Matrices
Cours de É. Bouchet ECS1 20 novembre 2020
Table des matières
1 Ensemble de matricesMn,p(K) 2
1.1 Premières dénitions . . . 2 1.2 Matrices carrées . . . 3
2 Opérations dansMn,p(K) 4
2.1 Addition de matrices et multiplication par un scalaire . . . 4 2.2 Produit matriciel . . . 5
3 Inversibilité d'une matrice carrée 8
3.1 Inversibilité d'une matrice de taille2 . . . 8 3.2 Inversibilité d'une matrice : cas général . . . 9 3.3 Méthode du Pivot de Gauss . . . 9
Dans tout le chapitre,n,p,q désignent des éléments deN∗ etK désigne l'un des ensemblesR ouC.
1 Ensemble de matrices M
n,p(K)
1.1 Premières dénitions
Une matrice ànlignes etp colonnes (ou matrice de taille n×p) à coecients dansK est un tableau àn lignes et p colonnes d'éléments deK. SiA est une telle matrice, on note aij le terme de la i-ième ligne et j-ième colonne :
A=
a11 a12 .. .. .. a1p
.. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. ..
ai1 ai2 .. .. .. aip .. .. .. .. .. ..
an1 an2 .. .. .. anp
L'ensemble des matrices à nlignes etp colonnes est noté Mn,p(K). Dénition (Matrice).
On écrit
A= (aij)16i6n,16j6p
ou plus simplementA= (aij) quand il n'y a pas d'ambiguïté.
Remarque. Quelques cas particuliers importants :
si p=n,Aest appelée matrice carrée d'ordre n et on note A∈ Mn(K). si n= 1,A est appelée matrice ligne ou vecteur ligne.
si p= 1 ,Aest appelée matrice colonne ou vecteur colonne.
si n= 1 etp= 1,A est souvent confondue avec le nombrea11∈K.
SoitA= (aij)16i6n,16j6p etB = (bkl)16k6n,16l6p deux matrices deMn,p(K). On dit que les deux matrices A etB sont égales et on noteA=B lorsque pour tout(i, j)∈[[1, n]]×[[1, p]],aij =bij.
Dénition (Égalité de deux matrices).
Soit A = (aij)16i6n,16j6p une matrice de Mn,p(K). La matrice transposée de A est la matrice de Mp,n(K) notéetAqui vérie :
tA= (aji)16i6n,16j6p
Dénition (Transposée).
Exemple 1. t
1 2 1 0 3 5
=
1 0 2 3 1 5
,t
1 2 0 1
=
1 0 2 1
.
1.2 Matrices carrées
Soit A∈ Mn(K) une matrice carrée d'ordren. On dit que :
A est une matrice triangulaire supérieure lorsque pour tout(i, j)∈[[1, n]]2, i > j =⇒aij = 0.
A est une matrice triangulaire inférieure lorsque pour tout(i, j)∈[[1, n]]2, i < j =⇒aij = 0.
A est une matrice diagonale lorsque pour tout(i, j)∈[[1, n]]2 , i6=j=⇒aij = 0.
On note alors parfoisA=Diag(a11, a22, ..., ann).
La matrice identité deMn(K) est la matrice diagonaleIn=Diag(1,1, . . . ,1). Dénition (Matrices triangulaires).
Exemple 2. On a :
1 2 1 0 0 5 0 0 3
est une matrice triangulaire supérieure.
1 0 0 0 0 0 0 0 3
= Diag(1,0,3) est une matrice diagonale.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=I3
Soit A∈ Mn(K) une matrice carrée d'ordren. On dit que :
A est une matrice symétrique lorsquetA=A, c'est-à-dire pour tout (i, j)∈[[1, n]]2, aij =aji.
A est une matrice antisymétrique lorsque tA=−A , c'est-à-dire pour tout (i, j)∈[[1, n]]2, aij =−aji.
Dénition (Matrices symétriques, antisymétriques).
Exemple 3. On a :
1 2 1 2 0 5 1 5 3
est une matrice symétrique.
0 2 1
−2 0 −5
−1 5 0
est une matrice antisymétrique.
2 Opérations dans M
n,p(K)
2.1 Addition de matrices et multiplication par un scalaire
Soit A= (aij)16i6n,16j6p etB = (bkl)16k6n,16l6p deux matrices deMn,p(K). La somme deA et B est la matrice de Mn,p(K) dénie par A+B = (cij)16i6n,16j6p avec pour tout(i, j)∈[[1, n]]×[[1, p]],
cij =aij+bij. Dénition (Addition de matrices).
Exemple 4. On a : 1 0 1
2 0 1
+
3 5 0 2 0 1
=
4 5 1 4 0 2
Remarque. SoitA,B etC des matrices deMn,p(K). L'addition est une opération interne dansMn,p(K)qui vérie : 1. A+ (B+C) = (A+B) +C,
2. A+B=B+A,
3. A+ 0 = 0 +A=A en notant0 la matrice deMn,p(K) dont tous les termes sont nuls.
4. A+ (−A) = (−A) +A = 0 en notant −A la matrice de Mn,p(K) dont le terme de la i-ième ligne et j-ième colonne est −aij.
Remarque. La transposée de la somme est la somme des transposées.
Soit A= (aij)16i6n,16j6p une matrice deMn,p(K). La multiplication externe du scalaireα par la matrice A, est la matrice de Mn,p(K) dénie parα.A= (cij)16i6n,16j6p avec pour tout (i, j)∈[[1, n]]×[[1, p]],
cij =α.aij. Dénition (Multiplication d'une matrice par un scalaire).
Exemple 5. On a : 2·
1 3 0 2 1 0
=
2 6 0 4 2 0
Remarque. Soitα et β des éléments deK, et A etB des matrices de Mn,p(K). La multiplication d'un scalaire par une matrice est dénie deK× Mn,p(K) dansMn,p(K)et vérie :
1. α.(A+B) =α.A+α.B, 2. (α+β).A=α.A+β.A, 3. α.(β.A) = (αβ).A, 4. 1.A=A.
L'ensemble Mn,p(K), muni de l'addition de deux matrices et de la multiplication d'un scalaire par une matrice, est unK-espace vectoriel.
Proposition.
2.2 Produit matriciel
Soit A∈ Mn,p(K)etB ∈ Mp,q(K)deux matrices. On appelle produit des matrices AetB et on noteAB la matrice C= (cij)∈ Mn,q(K) qui vérie : pour tout(i, j)∈[[1, n]]×[[1, q]],
cij =
p
X
k=1
aikbkj. Dénition (Produit de matrices).
Exemple 6. PosonsA=
3 2 6
0 −1 4 1 −3 3
4 4 0
etB=
1 2
0 −5
−3 3
. AlorsAB∈M4,2(R). Le calcul deAB se fait comme suit :
1 2
0 −5
−3 3
3 2 6
0 −1 4
1 −3 3
4 4 0
∗∗ ∗∗
∗∗ ∗∗
∗∗ ∗∗
∗∗ ∗∗
On trouve : AB =
−15 14
−12 17
−8 26 4 −12
Remarque. Pour tout A∈ Mn,p(K),B ∈ Mp,q(K), le produit matriciel AB correspond à la succession des produit de la matriceA par les vecteurs colonnes de la matriceB.
Le produit de matrices vérie les propriétés suivantes :
1. Pour tout (A, B)∈(Mn,p(K))2 etC∈ Mp,q(K),(A+B)C =AC+BC, 2. Pour tout A∈ Mn,p(K) et(B, C)∈(Mp,q(K))2,A(B+C) =AB+AC, 3. Pour tout A∈ Mn,p(K),B ∈ Mp,q(K) etα∈K,A(α.B) =α.(AB) = (α.A)B, 4. Pour tout A∈ Mn,p(K),B ∈ Mp,q(K) etC∈ Mq,r(K),(AB)C=A(BC), 5. Pour tout A∈ Mn,p(K),InA=AIp =A.
Proposition (Propriétés du produit matriciel).
Démonstration. On va montrer le premier résultat, les autres se montrent de la même façon. On noteA= (aij)16i6n,16j6p
B = (bij)16i6n,16j6p etC = (cij)16i6p,16j6q. Alors le terme en i∈[[1, n]]et j∈[[1, q]] de(A+B)C est par dénition de la somme et du produit matriciel :
p
X
k=1
(aik+bik)ckj =
p
X
k=1
aikckj+
p
X
k=1
bikckj.
Or, ce nouveau terme est le terme eni∈[[1, n]] etj∈[[1, q]] de AC+BC. D'où le résultat.
Remarque. Pour toutA, B∈ Mn(K), les deux produitsABetBAsont possibles. ATTENTION : dans le cas général, AB6=BA.
Exemple 7. SoitA=
1 1 0 0
etB =
1 2
−1 −2
. Alors :
AB=
0 0 0 0
BA=
1 1
−1 −1
Notons au passage qu'on peut donc trouverA etB deux matrices non nulles de Mn(K)telles queAB= 0.
Dans Mn(K),
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.
Le produit de deux matrices A = Diag(a1, a2, . . . , an) et B = Diag(b1, b2, . . . , bn) est la matrice diagonaleAB=Diag(a1b1, a2b2, . . . , anbn).
Proposition (Produit de matrices triangulaires).
Démonstration. Soit A = (aij)16i6n,16j6n et B = (bij)16i6n,16j6n deux matrices triangulaires supérieures. Notons C=AB, avecC = (cij)16i6n,16j6n. Par dénition du produit matriciel, pour tout (i, j)∈[[1, n]]2,
cij =
n
X
k=1
aikbkj.
Soit i et j deux entiers tels que i > j. Alors si k < i, aik = 0, et si k > j, bkj = 0. Donc aikbkj = 0 pour tous les termes de la somme. Donccij = 0. DoncC est triangulaire supérieure.
On montre de même le résultat sur les matrices triangulaires inférieures.
Pour le résultat sur les matrices diagonales, par ce qui précède, il est direct que le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. Il sut donc de calculer les termes diagonaux. Soitiun entier,aikbki = 0sik > iouk < i. Donccii=aiibii.
Pour tout (A, B)∈(Mp(K))2 tels queAB=BAet pour tout entier naturel m,
(A+B)m=
m
X
k=0
m k
AkBm−k,
où Ak est la matriceAA . . . A
| {z }
kfois
produit matriciel de A par elle-même kfois, avec la conventionA0 =Ip. Théorème (Formule du binôme de Newton).
Remarque. Attention à ne pas oublier la conditionAB=BA, qui ne gurait pas dans la formule pour les réels ! Exemple 8. SiAB6=BA, que vaut (A+B)2?
On trouve en développant(A+B)2 = (A+B)(A+B) =A2+AB+BA+B2.
Démonstration. (démonstration à connaître) Soit m∈N. On pose P(m) = (A+B)m =Pm k=0
m k
AkBm−k. (A+B)0=Ip etP0
k=0 0 k
AkB−k= 1IpIp =Ip donc P(0)est vraie.
Soit m un entier naturel xé. On suppose queP(m) est vraie. Alors : (A+B)m+1 = (A+B)
m
X
k=0
m k
AkBm−k parP(m)
=
m
X
k=0
m k
Ak+1Bm−k+
m
X
k=0
m k
BAkBm−k en développant
=
m
X
k=0
m k
Ak+1Bm−k+
m
X
k=0
m k
AkBm−k+1 carAB=BA
=
m+1
X
i=1
m i−1
AiBm−i+1+
m
X
k=0
m k
AkBm−k+1 en posanti=k+ 1
=Am+1+Bm+1+
m
X
k=1
m k−1
+
m k
AkBm−k+1 en séparantk= 0, m+ 1
=Am+1+Bm+1+
m
X
k=1
m+ 1 k
AkBm−k+1 par la formule de Pascal
=
m+1
X
k=0
m+ 1 k
AkBm−k+1
DoncP(m+ 1)est vraie. D'où le résultat annoncé.
Exemple 9. Soitn∈N∗ etA= 2 3
0 2
. CalculerAn. On pourrait commencer par calculerA2 =
4 12 0 4
puis éventuellement A3 etA4 pour former une conjecture mais ce n'est pas particulièrement concluant dans ce cas particulier (le coecient en haut à droite est trop dicile à conjecturer).
On remarque par contre queA= 2I2+ 3J, avec J = 0 1
0 0
. On connaît les puissances deI2.
On trouve par calcul queJ2 = 02 et donc ∀k>2Jk= 02. De plus2I23J = 6J = 3J2I2 donc ces matrices commutent.
On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton :∀n>1, An=
n
X
k=0
n k
(3J)k(2I2)n−k=
n
X
k=0
n k
3k2n−kJk= 1×302nI2+n×312n−1J+ 02 =
2n 3n2n−1 0 2n
.
Pour tout A∈ Mn,p(K) etB ∈ Mp,q(K), on a :
t(AB) = tB tA.
Proposition (Transposée du produit).
Démonstration. (démonstration à connaître) On note A= (aij)16i6n,16j6p tA= (a0ij)16i6p,16j6n B = (bij)16i6p,16j6q tB = (b0ij)16i6q,16j6p AB= (cij)16i6n,16j6q t(AB) = (c0ij)16i6q,16j6n et tBtA= (dij)16i6q,16j6n.
Par propriétés de la transposée, pour les valeurs de iet j pour lesquelles les coecients sont bien dénis, a0ij =aji, b0ij =bji etc0ij =cji .
La formule du produit matriciel donne alors, pour touti∈[[1, q]] etj∈[[1, n]], c0ij =cji=
p
X
k=1
ajkbki =
p
X
k=1
b0ika0kj =dij.
Donc pour tout i ∈ [[1, q]] et j ∈ [[1, n]], c0ij = dij, c'est-à-dire t(AB) = tB tA puisque tous leurs coecients sont égaux.
3 Inversibilité d'une matrice carrée
3.1 Inversibilité d'une matrice de taille 2
SoitAune matrice carrée deM2(K). On dit queAest inversible quand il existe une matriceB deM2(K) telle que :
AB=BA=I2. Cette matrice est alors unique et on noteB =A−1.
Dénition (Matrice inversible).
Remarque. On admet qu'il sut de vérier une seule des deux conditionsAB=I2 etBA=I2.
Démonstration. Montrons l'unicité. Supposons que B etC sont deux matrices qui conviennent. Alors AB=I2, donc par produit avecC,CAB=C. Or CA=I2. DoncB =C, d'où l'unicité.
Soit (a, b, c, d)∈K4. La matriceA=
a b c d
est inversible si et seulement si ad−bc6= 0et on a alors
A−1 = 1 ad−bc·
d −b
−c a
. Théorème (Inverse d'une matrice de taille2).
Démonstration. On admet que la matrice n'est pas inversible quand ad−bc= 0. Quandad−bc6= 0, il sut de faire le produit :
a b c d
· 1 ad−bc ·
d −b
−c a
= 1
ad−bc
ad−bc −ab+ba dc−dc −bc+da
=I2.
DoncAest inversible d'inverse A−1 = 1 ad−bc ·
d −b
−c a
. Exemple 10. On étudie
1 3 0 2
.1×2−0×3 = 26= 0 donc la matrice est inversible et on a :
1 3 0 2
−1
= 1 2
2 −3 0 1
3.2 Inversibilité d'une matrice : cas général
SoitAune matrice carrée deMn(K). On dit queAest inversible quand il existe une matriceB deMn(K) telle que :
AB=BA=In.
Cette matrice est alors unique, et on note B = A−1. L'ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est notéGLn(K).
Dénition (Matrice inversible, cas général).
Remarque. On admet qu'il sut de vérier une seule des deux conditionsAB=In etBA=In. Remarque. L'unicité se montre comme dans le cas des matrices de taille2.
Soit AetB deux matrices deMn(K) inversibles. AlorsAB est inversible, et son inverse est donné par : (AB)−1=B−1A−1.
Proposition (Inverse du produit).
Démonstration. (démonstration à connaître) On a(B−1A−1)(AB) =B−1InB =B−1B=In. Donc AB est inversible d'inverseB−1A−1.
Soit Aune matrice de Mn(K) inversible. Alors tA est inversible, et son inverse est donné par :
tA−1
= t(A−1).
Proposition (Inverse de la transposée).
Démonstration. On a t(A−1)tA= t AA−1
= tIn=In. DonctAest inversible, d'inverse t(A−1).
3.3 Méthode du Pivot de Gauss
La détermination de l'inversibilité d'une matrice carréeAet (quand elle est inversible) le calcul de l'inverse se font par la méthode du Pivot de Gauss. Cette méthode consiste à eectuer des opérations dites élémentaires sur les lignes de AetIn jusqu'à obtenir l'inverse éventuel de la matrice A.
Le point de départ est l'égalitéA=InA, qu'on modie en raisonnant par équivalences jusqu'à obtenir une égalité du typeIn=BA. On a alors A−1=B.
Les seules transformations élémentaires autorisées sur les lignes de chaque matrice sont : 1. la permutation de deux lignes, que l'on note : Li ←→Lj.
2. la combinaison linéaire de deux lignes, avecα∈K∗ etβ ∈K, que l'on note :Li←−αLi+βLj. Dénition (Opérations élémentaires autorisées pour le pivot de Gauss).
Remarque. Attention, dans le cas d'une combinaison linéaire, il est nécessaire de vérier queα6= 0.
Les premières opérations élémentaires sur les lignes de chaque matrice sont choisies pour obtenir une matrice triangu- laire (en général triangulaire supérieure), appelée réduite de Gauss, qui détermine l'inversibilité.
Une matrice carrée AdeMn(K)est inversible si et seulement si ses réduites de Gauss ont tous les termes diagonaux non nuls.
Proposition.
Remarque. Dans le cas d'une matriceA triangulaire, elle est sa propre réduite de Gauss. On peut donc savoir si elle est inversible ou non en regardant les termes sur sa diagonale, sans aucun calcul.
Exemple 11. On considère la matriceA=
1 0 3 2 1 2
−1 1 1
.
A=I3A⇐⇒
1 0 3 2 1 2
−1 1 1
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
A On commence par chercher une réduite de Gauss :
A=I3A⇐⇒ L2 ←−L2−2L1
L3 ←−L3+L1
1 0 3 0 1 −4 0 1 4
=
1 0 0
−2 1 0 1 0 1
A
⇐⇒L3←−L3−L2
1 0 3 0 1 −4 0 0 8
=
1 0 0
−2 1 0 3 −1 1
A
La réduite de Gauss deA est une matrice triangulaire supérieure dont tous les termes diagonaux sont non nuls.A est donc une matrice inversible. On cherche maintenantA−1.
A=I3A⇐⇒ L1 ←−3L3−8L1
L2 ←−L3+ 2L2
−8 0 0 0 2 0 0 0 8
=
1 −3 3
−1 1 1 3 −1 1
A
⇐⇒
L1 ←− −18 L1
L2 ←− 12L2 L3 ←− 18L3
I3 =
−1/8 3/8 −3/8
−1/2 1/2 1/2 3/8 −1/8 1/8
A On peut alors conclure que :
A−1=
−18 38 −38
−12 12 12
3
8 −18 18
.
Exemple 12. On considère la matriceB =
1 0 3
2 1 6
−1 1 −3
.
B=I3B ⇐⇒
1 0 3
2 1 6
−1 1 −3
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
B
On commence par calculer une réduite de Gauss deB :
B =I3B ⇐⇒ L2 ←−L2−2L1
L3 ←−L3+L1
1 0 3 0 1 0 0 1 0
=
1 0 0
−2 1 0 1 0 1
B
⇐⇒L3←−L3−L2
1 0 3 0 1 0 0 0 0
=
1 0 0
−2 1 0 3 −1 1
B
La réduite de Gauss deB est une matrice triangulaire supérieure dont un terme de la diagonale est nul. B n'est donc pas une matrice inversible.
Exemple 13. On considère la matriceC=
0 4 3 1 2 1 3 0 3
.
C=I3C⇐⇒
0 4 3 1 2 1 3 0 3
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
C
On commence par calculer la réduite de Gauss deC : C=I3C⇐⇒L1←→L2
1 2 1 0 4 3 3 0 3
=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
C
⇐⇒L3←−L3−3L1
1 2 1
0 4 3
0 −6 0
=
0 1 0
1 0 0
0 −3 1
C
⇐⇒L2←− 1 4L2
1 2 1
0 1 3/4 0 −6 0
=
0 1 0
1/4 0 0 0 −3 1
C
⇐⇒L3←−L3+ 6L2
1 2 1 0 1 3/4 0 0 9/2
=
0 1 0
1/4 0 0 3/2 −3 1
C
La réduite de Gauss deC n'a aucun zéro sur la diagonale, donc C est inversible. On cherche maintenant C−1.
C =I3C ⇐⇒ L1 ←−L1− 29L3 L2 ←−L2− 16L3
1 2 0 0 1 0 0 0 9/2
=
−1/3 5/3 −2/9 0 1/2 −1/6 3/2 −3 1
C
⇐⇒ L1 ←−L1−2L2 L3 ←− 29L3 I3 =
−1/3 2/3 1/9 0 1/2 −1/6 1/3 −2/3 2/9
C On en déduit que :
C−1 =
−13 23 19
0 12 −16
1
3 −23 29
.
