Chapitre SUITES NUMERIQUES 1 re

Histoire des mathématiques

L’un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d’Archimède (très brillant scientifique grec de Sicile, mathématicien physicien et ingénieur ; 287 av.J.C – 212 av.J.C). Dans son traité « La mesure du cercle », pour trouver une valeur approchée de 𝜋, il avait eu la brillante idée de considérer des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle de rayon 1 : d’abord deux triangles équilatéraux puis deux carrés, deux pentagones, ect.

Figure : Exemples de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle : pentagone, hexagone et octogone.

Comme on peut le voir sur la figure ci-dessus, plus le nombre de côtés du polygone inscrit au cercle est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant inférieur. De même, plus le nombre de côtés du polygone circonscrit est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant supérieur. Les périmètres de ces deux polygones forment ainsi deux suites de nombres qui encadrent la circonférence du cercle, en l’occurrence 2𝜋.

Comme Archimède de nombreux autres grands scientifiques (Fibonacci, Lucas, Bernoulli, Newton, Moivre, Cauchy, Wallis, pour ne citer qu’eux…) vont, historiquement s’intéresser aux suites dans le but d’approcher des valeurs numériques.

Au cours du XVII^e et du XVIII^e siècle, l’intuition et le génie de mathématiciens tels Euler ou Bernoulli amènent à l’établissement de nombreux résultats relatifs aux suites, reléguant parfois au second plan les limites de validité de leurs découvertes.

Il faut donc attendre le XIX^e siècle pour qu’Augustin Louis Cauchy (mathématicien français réputé pour sa rigueur et sa finesse ; 1789 – 1857) pose les fondements rigoureux de la théorie des suites. Cauchy prend ainsi sa revanche sur les illustres

mathématiciens du XVII^e et du XVIII^e siècle. Deux événements décisifs viennent alors donner un élan supplémentaire aux suites : l’introduction de la notation indicielle qui consiste à repérer chaque terme d’une suite par une même lettre affectée d’un indice et le point de vue de Peano (mathématicien italien, la définition axiomatique des entiers naturels porte son nom ; 1857 – 1932) qui définit une suite comme étant une fonction de ℕ dans ℝ.

Plus récemment, dans la seconde moitié du XX^e siècle, le développement des outils de calcul va logiquement donner un nouvel essor à l’étude des suites. A l’heure actuelle, les domaines d’application des suites sont bien vastes : Analyse numérique, Mathématiques financières, Physique, Biologie, ect.

I Généralités sur les suites 1.1 Définition

Exemple

La suite 𝑢 qui associe à tout entier naturel son double.

On note 𝑢₀=0, 𝑢₁=2, 𝑢₂= 4, 𝑢₃ = 6, 𝑢₄ = 8, …

• 0 est le premier terme de la suite : c’est le terme initial.

• 2 est appelé terme d’indice ou de rang 1 (c’est pourtant le deuxième terme de la suite).

Définition Une suite numérique 𝑢 une fonction définie sur ℕ (ou à partir d’un entier naturel 𝑝) à valeurs dans ℝ qui à tout entier naturel 𝑛 associe un réel, noté 𝑢(𝑛) (se lit « u de n ») ou, plus généralement, 𝑢_𝑛 (se lit « u indice n »). Ainsi : 𝑢 ∶ {ℕ → ℝ

𝑛 ↦ 𝑢_𝑛.

.

Chapitre SUITES NUMERIQUES 1

0 1 2 3

…

ℕ

partie de

0

ℝ

2 4 6

…

𝒖

2 Remarques

1) 𝑛 est l’indice ou le rang et 𝑢_𝑛 est le terme de rang 𝑛. Il ne faut donc pas confondre le rang d’un terme avec sa place dans la suite.

Par exemple, 𝑢_𝑛+1 est le terme de rang 𝑛 + 1 (le terme suivant 𝑢_𝑛) et le terme qui précède 𝑢_𝑛 est 𝑢_𝑛−1. 2) Attention !! (𝑢_𝑛) désigne le nom de la suite (u ici) alors que 𝑢_𝑛 désigne le terme de rang 𝑛.

3) Une suite peut être définie qu’à partir du rang 1, 2, … par exemple : la suite qui associe à tout entier son inverse :

Nous allons maintenant passer en revue les différentes façons de « générer » une suite.

1.2 Suite définie par une formule explicite

Une suite est définie par une formule explicite lorsque 𝑢_𝑛 s’exprime directement en fonction de 𝑛, comme une fonction pour laquelle les réels « 𝑥 » seraient remplacés par des entiers qu’on note plutôt « 𝑛 » : 𝒖_𝒏= 𝒇(𝒏).

Exemples

1) Soit (𝑢_𝑛) définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢_𝑛= −2𝑛 + 10.

On peut donc calculer le terme initial 𝑢₀= 𝑢(0) = −2 × 0 + 10 = 10.

𝑢₁= 𝑢(1) = −2 × 1 + 10 = 8 𝑢₂= −2 × 2 + 10 = 6 𝑢₃ = −2 × 3 + 10 = 4 terme d’indice 1 terme d’indice 2 terme d’indice 3 2) Soit (𝑣_𝑛) définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑣_𝑛= 𝑣(𝑛) = (𝑛 − 1)²− 9.

𝑣₀= (−1)²− 9 = −8 𝑣₁= 0²− 9 = −9 𝑣₂= 1²− 9 = −8 𝑣₃= 2²− 9 = −5 3) Soit (𝑤_𝑛) définie par 𝑤𝑛=_𝑛−2¹²⁰.

𝑤₀=¹²⁰

0−2= −60 𝑤₁ = ¹²⁰

1−2= −120 𝑤₂ =¹²⁰

2−2= 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 !

Pour éviter un tel problème, on dira donc que cette suite est définie à partir de 𝑛 = 3.

Remarque

On peut ici calculer n’importe quel terme de la suite très facilement : 𝑣₇₂= 71²− 9 = 5 032.

1.3 Suite définie par une relation de récurrence

Une autre façon de définir une suite consiste à donner son premier terme (voire un autre) et une relation

permettant, connaissant un terme, de calculer le suivant. Une telle relation s’appelle relation de récurrence. C’est une façon un peu plus compliquée et surtout beaucoup moins directe de définir une suite. En particulier, la détermination d’un terme est obtenue à partir d'un (ou plusieurs) des termes précédents :

{ 𝒖_𝟎 (ou 𝒖_𝒑)

∀𝒏 ∈ ℕ, 𝒖_𝒏+𝟏 = 𝐟(𝐮_𝐧) 1

2 3 4

…

ℕ

partie de

1

ℝ

1/2 1/3 1/4

…

𝒖

1) On définit la suite (un) par :

u0 = 5 et chaque terme de la suite est le triple de son précédent.

Les premiers termes de cette suite sont donc : u0 = 5, u1 = 3 x u0 = 3 x 5 = 15, u2 = 3 x u1 = 3 x 15 = 45.

De façon générale, on peut noter (𝑢_𝑛) ∶ { 𝑢₀= 5

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1= 3𝑢_𝑛. 2) Soit (vn) : { 𝑣₀= 3

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑣_𝑛+1 = 4𝑣_𝑛− 6 .

Les premiers termes de cette suite sont donc : v0 = 3, 𝑣₁= 4𝑣₀− 6 = 4 x 3 – 6 = 6, 𝑣₂= 4𝑣₁− 6 = 4 x 6 – 6 = 18, 𝑣₃= 4𝑣₂− 6 = 4 x 18 – 6 = 66.

Remarques

1) Contrairement à une suite définie par une formule explicite, il n'est pas possible, dans l'état, de calculer par exemple v13 sans connaître v12.

2) Attention !! Ne pas confondre 𝑢_𝑛+1 qui est le terme d’indice 𝑛 + 1 avec 𝑢_𝑛+ 1 qui est le terme d’indice n auquel on ajoute 1.

3) Le mot récurrence vient du latin recurrere qui signifie "revenir en arrière".

1.4 Algorithmes

1) Considérons la suite (𝑢_𝑛) définie par :𝑢_𝑛= −2𝑛²+ 15

2) Considérons la suite (𝑢_𝑛) suivante définie par récurrence : (𝑢_𝑛) ∶ { 𝑢₀= 3 𝑢_𝑛+1 = 4𝑢_𝑛− 6

3) Algorithme de seuil avec la suite suivante : (𝑢_𝑛) ∶ { 𝑢₀= 25 𝑢_𝑛+1= 0,8𝑢_𝑛+ 10

En langage naturel : Sous Python :

N0 def seuil() :

U25 N=0

Tant que 𝑈 ≤ 40 U=25

nn+1 while U<=40:

U0,8U+10 N=N+1

Fin Tant que U=0.8*U+10

Return(N)

La boucle While s’utilise comme condition d’arrêt qui est le contraire de l’inégalité souhaitée (n t.q 𝑢𝑛> 40) (c’est- à-dire que les instructions sont exécutées tant que le terme n’est pas strictement supérieur à 40).

L’algorithme retourne la valeur 5. Ce qui veut dire qu’à partir du terme 𝑢₅, les termes de la suite dépassent le nombre 40

U 25 30 34 37.2 39.75 41.108

U<=40 V V V V V F

4

1.5 Calculatrice

Voici le « mode d’emploi » pour afficher les premiers termes d’une suite à la calculatrice.

On a pris la suite suivante : (𝑢𝑛) ∶ { 𝑢₀= 2

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1= 0.5𝑢_𝑛+ 3

1.6 Représentation graphique d'une suite

Dans un repère, la représentation graphique de la suite u est l'ensemble des points 𝑃_𝑛 de coordonnées (n ; 𝑢_𝑛 ).

Exemple

Pour tout n de ℕ, soit 𝑢_𝑛 = ^𝑛2

2 – 3.

Remarques

1) Contrairement à une fonction, la représentation graphique d’une suite n’est pas une courbe mais un nuage de points car la suite n’est définie que sur ℕ (ou une partie de ℕ).

2) 𝑢1,5 n’a mathématiquement pas de sens et donc le point (1,5 ; 𝑢1,5) non plus.

II Sens de variation d’une suite 2.1 Définitions

Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite.

Remarque

1) On obtient les définitions de strictement croissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

2) On dit que la suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante. « Etudier la monotonie d’une suite », c’est donc étudier ses variations.

Exemple

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie sur ℕ par 𝑢_𝑛 = ¹

𝑛+1. On a 𝑢_𝑛+1= ¹

𝑛+2 .Soit 𝑛 ∈ ℕ, alors 𝑛 + 2 > 𝑛 + 1 ⇔ ¹

𝑛+2< ¹

𝑛+1⇔ 𝑢_𝑛+1< 𝑢_𝑛. Donc (𝑢_𝑛) est strictement décroissante.

Définitions Soit (𝑢_𝑛) une suite définie à partir du rang 𝑝 ∈ ℕ.

On dit que cette suite est :

(i) croissante si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, 𝑢_𝑛+1 ≥ 𝑢_𝑛 (ii) est décroissante si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝,𝑢_𝑛+1 ≤ 𝑢_𝑛. (iii) est constante si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝,𝑢_𝑛+1= 𝑢_𝑛.

6 Remarques

1) Dans certaines situations, on étudiera la monotonie d'une suite pour des valeurs de n supérieures ou égales à une valeur donnée entière p comme énoncé dans les définitions ci-dessus. Par exemple la suite 𝑣 définie explicitement par 𝑣_𝑛= (𝑛 − 1)²− 9 est croissante si on ne tient pas compte du terme initial : on peut conjecturer qu’elle est strictement croissante à partir de 𝑛 = 1.

On fait donc comme si le terme 𝑣₀ = −8 n’existait pas !

−8 − 9 < −8 < −5 < 0 < 7 < ⋯

2) ATTENTION !! il existe des suites non-monotones (pas forcement croissante ou décroissante ou constante). Par exemple, la suite définie pour tout entier naturel n par 𝑢_𝑛= (−1)^𝑛 (appelée suite alternée) est non-monotone puisque ses termes sont les suivants : 1 ; −1 ; 1 ; −1 ; 1 ; −1 ; 1 ; −1 ; 1 ; …

2.2 Méthodes d’étude du sens de variation

Pour étudier le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛) , trois méthodes s’offrent à vous. Les voici ci-dessous :

Démonstration Démonstrations

(i) Soit un entier 𝑛 ≥ 𝑝, 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛 ≥ 0 alors 𝑢_𝑛+1≥ 𝑢_𝑛 et la suite est croissante. Idem pour (ii).

Remarque

C’est la méthode la plus générale pour étudier la monotonie d’une suite ; surtout lorsque l’expression est une somme (ou une différence).

Démonstrations

(i) Soit un entier 𝑛 ≥ 𝑝. Bien entendu, 𝑛 < 𝑛 + 1. La fonction 𝑓 étant croissante sur un intervalle contenant 𝑛 et 𝑛 + 1, alors 𝑓(𝑛) ≤ 𝑓(𝑛 + 1) donc 𝑢_𝑛 ≤ 𝑢_𝑛+1 donc la suite (𝑢_𝑛) est croissante. Idem pour (ii).

Remarques

1) Cette méthode concerne donc uniquement les suites définies par une formule explicite (et non les suites définies par récurrence).

2) La réciproque est fausse ! Si (𝑢_𝑛) est croissante, 𝑓 ne l’est pas forcément.

Démonstrations

(i) Soit un entier 𝑛 ≥ 𝑝. Si ^𝑢𝑛+1

𝑢_𝑛 ≥ 1 alors 𝑢_𝑛+1≥ 𝑢_𝑛 (on peut multiplier par 𝑢_𝑛 sans changer le sens de l’inégalité car 𝑢𝑛> 0 !) et la suite est alors croissante. Idem pour (ii).

Propriétés – Méthode 1 : Etude du signe de la différence

(i) Si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛≥ 0, alors (𝑢_𝑛)est croissante.

(ii) Si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛≤ 0, alors (𝑢_𝑛) est décroissante.

.

Propriétés – Méthode 2 : Etude du sens de variation d'une fonction

On suppose que (𝑢_𝑛) est définie par la relation 𝑢_𝑛= 𝑓(𝑛) où 𝑓 est une fonction définie sur [𝑝; +∞[.

(i) Si 𝑓 est croissante sur [𝑝; +∞[ alors (𝑢_𝑛) est croissante.

(ii) Si 𝑓 est décroissante sur [𝑝; +∞[ alors (𝑢_𝑛) est décroissante.

Propriétés – Méthode 3 : Comparaison de ^{𝒖𝒏+𝟏}

𝒖_𝒏 à 1 pour les suites strictement positives On suppose que tous les termes de la suite (𝑢_𝑛) sont strictement positifs.

(i) Si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, ^𝑢_𝑢^𝑛+1

𝑛 ≥ 1 , alors (𝑢𝑛) est croissante.

(ii) Si pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, ^𝑢𝑛+1

𝑢_𝑛 ≤ 1 , alors (𝑢_𝑛) est décroissante.

.

Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites dont l’expression est un produit (ou quotient) comportant une puissance (dépendant de n) de manière générale.

Exemples

1) Soit la suite (𝑢_𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢_𝑛= 6 − 3𝑛.

Méthode 1

𝑢_𝑛 = 𝑓(𝑛) avec 𝑓 la fonction affine définie sur [0; +∞[. Cette fonction est strictement décroissante (car le coefficient directeur est −3 < 0) donc (𝑢_𝑛) est strictement décroissante aussi.

Méthode 2

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛 = 6 − 3(𝑛 + 1) − (6 − 3𝑛) = 6 − 3𝑛 − 3 − 6 + 3𝑛 = −3 < 0 donc 𝑢 est strictement décroissante.

Méthode 3

Inutilisable : (𝑢_𝑛) ne garde pas le même signe (et même strictement négative à partir du rang 𝑛 = 3).

2) Soit la suite (𝑣_𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗ par 𝑣_𝑛+1 = 𝑣_𝑛−¹

𝑛 et 𝑣₁= 4.

Méthode 1

Inutilisable pour une fonction définie par récurrence.

Méthode 2

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣_𝑛+1− 𝑣_𝑛 = −¹

𝑛 par définition de 𝑣. Comme 𝑛 > 0, alors ¹

𝑛> 0 donc −¹

𝑛< 0.

donc (𝑣𝑛) est strictement décroissante.

Méthode 3

Envisageable, mais pas très pratique de faire apparaître des soustractions dans une fractions…

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ^𝑣𝑛+1

𝑣_𝑛 =^𝑣𝑛−

1 𝑛 𝑣_𝑛 =^𝑣𝑛

𝑣_𝑛−

1 𝑛

𝑣_𝑛 = 1 − ¹

𝑛𝑣_𝑛< 1 à condition que 𝑣_𝑛> 0 ce qui reste à prouver.

3) Soit la suite (𝑤_𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑤_𝑛= ^3𝑛

𝑛+1. Méthode 1

Il faudrait connaître les variations de la fonction 𝑓(𝑥) = ^3𝑥

𝑥+1, ce qui n’est pas le cas.

Méthode 2

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑤_𝑛+1− 𝑤_𝑛 =^3𝑛+1

𝑛+2 − ^3𝑛

𝑛+1=^3𝑛+1_{(𝑛+1)(𝑛+2)}^{(𝑛+1)−3𝑛(𝑛+2)}= ⋯ (compliqué !) Méthode 3

Tout d’abord on constate que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑤_𝑛= ^3𝑛

𝑛+1> 0. La méthode 3 est envisageable.

Soit 𝑛 ∈ ℕ.

𝑤_𝑛+1 𝑤_𝑛 =

3^𝑛+1 𝑛 + 2

3^𝑛 𝑛 + 1

= 3^𝑛+1

𝑛 + 2×𝑛 + 1

3^𝑛 =3^𝑛+1

3^𝑛 ×𝑛 + 1

𝑛 + 2= 3 ×𝑛 + 1

𝑛 + 2= 3 ×𝑛 + 2 − 1

𝑛 + 2 = 3 × (1 − 1 𝑛 + 2) Or 𝑛 ≥ 0 donc 𝑛 + 2 ≥ 2 donc ¹

𝑛+2≤¹

2 par décroissante de la fonction inverse sur [0; +∞[ donc − ¹

𝑛+2≥ −¹

2 donc 1 − ¹

𝑛+2≥ 1 −¹

2 donc 1 − ¹

𝑛+2≥¹

2 donc 3 (1 − ¹

𝑛+2) ≥³

2> 1.

Ceci étant valable pour tout 𝑛 dans ℕ, (𝑤_𝑛) est strictement décroissante.

Exercice 1

Etudier la monotonie des suites (𝑢_𝑛) suivantes en choisissant une méthode adaptée : 1. 𝑢_𝑛= 𝑛²− 2𝑛

2. 𝑢_𝑛= 2^𝑛− 𝑛 3. 𝑢_𝑛=^2𝑛−1

𝑛²

4. 𝑢_𝑛= 𝑛 × 2^𝑛 5. 𝑢_𝑛= 5 −²

𝑛

Exercice 2

On considère les deux suites (𝑎_𝑛) et (𝑏_𝑛) définies par :

8

III Approche de la notion de limite d’une suite

L’objectif est d’observer le comportement des termes d’une suite lorsque 𝑛 devient « très grand », ce qui se dit aussi : lorsque « n tend vers +∞ ».

3.1 Suite convergeant vers un réel

Quelques exemples pour comprendre :

1) Pour 𝑛 ∈ ℕ^∗, on considère la suite (𝑢_𝑛) définie par 𝑢_𝑛=^2𝑛+1

𝑛 . On obtient le tableau de valeurs avec des termes de la suite :

Plus 𝑛 devient grand et plus les termes de la suite semblent se rapprocher de la valeur 2. On dit que dans ce cas que la suite (𝑢_𝑛) converge vers 2 et on note 𝑙𝑖𝑚

𝑛→+∞𝑢_𝑛= 2.

2) Pour 𝑛 ∈ ℕ, on considère la suite (𝑣𝑛) définie par 𝑣𝑛=^{11𝑛−6(−1)𝑛}

3𝑛−4(−1)^𝑛. Ci-dessous, la représentation graphique de cette suite :

Les valeurs de 𝑢 semblent se stabiliser entre 3 et 4. En terminale, vous pourrez montrer que cette suite converge vers ¹¹₃ ≈ 3,7. Soit 𝑙𝑖𝑚

𝑛→+∞𝑤_𝑛=¹¹

3.

D’où la définition d’une suite convergente :

Définition Soit (𝑢_𝑛) une suite définie à partir du rang 𝑝 ∈ ℕ.

Si les termes 𝑢_𝑛 se rapprochent d’un nombre réel 𝐿 lorsque 𝑛 grandit indéfiniment, on dit que la suite (𝑢_𝑛) est une suite convergente et qu’elle converge vers 𝐿. Et on note :

3.2 Suite divergente

Exemples

1) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ on définit la suite (𝑢𝑛) par 𝑢𝑛= 𝑛²+ 1.

Calculons quelques termes de cette suite :

u0 = 0² + 1 = 1, u1 = 1² + 1 = 2, u2 = 2² + 1 = 5, u10 = 10² + 1 = 101, u100 = 100² + 1 = 10001.

Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grand.

On dit que la suite (un) diverge vers +∞ et on note : lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛= +∞.

2) Pour tout n de ℕ, on considère la suite (vn) définie par : 𝑣_𝑛+1 = (−1)^𝑛𝑣_𝑛 et 𝑣₀= 2.

Calculons les premiers termes de cette suite :

𝑣₁= (−1)⁰𝑣₀ = 2, 𝑣₂= (−1)¹𝑣₁ = –2, 𝑣₃= (−1)²𝑣₂ = –2, 𝑣₄= (−1)³𝑣₃ = 2, 𝑣₅= (−1)⁴𝑣₄ = 2.

Lorsque n devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique. On dit que la suite (vn) diverge.

Définition Une suite est divergente lorsqu’elle n’est pas convergente.

10 Correction des exercices

Exercice 1

1. Croissante à partie de 1 2. Croissante

3. Décroissante à partir de 1 4. Croissante

5. Décroissante à partir de 1 Exercice 2