Sorbonne 1M002: Suites, Intégrales, Algèbre linéaire 2018/2019
Université avril 2019
Points clefs 1 Logique
CoursMontrer que√
2 est irrationnel.
1) Soitf de E dans F. Que veut dire "f est surjective"?
1)a. Ecrire mathématiquement quef est surjective.
1)b. Donner la négation de cette proposition.
2) SoientA etB deux ensembles.
2)a. SiA⊂B, que dire de ¯B par rapport à ¯A?
2)b. Simplifier (A∩B)∪(A∩B).¯ CoursQue dire de ¬(q∨p) ?
2 Suites
1)Notation(s) pour l’ensemble de suites à valeurs dans le corps K.
2) Définition d’une suite arithmétique de raisonr et d’une suite géométrique de raisonq.
3) Que vaut
n
P
k=p
uk si (un)n∈Nest arithmétique de raison r? Géométrique de raisonq?
4) Que vaut la somme desnpremiers entiers?
5) Définition d’une suite arithmético géométrique.
6) un= cos(2n) est-elle majorée? Minorée? Idem pourun=ent2, t >0.
7) Sous quelle condition une suite (un)n∈N∈CNest-elle bornée?
8) Définition de la convergence d’une suite.
9) Soit (un)n∈N une suite convergente. Que dire de cette suite?
10) Donner le théorème de Bolzano-Weierstrass.
3 Suites récurrentes
1)Soit f une fonction continues à valeurs dans R. Soit I ⊂R. Qu’entends-t-on par "I stable par f"?
1
2) a.Soit (un)n∈N telle que un+1 =f(un)∀n∈ N. Quelles sont les conditions surf pour que (un)n∈N soit croissante? Décroissante?
2) b. Que dire dans ce cas si (un)n∈N converge vers l∈R? 3) Calculer àθ∈Rfixé S(θ) = Pn
k=0
eikθ.
4) Soit (un)n∈N telle que un = cos(nπ3 ). Cette suite est-elle majorée? Minorée? Converge-t- elle? Existe-t-il une sous-suite convergente?
5) a. Réduction en éléments simples deP(X) = X(X+1)1 5) b. Calculer Sn=
n
P
k=1 1
k(k+1). Snadmet-elle une limite lorsque n→+∞?
6) Soit (un)n∈N telle que un+1= 15(3un−2 ¯un), u0 ∈C. Cette suite converge-t-elle?
7)Soit (un)n∈N telle queun+2 = 3un+1−2un, u0= 1, u1 = 0. Donner l’expression du terme général de cette suite. Comment appelle-t-on une telle suite? Faites-vous le lien avec un autre problème d’analyse? Quel est le lien entre les deux?
4 Matrices
1)Définition de A∈ Mpq(K). Qui sontp,q etK?
2) Comment fait-on la somme de deux matrices? Comment multiplier une matrice par un scalaire? Et le produits de deux matrices? Est-il commutatif? Quelle matrice commute avec tout le monde?
3) On se place dansM3,2(R). Donner l’expression de E1,1 et E3,2. 4) Quelle est la taille d’un vecteur ligne (resp. colonne) deR4? 5) Formule du produit de deux matrices.
6) DonnerAt avec A= 1 2 3 4 5 6
! .
7) Trace de
1 2 3 0 1 4 0 0 1
. Trace de B=
0 1 0 2 3 0 0 4 5
ainsi que deBt.
5 Pivot de Gauss
1) a. Ecrire sous la formeAX = 0 le système suivant:
(S)
3x+ 2z= 0 3y+z+ 3t= 0 x+y+z+t= 0 2x−y+z−t= 0
2
1) b. Résoudre le système à l’aide du pivot de Gauss. Quel est le rang du système? La matrice A est-elle inversible?
1) c. En déduire l’ensemble des solutions de (S).
2) Peut-on effectuer la méthode du pivot de Gauss sur les colonnes?
3) De manière plus générale, à quoi sert le pivot de Gauss?
6 Déterminant
1)Donner det a b c d
! .
2) SiAa deux colonnes égales, que dire de son déterminant?
3) Que dire de detA et detAt ?
4) Formule du cofacteur d’incidei, j. Définition deCOM(A) où Amatrice carrée.
5) Expression du déterminant développé à partir de la lignei. De la colonnej.
6) Définition de l’inverse d’une matrice carrée. Condition d’existence et lien avec le détermi- nant.
7) Sans calculs, det
7 4 5 0 2 6 0 0 3
7 Diagonalisation
1)Définition d’une application linéaire et d’un endomorphisme.
2) Définition du noyau et de l’image. Lien avec injectivité et surjectivité. Théorème du rang.
3) Définition d’une famille liée, libre, génératrice, et d’une base.
4) Soit f :R3 −→ R2 telle que f :
x y z
7−→ 2x+ 3y+ 4z x−z
!
. f est-elle linéaire? Rappeler la base canonique deR3 et de R2. Donner la matrice de f dans ces bases.
5) B=
1 0 0 ,
0 1 0 ,
1 1 0
est-elle une base de R3?
6)Définition du polynôme caractéristique d’une matrice carrée. Valeurs propres, multiplicité algébrique, espace propre, vecteur propre.
3
7) Définition de Amatrice carrée diagonalisable. Condition de diagonalisabilité.
8) Somme (resp. somme directe) de deux espaces vectoriels.
On considère la matrice: A=
−4 −6 0
3 5 0
3 6 5
.
a) Quelles sont les valeurs propres de A? Décrire son spectre.
b) Déterminer les espaces propres deA. En déduire que Aest diagonalisable.
c) Donner une base B de vecteurs propres de A. Écrire P la matrice de passage de la base canonique Bcde R3 à B.
d) InverserP avec la méthode de votre choix.
e) CalculerAn pour tout entier natureln∈N∗.
8 Intégration
1)Relation de Chasles.
2) Que doit vérifierf fonction réelle pour admettre une primitive?
3) Donner les cinq propriétés fondamentales à connaître de l’intégrale.
4) Formule de l’intégration par parties.
5)BONUS: Taylor-Young, Taylor-reste intégral, Taylor-Lagrange. Comment passer de Taylor- reste intégral à Taylor-Lagrange?
6) Primitive dexα. De 1x. Deex. De 1+x12. 7) CalculerI =
Z √1
2
0
√ 1
1−t2 dt etI = Z π
4
0
tantdt.
8)Soitψ∈ C1([a, b]). Que cela signifie-t-il? On pose, ∀n∈N, un= Z b
a
ψ(t) sin(nt) dt. Cette suite converge-t-elle?
9) Donner une primitive deP(X) = X(X+1)1 . Sur quel intervalle peut-on intégrer P? 10) Vers quoi tend
n−1
P
k=0 n k2+3n2?
4
