Appendice (terminologie, notations, prérequis)

D ^IAGRAMMES

C ^LAUDE H ^ENRY C ^HRISTIAN L ^AIR

Appendice (terminologie, notations, prérequis)

Diagrammes, tome 59-60 (2008), p. 1-33

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Article numérisé dans le cadre du programme

DIAGRAMMES VOLUMES 59 + 60, FASCICULE 3, 2008

A.M.S. Sub. Class. : 18 C 10, 18 C 30, 18 C 35

SUR

CERTAINES SOUS-CATEGORIES NON PLEINES DES

CATEGORIES DE MODELES

Fascicule 3 :

Appendice

(terminologie, notations, prérequis)

Claude Henry

(maxchen@free.fr)

et

Christian Lair

lairchrist@aol.com

1. Graphes à composition.

1.1.

Définition des graphes à composition.

Un graphe à composition G est constitué par : - une classe d'objets Ob(G) ,

- une classe de flèches Fl(G) ,

- une classe de flèches identités FlId(G) ,

- une classe de couples composables (de flèches) CComp(G) , - une application sélection des domaines (des flèches) :

) ( )

( : )

(G FlG ObG

seldom → ,

- une application sélection des codomaines (des flèches) : ) ( )

( : )

(G FlG ObG

selcodom → ,

- une application composition (des couples de flèches composables) : )

( )

( :

)

(G CCompG FlG

comp → ,

et, ce, de sorte que :

- les flèches identités sont (évidemment) des flèches, i.e. on a : )

( )

(G FlG

FlId ⊆

- les flèches identités sont des flèches fermées, i.e. pour toute flèche identité )

(G

∈FlId

g , on a :

) )(

( )

)(

(G g seldom G g

selcodom = ,

- les couples de flèches composables sont des couples de flèches consécutives, i.e. on a : )

CConsec(

)

(G ⊆ G

CComp ,

où :

{

^{( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )}

}

) (

1 2

1 2

1

2 g g g g g

g G G G G

G

selcodom dom

sel Fl

Fl

CConsec

=

∈

∈ =

est la classe de tous les couples de flèches consécutives de G , - pour tout couple composable (g₂,g₁)∈CComp(G) , on a :

) )(

( ))

, )(

( )(

(G compG g₂ g₁ selcodom G g₂

selcodom =

et :

) )(

( ))

)(

( )(

(G compG g₂ g₁ seldom G g₁

seldom , = .

1.2.

Notations simplifiées pour les graphes à composition.

Si G est un graphe à composition (et s'il n'y a pas risque d'ambiguïté), pour toute flèche g∈Fl(G) , on note :

) )(

( )

(g seldom G g

dom = ,

) )(

( )

(g selcodom G g

codom =

et on écrit :

) ( ) ( )

(

:dom g →codom g ∈FlG g

ou, plus simplement encore :

) ( )

(

: g g

g dom →codom .

De même, pour tout couple composable (g₂,g₁)∈CComp(G) , on note : )

, )(

( _{2 1}

1

2 g g g

g

.

=compG

et, pour tous objets G₁∈Ob(G) et G₂∈Ob(G) , on pose :

{

_{1 2}

}

2

1, ) ( ) ( ) et ( )

(G G = g∈Fl dom g =G codom g =G

Hom_G G .

1.3.

Graphes à composition petits.

On dit qu'un graphe à composition G est petit si, et seulement si : - la classe de ses objets Ob(G) est un ensemble,

- la classe de ses flèches Fl(G) est un ensemble,

(alors, FlId(G) , CComp(G) et CConsec(G) sont aussi des ensembles).

1.4.

Catégories et graphes à composition.

Evidemment, toute catégorie C s'identifie à un graphe à composition, encore noté C , où :

- ^FlId(C)=

{

^{id(C) C∈Ob(C)}

}

^,

- CComp(C)=CConsec(C) ,

- les flèches identités sont des éléments neutres locaux pour la composition des flèches, - la composition des flèches est associative.

Bien entendu, le graphe à composition auquel s'identifie une catégorie petite est un graphe à composition petit.

2. Foncteurs.

2.1.

Définition des foncteurs (entre graphes à composition).

Si G et G' sont deux graphes à composition, un foncteur F:G →G' de G vers G' est constitué par :

- une application Ob(F):Ob(G)→Ob(G') , - une application Fl(F):Fl(G)→Fl(G') ,

- une application FlId(F):FlId(G)→FlId(G') , - une application CComp(F):CComp(G)→CComp(G') et, ce, de sorte que :

- pour toute flèche identité g∈FlId(G)⊆Fl(G) , on a : ) )(

( ) )(

(F g Fl F g

FlId = ,

- pour toute flèche g∈Fl(G) , on a :

)) )(

( ( ))

( )(

(F dom g domFl F g

Ob =

et :

)) )(

( ( ))

( )(

(F codom g codomFl F g

Ob = ,

- pour tout couple composable (g₂,g₁)∈CComp(G) , on a : )) )(

( ), )(

( ( ) , )(

(F g₂ g₁ Fl F g₂ Fl F g₁

CComp = ,

- pour tout couple composable (g₂,g₁)∈CComp(G) , on a : ) )(

( ) )(

( ) )(

(F g₂ g₁ Fl F g₂ Fl F g₁

Fl

.

=

.

.

2.2.

Notations simplifiées pour les foncteurs.

Si G et G' sont deux graphes à composition, si F :G→G' est un foncteur (et s'il n'y a pas risque d'ambiguïté), pour tout objet G∈Ob(G) , on note :

) )(

( )

(G F G

F =Ob

et, pour toute flèche g∈Fl(G) , on note :

) )(

( )

(g F g

F =Fl .

2.3.

Foncteurs identités et composition des foncteurs entre graphes à composition.

Si G est un graphe à composition, on note id(G):G→G le foncteur identité en G , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- Ob(id(G))=id(Ob(G)) , - Fl(id(G))=id(Fl(G)) , - FlId(id(G))=id(FlId(G)) , - CComp(id(G))=id(CComp(G)) , autrement dit, le foncteur tel que :

- pour tout objet G∈Ob(G) , on a id(G)(G)=G , - pour toute flèche g∈Fl(G) , on a id(G)(g)= g .

Si G , G' et G" sont trois graphes à composition et si F :G→G' et

"

' :

' G →G

F sont deux foncteurs, on note F'oF :G→G" le foncteur composé de F' et F , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- Ob(F'oF)=Ob(F')oOb(F) , - Fl(F'oF)=Fl(F')oFl(F) ,

- FlId(F'oF)=FlId(F')oFlId(F) , - CComp(F'oF)=CComp(F')oCComp(F) , autrement dit, le foncteur tel que :

- pour tout objet G∈Ob(G) , on a (F'oF)(G)=F'(F(G)) _, - pour toute flèche g∈Fl(G) , on a (F'oF)(g)=F'(F(g)) _.

On note GrphComp la catégorie dont les objets sont les graphes à composition petits, dont les flèches sont les foncteurs entre ces graphes à composition petits et où la composition est cette composition des foncteurs.

2.4.

Foncteurs entre catégories et foncteurs entre graphes à composition.

Evidemment, tout foncteur F :C →C' entre deux catégories s'identifie à un foncteur, encore noté F :C →C' , entre les graphes à composition auxquels s'identifient les catégories C et C' .

De la sorte, la catégorie Cat des catégories petites s'identifie à une sous- catégorie pleine de la catégorie GrphComp .

3. Transformations naturelles.

3.1.

Définition des transformations naturelles (entre foncteurs d'un graphe à composition vers une catégorie).

Si G est un graphe à composition, si C est une catégorie, si F₁:G →C et C

G →

2:

F sont deux foncteurs, une transformation naturelle n:F₁⇒F₂:G→C de

F vers 1 F₂ est constituée par :

- la donnée, pour tout objet G∈Ob(G) , d'une flèche n(G):F₁(G)→F₂(G)∈Fl(C) et, ce, de sorte que :

- pour tous objets G_a ∈Ob(G) et G_b∈Ob(G) et pour toute flèche )

( :G_a →G_b∈FlG

g , on a n(G_b)

.

F₁(g)= F₂(g)

.

n(G_a) .

3.2.

Notations simplifiées pour les transformations naturelles.

Si G est un graphe à composition, si C est une catégorie, si F₁:G →C et C

G →

2:

F sont deux foncteurs et si n:F₁ ⇒F₂:G →C est une transformation naturelle, on note (selon le degré de précision nécessaire et/ou le contexte) :

2

:F1 F

n ⇒ ,

C G →

→ : :F₁ F₂

n ,

2

:F1 F

n → ,

) ( )

( ( )

)) (

(n G _G n_{G G G}

n= _∈ObG = _∈Ob .

3.3.

Transformations naturelles identités et composition latérale des transformations naturelles.

Si G est un graphe à composition, si C est une catégorie et si F :G→C est un foncteur, on note id(F):F ⇒F:G →C la transformation naturelle identité de

F , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que : - pour tout objet G∈Ob(G) , on a (id(F))(G)=id(F(G)):F(G)→F(G) .

Si G est un graphe à composition, si C est une catégorie, si F₁:G →C , C

G →

2:

F et F₃:G →C sont trois foncteurs et si n₁:F₁⇒F₂:G →C et C

G→

⇒ :

: _{2 3}

2 F F

n sont deux transformation naturelles, on note

C G→

⇒ :

: _{1 3}

1

2 n F F

n

.

la transformation naturelle composée (latérale) de n et ₂ n₁ , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que :

- pour tout objet G∈Ob(G) , on a (n₂

.

n₁)(G)= n₂(G)

.

n₁(G) .

3.4.

Composition longitudinale des transformations naturelles et des foncteurs (entre graphes à composition).

Si G et G' sont deux graphes à composition, si C est une catégorie, si '

:G→G

F , F'₁:G'→C et F'₂:G'→C sont trois foncteurs et si C

G →

⇒ ' : ' '

:

' F₁ F ₂

n est une transformation naturelle, on note : C G →

⇒ ' : '

:

' F F₁ F F ₂ F

n o o o

la transformation naturelle composée (longitudinale) de n' et F , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que :

- pour tout objet G∈Ob(G) , on a (n'oF)(G)=n'(F(G)) _.

3.5.

Transformations naturelles entre foncteurs d'une catégorie vers une autre et transformations naturelles entre foncteurs d'un graphe à composition vers une catégorie.

Evidemment, toute transformation naturelle n:F₁ ⇒F₂:B→C entre deux foncteurs d'une catégorie B vers une catégorie C s'identifie à une transformation naturelle, encore notée n:F₁⇒F₂:B→C , entre les deux foncteurs, auxquels s'identifient F₁ et F₂ , du graphe à composition auquel s'identifie B vers la catégorie

C .

4. Catégories de foncteurs (d'un graphe à composition vers une catégorie) et foncteurs induits.

4.1.

Catégories de foncteurs (d'un graphe à composition vers une catégorie).

Si G est un graphe à composition petit et si C est une catégorie localement

petite, on note Fonct(G,C) la catégorie, évidemment localement petite, dont les objets sont les foncteurs de G vers C , dont les flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs de G vers C et où la composition est la composition latérale des transformations naturelles.

4.2.

Foncteurs induits entre catégories de foncteurs.

Si G et G' sont deux graphes à composition petits, si C est une catégorie localement petite et si F:G→G' est un foncteur, on note :

) , ( )

, ' ( :

) ,

( C FonctG C FonctG C

Fonct F →

le foncteur induit par F , c'est-à-dire le foncteur composition par F , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- pour tout objet F'∈Ob(Fonct(G',C)) , i.e. pour tout foncteur F':G'→C , on a : C

G C)( ')= ' : → ,

(F F F oF

Fonct ,

- pour toute flèche n'∈Fl(Fonct(G',C)) , i.e. pour tous foncteurs F'₁:G'→C et C

G'→ : '₂

F et toute transformation naturelle n':F'₁⇒ F'₂:G'→C , on a : C

G C)( ')= ' : ' ⇒ ' : → ,

(F n n oF F₁oF F ₂F

Fonct .

5. Familles projectives et familles inductives.

5.1.

Définition des familles projectives de flèches (d'un graphe à composition).

Si G est un graphe à composition, une famille projective f de flèches de G est constituée par :

- une classe d'indexation, i.e. une classe Index(f) , - une famille de base, i.e. une famille d'objets :

)

)) (

( )

( ( )

(f Base f _X Ob _{X Index f}

Base = ∈ G _∈ ,

- un sommet, i.e. un objet Somm(f)∈Ob(G) ,

- une famille de projections, i.e. une famille de flèches :

)

)) (

( )

( )

( :

) ( ( )

(f proj f _X Somm f Base f _X Fl _{X Index f}

proj = → ∈ G _∈ .

5.2.

Notations simplifiées pour les familles projectives de flèches.

Si G est un graphe à composition et si f est une famille projective de flèches de G , pour tout élément X ∈Index(f) , on note :

X X f f) = ( proj

et (en identifiant f à sa famille de projections) on note aussi :

)

)) (

( )

( )

( :

(f_X f f _{X X f}

f = Somm →Base ∈FlG _∈Index

ou encore :

)

) (

) ( )

( :

(f_X f f _{X X f}

f = Somm →Base _∈Index .

5.3.

Image d'une famille projective de flèches par un foncteur.

Si G et G' sont deux graphes à composition, si F :G→G' est un foncteur et si f est une famille projective de flèches de G , on note F(f) l' image de f par F , i.e. la famille projective de flèches de G' telle que :

- Index(F(f))=Index(f) ,

- pour tout élément X ∈Index(f) , on a Base(F(f))_X =F(Base(f)_X) , - pour tout élément X ∈Index(f) , on a proj(F(f))_X = F(proj(f))_X , de sorte que, si f =(f_X :S → B_X ∈Fl(G))_X∈X , on a :

G _∈X

∈

→

= F f_X F S F B_{X X} f

F( ) ( ( ): ( ) ( ) Fl( ')) .

5.4.

Définition des familles inductives de flèches (d'un graphe à composition).

Si G est un graphe à composition, une famille inductive f de flèches de G est constituée par :

- une classe d'indexation, i.e. une classe Index(f) , - une famille de base, i.e. une famille d'objets :

)

)) (

( )

( ( )

(f Base f _X Ob _{X Index f}

Base = ∈ G _∈ ,

- un sommet, i.e. un objet Somm(f)∈Ob(G) , - une famille d'insertions, i.e. une famille de flèches :

)

)) (

( ) ( )

( :

) ( (

)

(f insert f _X Base f _X Somm f Fl _{X Index f}

insert = → ∈ G _∈ .

5.5.

Notations simplifiées pour les familles inductives de flèches.

Si G est un graphe à composition et si f est une famille inductive de flèches de G , pour tout élément X ∈Index(f) , on note :

X X f f ') '

( =

insert et (en identifiant f à sa famille d'insertions) :

)

)) (

( ) ( )

( :

(f_X f _X f _{X f}

f = Base →Somm ∈FlG _∈Index ou encore :

)

)) (

( )

( :

(f_X f _X f _{X f}

f = Base →Somm _∈Index .

5.6.

Image d'une famille inductive de flèches par un foncteur.

Si G et G' sont deux graphes à composition, si F :G→G' est un foncteur et si f est une famille inductive de flèches de G , on note F(f) l'image de f par F , i.e. la famille inductive de flèches de G' telle que :

- Index(F(f))=Index(f) ,

- pour tout élément X ∈Index(f) , on a Base(F(f))_X =F(Base(f)_X) , - pour tout élément X ∈Index(f) , on a insert(F(f))_X = F(insert(f))_X , de sorte que, si f =(f_X :B_X →S∈Fl(G))_X∈X , on a :

G _∈X

∈

→

= F f_X F B_X F S _X f

F( ) ( ( ): ( ) ( ) Fl( ')) .

5.7.

Familles projectives et familles inductives petites.

Si G est un graphe à composition, on dit qu'une famille projective (resp.

inductive) f de flèches de G est petite si, et seulement si : - sa classe d'indexation Index(f) est un ensemble.

6. Cônes projectifs et cônes inductifs.

6.1.

Définition des cônes projectifs (d'un graphe à composition).

Si G est un graphe à composition, un cône projectif c de G est constitué par : - un graphe à composition d'indexation, i.e. un graphe à composition GIndex(c) , - un foncteur de base, i.e. un foncteur FBase(c):GIndex(c)→G ,

- un sommet, i.e. un objet Somm(c)∈Ob(G) ,

- une famille de projections, i.e. une famille de flèches :

)) (

)) (

( ) )(

( )

( :

) ( ( )

(c projc _D Somm c FBasec D Fl _{D ObGIndexc}

proj = → ∈ G _∈ ,

et, ce, de sorte que :

- pour tous objets D₁∈Ob(GIndex(c)) et D₂∈Ob(GIndex(c)) et toute flèche ))

( (

:D₁ D₂ c

d → ∈FlGIndex , on a :

) ( )

) ( ), ))(

(

((FBasec d projc _D1 ∈CCompG et :

2

1 ( )

) ( )

))(

(

(FBasec d

.

projc _D =projc _D ^.

6.2.

Notations simplifiées pour les cônes projectifs.

Si G est un graphe à composition et si c est un cône projectif de G , pour tout objet D∈Ob(GIndex(c)) , on note aussi :

D D c c) = ( proj

et (s'il n'y a pas risque de confusion quant à son foncteur base, i.e. en ne mentionnant que ses valeurs sur les objets de GIndex(c) et en se contentant de mentionner - en indice - qu'elles "varient selon les flèches de GIndex(c) "), on note :

)

)) (

( )

( )

( :

(c_D c c _{D D c}

c= Somm →FBase ∈FlG _∈GIndex

ou encore :

)

) (

) ( )

( :

(c_D c c _{D D c}

c= Somm →FBase _∈GIndex .

6.3.

Image d'un cône projectif par un foncteur.

Si G et G' sont deux graphes à composition, si F :G→G' est un foncteur et si c est un cône projectif de G , alors on note F(c) l'image de c par F , i.e. le cône projectif de G' (évidemment bien défini) tel que :

- GIndex(F(c))=GIndex(c) , - FBase(F(c))= FoBase(c) , - Somm(F(c))=F(Somm(c)) ,

- pour tout objet D∈Ob(GIndex(F(c))=Ob(GIndex(c)) , on a : )

proj

proj(F(c))_D = F( (c)_D , de sorte que, si c=(c_D :S →B_D∈Fl(G))_D∈D , on a :

G _∈D

∈

→

= F c_D F S F B_{D D} c

F( ) ( ( ): ( ) ( ) Fl( ')) .

6.4.

Cônes inductifs (d'un graphe à composition).

Si G est un graphe à composition, un cône inductif c de G est constitué par : - un graphe à composition d'indexation, i.e. un graphe à composition GIndex(c) , - un foncteur de base, i.e. un foncteur FBase(c):GIndex(c)→G ,

- un sommet, i.e. un objet Somm(c)∈Ob(G) ,

- une famille d'insertions, i.e. une famille de flèches :

)) (

)) (

( ) ( )

( :

) ( (

)

(c insertc _D FBasec _D Somm c Fl _{D ObGIndexc}

insert = → ∈ G _∈ ,

et, ce, de sorte que :

- pour tous objets D₁∈Ob(GIndex(c)) et D₂∈Ob(GIndex(c)) et toute flèche ))

( (

:D₁ D₂ c

d → ∈FlGIndex , on a :

) ( ))

))(

( (

, ) (

(insertc _D2 FBase c d ∈CCompG et :

1

2 ( ( ))( ) ( )

)

(c _D FBasec d insertc _D

insert

.

= .

6.5.

Notations simplifiées pour les cônes inductifs.

Si G est un graphe à composition et si c est un cône inductif de G , pour tout objet D∈Ob(GIndex(c)) , on note aussi :

D D c c) = ( insert

et (s'il n'y a pas risque de confusion quant à son foncteur base, i.e. en ne mentionnant que ses valeurs sur les objets de GIndex(c) et en se contentant de mentionner - en indice - qu'elles "varient "selon les flèches de GIndex(c) ") :

)

)) (

( ) ( )

)(

( :

(c_D c D c _{D c}

c= FBase →Somm ∈FlG _∈GIndex

ou encore :

)

)) (

( )

( :

(c_D c _D c _{D c}

c = FBase →Somm _∈GIndex .

6.6.

Image d'un cône inductif par un foncteur.

Si G et G' sont deux graphes à composition, si F :G→G' est un foncteur et si c est un cône inductif de G , alors on note F(c) l'image de c par F , i.e. le cône inductif de G' (évidemment bien défini) tel que :

- GIndex(F(c))=GIndex(c) , - FBase(F(c))= FoBase(c) , - Somm(F(c))=F(Somm(c)) ,

- pour tout objet D∈Ob(GIndex(F(c))=Ob(GIndex(c)) , on a : ) insert

insert(F(c))_D = F( (c)_D , de sorte que, si c=(c_D :B_D →S∈Fl(G))_D∈D , on a :

G _∈D

∈

→

= F c_D F B_D F S _D c

F( ) ( ( ): ( ) ( ) Fl( ')) .

6.7.

Cônes projectifs et cônes inductifs petits.

Si G est un graphe à composition, on dit qu'un cône projectif (resp. inductif) c de G est petit si, et seulement si :

- son graphe à composition d'indexation GIndex(c) est petit.

6.8.

Cônes et limites.

Parmi tous les cônes projectifs (resp. inductifs) d'une catégorie C certains peuvent évidemment être des cônes limites projectives (resp. des cônes limites inductves) : nous n'en rappelons pas la définition !

7. Esquisses.

7.1.

Définition des esquisses.

Une esquisse E est constituée par : - un graphe à composition support Supp(E) ,

- une classe CPDist(E) de cônes projectifs de Supp(E) , dits distingués , - une classe CIDist(E) de cônes inductifs de Supp(E), dits distingués.

7.2.

Notations simplifiées pour les esquisses.

Si E est une esquisse, on note :

)) ( ( )

(E ObSupp E Ob =

et on dit de tout objet de Supp(E) que c'est un objet de E . De même, on note :

)) ( ( )

(E FlSupp E

Fl = ,

)) ( ( )

(E FlIdSupp E FlId =

et on dit de toute flèche de Supp(E) que c'est une flèche de E et de toute flèche identité de Supp(E) que c'est une flèche identité de E .

Pareillement, on note :

)) ( ( )

(E CCompSupp E

CComp = ,

)) ( ( )

(E CConsecSupp E CConsec =

et on dit de tout couple composable de Supp(E) que c'est un couple composable de E et de tout couple de flèches consécutives de Supp(E) que c'est un couple de flèches consécutives de E .

Enfin, on dit de toute famille projective (resp. inductive) de Supp(E) que c'est une famille projective (resp. inductive) de E et de tout cône projectif (resp. inductif) de

) (E

Supp que c'est un cône projectif (resp. inductif) de E .

7.3.

Esquisses petites.

On dit qu'une esquisse E est petite si, et seulement si : - son graphe à composition support Supp(E) est petit,

- la classe de ses cônes projectifs distingués CPDist(E) est un ensemble, - la classe de ses cônes inductifs distingués CIDist(E) est un ensemble,

- le graphe à composition d'indexation GIndex(c) de tout cône projectif distingué )

(E CPDist

∈

c est petit,

- le graphe à composition d'indexation GIndex(c) de tout cône inductif distingué )

(E CIDist

∈

c est petit.

8. Homomorphismes entre esquisses.

8.1.

Définition des homomorphismes entre esquisses.

Si E et E' sont deux esquisses, un homomorphisme H :E → E' de E vers '

E est constitué par :

- un foncteur support Supp(H):Supp(E)→Supp(E') , et, ce, de sorte que :

- pour tout cône projectif distingué c∈CPDist(E) , on a : ) ' ( )

))(

(

(Supp H c ∈CPDist E , - pour tout cône inductif distingué c∈CIDist(E) , on a :

) ' ( )

))(

(

(Supp H c ∈CIDist E .

8.2.

Notations simplifiées pour les homomorphismes entre esquisses.

Si E et E' sont deux esquisse et si H:E → E' est un homomorphisme, on

note :

)) ( ( )

(H ObSupp H Ob =

et, pour tout objet E∈Ob(E) :

) )(

( )

(E H E

H =Supp .

De même, on note :

)) ( ( )

(H FlSupp H

Fl = ,

)) ( ( )

(H FlId Supp H

FlId =

et, pour toute flèche e∈Fl(E) :

) )(

( )

(e H e

H =Supp .

Enfin, on note :

)) ( ( )

(H CCompSupp H

CComp = .

8.3.

Homomorphismes identités et composition des homomorphismes entre esquisses.

Si E est une esquisse, on note id(E):E →E l'homomorphisme identité en E , i.e. l'homomorphisme (évidemment bien défini) tel que :

- Supp(id(E))=id(Supp(E)):Supp(E)→Supp(E) .

Si E , E' et E" sont trois esquisses et si H :E → E' et H':E'→ E" sont deux homomorphismes, on note H'oH :E →E" l'homomorphisme composé de H' et

H , i.e. l'homomorphisme (évidemment bien défini) tel que : - Supp(H'oH) =Supp(H')oSupp(H):Supp(E)→Supp(E") _.

On note Esq la catégorie dont les objets sont les esquisses petites, dont les flèches sont les homomorphismes entre ces esquisses petites et où la composition est cette composition des homomorphismes.

9. Modèles.

9.1.

Définition des modèles.

Si E est une esquisse et si C est une catégorie, un modèle M :E →C de E dans C est constitué par :

- un foncteur sous-jacent SSJac(M):Supp(E)→C , et, ce, de sorte que :

- pour tout cône projectif distingué c∈CPDist(E) , son image (SSJac(c))(c) est un cône limite projective de C ,

- pour tout cône inductif distingué c∈CIDist(E) , son image (SSJac(c))(c) est un cône limite inductive de C .

9.2.

Notations simplifiées pour les modèles.

Si E est une esquisse, si C est une catégorie et si M :E →C est un modèle, pour tout objet E∈Ob(E) , on note :

) )(

( )

(E M E

M =SSJac et, pour toute flèche e∈Fl(E) , on note :

) )(

( )

(e M e

M =SSJac .

De même, pour tout cône projectif (resp. inductif) c de E - qu'il soit distingué ou non - on note :

) )(

( )

(c M c

M =SSJac .

9.3.

Composition (longitudinale) des modèles et des homomorphismes (entre esquisses).

Si E et E' sont deux esquisses, si H :E →E' est un homomorphisme, si C est une catégorie et si M':E'→C est un modèle, on note M'oH :E →C _{le modèle} composé (longitudinal) de M' et H , i.e. le modèle (évidemment bien défini) tel que :

- SSJac(M'oH) =SSJac(M')oSupp(H) , autrement dit, tel que :

- pour tout objet E∈Ob(E) , on a (M'oH)(E)=M'(H(E)) _, - pour toute flèche e∈Fl(E) , on a (M'oH)(e)= M'(H(e)) _.

10. Limites potentielles.

10.1.

Définition des limites potentielles.

Si E est une esquisse, on dit de tout cône projectif (resp. inductif) distingué de E que c'est une limite projective (resp. inductive) potentielle, puisque son image par tout modèle est un cône projectif (resp. inductif) "vraiment" limite !

10.2.

Produits et sommes potentiels.

On désigne par 2 le graphe à composition (évidemment petit) n'ayant que deux objets 1 et 2 et aucune flèche.

Si E est une esquisse, si E₁∈Ob(E) , E₂∈Ob(E) et F∈Ob(E) sont trois objets et si e₁:F →E₁∈Fl(E) et e₂:F →E₂∈Fl(E) sont deux flèches, on dit et on écrit que :

2

1 ¹ F ² E

E ← ^e  →^e est un produit potentiel de E si, et seulement si :

- il existe un cône projectif distingué c∈CPDist(E) (nécessairement unique) tel que :

=2 ) (c

GIndex , )(1) 1

(c = E

FBase , )(2) 2

(c =E

FBase , F c)= (

Somm ,

1

)1

(c =e proj ,

2

)2

(c =e proj , autrement dit si, et seulement si :

- c=(e_D:F →E_D)_D∈2∈CPDist(E) .

Dualement, si E est une esquisse, si E₁∈Ob(E) , E₂∈Ob(E) et F∈Ob(E) sont trois objets et si e₁:E₁ →F∈Fl(E) et e₂ :E₂ →F∈Fl(E) sont deux flèches, on dit et on écrit que :

2

1 ¹ F ² E

E →^e ← ^e est une somme potentielle de E si, et seulement si :

- il existe un cône inductif distingué c∈CIDist(E) (nécessairement unique) tel que :

=2 ) (c

GIndex , )(1) 1

(c = E

FBase , )(2) 2

(c =E

FBase , F c)= (

Somm ,

1

)1

(c =e insert ,

2

)2

(c =e insert , autrement dit si, et seulement si

- c=(e_D:E_D →F)_D∈2∈CIDist(E) .

10.3.

Monomorphismes et épimorphismes potentiels.

On désigne par V le graphe à composition (évidemment petit) n'ayant que trois objets 0 , 1 et 2 et deux flèches v₁:1→0 et v₂:2→0 .

Si E est une esquisse, si E∈Ob(E) et F∈Ob(E) sont deux objets et si )

( :E→F∈Fl E

j est une flèche, on dit et on écrit que : F

E j: →

est un monomorphisme potentiel de E si, et seulement si :

- il existe un cône projectif distingué c∈CPDist(E) tel que :

=V ) (c

GIndex ,

) )(

( )

)(

(c v₁ j FBasec v₂ FBase = =

E c)= ( Somm

) ( )

( ₁ FlId E

projc ∈ ) ( )

( ₂ FlId E

projc ∈ .

Dualement, on désigne par Λ le graphe à composition (évidemment petit) n'ayant que trois objets 0 , 1 et 2 et deux flèches λ₁:0→1 et λ₂:0→2 .

Si E est une esquisse, si E∈Ob(E) et F∈Ob(E) sont deux objets et si )

( :F →E∈Fl E

e est une flèche, on dit et on écrit que : E

F e: →

est un épimorphisme potentiel de E si, et seulement si :

- il existe un cône inductif distingué c∈CIDIst(E) tel que : Λ

= ) (c

GIndex ,

) )(

( )

)(

(c λ₁ e FBasec λ₂

FBase = = ,

F c)= (

Somm , ) ( )

( ₁ FlId E

insertc ∈ , ) ( )

( ₂ FlId E

insertc ∈ .

11. Transformations naturelles entre modèles.

11.1.

Définition des transformations naturelles entre modèles.

Si E est une esquisse, si C est une catégorie, si M₁:E →C et M₂:E →C sont deux modèles, une transformation naturelle m:M₁⇒M₂ :E →C de M vers ₁

M2 est constituée par :

- la donnée, d'une transformation naturelle sous-jacente (entre les foncteurs sous- jacents) :

C E →

⇒ ( ): ( ) )

( :

)

( SSJac ₁ SSJac ₂ Supp

SSJac m M M .

11.2.

Notations simplifiées pour les transformations naturelles entre modèles.

Si E est un graphe à composition, si C est une catégorie, si M₁:E →C et C

E →

2:

M sont deux modèles et si m:M₁⇒M₂ :E →C est une transformation naturelle, on note (selon le degré de précision nécessaire et/ou le contexte) :

2

:M1 M

m ⇒ ,

C E →

→ : :M₁ M₂

m ,

2

:M1 M

m → ,

) ( )

( )

( ( ) ( ( ) )

)) (

( _{∈Ob E} = _{∈Ob E} = SSJac _{∈Ob E}

= m E _E m_{E E} m _{E E}

m .

11.3.

Transformations naturelles identités et composition (latérale) des transformations naturelles (entre modèles).

Si E est un graphe à composition, si C est une catégorie et si M :E →C est un modèle, on note id(M):M ⇒ M :E →C la transformation naturelle identité de

M , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que : - SSJac(id(M))=id(SSJac(M)) ,

autrement dit, telle que :

- pour tout objet E∈Ob(E) , on a (id(M))(E)=id(M(E)):M(E)→M(E) . Si E est une esquisse, si C est une catégorie, si M₁:E →C , M₂:E →C et M₃ :E →C sont trois modèles et si m₁:M₁⇒M₂:E →C et

C E →

⇒ :

: _{2 3}

2 M M

m sont deux transformations naturelles, on note

C E →

⇒ :

: _{1 3}

1

2 m M M

m

.

^la transformation naturelle composée (latérale) de m et ₂ m1 , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que :

- pour tout objet E∈Ob(E) , on a (m₂

.

m₁)(E)=m₂(E)

.

m₁(E) .

11.4.

Composition (longitudinale) des transformations naturelles entre modèles et des homomorphismes (entre esquisses).

Si E et E' sont deux esquisses, si C est une catégorie, si H :E → E' est un homomorphisme, si M'₁:E'→C et M'₂:E'→C sont deux modèles et si

C E →

⇒ ' : ' '

:

' M ₁ M ₂

m est une transformation naturelle, on note :

C E →

⇒ ' : '

:

' H M ₁ H M ₂ H

m o o o

la transformation naturelle composée (longitudinale) de m' et H , i.e. la transformation naturelle (évidemment bien définie) telle que :

- SSJac(m'oH)=SSJac(m')oSupp(H) , autrement dit, telle que :

- pour tout objet E∈Ob(E) , on a (m'oH)(E)=m'(H(E)) _.

12. Catégories de modèles et foncteurs induits.

12.1.

Catégories de modèles.

Si E est une esquisse petite et si C est une catégorie localement petite, on note Mod(E,C) la catégorie, évidemment localement petite, dont les objets sont les modèles de E vers C , dont les flèches sont les transformations naturelles entre ces modèles de E vers C et où la composition est la latérale des morphismes.

12.2.

Foncteurs induits entre catégories de modèles.

Si E et E' sont deux esquisses petites, si C est une catégorie localement petite et si H:E → E' est un homomorphisme, on note :

) , ( )

, ' ( : ) ,

( C Mod E C Mod E C

Mod H →

le foncteur induit par H , c'est-à-dire le foncteur composition par H , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- pour tout objet M'∈Ob(Mod(E',C)) , i.e. pour tout modèle M':E'→C , on a : C

E C)( ')= ' : → ,

(H M M oH

Mod ,

- pour toute flèche m'∈Fl(Mod(E',C)) , i.e. pour tous modèles M'₁:E'→C et C

E'→ : '₂

M et toute transformation naturelle m':M'₁⇒M'₂:E'→C , on a : C

E C)( ')= ' : ' ⇒ ' : → ,

(H m m oH M ₁oH M ₂oH

Mod .

13. Catégories esquissables et foncteurs esquissables.

13.1.

Catégories esquissables.

Si M est une catégorie, on dit que M est esquissable si, et seulement si : - il existe une esquisse petite E telle que les catégories M et Mod(E,Ens) sont équivalentes.

13.2.

Foncteurs esquissables

Si M₁ et M₂ sont deux catégories et si U :M₁ →M₂ est un foncteur, on dit que U est esquissable si, et seulement si :

- il existe une esquisse petite E₁ , il existe une esquisse petite E₂ et il existe un homomorphisme H :E₂ →E₁ tels que les foncteurs U :M₁ →M₂ et

) , ( )

, ( : ) ,

( Ens Mod E₁ Ens Mod E₂ Ens

Mod H → sont équivalents.

14. Foncteurs évaluation.

14.1.

Définition des foncteurs évaluation.

Si E est une esquisse petite et si E∈Ob(E) est un objet, on note :

Ens Ens

E : (E, )→ ev _,E Mod

le foncteur évaluation en E , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- pour tout objet M ∈Ob(Mod(E,Ens)) , i.e. pour tout modèle M :E →Ens , on a : )

( )

, ( E

E _E M =M

ev ,

- pour toute flèche m∈Fl(Mod(E,Ens)) , i.e. pour tous modèles M₁:E →Ens et Ens

E →

2:

M et toute transformation naturelle m:M₁⇒ M₂ :E →Ens , on a : )

( )

,_E(m =m E

evE .

14.2.

Notation simplifiée pour les foncteurs évaluation.

Si E est une esquisse petite et si E∈Ob(E) , on note (s'il n'y a pas risque d'ambiguïté quant à l'esquisse E ) :

Ens Ens

E E →

=ev : ( , )

ev_{E ,E} Mod .

14.3.

Esquissabilité des foncteurs évaluation.

On désigne par 1 l'esquisse (évidemment petite) telle que :

- Supp(1)=1 est le graphe à composition ayant pour seul objet 1 et aucune flèche, - CPDist(1)=0/ ,

- CIDist(1)=0/ .

Alors, il est clair que Ens et Mod(1,Ens) sont isomorphes, de sorte que la catégorie Ens est une catégorie esquissable !

Si E est une esquisse petite et si E∈Ob(E) , on désigne par : E

1 E, ): →

( E

select

l'homomorphisme sélection de E dans E , i.e. l'homomorphisme (évidemment bien défini) tel que :

- sel(E,E)(1)= E .

Alors, il est clair que les foncteurs :

Ens Ens

E_, :Mod(E, )→ ev _E

et

) , ( )

, ( : ) ), , (

(select E Ens Mod E Ens Mod 1 Ens

Mod E →

sont équivalents (et même "isomorphes") de sorte que le foncteur Ens

Ens E_, :Mod(E, )→

ev _E est esquissable !

15. Extensions d'esquisses.

15.1.

Graphe à composition et foncteurs canoniquement associés à un modèle.

Si E est une esquisse petite et si M₀ :E → Ens est un modèle, on désigne par GCano(M₀) le graphe à composition canoniquement associé à M₀ , i.e. le graphe à composition (évidemment petit) défini comme suit :

- l'ensemble Ob(GCano(M₀)) de ses objets est l'ensemble des (E,X) où E∈Ob(E) et X ∈M₀(E) ,

- l'ensemble Fl(GCano(M₀)) de ses flèches est l'ensemble des : ) , ( ) , ( : )) , ( , ), ,

((E₁ X₁ e E₂ X₂ E₁ X₁ → E₂ X₂

où (E₁,X₁)∈Ob(GCano(M₀)) , (E₂,X₂)∈Ob(GCano(M₀)) , e:E₁ →E₂∈Fl(E) et M₀(e)(X₁)= X₂ ,

- l'ensemble FlId(GCano(M₀)) de ses flèches identités est l'ensemble des : )) ( (

) , ( ) , ( : )) , ( , ), ,

((E X e E X E X → E X ∈FlGCano M₀ où e:E→ E∈FlId(E) ,

- l'ensemble CComp(GCano(M)) de ses couples composables est l'ensemble des :

(

^((E₂^,X₂^),e₂^,(E₃^,X₃^)),((E₁^,X₁^),e₁^,(E₂^,X₂⁾⁾

)

^{∈CConsec(GCano(M))}

où (e₂,e₁)∈CComp(E) et, ce, de sorte que :

) , ( , ), , ((

)) , ( , ), , ((

)) , ( , ), ,

((E₂ X₂ e₂ E₃ X₃

.

E₁ X₁ e₁ E₂ X₂ = E₁ X₁ e₂e₁ E₃ X₃ ^. Alors, on désigne par FCano(M₀):GCano(M₀)→Supp(E) le foncteur canoniquement associé à M₀ , i.e. le foncteur (évidemment bien défini) tel que :

- pour tout objet (E,X)∈Ob(GCano(M₀)) , on a FCano(M₀)(E,X)= E ,