TES 5-TL11 Interrogation 14B : Correction 13 mai 2019 Exercice 1 :
En 2013, une ´etude a montr´e que 89 % des clients ´etaient satisfaits des produits d’un supermarch´e.
1. D´eterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un
´
echantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.
Lors d’une enquˆete r´ealis´ee en 2018 aupr`es de 300 clients choisis au hasard, 286 ont d´eclar´e ˆetre satisfaits.
2. Calculer la fr´equence de clients satisfaits dans l’enquˆete r´ealis´ee en 2018.
3. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que le taux de satisfaction des clients est rest´e stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
Solution:
1. On prend un ´echantillon de taille 300 donc n= 300. Une ´etude a montr´e que 89 % des clients sont satisfaits donc la probabilit´e estp= 0,89.
n= 300>30,np= 267>5 etn(1−p) = 33>5 donc on peut d´eterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
I300=
"
p−1,96
rp(1−p)
n ;p+ 1,96
rp(1−p) n
#
=
"
0,89−1,96
r0,89×0,11
300 ; 0,89 + 1,96
r0,89×0,11 300
#
≈[0,855 ; 0,925]
2. La fr´equence de clients satisfaits est :f = 286
300 ≈0,953
3. Si on suppose que le taux de satisfaction reste stable `a que 89 %, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % reste identique. Or f /∈I300 donc au risque d’erreur de 5 %, donc on ne peut pas dire que le taux de satisfaction est rest´e stable.
Exercice 2 :
Une entreprise souhaite commercialiser un nouveau mod`ele de valises. Afin de mieux connaˆıtre les attentes des consommateurs, elle r´ealise un sondage aupr`es de 2 000 personnes. Parmi elles, 872 d´eclarent que la solidit´e est le principal crit`ere pris en compte lors de l’achat (devant la l´eg`eret´e, le prix, la couleur ... ).
1. Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % la proportion de consommateurs pour lesquels la solidit´e est le principal crit`ere de choix.
2. Quelle aurait dˆu ˆetre la taille de l’´echantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude ´egale
` a 0,04 ? Solution:
1. Dans l’´echantillon de taille n = 2 000, la proportion de personnes d´eclarant que la solidit´e est le principal crit`ere d’achat est de f = 872
2 000 = 0,436.
n = 2 000> 30, nf = 872 >5 et n(1−f) = 1 128 > 5 donc les conditions sont r´eunies pour que l’on puisse ´etablir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de consommateurs pour lesquels la solidit´e est le principal crit`ere de choix.
I =
f − 1
√n ; f + 1
√n
=
0,436− 1
√
2 000 ; 0,436 + 1
√ 2 000
≈
0,413 ; 0,459 2. L’amplitude de l’intervalle de confiance est 2
√n; on cherche doncn pour que 2
√n = 0,04.
√2
n = 0,04 ⇐⇒ 2 0,04 =√
n ⇐⇒ 50 =√
n ⇐⇒ n= 2 500
Il faut donc un ´echantillon de taille n = 2 500 pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude
´
egale `a 0,04.
