DEVOIR EN CLASSE N°6

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Nom/Prénom : ... Vendredi 30 mars 2018 Classe : TS

DEVOIR EN CLASSE N°6

L'usage de la calculatrice est autorisée.

Vous êtes invité à faire figurer sur votre copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse que vous aurez développé. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et de la rédaction.

Durée : 2 h.

Exercice 1 : ( points)

Soit a un réel compris entre 0 et 1. On note f _a la fonction définie sur ℝ par f_a(x)=ae^ax+a. On note I(a) l'intégrale de la fonction f_a entre 0 et 1 : I(a)=

∫

0 1

f_a(x)dx . 1) On pose dans cette question a=0 . Déterminer I(0).

2) On pose dans cette question a=1 .

On étudie donc la fonction f₁ définie sur ℝ par f ₁(x)=e^x+1 .

a) Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction f₁ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre I(1).

b) Calculer la valeur exacte de I(1) puis en donner une valeur approchée arrondie au dixième.

3) Existe-t-il une valeur de a pour laquelle I(a)=2 ? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude 10⁻². Exercice 2 : ( points)

Indiquer, en justifiant, si les affirmation suivantes sont vraies ou fausses.

1) lim

x→+ ∞

3x−2−2xlnx=+ ∞.

2)

[

³⁷17;+ ∞

[

est l'ensemble des solutions de lnx1lnx−2ln18 . 3) Pour tout réel x, e^ln^x=x.

4) Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)= 3 e^x e^x+5 . La valeur moyenne de f sur [0 ; ln 5 ] est 3

ln5ln

(

⁵³

)

^.

Pour tout réel x, on note I(x)=

∫

0 x

cos²tdt et J(x)=

∫

0 x

sin²tdt . 1) Calculer I(x)+J(x) et I(x)−J(x).

2) En déduire I(x) et J(x).

ou

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1) Calculer

∫

−1

2 2t+1

√

^t²⁺^t⁺¹^d^t ^.

2) a) Démontrer que la fonction F définie sur ℝ par F(x)=(x²−2x+2)e^x est une primitive sur ℝ de la fonction f définie par f (x)=x²e^x.

b) Déterminer la primitive de f sur qui prend la valeur 1 en 0. ℝ

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(2)

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [-2,5 ; 2,5] par f (x)=ln(−2x²+13,5).

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A – Etude de la fonction f

1) Calculer f '(x) pour x ∈ [-2,5 ; 2,5].

2) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f sur [-2,5;2,5]. En déduire le signe de f sur [-2,5 ; 2,5].

Partie B – Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

1) La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2) Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est A=8

∫

0 2,5

f(x)dx .

3) L'algorithme donné en annexe (page 3), permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=

∫

0 2,5

f (x)dx, notée a . On admet que aIa f 0−f2,5

n ×2,5.

a) Le tableau en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l'exécution de l'algorithme pour n=50 . Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré prés, de l'aire de la zone de creusement.

(3)

ANNEXE EXERCICE 3 La valeur de n est donnée par l’utilisateur.

S ← 0

Pour k variant de 1 à n R ← 2,5

n ×f

(

^2,5n ×k

)

S ← S + R Fin pour

Le tableau ci-dessous, donne différentes valeurs obtenues pour R et S ( arrondies à 10⁻⁶) lors de l'exécution de l'algorithme pour n=50

Initialisation S=0 ; n=50

Boucle pour Etape k R S

1 ….. …..

2 0,130 060 0,260 176

3 0,129 968 0,390 144

4 0,129 837 …..

. . .

24 0,118 137 3,025 705

25 0,116 970 3,142 675

. . .

49 0,020 106 5,197 538

50 ... ...

Après exécution de l'algorithme, S = …....

(4)

Classe : TS

CORRECTION DEVOIR EN CLASSE N°6

Exercice 1 : 1) I(0)=

∫

0 1

0 dx=0 .

2) On pose dans cette question a=1 .

On étudie donc la fonction f₁ définie sur ℝ par f ₁(x)=e^x+1 . a) I(1) est la partie colorée en rouge.

b) I(1)=

∫

0 1

e^x+1 dx=

[

e^x+ x

]

0

1=e+1−(e⁰+0)=e+ 1−1=e ; I(1)≈2,7.

3) Résolvons I(a)=2 .

∫

0 1

ae^ax+adx=2 ;

[

e^{a x}+a x

]

₀¹=2 ; eâ+ a−(e⁰+ 0)=2 ; eâ+ a=3 Posons g(a)=eâ+a.

g est dérivable sur [0;1] pour tout réel a , g '(a)=e^a+1 .

Pour tout réel a, e^a>0 puis g(a)>1>0 donc g est strictement croissante sur [0;1].

g(0)=e⁰+0=1 et g(1)=e¹+1≈3,72 .

g est continue et strictement croissante sur [0;1]. De plus, 3 ∈ [g(0);g(1) ] donc l'équation g(a)=3 admet une unique solution  sur cet intervalle.

Avec la calculatrice, 0 <  <1 puis 0,7<<0,8 puis 0,79<<0,8.

I(a)=2 admet une unique solution  sur [0;1] avec 0,79<<0,8.

Exercice 2 :

1) Posons f (x)=3x−2−2xlnx pour x ∈ ]0 ; +∞[.

f (x)=x

(

³⁻²^x⁻²^ln^x^x

)

lim

x→+ ∞

3−2

x=3 et lim

x→+ ∞

lnx

x =0 puis lim

x→+ ∞3−2

x−2lnx x =3 .

Comme lim_x_{→+ ∞}x=+ ∞, on en déduit par limite de produit lim_x_{→+ ∞} f(x)=+ ∞. L'affirmation est vraie.

2) [- 4 ; 5] est l'ensemble des solutions de lnx1lnx−2ln18 . ln(x+1) est définie sur ]-1;+∞[ et ln(x−2) est définie sur ]2;+∞[.

Soit x ∈ ]2 ; +∞ [.

lnx1lnx−2ln18 ⇔ ln



^x1^x−2



^^{ln 18 ⇔} ^x1^x−2^^{18 ⇔} ^x1−18^x⁻²^x36^0

x –∞ 2 37

17 +∞

−17x+37 + + 0 –

x−2 – + ⋮ +

quotient – + 0 –

S=

[

³⁷17;+ ∞

[

. L'affirmation est vraie.

3) L’affirmation est fausse. Pour tout réel x strictement positif, e^ln^x=x.

4) 1

(ln5−0)

∫

0 ln 5

f (x)dx= 1

ln5

[

3 ln(e^x+5)

]

0 ln5= 3

ln 5(ln(10)−ln(6))= 3

ln5ln(10 6 )= 3

ln5ln(5 3) L'affirmation est vraie.

(5)

Exercice 4 :

Partie A – Etude de la fonction f

1) –2x²13,5 :  =108 ; 2 racines x₁≈–2,59 et x₂≈2,59 donc –2x²13,5 >0 sur [-2,5,2,5].

f est dérivable sur I= [-2,5 ; 2,5] et pour tout réel x de I : f 'x= –2x

–2x²13,5 .

2) Pour x ∈ I –2x²13,50 donc f 'x est du signe de –2x.

x –2,5 0 2,5

f '(x) + 0 –

f(x) 0

ln(13,5) 0 f est positive sur [-2,5;2,5].

Partie B – Aire de la zone de creusement

1) Soit A(-2,5;0) et B(0;ln(13,5)). A et B sont deux points de C.

On a OA=2,5 et OB=ln13,5 ≈2,6 donc C n'est pas un arc de cercle.

2) f est positive sur I donc l'aire du domaine sous la courbe compris entre les droites d'équation x=–2,5 et x=2,5 est A=

∫

–2,5 2,5

f xdxu a.

C étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,

∫

–2,5 0

fxdx=

∫

0 2,5

fxdx. D’après la relation de Chasles, A=

∫

–2,5 0

f xdx

∫

0 2,5

f xdx=2

∫

0 2,5

fxdx(ua).

Or, 1 ua = 4 m² donc A=4×2

∫

0 2,5

f xdx= 8

∫

0 2,5

fxdx m². 3) a)

Initialisation S=0 ; n=50

Boucle pour Etape k R S

1 0,130 116 0,130 116

2 0,130 060 0,260 176

3 0,129 968 0,390 144

4 0,129 837 0,519 981

49 0,020 106 5,197 538

50 0 5,197 538

Après exécution de l'algorithme, S = 5,197 538 b) D’après l'algorithme,

∫

0 2,5

f xdx≈5,197538 d'où A≈8×5,197538≈41,580304 m² L'aire de la zone de creusement est environ 42 _m².

(6)

Exercice 3 :

1) Soit x un réel.

IxJx=

∫

0 x

cos²tsin²tdt par linéarité. IxJx=

∫

0 x

1 dt=[t]₀^x=x et IxJx=

∫

0 x

cos²t−sin²tdt par linéarité.

Ix−Jx=

∫

0 x

cos2tdt=

[

¹2sin2t

]

0 x

=1

2sin2x−sin0=1

2sin2x.

2) On a IxJx=x (1) et Ix– Jx=1

2sin2x (2).

En additionnant membre à membre, on obtient 2Ix=x1

2sin2x puis Ix=1 2x1

4sin2x. Jx=x – Ix=1

2x –1

4sin2x.