Suites - Relations de comparaison

Stanislas

Exercices

Suites - Relations de comparaison

Chapitre VIII MPSI 1

2015/2016

I - Manipulation des relations de comparaison

Exercice 1. (-)

1. Soientα, β deux suites de nombres complexes telles queαn∼βn. On suppose que pour tout n∈N,Re(αn)6= 0 etRe(βn)6= 0. A-t-onRe(αn)∼Re(βn)?

2. Soitu une suite réelle. On suppose queu_n+1 ∼u_n. A-t-onu_2n∼u_n? 3. Soientu, v deux suites réelles telles que u_n∼v_n. A-t-on(u_n)ⁿ∼(v_n)ⁿ?

Exercice 2. (-)Soientuetv des suites réelles de limites nulles. Montrer quee^un−e^vn ∼un−vn. II - Calculs

Exercice 3. (-)Donner un équivalent simple des suites de terme général 1. u_n=√

n⁴+ 3n−n². 2. un= ln n+_n¹5

−lnn.

3. un= sin 1−cos_n¹ . 4. u_n= sin

ln 1 + _2n¹2

.

5. un= 1−e^{2 ln}(¹⁺_n¹). 6. un= ln cos_n¹

+ cos tan_n²

−1.

7. u_n= ln cos_n¹

+ cos tan_n²2

−1. 8. u_n=e^arccosn1 −e^π2 cos^√1_n.

Exercice 4. (-)Déterminer la limite des suites dénies pour toutn∈N^? par 1. u_n= (cos_n¹)ⁿ². 2. u_n=n²(e^1/n−e^1/(n+1)).

Exercice 5. (-)Montrer les équivalences suivantes.

1.

n

P

k=1

k!∼n!. 2.

2n

P

k=n 1

k^k ∼ _n¹_n. 3.

n

P

k=1 1

k ∼lnn.

Exercice 6. (♥)Soit(un)n∈Nla suite réelle dénie par récurrence paru0 ∈]0,1[et pour tout entier natureln,u_n+1= ^1+u₂²ⁿ.

1. Montrer que la suite(un) converge et préciser sa limite`.

2. En déduire la limite de la suite

1

un+1−` −_u¹

n−`

.

3. En utilisant le lemme de Cesàro, déterminer un équivalent de(u_n−`).

Exercice 7.Soit(u_n)n∈N dénie paru₀>0et pour tout n>0paru_n+1 =u_n+ _u¹

n. 1. Montrer que pour toutn>1,un>1.

2. Montrer que la suite(un)n∈N est croissante.

3. Montrer que la suite(u_n)n∈N tend vers+∞. 4. Montrer queu²_n+1−u²_n∼2.

5. En utilisant le lemme de Cesàro, en déduire queu_n∼√ 2n. Exercice 8. (!)Déterminer la limite puis un équivalent de la suite

1 n

n

P

k=1

k^1/n n

.

Stanislas A. Camanes