1. Rapport de longueurs

(1)

1

Chapitre 5

Le théorème de Thalès

1. Rapport de longueurs

Définition. Soit x et y deux longueurs exprimées dans la même unité. Le rapport de x à y est le quotient ^x

y de ces longueurs.

Remarque. Le rapport de deux longueurs n’a pas d’unité ! Exemples :

(1) Si M mil[AB] :

a) Quel est le rapport de AB à AM ? b) Quel est le rapport de AM à AB ?

c) Quel est le rapport de AM à MB ? d) Interprétez ces rapports !

(2) Dans un cercle :

a) Quel est le rapport du diamètre d au rayon r ? b) Quel est le rapport du périmètre P au diamètre d ?

(3) Dans un carré ABCD :

a) Quel est le rapport de deux côtés consécutifs ?

b) Quel est le rapport de la diagonale à la longueur d’un côté ?

(2)

2

(4) Soit un rectangle tel que la longueur L mesure 3 fois la largeur l.

a) Quel est alors le rapport de la longueur à la largeur ? …..

b) Quel est le rapport de la largeur à la longueur ? …….

c) L est ……… que l.

d) l est ………. que L.

Exercice 1

Dans un triangle équilatéral, déterminer le rapport de la hauteur h au côté a.

2. Proportions

Voir manuel p. 36

Soit x et y deux longueurs. Alors :

• x y  le rapport de x à y est ………

• x y  le rapport de x à y est ………

• x y  le rapport de x à y est ………

(3)

3

3. Théorème de Thalès

A. Configurations du triangle et du trapèze croisé :

Soit d et d deux droites sécantes et soit O leur point d’intersection.

Soit A et B deux points de d et soit A et B deux points de d, tous distincts de O.

Si (AA) ( BB) alors :

(1) OA AA

B A

OB O O

B B



 

  (2)

A A AB

O B O A

   (variante) Figures : Il y a deux configurations possibles :

a) Les points A et B sont du même côté de O : configuration du triangle :

b) Les points A et B sont de part et d’autre de O : configuration croisée (ou

« en papillon »)

Démonstration : (1) Admis. (2) : Démonstration dans l’exercice ….

Remarque : La contraposée du théorème de Thalès s’énonce comme suit :

Si O

O OB B OA A

  (ou

A A AB

O B O A

  ), alors (AA)(BB)

La contraposée permet donc de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.

(4)

4 Exercice 2

Exercice 3

(5)

5 Exercice 4

Exercice 5

Dans un triangle ABC, soit I mil[AB]. Tracer la parallèle à [BC] passant par I. Elle coupe le côté [AC] en J.

(1) Montrer que J mil[AC]. (2) Quel est le rapport de IJ à BC ?

(6)

6 Exercice 6

Démontrer la variante (2) du théorème de Thalès dans la configuration du triangle, en supposant que (1) est vrai.

B. Configuration du trapèze :

Soit AA B B  un trapèze aux bases parallèles [AA] et [BB]. Soit C (AB) et C(A B ).

Si (CC) ( AA) ( BB) alors A A AC

B C AB  

  . Figure :

Remarque : Dans cette configuration il n’y a pas d’égalité avec AA, BB ou CC ! Démonstration : On peut se ramener à la

configuration du triangle en traçant une droite parallèle à (A C ) passant par A.

Cette droite coupe (BB) en B et (CC) en C.

(7)

7

Comme (BB) ( CC), on a d’après le théorème de Thalès dans le triangle ACC : AB AB

AC AC

 

 (i)

Mais par hypothèse AA B B   et AA C C   sont des parallélogrammes. Donc : ABA B  et ACA C  (ii)

En remplaçant (ii) dans (i), on obtient : A A AC

B C AB  

  . Exercice 7

(1) En observant bien la figure ci-contre, détermine les rapports suivants :

...

AE

AD  ...

...

AE AF  ...

...

AF

AD  ...

...

EF FD 

(2) En déduis les rapport suivants en justifiant les réponses : BG

BC , BH BC , BG

BH et GH HC .

(3) Que peut-on dire de la longueur des segments [BG], [GH] et [HC] ?

(8)

8

4. Réciproque du théorème de Thalès

A. Dans les configurations du triangle et du papillon : Soit d et d deux droites sécantes et soit O leur point d’intersection.

Soit A et B deux points de d et soit A et B deux points de d, tous distincts de O.

Si O

O OB B OA A

  (ou

A A AB

O B O A

  ) et si les points O, A, B et les points O,A, B sont alignés dans le même ordre, alors (AA) ( BB).

B. Dans la configuration du trapèze :

Soit AA B B  un trapèze avec les bases parallèles [AA] et [BB]. Soit C (AB) et C(A B ).

Si A

A AC

B C AB  

   et si les points A, B, C et les points A, B, C sont alignés dans le même ordre, alors (CC) ( AA) ( BB).

A : Configuration du triangle Configuration croisée

B : Configuration du trapèze

Remarque importante : L’hypothèse « sont alignés dans le même ordre » dans les deux réciproques est essentielle ! En effet, voici un contre-exemple pour la configuration A lorsque cette hypothèse n’est pas vérifiée :

(9)

9

Cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès : Théorème des milieux. Soit ABC un triangle,

mil[ ]

I  AB et J mil[AC]. Alors : (1) ( ) (IJ  BC)

(2) 1

IJ  2BC Démonstration :

(10)

10 Exercice 8

Exercice 9