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Examen M´ edian PS10 - A08

Dur´ ee : 2 heures.

Sans document; calculatrice autoris´ ee.

Exercice 1

On consid`ere une barre de longueur L et de section A. On note ρ la masse volumique et E le module d’Young. La barre est encastr´ee en x = L (Fig. 1). A partir de l’instant t = 0, la barre est soumise `a un d´eplacement impos´e U (t) `a l’extr´emit´e gauche x = 0. On rappelle l’´equation dynamique d’une barre en traction-compression (sans terme source):

ρA ∂ ² u

∂t ² −

∂

∂x EA ∂u

∂x

!

= 0.

Le champ de contrainte longitudinal est donn´e par σ = E∂u/∂x.

(1) Donner l’expression de la c´el´erit´e c des ondes longitudinales.

(2) Ecrire le Probl`eme aux Valeurs Propres (PVP) pour la barre encastr´ee-encastr´ee. ´ D´eterminer les fr´equences propres et les modes propres normalis´es v ⁿ (x).

Montrez l’orthogonalit´e des modes.

Afin de v´erifier les conditions aux limites non homog`enes, on introduit une fonction auxiliaire g(x, t) et on cherche la solution du probl`eme sous la forme:

u(x, t) = ^X

n

v ⁿ (x)q ⁿ (t) + g(x, t)

(3) D´eterminer g(x, t).

x=0 x=L

x U(t)

Fig. 1.

Preprint submitted to Elsevier Science 16 November 2008

x=0 x=L

x U(t)

Fig. 2.

(4) Le d´eplacement impos´e est sinusoidal de pulsation Ω, U(t) = U ⁰ sin(Ωt). Initialement, on consid`ere que la barre est au repos et non deform´ee. Calculer la r´eponse de la barre.

Que se passe t-il lorsque la pulsation impos´ee est tr`es voisine d’une des pulsations propres de la barre ?

On suppose maintenant que Ω est tr`es proche de la premi`ere pulsation propre. Pour

´evitez la r´esonance, on rajoute un ressort de raideur K `a l’extremit´e droite de la barre (x = L)(Fig. 2). Lorsque la barre n’est pas deform´ee, le ressort n’est pas contraint.

(5) Montrez que cela revient `a imposer une condition au limite du type:

∂u

∂x (L, t) = − α u(L, t)

ou α est une constante (positive) d´ependante des param`etres du probl`eme.

(6) Ecrire le nouveau Probl`eme aux Valeurs Propres en tenant compte de cette relation. ´ Montrez graphiquement que la premi`ere fr´equence propre est n´ecessairement inf´erieure `a celle de la barre encastr´ee-encastr´ee. Commentez l’int´erˆet de ce dispositif.

Exercice 2

On consid`ere un pont de longueur L que l’on peut mod´eliser comme une poutre en appui simple de section A et de moment quadratique I. On note ρ ^L et E la masse lin´eique et le module d’Young. On rappelle l’´equation dynamique de la poutre:

ρ ^L ∂ ² w

∂t ² + EI ∂ ⁴ w

∂x ⁴ = f.

L’effort tranchant et le moment sont donn´es respectivement par T = −∂M/∂x et M = EI∂ ² w/∂x ² . Une voiture roule avec une vitesse constante V , elle passe en x = 0 `a l’instant t = 0 (Fig. 3). Le poids de la voiture (de masse m) ´exerce sur le pont une force F consid´er´ee ponctuelle (au point not´e x ⁰ (t)).

(1) Ecrire le Probl`eme aux Valeurs Propres pour la poutre en appui simple. D´eterminer ´ les fr´equences propres et montrez que les modes propres normalis´es v ⁿ (x) sont identiques

`a ceux de l’Exercice 1.

2

x=0 x=L

x

F x=x ⁰ (t) V w(x,t)

Fig. 3.

(2) Donner l’expression du terme de droite f en fonction des donn´ees du probl`eme.

(3) Calculer la r´eponse du pont. Quelles sont les vitesses V `a ´eviter ?

On suppose maintenant que la chauss´ee est l´eg`erement d´eform´ee (en forme de tˆole ondul´ee de p´eriode Λ). Ceci a pour effet d’ajouter `a la force F une force oscillatoire de la forme F ⁰ sin(Ωt).

(4) Calculer la nouvelle r´eponse du pont (dans ce cas, ne pas calculer explicitement les int´egrales de Duhamel).

Rappels

La r´eponse de l’oscillateur harmonique ¨ q + ω ² q = h a pour expression:

q(t) = q(0) cos ωt + ˙ q(0) sin ωt

ω +

t

Z

0

h(τ) sin(ω(t − τ ))

ω dτ

Quelques r´esultats de trigonom´etrie:

Z

x sin(ax)dx = 1

a ² (sin(ax) − ax cos(ax))

Z

x cos(ax)dx = 1

a ² (cos(ax) + ax sin(ax)) sin ² (a) = 1 − cos(2a)

2

t

Z

0

sin(Ωτ ) sin(ω(t − τ ))dτ = Ω sin(ωt) − ω sin(Ωt)) Ω ² − ω ²

cosh a = e ^a + e ^{− a}

2 , sinh a = e ^a − e ^{− a} 2

3