Douine – Terminale S – Travail à distance 47 - CORRECTION
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Sondage
Pour décider de la construction d’un grand stade, une municipalité veut sonder la population pour estimer si plus de 50% des électeurs y sont favorables. La municipalité réalise un sondage aléatoire de taille 100 et obtient 54 avis favorables. Quelle est la fréquence d’avis favorables sur ce sondage ? La municipalité peut-elle décider de la construction du stade en prétextant que plus de 50% de la population y est favorable ?
100
54 0, 54 100
1 1
; 0, 44; 0, 64
100 100
obs
C obs obs
n f
I f f
Au niveau de confiance de 95% on peut dire que la proportion d’avis favorables est comprise entre 44% et 64%. La municipalité ne peut donc pas décider de construire.
On suppose que la municipalité réalise un sondage de taille n et que la fréquence des votes favorables reste égale à 0,54. Si p est la proportion (inconnue) d’avis favorables dans la population, donner l’expression d’un intervalle de confiance de p au niveau de 95%. La municipalité ne construira ce stade que si la proportion p d’avis favorable dépasse 50%.
Déterminer à partir de quelle valeur de n la municipalité pourra prendre cette décision.
1 1
obs ; obs
I f f
n n
Pour que la municipalité pourra prendre la décision de construire lorsque : 0, 54 1 0, 5
1 0, 04
25 625
n n n n
Statistiquement fondé ?
Pour comparer les cotes de popularité de trois personnalités X, Y et Z un journal a réalisé un sondage : sur 1320 personnes interrogées, 27% ont voté pour X, 38,5% ont voté pour Y et 34,5%
ont voté pour Z. Estimer par un intervalle la cote de popularité de X, de Y et de Z dans la population au niveau de confiance de 95%. Un classement peut-il être publié ? Avec ces mêmes taux, pour quelle taille du sondage un classement aurait été statistiquement fondé au niveau de confiance de 95% ?
Candidat X : I=[0,24 ; 0,30]
Candidat Y : I=[0,36 ; 0,41]
Candidat Z : I=[0,32 ; 0,37]
Non car les intervalles de confiance des deux premiers (Y et Z) se chevauchent.
Pour que le classement X < Z < Y soit statistiquement fiable au niveau de confiance de 95 % :
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1 1
0, 345 0, 385 2 0, 385 0, 345 2 0, 04
50 2500
n n
n n n n
Premier tour d’une élection présidentielle
Le 18 avril 2002, l’institut IPSOS effectue un sondage dans la population en âge de voter. On constitue un échantillon de 1000 personnes (inscrites sur les listes électorales) que l’on suppose choisies de manière aléatoire. Sur les 1000 personnes : 140 ont déclaré vouloir voter pour Jean- Marie Le Pen, 195 personnes ont déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac, 170 ont déclaré vouloir voter pour Lionel Jospin. Quels seront les deux candidats présents au second tour ?
Pour information les résultats obtenus par ces trois candidats au premier tour de l’élection ont été les suivants : 16,9% - 19,9% - 16,2%
Candidat Jean-Marie le Pen : I=[0,11 ; 0,17]
Candidat Jacques Chirac : I=[0,16 ; 0,23]
Candidat Lionel Jospin : I=[0,14 ; 0,20]
Impossible de le dire car les trois intervalles de confiance se chevauchent.
Intervalles disjoints
Un maraîcher achète un lot de semences de tomates pour produire ses plants de tomate. Il lui reste des semences de l'année passée, dont il doit contrôler le taux de germination pour pouvoir les utiliser avec les autres. En effet, des taux de germination trop différents provoquent des trous dans les plates-bandes de production, ce qui génère un coût de manutention plus élevé. Il lui faut donc comparer les taux de germination des semences des deux années.
Une stratégie consiste à calculer et à comparer les intervalles de confiance des taux de germination (qui sont des proportions) des plants de l'année et de l'année précédente. Si les deux intervalles ne se recoupent pas, on peut conclure à une différence de taux de germination entre les semences des deux origines. Il faudra alors les semer séparément. Pour faire cette comparaison, le maraîcher prélève, aléatoirement dans les semences de l'année, un échantillon de 200 graines qu'il met à germer. Il constate que 185 graines germent. Il prélève ensuite, aléatoirement dans les semences de l'année précédente, un échantillon de 200 graines qu'il met à germer. Il constate que 150 graines germent. Aidez le maraîcher à prendre une décision.
Semences de l’année :
200
185 0,925 200
0,854; 0,996
obs
C
n f I
. Semences de l’année précédentes :
200
150 0, 75 200
0, 679; 0,821
obs
C
n f I
Les deux intervalles de confiance sont disjoints. Il doit les planter séparément.
