Table des matières

Préface 3 1 Éliminatoires et demi-finales Mini 11

Algèbre – Arithmétique . . . 12

Géométrie . . . 28

Logique . . . 42

Analyse combinatoire – Probabilités . . . 47

Divers – Problèmes . . . 48

2 Éliminatoires et demi-finales Midi 73 Algèbre – Arithmétique . . . 74

Géométrie . . . 95

Logique . . . 115

Analyse combinatoire — Probabilités . . . 121

Divers – Problèmes . . . 124

3 Éliminatoires et demi-finales Maxi 139 Algèbre – Arithmétique . . . 140

Analyse . . . 165

Géométrie . . . 177

Trigonométrie . . . 193

Logique . . . 197

Analyse combinatoire – Probabilités . . . 201

Divers . . . 208 1

4 Finales Mini 213

Finale 1994 . . . 214

Finale 1995 . . . 215

Finale 1996 . . . 216

Finale 1997 . . . 217

Finale 1998 . . . 218

5 Finales Midi 219 Finale 1996 . . . 220

Finale 1997 . . . 221

Finale 1998 . . . 222

6 Finales Maxi 225 Finale 1994 . . . 226

Finale 1995 . . . 227

Finale 1996 . . . 228

Finale 1997 . . . 229

Finale 1998 . . . 230

7 Réponses aux questions des éliminatoires et demi-finales231 Mini . . . 232

Midi . . . 233

Maxi . . . 234

Ce que nous écrivions en préface de la brochure n^o3 reste entièrement d’actualité : « La mathématique est, avant tout, une activité passion- nante, fertile en défi à relever, présente d’ailleurs à tout moment dans notre environnement social, économique et culturel, étroitement liée à de très nombreuses formes d’expression, présentant à celui qui veut bien lui porter un peu d’intérêt des aspects esthétiques évidents ».

La connaissance des Mathématiques ne se limite pas à l’acquisition de techniques de calcul plus ou moins sophistiquées et encore moins à la mémorisation passive de notions. Une base essentielle de la formation dans cette discipline consiste, à l’évidence, en la résolution de problèmes.

Une des composantes les plus importantes — et pourquoi pas la plus importante — de la compétence mathématique se situe donc dans la capacité à traiter des problèmes, dans la recherche volontariste de so- lutions à proposer à des situations qui interpellent. Ces moments où il faut déterminer des stratégies d’attaque, où il faut constamment avoir l’esprit en éveil de façon à utiliser des acquis, à mener des investigations dans des voies novatrices, à oser suivre des intuitions qui s’avèrent parfois stériles, à persévérer dans ses curiosités, . . . débouchent alors sur cette grande satisfaction de trouver une réponse et d’en tirer une légitime fierté personnelle.

Les trois premières brochures (1976-1981, 1982-1987 et 1988-1993) couvraient des périodes de six années. Le détriplement de l’Olympiade, depuis 1996, a eu pour conséquence une augmentation substantielle du nombre de questions proposées. Ce quatrième tome de la série ne couvre donc que cinq années d’Olympiades Mathématiques Belges. Toutes ces

3

questions des Olympiades des années 1994 à 1998 ont été regroupées par sujets et présentées, autant que faire se pouvait, selon un ordre croissant de difficultés. Toutes ont été réparties selon les trois catégories Mini, Midi et Maxi. Nous avons donc dû distribuer au mieux les questions des deux catégories existant en 1994 et 1995, dans les trois catégories actuelles. Nous espérons que cela permettra d’exploiter cette brochure aussi bien dans le cadre d’une préparation à l’Olympiade que dans ce- lui du cours de mathématique dispensé dans les classes. Des notations évidentes indiquent à l’utilisateur à quel stade de l’épreuve les questions furent proposées.

Des tableaux placés en fin de brochure donnent les réponses atten- dues.

La SBPMef souhaite vivement que les Professeurs et leurs élèves tirent le plus grand profit de cette brochure.

Jean-PierreCazzaro Claude Villers

L’Olympiade Mathématique Belge

Dès 1976, à l’initiative de FrançisBuekenhout, et sans interruption depuis cette date, les responsables de la Société Belge des Professeurs de Mathématique ont proposé aux enseignants intéressés de faire participer leurs élèves à une Olympiade Mathématique.

Ce fut un succès qui ne fit qu’aller en s’amplifiant d’année en année.

Jugez-en vous-même :

Mini Maxi

1976 760

1977 893 1 130

1978 1 012 1 271

1979 1 204 1 447

1980 1 390 1 778

1981 1 482 1 849

1982 3 021(570) 3 164(693) 1983 3 010(664) 3 292(689) 1984 4 424(871) 3 933(782) 1985 5 563(926) 4 621(836) 1986 6 339(981) 5 146(871) 1987 7 779(1 249) 6 285(1 088) 1988 8 149(1 125) 6 834(1 086) 1989 9 140(1 250) 7 632(1 140) 1990 10 488(1 195) 8 236(1 154) 1991 7 517(1 074) 5 568(973) 1992 9 967(1 266) 6 715(984) 1993 11 020(1 215) 7 941(1 006) 1994 10 498(1 314) 7 288(1 065) 1995 11 082(1 373) 7 423(1 082)

Mini Midi Maxi

1996 8 909(959) 7 129(919) 4 937(730) 1997 8 9993(954) 6 838(972) 5 038(765) 1998 9 805(979) 6 786(842) 5 376(730)

(entre parenthèses, nombre de demi-finalistes)

Depuis l’année 1996, l’Olympiade Mathématique Belge est divisée en trois catégories : la Mini Olympiade réservée aux élèves du 1^er degré de l’enseignement secondaire, la Midi Olympiade réservée aux élèves du 2^e degré et la Maxi Olympiade destinée aux élèves du 3^e degré.

Tous les participants trouveront ainsi dans les différents question- naires (éliminatoires, demi-finales et finales) une source de matières qui les cible au mieux.

L’Olympiade est un grand jeu ne présentant que de l’intérêt pour les élèves qui y participent. À côté d’exercices ou de problèmes plus clas- siques, les questionnaires leur donnent l’occasion de contrôler, de manière attrayante, leurs connaissances et leurs capacités de raisonnement.

Le but poursuivi par la SBPMef en organisant cette Olympiade est triple : fournir aux professeurs un choix d’exercices non triviaux, d’un type différent de ceux figurant dans la plupart des manuels ; mettre l’ac- cent sur l’importance des problèmes dans la formation mathématique des élèves (problèmes qui font appel à la créativité, à l’imagination, aux capacités réelles de raisonnement) ; enfin, intéresser les élèves à l’activité mathématique par le biais d’une compétition, grand jeu qui les passionne.

L’Olympiade Mathématique Internationale

L’Olympiade Mathématique Internationale (O.M.I.) a été organisée la première fois en 1959. Actuellement, plus de quatre-vingt pays y sont représentés.

Chaque pays peut désigner un maximum de six élèves n’ayant pas entamé d’études supérieures.

L’épreuve se déroule en deux jours. Au total, chaque élève est invité à résoudre six problèmes.

Les questions posées mobilisent de bonnes capacités d’analyse, de synthèse et d’imagination créatrice. Elles privilégient la « tête bien faite » et non la « tête bien pleine ».

La délégation belge est composée en parts égales d’élèves franco- phones et néerlandophones. C’est la SBPMef qui est chargée de préparer et de sélectionner les candidats belges d’expression française.

La S.B.P.M.e.f.

La SBPMef, association sans but lucratif, représente les Professeurs de mathématique de la partie francophone du pays.

Elle a pour but principal de contribuer à la promotion et à l’amé- lioration de l’enseignement de la mathématique ainsi qu’à sa vulgari- sation au niveau d’un public largement extérieur à l’école. Regroupant les différentes forces du monde de l’éducation et de l’enseignement de la mathématique, elle se présente comme un interlocuteur privilégié au- près des différents pouvoirs organisateurs de l’école ainsi que des divers organismes susceptibles d’aider les mathématiciens.

La SBPMef tient également sa place au niveau de la communauté mathématique internationale et de nombreux contacts la lient à diverses sociétés étrangères avec qui elle échange des informations et des publi- cations.

Principales actions et réalisations SBPM-Infor

C’est le bulletin d’information interne de la SBPMef. Il paraît quatre fois par an et annonce les activités de la Société. Des numéros spéciaux sont édités chaque fois que des faits importants l’exigent.

Le Congrès annuel

Chaque année, la SBPMef organise un congrès de trois jours ou plus.

Ses buts sont multiples :

— rassembler des Professeurs d’horizons différents,

— répondre à la demande d’informations des enseignants sur des sujets qui les préoccupent,

— favoriser la formation continuée.

Mathématique et Pédagogie

Cette revue est livrée gratuitement aux membres.

Elle souhaite apporter à ses lecteurs

— des relations d’expériences pédagogiques,

— des articles de culture générale,

— des présentations originales de points particuliers de la matière

— des informations sur les programmes,

— des critiques de livres et des résumés de revues,

— des propositions d’utilisation de l’informatique dans l’enseigne- ment des mathématiques,

— des problèmes, des jeux, les questions des Olympiades,

— etc.

Math-Jeunes

Math-Jeunes est une revue pour les jeunes de l’enseignement secon- daire. Son objectif principal est de contribuer à amener les élèves de l’en- seignement secondaire à aimer les mathématiques en général, sans viser un sujet plus particulier. Pour susciter l’intérêt du plus grand nombre, Math-Jeunes diversifie les sujets abordés. Des articles de niveaux diffé- rents permettent aux lecteurs de recevoir information et formation.

Divers

Outre la publication régulière de brochures à caractère pédagogique, la SBPMef poursuit un travail de réflexion sur les problèmes de l’ensei- gnement de la mathématique en Belgique francophone.

Renseignements pratiques

Siège administratif : rue de la Halle, 15 B-7000 MONS

Tél./Fax : 065/37.37.29

Adresse Internet : http ://ramses.umh.ac.be/noel/sbpm.htm

Sigles utilisés

Ea Éliminatoire de l’annéea DFa Demi-finale de l’annéea n Catégorie Mini

d Catégorie Midi x Catégorie Maxi

n, d ou x est suivi de l’indication du numéro de la question dans le questionnaire original.

Exemple :

DF95 x21

signale qu’il s’agit de la 21^e question de la demi-finale Maxi de 1995.

Éliminatoires et demi-finales Mini

11

Algèbre – Arithmétique

1.

E98 n1

Comment s’écrit en chiffrescinq cent mille quinze?

(A) 515 000 (B) 501 500 (C) 500 150 (D) 500 015 (E) 500 000,15

2.

E94 n4

Six cent mille huit cinquante-quatre millièmes s’écrit aussi

(A) 600 008,54 (B) 600 008,054 (C) 600 008,005 4

(D) 608 000,54 (E) 60 000,054.

3.

E98 n11

Des cinq valeurs indiquées en regard de ces graduations régulières, une seule est correcte. Laquelle ?

(A) 4 5,5 8

? (B) 0 0,5 2

?

(C)

1,2 1,35 1,4

? (D)

3,1 3,16 3,15

?

(E) 50 55

50,75

? 4.

DF98 n23

Dans le développement décimal de la fraction9/7, quel est le 98^e chiffre à droite de la virgule ?

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 7 (E) 8

5.

DF95 n26

Le chiffre des unités de2³⁰3²⁰ est :

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

6.

DF94 n26

Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de2¹⁹⁹⁴−1994?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

7.

DF97 n25

Pour écrire tous les naturels de1à1997inclus, combien de chiffres 1sont nécessaires ?

(A) 400 (B) 1208 (C) 1298 (D) 1997 (E) Une autre réponse.

8.

E98 n17

Parmi les cinq nombres suivants, quel est le plus petit qui est stric- tement plus grand que−5,9?

(A) −5,80 (B) −5,89 (C) −5,90 (D) −5,91 (E) −6,00

9.

E94 n16

Combien de nombres entiers sont strictement compris entre 257² et258²?

(A) 513 (B) 514 (C) 515 (D) 516 (E) 517

10.

DF98 n21

Combien y a-t-il de nombres naturels de2 chiffres dont le produit des chiffres est un carré parfait non nul ?

(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20

11.

DF98 n2

En divisant l’un par l’autre, à l’aide d’une calculatrice, deux nombres naturels inférieurs à 10, j’ai lu pour résultat : 0,571 428 571. Quels sont ces deux nombres ?

(A) 4et7 (B) 5et6 (C) 5et7 (D) 5et8 (E) 5et9

12.

DF95 n5

Quelle suite d’inégalités est exacte ? (A) 0,089< 1

7 <0,140<0,240< 1 4 (B) 0,140<0,089< 1

7 <0,240< 1 4 (C) 0,089<0,140< 1

7 <0,240< 1 4 (D) 0,089<0,140< 1

7 < 1

4 <0,240 (E) 0,089<0,140< 1

4 < 1

7 <0,240 13.

E97 n1

Que vaut1 + 2×3?

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

14.

E98 n7

Si−2 est soustrait de1, quel est le résultat ?

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) −1 (E) −3

15.

E98 n6

1−2 + 3−4 +· · ·+ 1997−1998n’est pas

(A) Entier ; (B) Négatif ; (C) Inférieur à 500;

(D) Multiple de3; (E) Multiple de 2.

16.

E94 n29

2−4 + 6−8 + 10−12 +· · · −204 + 206−208 + 210 = (A) −2 ; (B) 2 ; (C) 4 ; (D) 106; (E) 10 920.

17.

E96 n4

Que vaut1−1 + 1−1 + 1−1 + 1−1 + 1−1 + 1−1 + 1−1 + 1?

(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 15

18.

E97 n29

(Sans réponse préformulée)Que vaut

1997−1996 + 1995−1994 +· · ·+ 3−2 + 1 ?

19.

E96 n1

Que vaut7 + 17 + 27 + 37 + 47?

(A) 125 (B) 130 (C) 131 (D) 135 (E) 140

20.

DF97 n8

Que vaut997×43−997×27 + 16×3?

(A) 64 (B) 96 (C) 15 904 (D) 16 000 (E) 125 589

21.

E97 n5

Que vaut2×7²−3×2 + 1?

(A) 23 (B) 89 (C) 93 (D) 191 (E) 247

22.

DF98 n6

(Sans réponse préformulée)Que vaut2²·(−1)·0 + 10²−1¹⁰?

23.

E95 n15

(Sans réponse préformulée)

Que vaut 2,5×10²: 0,25×10³?

24.

E97 n15

Que vautm/p, sim= (2+3)×4²×25etp= (20+30)×0,4²×2500? (A) 10 (B) 1 (C) 0,1 (D) 0,01 (E) 0,001

25.

DF94 n2

2³·3² =

(A) 6⁶ ; (B) 6⁵ ; (C) 2·6² ; (D) 5⁵ ; (E) 5⁶.

26.

E98 n13

Que vaut4(2³⁴)⁶?

(A) 2²⁰⁶ (B) 2²⁰⁵ (C) 2²⁰⁴ (D) 2¹⁶⁰ (E) 2⁴²

27.

E95 n22

L’expression5 + 7×3−18 : 3² est égale à :

(A) 2 (B) 20 (C) 24 (D) 34 (E) 36

28.

E94 n15

Laquelle des égalités suivantes est vraie ?

(A) (−17⁴)³ = −17⁷ (B) (−17⁴)³ = 17⁷ (C) (−17⁴)³ = −17¹² (D) (−17⁴)³ = 17¹² (E) (−17⁴)³ = −17⁶⁴

29.

E95 n4

Laquelle des égalités suivantes est vraie ? (A) (−2)²×3² =−6²

(B) (−2×3)² =−36 (C) (−2)²×3² = 36 (D) −2²×3² = 36 (E) − 2²×3²=−25

30.

DF94 n5

Laquelle des expressions suivantes vaut 1 ?

(A) 2 + 4−7/3 (B) [2×(3 + 4) + 7]/3 (C) 2×(3 + 4−7)/3 (D) [2×(3 + 4)−7]/3 (E) (2×3 + 4−7)/3

31.

E94 n5

Laquelle de ces fractions est la plus petite ? (A) 8

9 (B) 9

11 (C) 10

11 (D) 17

21 (E) 18

21

32.

E98 n30

Une de ces cinq fractions n’est pas égale aux quatre autres ; la- quelle ?

(A) 7

12 (B) 56

96 (C) 84

144 (D) 147

252 (E) 217 340

33.

E96 n2

Le tiers d’un quart, c’est :

(A) un douzième ; (B) un septième ; (C) un demi ;

(D) trois quarts ; (E) quatre tiers.

34.

DF98 n1

Quelle est la moitié de l’inverse de l’opposé de1/4?

(A) −2 (B) −1/8 (C) −1/4 (D) 1/2 (E) −8

35.

DF95 n2

Lequel des nombres suivants est le plus proche de 1? (A) 3

4 +1

3 (B) 2 5 +1

2 (C) 4 9+3

5 (D) 3 7+ 3

5 (E) 7 10 +1

3

36.

E97 n28

Quel est le plus petit nombre naturel par lequel multiplier

1

10 +₁₅¹ +₂₇¹ pour que le résultat soit entier ?

(A) 10 + 15 + 27 (B) 2×27 (C) 10×27 (D) 15×27 (E) 10×15×27

37.

E94 n6

(Sans réponse préformulée) Que vaut 475−245

236−121·309−162 623−329 ? 38.

E94 n2

L’inverse de l’opposé de 3⁴ vaut (A) 1

−3⁴ ; (B) 1

−4³ ; (C) 1

3⁴; (D) −3⁴; (E) −4³.

39.

E98 n23

Que vaut 100 0,1 + 1

0,01

?

(A) 1

11 (B) 10

101 (C) 10

11 (D) 100

101 (E) 1000 1001

40.

DF95 n18

Que vaut 2¹¹×7⁵×11⁹ 3388 ?

(A) 2⁹×7⁴×11⁷ (B) 2⁸×7²×11 (C) 2⁹×7³×11² (D) 2¹⁰×7⁴×11⁶ (E) Une autre réponse

41.

E95 n1

Que vaut 1 2−1

3 +1 5 −1

7? (A) −1 (B) −3

2 (C) 17

210 (D) 37

210 (E) 47 210

42.

DF98 n19

Que vaut 2¹⁵−2¹⁴ 2¹³ ?

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/2¹² (E) 1/2¹³

43.

DF98 n26

Que vaut 2¹² 12²? (A) 2⁸

3² (B) 2¹⁰

12 (C) 2⁶

6 (D) 1

6 (E) 1

44.

E98 n20

Que vaut 0,75 15 − 15

0,75? (A) −399

20 (B) −1 (C) 0 (D) 1 (E) 399

20

45.

E95 n14

Si l’on divise le numérateur d’une fraction par3 et son dénomina- teur par 2, la fraction est multipliée par :

(A) 1

6 (B) 3

2 (C) 5

3 (D) 6 (E) Une autre réponse 46.

E95 n6

Combien de nombres premiers ont la somme de leurs chiffres égale à 3?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Une infinité

47.

DF96 n1

(Sans réponse préformulée) Quel est le nombre premier le plus proche de100?

48.

E96 n5

Quel est le plus petit nombre premier dont la somme des chiffres est égale à11?

(A) 56 (B) 47 (C) 38 (D) 37 (E) 29

49.

E94 n17

La somme de trois nombres impairs consécutifs vaut 114. Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

(A) 35 (B) 38 (C) 39 (D) 40

(E) Le problème n’a pas de solution.

50.

DF97 n11

De combien8 + 18 + 28 + 38 + 48 + 58 + 68 + 78 + 88 + 98surpasse- -t-il10×8?

(A) 45 (B) 100 (C) 400 (D) 450 (E) 530

51.

E96 n20

Le carré du produit de11 par3est diminué de la moitié de 1000.

Quel est le résultat ?

(A) 509 (B) 529 (C) 549 (D) 569 (E) 589

52.

E94 n19

(Sans réponse préformulée) La différence de deux nombres est 9.

La somme de 5 fois le plus grand et de 4 fois le plus petit vaut 180.

Quel est le plus grand des deux nombres ? 53.

E98 n9

(Sans réponse préformulée) Que vaut la moitié du carré de 8, di- minuée de4?

54.

E97 n22

Que vaut le cube du carré de la somme de3et de l’opposé de−7?

(A) 60 (B) 300 (C) 4096 (D) 195 112

(E) 1 000 000

55.

DF98 n14

(Sans réponse préformulée) Quelle est la somme des carrés des diviseurs naturels de24?

56.

E97 n10

Lequel des nombres suivants est le cube d’un nombre entier ? (A) 100 (B) 128 (C) 216 (D) 256 (E) 800

57.

E98 n2

Laquelle des expressions suivantes représente le double du cube de l’opposé de0,1?

(A) (2·0,1)³ (B) 2³·(−0,1) (C) (2·(−0,1))³

(D) 2·(−0,1)³ (E)

2· 1

0,1 3

58.

E94 n8

Lequel des nombres suivants est à la fois carré d’un nombre naturel et cube d’un nombre naturel ?

(A) 4 (B) 8 (C) 27 (D) 64 (E) 144 59.

E97 n2

(Sans réponse préformulée) Pour transporter 290 bouteilles dans des casiers de24 bouteilles, combien faut-il de casiers au moins ? 60.

E94 n1

Lequel des nombres naturels suivants est divisible par 9 ?

(A) 36 001 (B) 49 999 (C) 61 234 (D) 71 234 (E) 81 234

61.

E97 n17

Quels sont les chiffresxetysi le nombre474x13y est divisible par 8et par 11?

(A) x= 0ety = 3 (B) x= 3 ety= 6 (C) x= 5 et y= 6 (D) x= 6 ety= 2 (E) x= 7 ety= 8 62.

E98 n4

Quel est le plus grand facteur premier de1998?

(A) 3 (B) 27 (C) 37 (D) 89 (E) 111

63.

DF95 n1

Le plus grand multiple de 7inférieur à1000 est :

(A) 993 (B) 994 (C) 995 (D) 996 (E) 997

64.

DF97 n9

Quel est le reste de la division par9 de 10¹⁹⁹⁷−1¹⁹⁹⁷?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7

65.

E94 n9

(Sans réponse préformulée) Quel est le plus grand nombre à deux chiffres (en écriture décimale) qui divise à la fois 555et999? 66.

E97 n23

Combien de nombres de deux chiffres ont la somme de leurs chiffres divisible par7?

(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12

67.

E95 n3

Lequel des nombres suivants est divisible par15 mais non par45? (A) 24 500 (B) 34 560 (C) 35 430 (D) 36 216 (E) 36 335

68.

E98 n29

(Sans réponse préformulée)Quel est le plus petit nombre supérieur à 5 qui donne comme reste 2 quand il est divisé par 3, par 4 ou par5?

69.

E95 n13

La somme de tous les diviseurs (positifs) de 27est :

(A) 13 (B) 31 (C) 37 (D) 39 (E) 40

70.

DF98 n18

Dans un nombreN de trois chiffres, le chiffre des dizaines et celui des unités sont égaux ; la somme des trois chiffres est7. Par lequel des nombres suivantsN est-il certainement divisible ?

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11

71.

DF97 n6

Combien existe-t-il de paires{m, n} de nombres naturels tels que le plus petit commun multiple dem et de n soit 72et que le plus grand commun diviseur dem et de nsoit 16?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) Une infinité

72.

E97 n8

Que vauty si ¹⁷₁₀y= 0,51?

(A) 3 (B) 1,3 (C) 1,2 (D) 0,3 (E) 0,03

73.

DF97 n12

Siaetbsont deux nombres non nuls, a b = 9

12 équivaut à : (A) a= 9 etb= 12;

(B) a= 3 etb= 4; (C) a=−3 etb=−4;

(D) le triple deavaut le quadruple de b; (E) le triple deb vaut le quadruple dea.

74.

E94 n10

Sia+b= 70,b+c= 90eta+c= 80, que vaut a+b+c? (A) 120 (B) 140 (C) 150 (D) 160 (E) 240 75.

DF98 n16

Sia×a=a, que vaut a+a?

(A) 0 (B) 0 ou1 (C) 0 ou2 (D) 1 ou2 (E) −2ou 2

76.

E97 n11

Que vaut toujours(a+ 1)(a+ 2)−a(a+ 3)?

(A) 3−3a (B) a²−3a+ 2 (C) a(a−1) (D) 6 (E) 2

77.

DF98 n10

(Sans réponse préformulée)Que vauta^b+b^a sia= 2 etb= 3?

78.

DF98 n27

Quel que soit le nombrex, le produit(x−1)(x²+ 2x+ 1)est égal à :

(A) x³+ 1 (B) x³−1 (C) (x+ 1)³ (D) (x²−1)(x+ 1) (E) (x²−1)(x−1)

79.

DF96 n7

Que vaut(3x²−7x)(2x³−x²+x−2)? (A) 6x⁴−17x³+ 10x²−13x+ 14 (B) 6x⁵−17x⁴+ 10x³−13x²+ 14x (C) 6x⁵+ 17x⁴+ 10x³+ 13x²+ 14x (D) 6x⁶−17x⁵+ 10x⁴−13x³+ 14x² (E) 6x⁶−3x⁴−14x³+ 10x²−7x+ 8

80.

E97 n21

Lorsque a, b, c et d sont, dans cet ordre, quatre nombres entiers consécutifs, leur somme est multiple de3si et seulement si (A) aest supérieur à10; (B) c est supérieur à3; (C) dest multiple de 9; (D) aest multiple de 3; (E) best multiple de 3.

81.

E96 n7

Sic= 2a−b−1000, sia= 1000et sib= 90, que vautc?

(A) 910 (B) 990 (C) 1000 (D) 1090 (E) 90 000

82.

DF98 n11

Lors du festival de Cannes, les stars sont conduites en cortège à la remise des palmes. Les motards escortent leurs voitures : un motard ouvre la marche et un autre la ferme ; en outre, chaque voiture est entourée d’un motard à gauche et d’un motard à droite. En 1998, 78motards ont été prévus. À combien de voitures cela correspond- il ?

Laquelle des équations suivantes traduit ce problème ?

(A) 2x= 78 (B) 2x= 98 (C) 2x−2 = 78

(D) 2x+ 2 = 78 (E) 3x+ 1 = 78

83.

DF96 n24

(Sans réponse préformulée)Pour un certain nombre natureln,2n+

3est un diviseur de 6n+ 43; que vaut n?

84.

E94 n23

Six= y+ 2

y+ 1,y6=−1,x6= 1, etx6= 2, alors toujours y= (A) x−2

1−x ; (B) x−2

x−1 ; (C) x−1

x−2 ; (D) 1 x−1 ; (E) une autre réponse.

85.

E98 n25

Le prix de 30 m de fil est dex francs. Quelle longueur (en mètres) de ce fil peut-on acheter pour 80 francs ?

(A) 3x

80 (B) 80x

3 (C) 2400

x (D) 80

3x (E) 24x

86.

DF97 n2

(Sans réponse préformulée) Un nombre est multiplié par 3 et du produit sont retirés les trois quarts de la moitié du nombre initial.

Le résultat de ces opérations est21; quel est le nombre initial ?

87.

E95 n7

(Sans réponse préformulée) Si je gagnais 50 francs, j’aurais le double de ce que je posséderais si je perdais 50 francs. Quel est mon avoir, en francs ?

88.

DF96 n21

La somme de deux nombres premiers est toujours (A) un nombre pair ;

(B) un nombre impair ; (C) un nombre premier ;

(D) strictement supérieure à3; (E) inférieure à1000.

89.

DF98 n15

Si p est la somme des naturels pairs de 0 à 1000 et i celle des naturels impairs de1à 999, que vaut p−i?

(A) 0 (B) 499 (C) 500 (D) 501 (E) 666

90.

DF96 n19

Dix nombres sont tous inférieurs à 20 et leur moyenne (arithmé- tique) vaut18. Laquelle des affirmations suivantes est certainement correcte à propos de ces nombres ?

(A) L’un d’entre eux, au moins, est égal à18.

(B) Un nombre pair d’entre eux sont égaux à18.

(C) Un nombre impair d’entre eux sont égaux à 18.

(D) Ils sont tous supérieurs à16.

(E) Ils sont tous positifs.

91.

DF98 n17

Jean a été noté sur20pour chacun de ses devoirs et interrogations.

Sa moyenne est de14 et la somme de ses notes est 168. Combien avait-il de travaux ?

(A) 9 (B) 12 (C) 14 (D) 21

(E) Les données sont insuffisantes pour le déterminer.

92.

E95 n17

La moyenne (arithmétique) des trois nombres suivants :

0,2 ; 0,02 ; 0,002

est égale à :

(A) 0,02 (B) 0,074 (C) 0,101 (D) 0,222 (E) 0,666

93.

E98 n28

En patinage artistique, Mathieu a obtenu les notes 8,2 ; 8,5 ; 8,1 ; 8,4.

Quelle doit être la note attribuée par le cinquième juge pour que la moyenne des cinq notes de Mathieu soit de8,4?

(A) 8,4 (B) 8,5 (C) 8,6 (D) 8,7 (E) 8,8

94.

E97 n20

(Sans réponse préformulée) Dans les cases carrées du schéma sui- vant :

- - - -

30

sont disposés les opérateurs + 4, −4, ×5 et : 2, chacun n’étant utilisé qu’une seule fois ; chaque cercle contient le résultat de l’ap- plication de l’opérateur écrit à sa gauche. Quel est le plus grand résultat qu’il est possible d’obtenir dans le cercle de droite ?

95.

E97 n7

À la vitesse de 5 km/h, un parcours est effectué en 6 min ; en combien de temps sera-t-il effectué à la vitesse de 6 km/h ?

(A) 7 min (B) 6 min (C) 5 min (D) 4 min

(E) 3 min

96.

E97 n27

Une voiture est affichée à un million de francs, mais le garagiste offre un rabais de20 %; en outre, le client peut déduire5 %du prix après rabais s’il paye de suite. Quelle est alors la remise totale ? (A) 23 % (B) 24 % (C) 25 % (D) 26 % (E) 27 %

97.

E96 n17

Un bizulateur coûte 29 900 F. À l’occasion de la Grande Quin- zaine des Snaffliques, une remise de3% est accordée. La livraison à domicile coute 500 F. Quel est le prix total du bizulateur livré à domicile ?

(A) 29 503 F (B) 29 900 F (C) 30 397 F (D) 30 400 F (E) 31 297 F

98.

DF98 n20

Françoise et Anne se sont partagé une somme proportionnellement à leurs âges, qui sont de 17 ans et de 11 ans. Françoise a reçu 324 F de plus qu’Anne. Combien a reçu celle-ci ?

(A) 215 F (B) 518 F (C) 594 F (D) 611 F

(E) 653 F

Géométrie

99.

E98 n16

Un carré et un triangle équilatéral ont même périmètre. Que vaut le rapport d’un côté du triangle à un côté du carré ?

(A) 2

3 (B) 3

4 (C) 1 (D) 4

3 (E) 3

2

100.

DF95 n20

Un triangle isocèle obtusangle a deux côtés de longueur10. Quelle est la plus petite longueur possible du troisième côté lorsqu’elle est entière ?

(A) 10 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17

101.

DF96 n3

SiP désigne le périmètre du triangleABCet||AB||,||AC||,||BC||

les longueurs de ses côtés, laquelle des relations suivantes est cor- recte ?

(A) ||AB||=P/3 (B) ||AB|| ≤P/3 (C) ||AB|| ≤P/2 (D) ||AB||+||AC||= 2P/3 (E) ||AB||+||AC|| ≥2P/3

102.

DF98 n28

Dans la figure (inexacte) ci-contre,P QRS est un rectangle etRSTd =SRT^d = 45^◦. Quelle relation y a-t-il entre les longueurs x et y des côtés du rectangle si la distance deT au côtéP Qest égale au tiers dex?

Q Q

Q

P Q

R S

T x

y

(A) 3x=y (B) 3x= 2y (C) 3x= 4y (D) 2x=y (E) 4x= 3y

103.

E94 n14

Un fichu a la forme d’un triangle isocèle dont l’un des côtés égaux mesure 75 cm. La longueur d’un cordon le bordant sur les trois côtés

(A) est nécessairement entre 75 cm et225cm ; (B) est nécessairement entre150cm et300cm ; (C) est nécessairement entre80 cm et220cm ; (D) est nécessairement entre225cm et450cm ; (E) ne satisfait aucune des assertions précédentes.

104.

DF95 n27

Dans la figure ci-contre, que vaut le périmètre de la partie ombrée ?

(A) 2 π

3 −1

(B) 2 π

6 + 1

(C) 2 π

3 + 1

(D) 2 5π

6 −1

(E) 2 5π

6 + 1

60^◦ 2

105.

E95 n12

Si trois cercles d’un même plan ont deux points d’intersection deux à deux, le plus grand nombre de régions qu’ils déterminent dans le plan est :

(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

106.

E96 n27

(Sans réponse préformulée) Trois disques ont pour rayons, expri- més en centimètres, r,r+ 5 et r+ 10. L’aire du plus grand vaut la somme des aires des deux autres. Quel est, en centimètres, le rayon du petit disque ?

107.

DF96 n17

Quel est le nombre maximum de points communs à un cercle et au bord d’un losange ?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10

108.

E96 n12

Combien y a-t-il, dans le plan, de points situés à 4 cm de deux droites sécantes données ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) Une infinità c 109.

DF97 n13

Si P, Q et R sont les sommets d’un triangle équilatéral de côté 1, combien y a-t-il, dans le planP QR, de points dont la distance à P vaut1, la distance à Qvaut 2 et la distance à R vaut 3?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 8

110.

E94 n21

Dans le plan, combien de points sont à égale distance des trois droites comprenant les côtés d’un triangle ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

111.

DF97 n4

Le point P est distant de 3 cm de la droite d. Dans le plan qui contient P etd, combien y a-t-il de points situés à la fois à une distance de 1 cm dedet à une distance de 6 cm deP?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

112.

DF96 n6

SiX, Y etZ sont les sommets d’un triangle, quel est le nombre de parallélogrammes admettantX,Y etZ pour sommets ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6

113.

E98 n8

Nelly a mesuré deux angles d’un triangle et a trouvé 51^◦ et 69^◦. Que devrait-elle mesurer pour le troisième angle ?

(A) 18^◦ (B) 50^◦ (C) 60^◦ (D) 108^◦ (E) 120^◦

114.

E94 n7

Sur la figure ci-contre, que vautx? (A) 72 (B) 107 (C) 108 (D) 142 (E) 145

x

35 107

115.

E95 n16

Les mesures des angles d’un triangle sont proportionnelles aux nombres 2,3 et5. La mesure en degrés du plus grand angle est : (A) 75 (B) 80 (C) 85 (D) 90 (E) 95

116.

DF94 n4

Dans un triangle, un angle est le double d’un autre et le troisième angle est la somme des deux premiers. Le plus petit des trois angles mesure alors

(A) 20^◦; (B) 30^◦; (C) 36^◦; (D) 40^◦; (E) 45^◦. 117.

E95 n23

Dans le triangle isocèle ABC (où |AB|=

|AC|), déterminer la mesure de l’angle au sommetA, connaissant la mesure indiquée sur le dessin.

(A) 52^◦ (B) 64^◦ (C) 76^◦ (D) 90^◦ (E) 104^◦

A

B C

128^◦

118.

DF98 n5

Dans la figure (inexacte) ci-contre, P ST R et P U V Q sont deux carrés de même aire. SiP QRd = 72^◦, que mesure l’angleP SUd ?

P

Q R

S

T U

V

(A) 18^◦ (B) 20^◦ (C) 24^◦ (D) 36^◦ (E) 108^◦

119.

DF95 n22

Sur la figure (imprécise) ci-contre, a et b sont deux droites parallèles. Connaissant les mesures d’angles indiquées, déterminer la mesure de x.ˆ

a

b 45^◦ ˆ x 130^◦

(A) 95^◦ (B) 92^◦30⁰ (C) 90^◦ (D) 87^◦30⁰ (E) 65^◦

120.

DF97 n29

Dans la figure ci-contre, BCEF est un parallélogramme ; les points B, C et D sont alignés, ainsi que A, D et E; en outre,

||CD|| = ||DE||. Que vaut l’angleBF Ed ?

A

B C D

F E 60^◦

28^◦

(A) 120^◦ (B) 160^◦ (C) 162^◦ (D) 164^◦ (E) Une autre réponse

121.

DF96 n4

Un parterre rectangulaire de 8 m sur 6 m est entouré extérieure- ment d’un sentier de 1,5 m de large. Quelle est l’aire de ce sentier ? (A) 23,25 m² (B) 37,5 m² (C) 42 m² (D) 46,5 m² (E) 51 m²

122.

E96 n26

Que devient l’aire d’un rectangle lorsque sa longueur augmente de 30%et que sa largeur diminue de20%?

(A) Elle diminue de10%.

(B) Elle reste la même.

(C) Elle augmente de4%.

(D) Elle augmente de6%.

(E) Elle augmente de10%.

123.

E97 n3

Dans la figure ci-contre, X est un point quel- conque du côté[AB]du rectangleABCD. Quel est le rapport entre l’aire de la partie ombrée

et l’aire de la partie non ombrée du rectangle ?D C

A X B

(A) ¹₂ (B) ²₃ (C) ³₄ (D) ⁴₅ (E) 1

124.

E96 n25

Du rectangleKLM Nde la figure (inexacte) ci-contre, on ôte le triangle KP Q. Quelle est, en centimètres carrés, l’aire du poly-

gone restant ?

K L

M N

P

Q

7 cm

8 cm 11 cm

3 cm

(A) 34 (B) 48 (C) 68 (D) 76 (E) 78

125.

DF98 n12

Neuf fiches de bristol identiques sont disposées comme l’indique le schéma ci-contre. Le grand rectangle ainsi formé a une aire de 180 cm². Quel est son périmètre ?

(A) 32 cm (B) ¹⁷⁰₃ cm (C) 58 cm (D) 82 cm

(E) Environ 104 cm

126.

DF98 n13

Une diagonale d’un carré a une longueur de 8 cm. Quelle est, en centimètres carrés, l’aire de ce carré ?

(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28 (E) 32

127.

DF97 n30

Dans la figure ci-contre, deux demi-cercles ont été tracés à l’intérieur d’un carré de côté1. Quelle est l’aire de la partie ombrée ?

(A) π−4

8 (B) π−2

8 (C) π

8 (D) π+ 2

8 (E) π+ 4

8

128.

E95 n11

On considère un triangle ABC; on marque les points P etQ sur le segment [AB], de telle manière que |AP| = ¹₃|AB| et |BQ| =

2

5|AB|. Si Aest l’aire du triangleACP,B celle de CP QetC celle de BCQ, alors :

(A) A<B<C (B) B<C<A (C) C<B<A (D) B<A<C (E) A<C<B

129.

DF98 n9

Dans la figure ci-contre, le cercle central et les arcs de cercles ont pour rayon 1; le cercle cen- tral passe par les points de contact des arcs de cercles. Quelle est l’aire de la région ombrée ?

(A) 4π+ 1 (B) 6π (C) 9π/2 (D) 3π+ 4 (E) 5π−4

130.

E94 n3

Laquelle des figures géométriques suivantes n’a pas de centre de symétrie ?

(A) un triangle équilatéral (B) un losange (C) un rectangle (D) un parallélogramme(E) un cercle muni de deux diamètres

131.

E98 n22

Quel que soit le losangeP QRS, il est certain que : (A) Le triangleP QR est équilatéal ;

(B) Le triangleP QR est obtusangle ;

(C) L’aire deP QR est égale à celle deP QS;

(D) L’aire de P QRS est le produit des longueurs de [P R] et de[QS];

(E) Le périmètre deP QRS est la somme des longueurs de [P R]

et de[QS].

132.

DF94 n22

Pour qu’un quadrilatère inscrit dans un cercle soit un carré, il suffit que

(A) ses diagonales aient même longueur ; (B) ses diagonales soient perpendiculaires ; (C) ses diagonales se coupent en leur milieu ;

(D) ses diagonales soient perpendiculaires en leur milieu ;

(E) ses diagonales soient perpendiculaires et aient même longueur.

133.

DF96 n16

Voici un hexagone ABCDEF dans lequel les côtés opposés sont parallèles et de même lon- gueur. Le triangleABC est nécessairement ap- pliqué sur le triangleDEF par

J J

J JJ J

J J JJ A

B C

D E (A) une translation ; F

(B) une symétrie orthogonale ; (C) une symétrie centrale ; (D) une rotation de 90^◦;

(E) aucune des transformations précédentes.

134.

DF98 n22

Dans tout quadrilatère convexe,

(A) Le point d’intersection des diagonales est le milieu de l’une d’elles ;

(B) Deux angles opposés sont supplémentaires ;

(C) Le point d’intersection des diagonales est le point dont la somme des distances aux quatre sommets est la plus petite ; (D) Le demi-périmètre est la somme des longueurs de deux côtés opposés ;

(E) Le point d’intersection des diagonales est le centre du cercle circonscrit.

135.

E98 n18

Laquelle des cinq affirmations suivantes est correcte ?

(A) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est toujours un parallélogramme.

(B) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est toujours un rectangle.

(C) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est toujours un losange.

(D) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est toujours un carré.

(E) Aucune des quatre affirmations précédentes n’est correcte.

136.

DF97 n16

Si trois droites distinctes sont tangentes à un même cercle, alors nécessairement :

(A) ces trois droites ont un point commun ; (B) ces trois droites sont paralèles ;

(C) ces trois droites déterminent un triangle équilatéral ; (D) deux d’entre elles sont perpendiculaires ;

(E) deux d’entre elles ont un point commun.

137.

E96 n6

Deux triangles ont chacun des angles de50^◦,60^◦ et70^◦. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

(A) Ils sont nécessairement superposables.

(B) Ils ont nécessairement une base commune.

(C) Ils ont nécessairement un côté de 2 m.

(D) Ils ne sont pas nécessairement superposables.

(E) Ils sont nécessairement rectangles.

138.

E96 n11

Les deux diagonales d’un parallélogrammeP ont même longueur.

Il en découle que :

(A) P a deux médianes de même longueur ; (B) P est un carré ;

(C) P est aplati en un segment ; (D) P est un losange ;

(E) P est un rectangle.

139.

E97 n19

Un quadrilatère convexe est un losange dès que (A) ses médianes se coupent en leur milieu ;

(B) ses médianes se coupent perpendiculairement en leur milieu ; (C) ses diagonales se coupent en leur milieu ;

(D) ses diagonales sont perpendiculaires ;

(E) ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.

140.

E94 n20

Les deux segments perpendiculaires [ik] et [jl] de la figure, avec |im| =

|jm| et |km| = |lm|, sont les diago- nales d’un

(A) rectangle ;

(B) parallélogramme non rectangle ; (C) losange non rectangle ;

(D) trapèze avec un seul angle droit ;

(E) autre quadrilatère.

i j

l k

m

141.

DF96 n26

Soit x et y deux demi-droites contenues dans une même droite ; alors,

(A) Il existe nécessairement une symétrie centrale appliquant x sury;

(B) Il existe nécessairement une symétrie orthogonale appliquant xsur y;

(C) Il existe nécessairement une translation appliquantx sury; (D) Il existe nécessairement une rotation appliquantx sury; (E) Aucune des propositions précédentes n’est vraie.

142.

E96 n14

Voici trois figures F, G et H du plan. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

F G H

(A) Il existe une translation appliquantF surG.

(B) Il existe une rotation appliquantF surG.

(C) Il existe une translation appliquantGsur H.

(D) Il existe une rotation appliquantGsurH.

(E) Il existe une rotation appliquantF surH.

143.

E94 n30

Un seul des polygones pleins suivants n’est l’image d’aucun cube plein par une projection parallèle. Lequel ?

(A) un carré plein

(B) un rectangle plein, non carr é

(C) un parallélogramme plein, non rectangle (D) un hexagone plein régulier

(E) un hexagone plein non régulier

144.

DF95 n28

Dans la figure ci-contre,M,N etP sont les milieux des arêtes[OA],[OB]et[OC]

du cube. Quel est le rapport du volume du cube à celui de la pyramideOM N P?

O

A B

C

M N

P

(A) 6 (B) 8 (C) 16 (D) 24 (E) 48

145.

E95 n21

Voici un cube dont on a enlevé les parties figurées en trait interrompu ; quelle est la vue du dessus qui correspond à cet objet ?

(A) (B) (C) (D) (E)

146.

DF96 n11

Laquelle des figures suivantes est le développement d’un cube ?

(A) (B) (C) (D) (E)

147.

E94 n13

Voici le développement plan d’un solide trans- parent. Quelle est la projection orthogonale de ce solide sur le plan de la face rstu?

r s

u t

r s

t u

r s

t u

r s

t u

r s

t u

r

s t u

(A) (B) (C) (D) (E)

148.

E96 n18

Voici une partie d’un développement d’une pyramide à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équi- latéraux. Laquelle des figures ci-dessous en donne un développement complet ?

(A) (B) (C) (D) (E)

149.

E95 n8

Un seul de ces développements est celui de la boîte en carton ci-contre.

Lequel ?

(A) (B) (C) (D) (E)

150.

E98 n14

Parmi les cinq figures ci-dessous, laquelle représente le développe- ment de la surface latérale de tronc de cône figurée ci-contre ?

(A) (B) (C) (D) (E)

Logique

151.

E95 n5

E est l’ensemble des élèves de l’École Billy Néaire;B est l’ensemble des ha- bitants de Béville. Seuls trois éléments m,netpont été représentés. Laquelle des propositions suivantes est certai- nement vraie ?

•m

•n

•p E

B

(A) Aucun élève de l’École n’habite Béville.

(B) L’élément nest un élève de l’École qui n’habite pas Béville.

(C) Un seul élève de l’École n’habite pas Béville.

(D) Il y a au moins un élève de l’École qui n’habite pas Béville.

(E) L’élément p est un adulte qui n’habite pas Béville.

152.

DF96 n30

Laquelle des propositions suivantes est vraie dans tout carré ? (A) La longueur d’un côté est égale à la moitié de la longueur d’une diagonale.

(B) La longueur d’un côté est égale à la racine carrée du péri- mètre.

(C) La longueur d’un côté est supérieure aux deux tiers de la longueur d’une diagonale.

(D) La longueur d’un côté est inférieure aux deux tiers de la lon- gueur d’une diagonale.

(E) La longueur d’un côté est égale à la longueur d’une diagonale, multipliée par√

2.

153.

DF96 n18

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

(A) Il existe des carrés qui ne sont pas des rectangles.

(B) Un carré n’est jamais un rectangle.

(C) Tout parallélogramme est un losange.

(D) Tout losange est un parallélogramme.

(E) Certains rectangles ne sont pas des parallélogrammes.

154.

DF94 n11

La négation de l’énoncé

Tous les schtroumpfs ont moins de10 ans ou plus de 100ans est

(A) aucun schtroumpf n’a moins de 10 ans ou plus de 100ans ; (B) aucun schtroumpf n’a à la fois moins de 10 ans ou plus de 100ans ;

(C) il existe un schtroumpf ayant moins de 10 ans et plus de100 ans ;

(D) il existe un schtroumpf n’ayant ni moins de 10 ans ni plus de 100ans ;

(E) tous les schtroumpfs n’ont ni moins de 10 ans ni plus de100 ans.

155.

DF96 n2

Laquelle des propositions ci-dessous est la négation de : “Chaque langue européenne est parlée par l’un de nos guides au moins.” ? (A) Chacun de nos guides parle toutes les langues européennes.

(B) Chacun de nos guides parle une langue européenne au moins.

(C) Aucun de nos guides ne parle aucune langue européenne.

(D) L’un de nos guides ne parle aucune langue européenne.

(E) L’une des langues européennes n’est parlée par aucun de nos guides.

156.

E97 n12

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ? (A) Tout rectangle est un carré.

(B) Les diagonales de tout trapèze se coupent en leur milieu.

(C) Les diagonales de tout rectangle ont même longueur.

(D) Les diagonales de tout parallélogramme sont perpendicu- laires.

(E) Tout parallélogramme a deux angles de 45^◦.

157.

DF97 n21

Laquelle des conditions suivantes est suffisante pour qu’un quadri- latère convexe soit un rectangle ?

(A) Le quadrilatère possède un centre de symétrie et un angle droit.

(B) Le quadrilatère possède deux axes de symétrie.

(C) Les diagonales se coupent perpendiculairement en leur mi- lieu.

(D) Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

(E) Les médianes sont perpendiculaires.

158.

DF98 n25

Le carré d’un nombre est plus petit que le nombre initial. Laquelle des conclusions suivantes est-il permis d’en déduire ?

(A) Le nombre initial est plus petit que−1.

(B) Le nombre initial est compris entre−1 et0.

(C) Le nombre initial est compris entre0 et1.

(D) Le nombre initial n’est pas une fraction rationnelle.

(E) Le nombre initial est une fraction à termes positifs.

159.

DF97 n5

Si r et s sont des entiers tous deux divisibles par 5, laquelle des propositions suivantesn’estpas nécesssairement vraie ?

(A) r−sest divisible par5.

(B) rsest un multiple de25.

(C) 5 est un diviseur der+s.

(D) r+sest divisible par10.

(E) r²+s³ est un multiple de25.

160.

DF95 n10

Laquelle des propositions suivantes peut être mise en défaut par des naturels non nuls xety?

(A) xy ∈Z (B) x−y∈N (C) x

y ∈R⁺ (D) x+y∈R (E) (−x)·(−y)∈N

161.

E96 n23

Un triangle possède un angle obtus. Laquelle des affirmations sui- vantes est vraie ?

(A) Ce triangle est nécessairement isocèle.

(B) La somme de ses deux autres angles est nécessairement plus petite que l’angle obtus.

(C) Les médiatrices des trois côtés de ce triangle se coupent à l’intérieur de celui-ci.

(D) Ce triangle peut être rectangle.

(E) Il n’existe pas de cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

162.

E96 n9

Si une ville compte mille rues et si chacune de ces rues compte un nombre de maisons compris entre0et500, laquelle des affirmations suivantes est certainement vraie ?

(A) La ville compte plusieurs rues de250maisons.

(B) La ville compte des rues non bâties.

(C) L’une des rues de cette ville ne possède qu’une seule maison.

(D) Toutes les rues ont des nombres de maisons différents.

(E) La ville contient au moins deux rues ayant le même nombre de maisons.

163.

DF96 n22

Le poids moyen des30élèves d’une classe est de 47 kg ; si chacun de ces élèves grossit de 3 kg, de combien augmentera le poids moyen ?

(A) 0,1 kg (B) 2 kg (C) 3 kg (D) 90 kg

(E) Une autre valeur

164.

E96 n19

Si, dans un groupe de 10 écoliers, 4 portent des moufles et 8 un bonnet, combien de ces écoliers portent nécessairement à la fois un bonnet et des moufles ?

(A) Au moins4 (B) Exactement 4 (C) Au plus3

(D) Au moins 2 (E) Au plus2

165.

E98 n21

Dans une école, il y a 30 %de garçons et70 % de filles ;30 % des garçons et 20 % des filles sont internes. Quel est le pourcentage d’internes dans l’établissement ?

(A) 22 % (B) 23 % (C) 24 % (D) 25 % (E) 26 %

Analyse combinatoire – Probabilités

166.

DF96 n10

Quatre sacs opaques contiennent :

— Le sac A, une bille blanche et une bille rouge ;

— Le sac B, deux billes blanches et deux billes rouges ;

— Le sac C, deux billes blanches, une bille rouge et une bille noire ;

— Le sac D, dix billes blanches et dix billes noires.

De quel sac faut-il tirer une bille au hasard pour avoir le plus de chances que la bille tirée soit blanche ?

(A) Le sacA (B) Le sac B (C) Le sacC

(D) Le sacD (E) Le choix est indifférent.

167.

DF97 n22

(Sans réponse préformulée) Combien de nombres différents est-il possible de former en permutant les quatre chiffres1,9,9,7? 168.

E96 n28

De combien de manières est-il possible de disposer 3 garçons et 3 filles pour une photographie de groupe si les garçons doivent s’asseoir côte à côte, les filles se tenant debout derrière eux ? (A) ¹₂·6·5·4·3·2·1 (B) 2·3·2·1 (C) (3·2·1)²

(D) (3·2·1)^3·2·1 (E) 3²·3²

169.

DF94 n1

Dans un tiroir sont mélangées 20 chaussettes provenant de 5 paires blanches et de 5 paires bleues. S’il fait noir, combien faut-il prendre de chaussettes dans ce tiroir pour être certain d’avoir au moins une paire de chaussettes de même couleur ?

(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 11 (E) une autre réponse 170.

DF98 n30

Une urne contient 3 boules rouges, 3 boules bleues et 3 boules vertes. Combien de boules faut-il tirer au minimum pour être sûr d’avoir une boule de chaque couleur ?

(A) 9 (B) 7 (C) 5 (D) 4 (E) 3

Divers – Problèmes

171.

E95 n9

Combien de nombres naturels de6chiffres ont53pour somme des chiffres ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 6 (E) 12

172.

E96 n22

(Sans réponse préformulée) Trois nombres sont proportionnels à 150, 72 et 48. Leur somme vaut 3510. Quel est le plus petit des trois ?

173.

DF95 n6

Quel est le chiffrex, si le nombre1 995 434 568 72xest divisible par 8 et par 3?

(A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 9

174.

E95 n27

Quand chacun des chiffres2,4,5,6et9est placé dans exactement une des cases de la soustraction suivante, quelle est la plus petite différence possible ?

−

(A) 58 (B) 123 (C) 149 (D) 171 (E) 176

175.

E95 n18

Une famille compte quatre enfants dont le produit des âges (expri- més en nombres entiers) est 126 et la somme est17. La différence d’âge entre les deux enfants les plus âgés est :

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

176.

E95 n25

À une réunion de famille arrivent5femmes,4hommes et8enfants.

Les hommes entre eux ne s’offrent rien, mais offrent une fleur à chaque femme et à chaque enfant, tandis que les femmes et les enfants offrent une fleur à chaque autre personne. Combien de fleurs se donnent en tout ?

(A) 130 (B) 208 (C) 260 (D) 273 (E) 520

177.

E96 n29

Dans les cases carrées du tableau ci-dessous, on écrit huit des neuf nombres1,2, . . ., 9, de manière que les produits effectués en ligne droite le long des flèches fournissent les valeurs indiquées dans les cercles. Dans quelle case se trouve le nombre2?

16 72 108 28

27

- - -

@

@ R

@

@ R

@

@ R

@

@ R

@

@ R

@

@ R A

B

C

D

E

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E

178.

E95 n2

Parmi les nœuds suivants, lequel ne peut pas être défait sans être coupé ?

(A) (B) (C) (D) (E)

179.

E97 n18

Trois cordes sont fixées d’un côté à un mur, de l’autre à un bâton, comme schématisé ci-contre. Le- quel des dessins suivants repré- sente une situation possible après une rotation d’un demi-tour du bâton autour d’un axe perpendi- culaire au mur ?

(A) (B)

(C) (D)

(E)

180.

DF94 n3

Laquelle des expressions suivantes repré- sente la partie ombrée sur le diagramme ensembliste ci-contre ?

(A) (X∩Z)∪Y (B) (X∩Y)∪Z (C) (X∩Y)∪(X∩Z) (D) Y ∩(X∩Z) (E) Z∩(X∪Y)

X

Z Y

181.

DF96 n14

Une personne a acheté des timbres à 3 F et des timbres à 5 F pour un total de 100 F exactement. Parmi les suivants, quel est le nombre de timbres à 5 F qu’ellenepeut pas avoir acheté ?

(A) 5 (B) 8 (C) 9 (D) 11 (E) 17

182.

DF97 n1

Parmi les cinq nombres suivants, quel est le plus petit qui, à la fois,

• divisé par3, donne pour reste1,

• divisé par4, donne pour reste2,

• divisé par5, donne pour reste3et

• divisé par6, donne pour reste4?

(A) 10 (B) 18 (C) 28 (D) 58 (E) 358

183.

E97 n9

Différents montants d’argent sont constitués de pièces de 20 F et de 50 F ; dans chacun d’eux, il y a trois fois autant de pièces de 20 F que de pièces de 50 F. Parmi les nombres suivants, lequel est le plus grand qui divise nécessairement tous ces montants (exprimés en francs) ?

(A) 10 (B) 70 (C) 100 (D) 110 (E) 170

184.

E96 n10

(Sans réponse préformulée) Le produit de l’âge du capitaine, du nombre de ses enfants et de la longueur de son bateau, exprimée en pieds (marins), est de 16 995. Quel est l’âge du capitaine, sachant qu’il a des garçons et des filles et que, bien que majeur, il n’est pas centenaire ?

185.

E97 n25

(Sans réponse préformulée)Est appelénombre parfaittout nombre naturel non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs positifs, lui-même excepté ; par exemple, 6 = 1 + 2 + 3. Quel est le plus petit nombre parfait supérieur à20?

186.

DF96 n23

Dans le train d’engrenages repré- senté ci-contre, lorsque la roueR fait un tour dans le sens des ai- guilles d’une montre, de combien tourne la roue S? (Les nombres indiqués donnent le nombre de dents de chaque engrenage. Deux cercles concentriques représentent deux roues solidaires du même axe.)

R

20 10 S

5

10 5

(A) D’un tour dans le sens des aiguilles d’une montre.

(B) De 2 tours dans le sens des aiguilles d’une montre.

(C) De 4 tours dans le sens des aiguilles d’une montre.

(D) De 2 tours dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre.

(E) De 4 tours dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre.

187.

DF96 n12

Si la somme de trois nombres naturels est un nombre de deux chiffres, il est certain que

(A) chacun des trois nombres est supérieur à10; (B) deux des nombres, au moins, sont inférieurs à50; (C) aucun des trois nombres n’est supérieur à 50; (D) les trois nombres sont différents ;

(E) le produit des trois nombres est inférieur à35 000.

188.

DF98 n4

Une horloge ordinaire indique 3 h 40 min. Que mesure l’angle entre ses deux aiguilles ?

(A) 150^◦ (B) 145^◦ (C) 140^◦ (D) 135^◦ (E) 130^◦

189.

E98 n12

Les questions des OMB paraissent en recueils couvrant chacun une période de 6 ans. La première année couverte par le volume1 est 1976. Dans quel volume se trouveront les questions de l’an 2000 ?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

190.

DF96 n13

Avant son départ en vacances, une personne a acheté 3000francs français pour18 270francs belges. Cette personne, en France, a dû changer à nouveau de l’argent : pour 10 000 francs belges, elle a reçu 1600 francs français. Si elle avait acheté en Belgique, avant son départ, tout l’argent français dont elle a eu besoin,

(A) elle aurait gagné480francs belges ; (B) elle aurait gagné256francs belges ; (C) cela serait revenu au même ;

(D) elle aurait perdu256francs belges ; (E) elle aurait perdu480francs belges.

191.

E94 n22

Une plante mesure 5 cm et double sa hauteur en une semaine, une autre mesure 0,5 mm et quadruple sa hauteur en une semaine.

Au cours de quelle semaine, comptée à partir d’aujourd’hui, la deuxième plante dépassera-t-elle la première en hauteur ?

(A) la quatrième (B) la cinquième (C) la sixième

(D) la septième (E) la huitième

192.

DF98 n8

(Sans réponse préformulée)Un élève passe en trois heures un test à choix multiple comportant35questions dont5questions de gram- maire. En moyenne, il met, pour répondre à chacune des questions de grammaire, le double du temps qu’il met pour répondre à cha- cune des autres questions. Combien de minutes a-t-il consacré à l’ensemble des5 questions de grammaire ?