11. Exercices d’entraˆınement et de pr ´eparation au DS
Exercice 4.A ABCDest un t ´etra `edre repr ´esent ´e en perspective ci-dessous.
Placer les pointsRetSd ´efinis par : 1. DR~ =14DB~ 32DC~
2. AS~ =65AC~ +BD~
Exercice 4.B ABCDest un t ´etra `edre. On appelleIle milieu de[AB]etJ un point sur[CD].
1. A l’aide des graduations marqu ´ee par des points sur la figure, qui seront suppos ´ees r ´eguli `eres, exprimerBJ~ comme combinaison lin ´eaire des vecteursBC~ etBD.~
2. Exprimer le vecteurIB~ en fonction deAB.~
3. En d ´eduire une expression deIJ~ comme combinaison lin ´eaire des vecteursAB,~ AC~ etAD.~
Exercice 4.C ABCDEest une pyramide de sommetAet de base le parall ´elogrammeBCDE. On appelleI le milieu de[AC].
On appelleIle milieu de[AC].
1. Placer le pointGd ´efini parAG~ =13AB~ +13AD.~ 2. ExprimerEG~ en fonction des vecteursAE,~ AB~ etAD.~ 3. ExprimerEI~ en fonction des vecteursAE,~ AB~ etAD.~ 4. En d ´eduire que les pointsE,IetGsont align ´es.
Exercice 4.D ABCDEF GHest un parall ´el ´epip `ede.Rest le milieu de[EF]etSest le milieu de[EH]. Les pointsT etU sont d ´efinis par les ´egalit ´es vectorielles :AT~ = 23AD~ etAU~ =13AC.~
1. Exprimer les vecteursT U~ ,T R~ etT S~ en fonction deAB,~ AD~ etAE.~
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2. Calculer9T U~ + 6T S~
3. En d ´eduire que les vecteursT U~ ,T R~ etT S~ sont coplanaires.
Que peut-on en d ´eduire pour les pointsT,U,RetS?
Exercice 4.E ABCDest un t ´etra `edre. Le pointIest d ´efini parAI~ =13AB~ et le pointJ est le milieu du segment[AC].
1. D ´emontrer que les droites(IJ)et(BC)sont s ´ecantes.
2. En utilisant un raisonnement par l’absurde, d ´emontrer que les droites(IJ)et(AD)ne sont pas parall `eles.
Exercice 4.F ABCDEF GHest un parall ´el ´epip `ede rectangle de centreO. On d ´efinit les pointsI,J etKpar les ´egalit ´es vectorielles :OI~ =13OA~ ;BJ~ =23BO~ ;CK~ = 13CH.~
1. D ´emontrer que les droites(IJ)et(AB)sont parall `eles.
2. (a) ExprimerBJ~ en fonction deBH~
(b) D ´emontrer que les plans(IJ K)et(ABC)sont parall `eles.
Exercice 4.G On consid `ere le parall ´el ´epip `edeABCDEF GHci-dessous.
1. D ´ecomposer les vecteursEG~ etOH~ dans la base(EF , ~~ EH).
2. D ´ecomposer les vecteursBH~ etAO~ dans la base(AB, ~~ AD, ~AE).
Exercice 4.H Dans un rep `ere(O,~i,~j, ~k)de l’espace, on a repr ´esent ´e les pointsAetB.
1. Lire graphiquement les coordonn ´ees de ces points dans le rep `ere.
2. D ´eterminer les coordonn ´ees du vecteursAB~
3. D ´eterminer deux repr ´esentations param ´etriques diff ´erentes de la droite(AB)dans ce rep `ere.
Exercice 4.I On consid `ere le droitedde repr ´esentation param ´etrique
x= 5−t y=−1 + 3t z= 1 +t
, avect∈R.
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1. Le pointA(3; 5;−2)appartient-il `a la droited?
2. Donner les coordonn ´ees d’un point ded, ainsi que celles d’un vecteurs directeur~uded.
3. dest-elle parall `ele `a la droited′de repr ´esentation param ´etrique
x= 6 + 2k y= 1−6k z=−5−2k
, aveck∈R?
Exercice 4.J Soientdetd′ les droites de repr ´esentations param ´etriques respectives :
x= 3 + 2t y=−1−t z= 4 + 3t
, avect∈R
x= 1−3k y= 1 +k z= 2−5k
, aveck∈R
D ´emontrer que ces deux droites sont s ´ecantes en un pointAdont on d ´eterminera les coordonn ´ees.
Exercice 4.K L’espace est muni d’un rep `ere(O,~i,~j, ~k).
On consid `ere les pointsA(2;−1; 4),B(6;−7; 0),C(1; 0; 1)etD(13;−16; 5).
1. Montrer que les vecteursAB~ etAC~ ne sont pas colin ´eaires.
2. D ´emontrer que les pointsA,B,CetDsont coplanaires.
Exercice 4.L Dans une base(~i,~j, ~k)de l’espace, soient les vecteurs~u 1
−3 5
,~v 4 2 1
etw~ 0 2
−1 . 1. D ´emontrer que les vecteurs(~u, ~v)forment une base d’un plan.
2. D ´emontrer que les vecteurs(~u, ~v, ~w)forment une base de l’espace.
Exercice 4.M Avec les m ˆemes vecteurs que ceux d ´efinis dans l’exercice pr ´ec ´edent ; d’apr `es ledit exercice, les vecteurs(~u, ~v, ~w)forment une base de l’espace.
D ´eterminer les coordonn ´ees du vecteur~t
−1
−15 16
dans la base(~u, ~v, ~w).
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