre l’évolution du nombre d’écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France.

Année 1980 1990 1997 2001 2004

Rang de l’année : 0 10 17 21 24

Nombre d’écoles : 68839 64223 60196 58367 56628

Dans l’exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis avec deux chiffres apres la virgule.

Partie A

1. Calculer le taux d’évolution global du nombre d’écoles en France entre les années 1980 et 2004

2. a. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée du réel α tel que : ⁷ 56628 60196 α =

b. En déduire le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’écoles en France entre les années 1997 et 2004.

3. En admettant qu’à partir de l’année 2004 le taux d’évolution annuel est de -1%, quelle estimation, à l’unité près, peut-on faire du nombre d’écoles en France en 2008 ?

Partie B

On envisage un autre modèle pour prévoir l’évolution du nombre d’écoles en France. Pour cela on a réalisé ci-dessous le nuage de point ^{M x y}

(

ⁱ^; ⁱ

)

de la série.

1. Pourquoi un ajustement affine de ce nuage est-il envisageable ?

2. Déterminer, à l’aide de la droite des moindres carrés, une droite d’ajustement du nuage.

3. Par cet ajustement affine, calculer la nouvelle estimation, à l’unité près, du nombre d’écoles en France en 2008.

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Corrigé du Ds de Mathématiques

Exercice I (7 points)

Le tableau suivant donne le chiffre d’affaire, en millions d’euros, d’une entreprise pour quatre années consécutives.

Rang de l'année: 1 2 3 4

Chiffre d'affaire en millions d'euros: 64,34 69,07 74,84 80,94

1. (Voir figure) Oui, l’allure du nuage justifie-t-elle l'ajustement du nuage par une droite puisque les 4 points sont à peu prés alignés.

2. Les coordonnées du point moyen G sont (moyenne des x ;moyenne des y). On a donc G(2.5; 72.2975). 3. On désigne par A et B les points de coordonnées (1 ; 64,34) et (4 ; 80,94). Dans cette question on décide de prendre comme droite d'ajustement du nuage la droite (AB) (voir figure).

3a. L’équation de la droite (AB) est sous la forme y=ax b+ :

on a, d’après la formule sur le coefficient directeur, 80.94 64.34 4 1 5.53

B A

y y

a x x

− −

= = ≈

− − .

D a donc une équation du type y = 5.53x + b. Comme le point A(1 ;64.34) est dur D, ses coordonnées vérifient l’équation de la droite et on a : 64.34=5.53 1× + ⇔ =b b 64.34 5.53− =58.81.

L’équation de la droite d’ajustement est donc y=5.53x+58.81.

3b. Graphiquement, pour x = 7, on lit que y vaut environ 97.3 ce qui correspond à un CA d’environ 97 millions d’euros.

3c. Comme y=5.53x+58.81, pour x = 7 on trouve y=5.53 7 58.81× + =97.52 soit environ 98 millions d’euros, ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

4a. Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est y = 5.56x + 58.41.

4b. Comme en 3c, on trouve y = 5.56*7 + 58.41 = 97.33 soit environ 97 millions d’euros.

5. Ces deux valeurs sont très proches, les deux ajustements sont cohérents. Comme ce ne sont que des estimations, on obtient cependant des valeurs différentes.

2 3 4 5 6 7

67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

610 1

63 65

x y

A

B

(4)

Exercice II (5 points).

Entre le 10 janvier 2008 et le 10 octobre 2008, le CAC 40 a baissé de 37,71% pour passer à un indice de 3442,7.

1. D’après l’énoncé, on a 10 / 2008

( )

01/ 2008 01/ 2008 01/ 2008 01/ 2008

3442.7

1 37.71% 0.6229 3442.7 0.6229

0.6229

I = − ×I = ×I ⇔ = ×I ⇔I =

soit un indice de 5526.89 en janvier 2008.

2. Entre octobre et janvier, il y a 9 évolutions (10-1) donc on a

( )

¹⁺^t ⁹ ⁼^0.6229^{⇔ =}^t ^0.6229¹⁹ ^{− ≈ −}¹ ^5.12%^.

La baisse mensuelle moyenne entre le 10/01/08 et le 10/10/08, est donc de 5.12%.

3. Le 10/01/09, c’est 3 mois après le 10/10/08 ! Comme la baisse mensuelle moyenne est de 5.12%, on peut estimer l’indice en 01/2009 à

5.12 3

3442.7 1 2940.51

100

 

× −  =

  .

4. Une étude plus précise montre que le 10/03/08, le CAC 40 avait un indice de 4570.

4a. On a donc 10 / 03 / 08 10 /10 / 08

4570 3442.7

→

→ et le taux d’évolution est donc de ^3442.7 ⁴⁵⁷⁰ 24.67%

t= 4570− ≈ − de baisse globale.

4b. Comme précédemment, on a

( )

¹⁺^t ⁷ ⁼^0.7533^{⇔ =}^t ^0.7533¹⁷ ^{− ≈ −}¹ ^3.97%^.

Exercice III (3 points).

Dans une entreprise on a relevé les productions annuelles, calculé leurs variations d’une année sur l’autre, et on a obtenu les résultats suivants :

année 2001 2002 2003 2004 2005

production 25000 32500 40625 30875 35815

variation annuelle réelle +7500 8125 -9750 4940

taux d'évolution annuel +30% +25% -24% +16%

indice 100 130 125 123.5 143.26

2. La plus forte variation relative (en pourcentage) correspond-elle à la plus forte variation de production en grandeur réelle ?

Non, la plus forte variation relative (+30%) correspond à une variation de production de 7500 unités, alors que la plus forte variation de production est de 8125.

Par exemple si un prix passe de 1€ à 10€, il a augmenté de 9€ mais de 900% par rapport à son prix initial (1€).

S’il augmente encore de 9€, sa variation relative est alors de 90% seulement alors qu’il a encore augmenté de 9€…

En quelque sorte, la variation relative dépend beaucoup plus de la valeur initiale que la variation absolue (ou réelle).

Tournez la page SVP Exercice IV (5 points) : Centres Etrangers 2007.

A1. Le taux global d’évolution est donné par 56628 68839 68839 0.18

f i

V V

t Vi

− −

= = ≈ − , soit une baisse d’environ 18%.

A2a. On cherche a tel que ⁷ ⁵⁶⁶²⁸ 68839

a = : d’après le cours,

1

56628 7

68839 0.97

a  

=  ≈

  .

A2b. Entre 1997 et 2004, il y a 7 évolutions successives : le schéma associé (voir cours si nécessaire) est donc de la forme :

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

97 98 2003 2004

60196 .. ... .. 56628

t t t t

Nbre _{× +} Nbre _{× +} _{× +} Nbre _{× +} Nbre

→ → → → où t représente le taux d’évolution annuel

(5)

moyen.

On a donc ⁶⁰¹⁹⁶^{× +}

( )

¹ ^t ⁷⁼⁵⁶⁶²⁸ et par conséquent

( )

¹⁺^t ⁷ ⁼⁵⁶⁶²⁸₆₈₈₃₉^.

D’après le A2a, on a donc

1

56628 7

1 0.97

68839

t  

+ =  ≈

  soit t = -0,03 (baisse annuelle moyenne de 3%).

A3. Entre 2004 et 2008, il y aura 4 évolutions donc le nombre d’écoles en 2008 peut être estimé par :

( )

⁴

56628× −1 0, 01 ≈54397.

B1. Un ajustement affine est envisageable car les points du nuage sont à peu prés alignés.

B2. L’année 2004 est de rang 24 donc 2008 est de rang 28 : comme y= −510, 6x+69003, on peut estimer qu’en 2008 il y aura : y= −510, 6 28 69003× + ≈54706 écoles, ce qui est relativement cohérent avec l’estimation précédemment faite.