PRODUIT SCALAIRE– Feuille d’exercices
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Ü DEFINITION AVEC LE PROJETE ORTHOGONAL
Exercice 1 : on considère le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 et de côté 8.
Calculer les produits scalaires suivants :
a) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝑂'''''⃗ b) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐷'''''⃗ c) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐶𝐷'''''⃗ d) 𝐵𝑂'''''⃗. 𝑂𝐷''''''⃗ e) 𝑂𝐵'''''⃗. 𝐷𝑂''''''⃗
On pourra rajouter des projetés orthogonaux sur le dessin pour s’aider.
Exercice A : produit scalaire et projeté orthogonal On considère le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 et de côté 6.
Calculer les produits scalaires suivants : a) 𝐴𝐷'''''⃗. 𝐴𝑂'''''⃗ b) 𝑂𝐵'''''⃗. 𝑂𝐷''''''⃗ c) 𝐵𝑂'''''⃗. 𝐵𝐶'''''⃗
d) 𝐴𝑂'''''⃗. 𝑂𝐶'''''⃗ e) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝑂𝐷''''''⃗
Exercice 2 : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle (avec 𝐴𝐵 = 4 et 𝐴𝐷 = 3) de centre 𝐹 et 𝐸 est le symétrique de 𝐹 par rapport à (𝐵𝐶).
Calculer les produits scalaires suivants : a) 𝐶𝐹'''''⃗. 𝐶𝐷'''''⃗ b) 𝐵𝐴'''''⃗. 𝐵𝐸'''''⃗ c) 𝐴𝐹'''''⃗. 𝐴𝐵'''''⃗
d) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐵𝐸'''''⃗ e) 𝐵𝐹'''''⃗. 𝐷𝐶'''''⃗ f) 𝐴𝐹'''''⃗. 𝐵𝐸'''''⃗
On pourra rajouter des projetés orthogonaux sur le dessin pour s’aider.
Ü DEFINITION AVEC LE COSINUS
Exercice 3 : dans chacun des cas suivants, calculer le produit scalaire de 𝑢'⃗ par 𝑣⃗ : a) ‖𝑢'⃗‖ = 2, ‖𝑣⃗‖ = 3 et (𝑢'⃗; 𝑣⃗) = 60°.
b) ‖𝑢'⃗‖ = 1, ‖𝑣⃗‖ = 4 et (𝑢'⃗; 𝑣⃗) =:; radians.
c) ‖𝑢'⃗‖ = 8, ‖𝑣⃗‖ = √2 et (𝑢'⃗; 𝑣⃗) =;:= radians.
d) ‖𝑢'⃗‖ = 5, ‖𝑣⃗‖ = √3 et (𝑢'⃗; 𝑣⃗) = 135°.
Exercice 4 : déterminer une valeur en radian de l’angle de vecteurs (𝑢'⃗; 𝑣⃗) dans chacun des cas suivants : a) ‖𝑢'⃗‖ = 6, ‖𝑣⃗‖ = 2 et 𝑢'⃗. 𝑣⃗ = −6
b) ‖𝑢'⃗‖ = 2, ‖𝑣⃗‖ = √3 et 𝑢'⃗. 𝑣⃗ = √6
Exercice 5 : on considère le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 5. Calculer le produit scalaire 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐶'''''⃗
On passera par la définition avec le cosinus et on pourra réaliser un dessin à main levée pour visualiser la situation.
Ü DEFINITION ANALYTIQUE
Exercice 6 : dans un repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) :
a) On pose 𝑢'⃗(2; −3) et pose 𝑣⃗ C4;D;E. Calculer 𝑢'⃗. 𝑣⃗.
b) On pose 𝑤''⃗ C 5−3E et 𝑡⃗ H2
𝑦J. Déterminer 𝑦 sachant que 𝑤''⃗. 𝑡⃗ = 1.
Exercice 7 : soient les vecteurs 𝑢'⃗ C−23 E et 𝑣⃗ C−1−5E. Calculer :
a) 𝑢'⃗. 𝑣⃗ b) (4𝑢'⃗). 𝑣⃗ c) ( 𝑢'⃗ − 𝑣⃗). ( 𝑢'⃗ + 𝑣⃗)
Exercice 8 : soient les vecteurs 𝑢'⃗ C21E, 𝑣⃗ C−3−1E et 𝑢'⃗ C14E. Calculer :
a) 𝑢'⃗. 𝑣⃗ b) 𝑤. 𝑣⃗ c) 𝑢'⃗. (𝑣⃗ + 𝑤''⃗) d)(−2𝑢'⃗). 𝑣⃗ + 3(𝑣⃗. 𝑤''⃗)
Exercice 9 : on considère les points 𝐴(−2; 3), 𝐵(−1; −2), 𝐶(0; 4) et 𝐷(2; 5). Calculer : a) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐵𝐶'''''⃗ b) 𝐶𝐵'''''⃗. 𝐵𝐷''''''⃗ c) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐶𝐷'''''⃗ d) 𝐵𝐴'''''⃗. 𝐴𝐷'''''⃗
Exercice B : produit scalaire, distance et angle
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dont les coordonnées respectives sont (−2; −2), (3; 1) et (−1; 2)
1) a) Calculer les coordonnées de 𝐴𝐵'''''⃗ et de 𝐴𝐶'''''⃗. b) En déduire la valeur du produit scalaire 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐶'''''''⃗
2) a) Calculer les distances 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.
b) En déduire une valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶M en radian.
Ü ORTHOGONALITE
Exercice 10 : on se situe dans un repère orthonormé du plan
a) Montrer que les vecteurs 𝑢'⃗ C−34 E et 𝑣⃗ C−8−6E sont orthogonaux.
b) On donne les points 𝐴(−3; −2) et 𝐵(1; 3), et le vecteur 𝑢'⃗ C−54 E.
Montrer que 𝐴𝐵'''''⃗ et 𝑢'⃗ sont orthogonaux.
Exercice C : droites perpendiculaires et produit scalaire (méthode analytique) Dans un repère orthonormé du plan, `
on donné 𝐴(5; 3), 𝐵(8; −5), 𝐶(−1; 0) et 𝐷(3; 1,5).
Montrer que (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont perpendiculaires.
Exercice 11 : dans les cas suivants :
1) Dire si les vecteurs 𝑢'⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux : a) 𝑢'⃗ C−13 E et 𝑣⃗ C 3−1E b) 𝑢'⃗ C24E et 𝑣⃗ C−63 E 2) Dire si les droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont perpendiculaires :
a) 𝐴(2 ; −3), 𝐵(−1 ; −1), 𝐶(5 ; −3) et 𝐷(2 ; 1) b) 𝐴(−1 ; −2), 𝐵(−2 ; −4), 𝐶(7 ; −1) et 𝐷(3 ; 1)
3) Déterminer la ou les valeurs de 𝑎 pour que 𝑢'⃗ et 𝑣⃗ soient orthogonaux : a) 𝑢'⃗ C−54 E et 𝑣⃗ C1𝑎E b) 𝑢'⃗ C 2𝑎 + 1E et 𝑣⃗ C𝑎 + 53 E c) 𝑢'⃗ C 𝑎
−3 + 𝑎E et 𝑣⃗ C2𝑎E
Exercice 12 : donner un vecteur directeur pour chacune des droites suivantes et en déduire qu’elles sont perpendiculaires.
a) 𝑑Q: 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 et 𝑑T: 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 b) 𝑑Q: 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 et 𝑑T: 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 c) 𝑑Q: 𝑦 = 3𝑥 + 1 et 𝑑T: −𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
Rappels : une droite 𝑑 d’équation cartésienne 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 a pour vecteur directeur 𝑢'⃗ C−𝑏𝑎 E.
Une droite d’équation réduite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 a pour vecteur directeur 𝑣⃗ C 1𝑚E.
Exercice 13 : déterminer une équation de la médiatrice du segment [𝐴𝐵] avec 𝐴(−3; 5) et 𝐵(1; 4) dans un repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗).
On pourra faire un dessin à main levée pour visualiser la situation donnée.
Exercice 14 : on considère deux carrées 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐵𝐸𝐹𝐺
disposés comme sur la figure ci-contre tel que 𝐴𝐵 = 1 et 𝐵𝐸 = 𝑎.
Partie A : avec coordonnées.
1) Dans le repère (𝐴; 𝐵, 𝐷), donner les coordonnées de tous les points de la figure.
2) Démontrer que les droites (𝐴𝐺) et (𝐶𝐸) sont perpendiculaires.
Partie B : sans coordonnées.
1) Développer le produit scalaire \𝐴𝐵'''''⃗ + 𝐵𝐺'''''⃗]. \𝐶𝐵'''''⃗ + 𝐵𝐸'''''⃗].
2) En déduire que 𝐴𝐺'''''⃗. 𝐶𝐸'''''⃗ = 0 et conclure.
Exercice D : droites perpendiculaires et produit scalaire (méthode vectorielle)
Soit 𝑎 un nombre réel positif. On considère le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que 𝐴𝐵 = 𝑎 et 𝐴𝐷 =√TT 𝑎.
On note 𝐼 le milieu de [𝐶𝐷].
En se servant uniquement des propriétés algébriques,
démontrer que les droites (𝐴𝐶) et (𝐵𝐼) sont perpendiculaires.
Ü THEOREME D’AL-KASHI
Exercice E : utiliser la formule d’Al-Kashi On considère la figure ci-contre.
a) Calculer la longueur 𝐵𝐶.
b) Calculer la longueur 𝐶𝐷.
c) En déduire la mesure de
l’angle 𝐵𝐷𝐶M en degrés arrondie au dixième.
Exercice 15 : on considère les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 tels que 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐶 = 4 et 𝐵𝐴𝐶M = 120°.
Déterminer la longueur 𝐵𝐶. On pourra réaliser une figure à main levée pour visualiser la situation.
Exercice 16 : on considère les points 𝑀, 𝑁 et 𝑃 tels que 𝑀𝑁 = 5, 𝑁𝑃 = 7 et 𝑀𝑁𝑃M = 61°.
Déterminer la longueur 𝑀𝑃.
Exercice 17 : soit un triangle 𝐸𝐹𝐺 tel que 𝐸𝐹 = 7, 𝐹𝐺 = 6 et 𝐸𝐺 = 11. Déterminer la valeur en degrés et arrondie au dixième de l’angle 𝐸𝐹𝐺M.
Exercice 18 : soit 𝐸𝐹𝐺 un triangle avec 𝐸𝐹 = 5, 𝐹𝐺 = 8 et 𝐸𝐹𝐺M = 60°.
a) Déterminer la valeur exacte de 𝐸𝐺, puis une valeur approchée arrondie au dixième.
b) Déterminer une valeur approchée de 𝐹𝐺𝐸M arrondie à l’unité.
Ü ÉTUDE D’ENSEMBLES DE POINTS
Exercice 19 : on donne les points 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 = 12 et 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵].
Déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant 𝑀𝐴''''''⃗. 𝑀𝐵''''''⃗ = 4.
Exercice 20 : on donne les points 𝐶 et 𝐷 tels que 𝐶𝐷 = 10 et 𝐻 le milieu du segment [𝐶𝐷].
Déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant 𝑀𝐶''''''⃗. 𝑀𝐷''''''⃗ = −9.
Exercice 21 : on considère les points 𝐴(−2; −3) et 𝐵(−1; 4).
1. Calculer la longueur 𝐴𝐵.
2. Déterminer les coordonnées du milieu du segment [𝐴𝐵].
3. Déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant 𝑀𝐴''''''⃗. 𝑀𝐵''''''⃗ = 0.
Exercice 22 : on considère un triangle 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴′ est le milieu du segment [𝐵𝐶].
Déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant 𝑀𝐴''''''⃗. \𝑀𝐵''''''⃗ + 𝑀𝐶''''''⃗] = 0.
Exercice 23 : on considère deux points 𝐶 et 𝑉 tels que 𝐶𝑉 = 8.
Déterminer l’ensemble des points 𝑀 tels que 𝐶𝑀''⃗. 𝑉𝑀''''''⃗ = −4.
Ü CALCUL VECTORIEL
Exercice 24 : dans un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 de longueur 8 et de largeur 4, on place les points 𝐸, 𝐹 et 𝐺 tels que :
𝐴𝐸'''''⃗ =Q=𝐴𝐷'''''⃗, 𝐴𝐺'''''⃗ =Qf𝐴𝐵'''''⃗ et 𝐶𝐹'''''⃗ =Q=𝐶𝐵'''''⃗. 1. Dans le repère (𝐴; 𝐺, 𝐸),
donner les coordonnées de tous les points de la figure.
2. Calculer le produit scalaire 𝐸𝐹'''''⃗. 𝐷𝐺'''''⃗. 3. Que peut-on en déduire ?
Exercice 25 : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré et les points 𝑀 et 𝑁 sont tels que : 𝐶𝑀''''''⃗ =QT𝐵𝐶'''''⃗ et 𝐵𝑁''''''⃗ =QT𝐴𝐵'''''⃗.
1. En décomposant les vecteurs 𝐷𝑁''''''⃗ et 𝐴𝑀''''''⃗ à l’aide de la relation de Chasles, montrer que les droites (𝐷𝑁) et (𝐴𝑀) sont perpendiculaires.
2. En prenant le repère (𝐴; 𝐵, 𝐷), montrer de même que les droites (𝐷𝑁) et (𝐴𝑀) sont perpendiculaires.
Exercice F : produit scalaire et nature de quadrilatère
Dans le plan muni d’un repère (𝑂; 𝐼, 𝐽) orthonormé, on considère les quatre points suivants 𝐴(−3; 2) ; 𝐵(−2; −2) ; 𝐶(2; −1) et 𝐷(1 ; 3).
1) Déterminer la valeur de 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐷'''''⃗.
2) Démontrer que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle.
Exercices supplémentaires
Exercice 26 : 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 et 𝑀 est le milieu de [𝐵𝐶].
𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐴 sur [𝐵𝐶] et se projette orthogonalement en 𝐿 sur [𝐴𝐶] et en 𝐾 sur [𝐴𝐵].
a) Réaliser un dessin à main levée.
b) Montrer que les droites [𝐴𝑀] et [𝐾𝐿] sont perpendiculaires.
Exercice 27 : 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 étant des points quelconques du plan, montrer les égalités suivantes : a) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐶𝐷'''''⃗ = 𝐵𝐴'''''⃗. 𝐷𝐶'''''⃗
b) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐶𝐷'''''⃗ + 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐸𝐶'''''⃗ = 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐸𝐷'''''⃗
c) 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐶'''''⃗ = 𝐴𝐵'''''⃗T− 𝐵𝐴'''''⃗. 𝐵𝐶'''''⃗
Exercice 28 : on considère un trapèze rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que la diagonale [𝐴𝐶] est perpendiculaire au côté [𝐵𝐶].
En calculant de deux manières le produit scalaire 𝐴𝐵'''''⃗. 𝐴𝐶'''''⃗, démontrer que 𝐴𝐶T = 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷.
Exercice 29 : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère quelconque.
1. Déterminer l’ensemble ΓQ des points vérifiant 𝑀𝐴''''''⃗. 𝑀𝐶''''''⃗ = 0.
2. Déterminer l’ensemble ΓT des points vérifiant 𝐵. 𝑀𝐷''''''⃗ = 0.
3. Démontrer que : « 𝐴𝐵𝐶𝐷 rectangle » équivaut à « ΓQ e ΓT confondus ».
