On suppose qu’il existe un sous-groupe algébrique réductif Gred de G dont l’inclusion dans G induit un isomorphisme Gred'G/H

JEAN-MARC DRÉZET

Sommaire

1. Introduction 1

2. Quotients algébriques 7

3. Mutations constructives 12

4. Variétés de modules de complexes 22

5. Variétés de modules de morphismes 32

Références 45

1. Introduction

1.1. Le problème des quotients algébriques par des groupes non réductifs

Soit G un groupe algébrique linéaire de radical unipotent H. On suppose qu’il existe un sous-groupe algébrique réductif G_red de G dont l’inclusion dans G induit un isomorphisme G_red'G/H. SoitY une variété algébrique projective munie d’une action algébrique deG, et L unG-fibré en droites très ample surY. On dit qu’un pointydeY estsemi-stablerelativement à Ls’il existe un entier k > 0 et une sectionG-invariantesdeL^k telle que s(y)6= 0. SoitY^ss(L) l’ouvertG-invariant de Y constitué des pointsG-semi-stables relativement à L. La construction d’un bon quotient Y^ss(L)//G est possible dans le cas où H ={0}, le groupe G étant dans ce cas réductif (cf [9], [10]). Le cas où G n’est pas réductif est plus difficile, et a été abordé par A. Fauntleroy dans [6]. On doit considérer un ouvert G-invariant plus petit de Y^ss(L) (en imposant des conditions supplémentaires qui dépendent essentiellement de l’action deH) et les quotients obtenus sont en général seulement des quotients catégoriques. De plus, la définition de l’ouvert à quotienter est peu explicite. Ces restrictions s’expliquent sans doute par la grande généralité des problèmes traités dans [6]. On propose ici une définition légèrement différente de la semi-stabilité :

Définition 1. On dit qu’un point y de Y est G-semi-stable (resp. G-stable) relativement à L si tout point de l’orbiteHy estGred-semi-stable (resp. Gred-stable) relativement àL(vu comme un G_red-fibré en droites).

1

Il est clair que les points semi-stables relativement àL le sont aussi au sens de la définition 1.

Cette définition me semble plus explicite, car les points G_red-semi-stables peuvent en général être déterminés à l’aide de critères numériques (cf. [9]).

1.2. Espaces de complexes

On s’intéresse dans cet article à un type particulier d’action. Soient X une variété algébrique projective, p≥1 un entier,n₀, . . . , n_p des entiers positifs, et pour 0≤i≤p, 1≤j ≤n_i, E_j⁽ⁱ⁾ un faisceau cohérent sur X et M_j⁽ⁱ⁾ un espace vectoriel non nul de dimension finie. On pose, pour0≤i≤p

E_i = M

1≤j≤ni

(E_j⁽ⁱ⁾⊗M_j⁽ⁱ⁾).

On suppose que les faisceaux E_j⁽ⁱ⁾ sont simples, et que Hom(E_j⁽ⁱ⁾,E_j⁽ⁱ0⁰⁾) = {0} si i > i⁰, ou i=i⁰,j > j⁰. SoitW la variété des complexes

E₀ −→ E₁ −→. . .−→ E_p, sur laquelle opère le groupe algébrique

G = Aut(E₀)×. . .×Aut(E_p).

Le sous-groupe unipotentH est constitué des (g₀, . . . , g_p)tels que pour tousi,j, la composante E_j⁽ⁱ⁾⊗M_j⁽ⁱ⁾ −→ E_j⁽ⁱ⁾⊗M_j⁽ⁱ⁾

de g_i soit l’identité. Le sous-groupe réductif G_red est constitué des (g₀, . . . , g_p) tels que pour tous i,j ont ait

g_i(E_j⁽ⁱ⁾⊗M_j⁽ⁱ⁾) ⊂ E_j⁽ⁱ⁾⊗M_j⁽ⁱ⁾. On a un isomorphisme

G_red ' Y

0≤i≤p,1≤j≤n_i

GL(M_j⁽ⁱ⁾).

Si on veut retrouver une action sur une variété projective, il convient de considérer plutôt la variété projectiveP(W) sur laquelle opère le groupe G/C^∗.

L’action de G_red sur W est un cas particulier des actions étudiées par A. King dans [8]. Une linéarisation de l’action de G/C^∗ sur P(W) est définie par une suite Λ = (λ_ij)0≤i≤p,1≤j≤n_i de nombres rationnels non nuls telle que

X

0≤i≤p,1≤j≤n_i

λ_ijdim(M_j⁽ⁱ⁾) = 0.

On appelle Λ une polarisation de l’action de Gsur W. Un complexe E₀ −−−−→ E^f0 ₁ −−−−→^f1 . . . −−−−→ E^fp−1 _p

estGred-semi-stable (resp.Gred-stable) relativement àΛsi et seulement si pour tous sous-espaces vectoriels

M⁰⁽ⁱ⁾_j ⊂M_j⁽ⁱ⁾,

avec (M⁰⁽ⁱ⁾_j )6= ({0}) ou(M_j⁽ⁱ⁾), tels que fi( M

1≤j≤ni

(E_j⁽ⁱ⁾⊗M⁰⁽ⁱ⁾_j )) ⊂ M

1≤j≤ni+1

(E_j⁽ⁱ⁺¹⁾⊗M⁰⁽ⁱ⁺¹⁾_j )) pour 0≤i < p, on a

X

0≤i≤p,1≤j≤ni

λijdim(M⁰⁽ⁱ⁾_j ) ≤ 0 (resp. < ).

Le problème de la construction de quotients par G d’ouverts de W a été abordé dans [5] et [2], dans le cas p= 1 (les complexes sont alors en fait des morphismes). On va donner ici une méthode de construction de quotients par G d’ouverts G-invariants de W, qui est une généralisation de la méthode employée dans [5]. On donnera en particulier des exemples de quotients par G de l’ouvert des points G-semi-stables. On ne peut pas obtenir en général des bons quotients, mais ce qu’on appelle des quasi-bons quotients (cf. chapitre 2).

1.3. Mutations constructives

Pour construire des bons quotients parGd’ouvertsG-invariants deW, on introduit une nouvelle variété de complexesW⁰, sur laquelle le groupeG⁰qui agit est réductif. On tente ensuite d’établir une relation entre les quotients par G⁰ d’ouverts G⁰-invariants de W⁰ et les quotients par G d’ouverts G-invariants de W.

La méthode est basée sur le résultat suivant (cf. §3) : soientE,F,G,Γdes faisceaux cohérents surX etM un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que le morphisme d’évaluation

Γ⊗Hom(Γ,G)−→ G

est surjectif. SoitE⁰ son noyau. On suppose aussi que la composition Hom(E,Γ)⊗Hom(Γ,G)−→Hom(E,G) est surjective. Soit

(1) E −−−−→^A (Γ⊗M)⊕ G −−−−→ F^B un complexe. Alors on peut associer à(1) un complexe

(2) E ⊕ E⁰ −−−−→^α Γ⊗N −−−−→ F,^β avec N = Hom(Γ,G)⊕M et tel que

ker(α)'ker(A), ker(β)/Im(α)'ker(B)/Im(A), coker(β)'coker(α).

La réciproque est aussi vraie, si on part d’un complexe (2) tel que α induise une injection Hom(E⁰,Γ)−→N,

et les deux transformations sont inverses l’une de l’autre (à l’action près des groupes d’auto- morphismes des complexes). Le passage de(1) à(2) consiste à effectuer unemutation à gauche deG. Cette notion a été introduite dans l’étude desfibrés exceptionnels (cf. [3], [1], [7]). On no- teraW0 (resp.W₀⁰) l’espace des complexes (1)(resp.(2)), etG0 (resp.G⁰₀) le groupe algébrique agissant surW₀ (resp. W₀⁰).

La transformation qui fait passer de (1) à (2) est purement formelle (cf. §3.2). Le complexe (2) associé à (1) n’est pas en général unique, mais sa G⁰₀-orbite l’est, et ne dépend que de la G₀-orbite de (1). On obtient ainsi (sous certaines hypothèses) une bijection

W₀/G₀ 'U₀/G⁰₀,

U₀ désignant l’ouvert de W₀⁰ constitué des complexes (2) tels que α induise une injection Hom(E⁰,Γ)−→N. Cette correspondance est algébrique dans le sens suivant : si un ouvert invariant d’un des espaces de complexes admet un quasi-bon quotient, l’ouvert correspondant de l’autre côté admet aussi un quasi-bon quotient, et les deux quotients sont isomorphes. La bijection précédente est en fait un quasi-isomorphisme fort (cf. chapitre 2). Cela entraîne que certaines propriétés vérifiées par un quasi-bon quotient d’un ouvert invariant d’un des espaces de complexes seront automatiquement vérifiées par le quotient de l’ouvert correspondant de l’autre espace de complexes (cf. §2.3, concernant la descente sur les quotients de fibrés vectoriels). On a aussi une notion similaire de mutation à droite.

Pour appliquer ce qui précède aux variétés de complexes de type E0 −→ E1 −→. . .−→ Ep

on procède de la façon suivante : on écrit le dernier terme E_p = (Γ⊗M)⊕ G, avec

Γ =E₁^(p), M =M₁^(p), G = M

2≤j≤np

(E_j^(p)⊗M_j^(p)).

Dans ce cas, on a

E⁰ = M

2≤j≤np

(E^0(p)_j ⊗M_j^(p)), E^0(p)_j désignant le noyau du morphisme d’évaluation

E₁^(p)⊗Hom(E₁^(p),E_j^(p))−→ E_j^(p)

(supposé surjectif). Les complexes obtenus par mutation sont du type E₀ −→ E₁ −→. . .−→ E_p−1⁰ −→ E₁^(p)⊗N, avec

N = M₁^(p)⊕

M

2≤j≤np

(Hom(E₁^(p),E_j^(p))⊗M_j^(p))

et

E_p−1⁰ = E_p−1⊕

M

2≤j≤np

(E^0(p)_j ⊗M_j^(p))

. On peut continuer en écrivant

E_p−1⁰ = (Γ⊗M)⊕ G, avec

Γ =E₁^(p−1), M =M₁^(p−1), G =

M

2≤j≤np−1

(E_j^(p−1)⊗M_j^(p−1))

⊕

M

2≤j≤np

(E^0(p)_j ⊗M_j^(p))

.

On peut ainsi procéder à

q = X

0≤i≤p

n_i

mutations successives, et on obtient finalement un complexe du type F₀⊗N₀ −→. . .−→ F_q⊗N_q,

où le groupe G⁰ qui opère est réductif. Il existe un autre chemin possible, en effectuant des mutations à droite en partant du terme de gauche.

Supposons fixée une polarisationΛde l’action deGsurW. On peut alors définir naturellement une polarisationΛ⁰ de l’action deG⁰ sur l’espaceW⁰ des complexes précédents. Il reste à étudier les relations qu’il y a entre la G-(semi-)stabilité des complexes de W relativement à Λ, et la G⁰-(semi-)stabilité des complexes deW⁰ relativement àΛ⁰. Il est toujours vrai que si la mutation estG⁰-(semi-)stable relativement à Λ⁰, le complexe d’origine estG-(semi-)stable relativement à Λ. La réciproque est vraie si on impose des conditions àΛ. Il faut ensuite montrer que tous les complexes G⁰-semi-stables de W⁰ sont (à l’action de G⁰ près) des mutations de complexes de W. Cela n’est vrai que si on impose encore d’autres conditions àΛ. On obtient alors l’existence d’un quasi-bon quotient projectif de l’ouvert des points G-semi-stables de W. En considérant les mutations à droite, on obtient généralement d’autres valeurs de Λ pour lesquelles il existe un quasi-bon quotient projectif.

1.4. Variétés de modules de complexes

On considère dans le §4 des complexes du type

(3) E₁⊗L₁ −→(F₁⊗M₁)⊕(F₂⊗M₂)−→ G₁⊗N₁,

où E₁, F₁, F₂, G₁ sont des faisceaux cohérents simples sur X, et L₁, M₁, M₂, N₁ des espaces vectoriels de dimension finie. Quelques hypothèses doivent être faites, notamment que le mor- phisme d’évaluation

F₁⊗Hom(F₁,F₂)−→ F₂

est surjectif. On note H₁ son noyau. En effectuant une première mutation à gauche on associe au complexe (3) un complexe

(4) (E₁⊗L₁)⊕(H₁⊗M₂)−→ F₁⊗P₁ −→ G₁⊗N₁, avec

P1 = (Hom(F1,F2)⊗M2)⊕M1. On suppose ensuite que le morphisme d’évaluation

E₁⊗Hom(E₁,H₁)−→ H₁

est surjectif. SoitK₁ son noyau. En effectuant une seconde mutation on obtient un complexe (5) K1⊗M2 −→ E1⊗Q1 −→ F1⊗P1 −→ G1⊗N1,

avec

Q₁ = (Hom(E₁,H₁)⊗M₂)⊕L₁, et ici le groupe qui opère est réductif.

On en déduit dans le théorème 4.4 l’existence de quasi-bons quotients projectifs d’ouverts de complexesG-semi-stables de type (3) (pour certaines polarisations).

Dans le §4.5 on étudie le cas des complexes

O(−2)−→(O(−1)⊗M₁)⊕ O −→ O(1)

sur Pⁿ, M₁ étant un espace vectoriel tel que 0<dim(M₁)< n+ 1. Dans le cas de P² et dim(M₁) = 3, on obtient trois types de quotients distincts, dont deux lisses. Un des quotients lisses peut être obtenu de manière élémentaire. Le second est non trivial.

1.5. Variétés de modules de morphismes Dans le §5 on considère des morphismes du type

(E₁⊗M₁)⊕(E₂⊗M₂)−→ F₁⊗N₁,

oùE₁,E₂, F₁ sont des faisceaux cohérents simples sur X, et M₁, M₂,N₁ des espaces vectoriels de dimension finie. On rappelle dans les §5.1 et 5.2 la construction de variétés de modules de morphismes G-semi-stables de ce type (pour certaines polarisations) effectuée dans [5]. On procède simplement ici à une seule mutation à gauche pour obtenir une action d’un groupe réductif. Les quotients obtenus par cette méthode sont des bons quotients projectifs, et les ouverts correspondant aux morphismes G-stables sont des quotients géométriques.

Dans le§5.3 on emploie des mutations à droite. Il faut alors deux mutations successives pour ob- tenir une action d’un groupe réductif. On obtient des bons quotients de l’ouvert des morphismes G-semi-stables, pour d’autres polarisations qu’avec la méthode précédente.

Dans la §5.4 on donne des exemples de constructions de variétés de modules de morphismes au moyen des méthodes de [5], [2] et du §5.3. On donne un cas où il n’y a pas de quotient géométrique de l’ouvert des points stables.

1.6. Mutations non constructives

D’autres sortes de mutations ont été définies dans [2]. On pourrait les appeler des mutations non constructives. Dans [2] elles sont appliquées à des morphismes, mais on peut sans difficulté étendre leur définition aux complexes. Elles peuvent aussi servir à construire des bons quotients d’ouverts de points G-semi-stables, pour d’autres polarisations que celles qui sont accessibles par les méthodes décrites ici. La définition des mutations non constructives est basée sur le résultat suivant : soient E, E⁰, Γ, G et F des faisceaux cohérents sur X. On suppose que le morphisme canonique

E⁰ −→Γ⊗Hom(E⁰,Γ)^∗ est injectif et on note F₀ son conoyau. On suppose aussi que

Ext¹(F₀,F) = Ext¹(E,Γ) = Ext¹(Γ,F) ={0}.

Soient M un espace vectoriel de dimension finie et

E ⊕ E⁰ −−−−→^A (Γ⊗M)⊕ F −−−−→ G^B

un complexe tel que l’application linéaire

λ: Hom(E⁰,Γ)^∗ −→M déduite de A soit surjective. Alors il existe un complexe

E ⊕(Γ⊗ker(λ)) −−−−→ F^α ₀⊕ F −−−−→ G^β tel que

ker(α)'ker(A), ker(β)/Im(α)'ker(B)/Im(A), coker(β)'coker(B).

Ce résultat admet aussi une réciproque.

Le différence essentielle entre les mutations constructives et les mutations non constructives est la suivante : dans le premier cas, on effectue la mutation d’une paire de faisceaux situés dans le même terme du complexe, et dans le second cas on effectue la mutation d’une paire de faisceaux situés dans des termes adjacents du complexe.

2. Quotients algébriques 2.1. Quasi-bons quotients

SoitGun groupe algébrique. On appelleG-espaceune variété algébriqueX munie d’une action algébrique de G. Rappelons qu’on appelle bon quotient deX par G un morphisme

π:X −→M (où M est une variété algébrique) tel que :

(i) Le morphisme π estG-invariant, affine et surjectif.

(ii) SiU est un ouvert de M, alors on a O(U) ' O(π⁻¹(U))^G.

(iii) SiF₁,F₂ sont des sous-variétés ferméesG-invariantes disjointes deX, alors π(F₁)etπ(F₂) sont des sous-variétés disjointes de M.

Cette définition est particulièrement bien adaptée à l’étude des actions de groupes algébriques réductifs, car on sait que dans ce cas il existe toujours un bon quotient si X est affine. On utilisera une notion légèrement différente :

Définition 2. On appelle quasi-bon quotient de X par G un morphisme π:X −→M

(où M est une variété algébrique) qui est G-invariant, surjectif et tel que les conditions (ii) et (iii) précédentes soient vérifiées.

On dit parfois par abus de language que M est le quasi-bon quotient de X par G. On note comme dans le cas des bons quotients M = X//G. Il est clair qu’un bon quotient est un quasi-bon quotient.

2.2. Quasi-isomorphismes

Soient G,G⁰ des groupes algébriques, X unG-espace et X⁰ unG⁰-espace.

Définition 3. 1 - On appelle quasi-morphisme de X vers X⁰ une application φ:X/G−→X⁰/G⁰

telle que pour tout point x de X il existe un ouvert de Zariski U de X contenant x et un morphisme U −→X⁰ induisant φ.

2 - On appelle quasi-morphisme fort de X vers X⁰ la donnée d’unquasi-morphisme φ:X/G−→X⁰/G⁰,

d’un recouvrement ouvert (U_i)i∈I de X, et d’une famille (φ_i)i∈I de relèvements de φ , φ_i :U_i −→X⁰, telle que :

(i) pour tout j ∈I et g ∈G, le morphisme

gU_j −→X⁰ x7−→φj(g⁻¹x) appartient à la famille (φ_i).

(ii) Pour tous i, j ∈I, et tout x∈U_i∩U_j il existe un voisinage V de x dans U_i∩U_j et un morphisme λ_ij :V −→G⁰ tel que φ_j|V = λ_ijφ_i|V,

(iii) Pour tout i∈I et x∈Ui, il existe un voisinage V de (e, x) dans G×Ui et un morphisme γ :V −→G⁰ tel que γ(e, x) =e et que pour tous (g, y)∈V, on ait gy ∈Ui et φ_i(gy) = γ(g, y)φ_i(y).

On appelle quasi-isomorphisme de X vers X⁰ une bijection φ:X/G−→X⁰/G⁰ qui est un quasi-morphisme ainsi que son inverse.

Définition 4. Soit σ = (φ:X/G−→X⁰/G⁰,(φ_i :U_i −→X⁰)) un quasi-morphisme fort. On appelle carte de σ un relèvement local f :U −→X⁰ de φ (U étant un ouvert non vide de X) tel que pour tout x∈U les propriétés suivantes soient vérifiées :

(i) Pour tout i∈I il existe un voisinage V de x dans U ∩Ui et un morphisme λi :V −→G⁰ tel que f_|V = λ_iφ_i|V,

(ii) Il existe un voisinage V de (e, x) dans G×U et un morphisme γ :V −→G⁰ tel que γ(e, x) =e et que pour tous (g, y)∈V, on ait gy∈U et φ_i(gy) =γ(g, y)φ(y).

On dit que deux quasi-morphismes forts deX dansX⁰ sontéquivalentssi les cartes de l’un sont aussi des cartes de l’autre.

Il est clair que la composition de deux quasi-morphismes en est un. On va définir ce qu’on entend par composition de deux quasi-morphismes forts. Soient G, G⁰, G⁰⁰ des groupes algébriques, X unG-espace,X⁰ un G⁰-espace et X⁰⁰ un G⁰⁰-espace. Soient

σ= (φ:X/G−→X⁰/G⁰,(φ_i :U_i −→X⁰)i∈I), σ⁰ = (φ⁰ :X⁰/G−→X⁰⁰/G⁰⁰,(φ⁰_j :U_j⁰ −→X⁰⁰)j∈J) des quasi-morphismes forts. Soient

ψ =φ⁰◦φ:X/G−→X⁰⁰/G⁰⁰, et pour i∈I,j ∈J, V_ij =U_i∩φ⁻¹(U_j⁰), et

ψ_ij =φ⁰_j ◦φ_i :V_ij −→X⁰⁰. On pose

τ = (ψ :X/G−→X⁰⁰/G⁰⁰,(ψ_i,j :V_ij −→X⁰⁰)(i,j)∈I×J).

Lemme 2.1. τ est un quasi-morphisme fort de X dans X⁰.

Démonstration. Soit x∈V_ij. Pour(g, y) dans un voisinage convenable de (e, x), on a ψ_ij(gy) = φ⁰_j ◦φ_i(gy) =φ⁰_j(γ_i(g, y)φ_i(y)) =γ_j⁰(γ_i(g, y), φ_i(y))ψ_ij(y),

γ_i (resp. γ_j⁰) étant un morphisme à valeurs dans G⁰ (resp. G⁰⁰) défini sur un voisinage de (e, x) (resp. (e, φ_i(x))). En posant

γ_ij(g, y) =γ_j⁰(γ_i(g, y), φ_i(y))

on obtient donc ψ_ij(gy) = γ_ij(g, y)ψ_ij(y). D’autre part, soient i, i⁰ ∈I,j, j⁰ ∈J et x∈V_i,j∩V_i⁰_,j⁰. Avec des notations évidentes, on a, pour y dans un voisinage de x

φ⁰_j⁰ ◦φi⁰(y) = φ⁰_j⁰(λii⁰(y)φi(y)).

Posons g₀⁰ =λ_ii⁰(x)∈G⁰. Alors on a

φ⁰_j⁰(λii⁰(y)φi(y)) = γ_j⁰⁰(λii⁰(y)g₀⁰⁻¹, g₀⁰φi(y))φ⁰_j⁰(g0φi(y)) = γ_j⁰⁰(λii⁰(y)g₀⁰⁻¹, g⁰₀φi(y))φ⁰_k(φi(y)) pour un k convenable dans J. On obtient finalement

φ⁰_j0 ◦φ_i⁰(y) = γ_j⁰0(λ_ii⁰(y)g₀⁰⁻¹, g₀⁰φ_i(y))λ⁰_kj(φ_i(y))φ⁰_j◦φ_i(y), c’est-à-dire

φ⁰_j⁰ ◦φ_i⁰(y) = θ_i⁰_j⁰_,ij(y)φ⁰_j◦φ_i(y), avec

θ_i⁰_j⁰_,ij(y) =γ_j⁰0(λ_ii⁰(y)g₀⁰⁻¹, g₀⁰φ_i(y))λ⁰_kj(φ_i(y)).

On définit de manière évidente le quasi-morphisme fort identité I_X de X dans X. Il est clair que la composition à droite ou à gauche d’un quasi-morphisme fort avec I_X donne un quasi- morphisme fort équivalent. On définit unquasi-isomorphisme fortσdeX dansX⁰ comme étant un quasi-morphisme fort de X dans X⁰ tel qu’il existe un quasi-morphisme fort σ⁰ deX⁰ dans X tel que σ◦σ⁰ (resp. σ⁰◦σ) soit équivalent à I_X⁰ (resp. I_X).

Exemples : 1 - Supposons qu’il existe un morphisme φ:X −→X⁰ compatible avec un morphisme de groupes algébriques α:G−→G⁰, c’est-à-dire que pour tous g ∈G, x∈X, on a φ(gx) = α(x)φ(x). Soit

φ:X/G−→X⁰/G⁰

l’application déduite de φ. Alors (φ, φ) est un quasi-morphisme fort de X dans X⁰. C’est l’exemple le plus simple.

2 - Supposons qu’il existe un quasi-isomorphisme fort σ:X −→X⁰, et soit U un ouvert G- invariant de X. Soit U⁰ l’ouvert G⁰-invariant correspondant de X⁰. Alors σ induit un quasi- isomorphisme fort U −→U⁰.

Il est clair que si

φ:X/G−→X⁰/G⁰

est un quasi-isomorphisme (non nécessairement fort),φinduit une bijection entre l’ensemble des ouverts (resp. fermés) G-invariants deX et l’ensemble des ouverts (resp. fermés) G⁰-invariants deX⁰. SiU est un ouvertG-invariant deX, et U⁰ l’ouvertG⁰-invariant correspondant de X⁰,φ induit un isomorphisme d’anneaux

O(U)^G ' O(U⁰)^G0.

Plus généralement, si Y est une variété algébrique, les morphismes G-invariants X −→Y s’identifient de manière évidente aux morphismes G⁰-invariants X⁰ −→Y.

Proposition 2.2. SiX etX⁰ sont quasi-isomorphes, il existe un quasi-bon quotient deX par G si et seulement si il existe un quasi-bon quotient de X⁰ par G⁰, et dans ce cas les deux quotients sont isomorphes.

Démonstration. Supposons qu’il existe un quasi-bon quotient π:X −→M

deX par G. Soit

φ:X/G−→X⁰/G⁰

un quasi-isomorphisme. Puisque π est G-invariant, il définit un morphismeG⁰-invariant π⁰ :X⁰ −→M.

Il est immédiat que c’est un quasi-bon quotient de X⁰ par G⁰. Remarque : La proposition 2.2 est vraie pour des bons quotients si on suppose en plus que les variétésX etX⁰ sont affines et si tout ouvert affine d’une de ces variétés est le complémentaire d’une hypersurface (c’est le cas par exemple lorsque X et X⁰ sont factorielles, c’est-à-dire que leurs anneaux de fonctions régulières sont factoriels). En effet dans ce cas les ouverts affinesG- invariants (resp.G⁰-invariants) deX (resp.X⁰) sont alors les complémentaires des hypersurfaces G-invariantes (resp.G⁰-invariantes), et il est aisé de voir que via φ les hypersurfaces invariantes de X correspondent exactement à celles de X⁰. C’est ce qui se produit dans [2], où X et X⁰ sont des ouverts d’espaces affines.

2.3. Lemme de descente

On montre ici que la notion de quasi-isomorphisme fort préserve une propriété importante : la possibilité de descendre au quotient des G-fibrés adéquats sur X. Rappelons qu’un G-fibré vectoriel surX est un fibré vectoriel algébrique F surX muni d’une action algébrique linéaire deG, au dessus de l’action de GsurX. S’il existe un quasi-bon quotient π :X −→M, on dit que F descend à M s’il existe un fibré vectoriel algébrique E sur M et un isomorphisme de G-fibrés

F ' π^∗(E).

Définition 5. On dit qu’un G-fibré vectoriel F sur X est admissible si pour tout point x de X, le stabilisateur de x dans G agit trivialement sur F_x.

Il est clair que s’il existe un quasi-bon quotient M =X//G, et si F descend à M, alorsF est admissible. On démontre dans [4] le résultat suivant :

Lemme 2.3. (Lemme de descente) Si le groupe G est réductif et s’il existe un bon quotient π:X −→M, tout G-fibré admissible sur X descend àM.

Une justification de la notion de quasi-isomorphisme fort est le résultat suivant :

Proposition 2.4. On suppose donné un quasi-isomorphisme fort de X dans X⁰. Soit r un entier. Alors

1 - Il existe une bijection canonique entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de G-fibrés vectoriels admissibles de rang r sur X et l’ensemble des classes d’isomorphisme de G⁰-fibrés vectoriels admissibles de rang r sur X⁰.

2 - On suppose qu’il existe un quasi-bon quotient

M = X//G = X⁰//G⁰.

Alors unG-fibré vectoriel admissible sur X descend à M si et seulement si le G⁰–fibré vectoriel admissible correspondant sur X⁰ descend à M, et les fibrés vectoriels associés sur M sont les mêmes.

Démonstration. Soit (φ :X/G−→X⁰/G⁰,(φ_i :U_i −→X⁰)) le quasi-isomorphisme fort. Soit F⁰ un G⁰-fibré vectoriel admissible surX⁰. On va lui associer unG-fibré vectoriel admissible F sur X. On commence par construire F sans sa structure algébrique. Soit :X −→X⁰ une application au dessus de φ. On pose F =^∗(F⁰). Si ⁰ :X−→X⁰ est une autre application au dessus de φ, il existe une application θ :X −→G⁰ telle que ⁰ =θ.. Puisque F⁰ est un G⁰-fibré on obtient un isomorphisme F'F⁰ qui en x∈X est la multiplication par θ(x) F_(x)⁰ −→F⁰0(x). Puisque F⁰ est admissible, l’isomorphisme précédent est indépendant du choix de. On peut donc définir sans ambiguité F = F.

Définissons maintenant l’action deG surF. Soient g ∈G,x∈X. Alors(x)et(gx)sont dans la même G⁰-orbite, donc on a un isomorphisme canonique

Fx =F_(x)⁰ −→F_(gx)⁰ =Fgx,

qui ne dépend pas de. Il est clair qu’on définit ainsi une action deGsurF, et que le stabilisateur dex agit trivialement sur F_x.

On définit maintenant la structure algébrique surF. Soienti∈I etx∈U_i. SoitV un voisinage deφ_i(x) tel qu’on ait une trivialisation

F_|V⁰ ' O_V ⊗C^r. On définit sur U =U_i∩φ⁻¹_i (V) une trivialisation locale

FU 'φ^∗(F_|V⁰ )' OU ⊗C^r.

Il faut vérifier que ces trivialisations se recollent algébriquement. Cela découle immédiatement de la condition (ii) de la définition d’un quasi-morphisme fort. Le fait que l’action de G est algébrique découle de la condition (iii).

Les autres assertions sont immédiates et laissées au lecteur.

Si G est réductif et s’il existe un bon quotient M =X//G, on en déduit que tout G⁰-espace fortement quasi-isomorphe à X vérifie le lemme de descente, c’est-à-dire que tout G⁰-fibré vectoriel admissible surX⁰ descend à M.

3. Mutations constructives 3.1. Mutations constructives en termes de faisceaux 3.1.1. Un exemple simple

Soient E, F, G, Γ des faisceaux cohérents sur une variété projective X, M un espace vectoriel de dimension finie non nul. On suppose que le morphisme d’évaluation

Γ⊗Hom(Γ,G)−→ G

est surjectif. SoitE⁰ son noyau. On suppose aussi que l’application linéaire canonique Hom(Γ,G)^∗ −→Hom(E⁰,Γ)

est bijective, et que la composition

c: Hom(E,Γ)⊗Hom(Γ,G)−→Hom(E,G) est surjective.

Proposition 3.1. Soit

E −−−−→^A (Γ⊗M)⊕ G −−−−→ F^B

un complexe, avec A injectif et B surjectif. Alors il existe un complexe E ⊕ E⁰ −−−−→^α Γ⊗N −−−−→ F^β ,

avec N = Hom(Γ,G)⊕M, α étant injectif, β surjectif, et ker(β)/Im(α) ' ker(B)/Im(A).

Démonstration. Le morphisme

α :E ⊕ E⁰ −→Γ⊗(M ⊕Hom(Γ,G)) est la somme d’un morphisme

E −→Γ⊗(M ⊕Hom(Γ,G))

provenant deA (qui existe carc est surjective), et de l’inclusion E⁰ −→Γ⊗Hom(Γ,G). On a un diagramme commutatif avec colonnes exactes :

0 0

E⁰ E⁰

E⁰⊕ E Γ⊗(M ⊕Hom(Γ,G))

E (Γ⊗M)⊕ G

0 0

α

A

?

?

?

?

?

?

?

? -

-

On en déduit que α est injectif et que coker(α) 'coker(A). On définit le morphismeβ par le carré commutatif

Γ⊗(M ⊕Hom(Γ,G)) F

(Γ⊗M)⊕ G F

β

B

-

-

?

On en déduit que β est surjectif, β◦α= 0 et ker(β)/Im(α) ' ker(B)/Im(A).

On a bien sûr une réciproque : Proposition 3.2. Soit

E ⊕ E⁰ −−−−→^α Γ⊗N −−−−→ F^β

un complexe, avec α injectif et β surjectif. On suppose que l’application linéaire λ: Hom(E⁰,Γ)−→N

déduite de α est injective. Alors il existe un complexe

E −−−−→^A (Γ⊗M)⊕ G −−−−→ F^B

avec M = coker(λ), A étant injectif, B surjectif et ker(B)/Im(A) ' ker(β)/Im(α).

Démonstration. Analogue à la proposition précédente.

3.1.2. Le cas général

On se place dans la situation du §3.1. Soient U, V, G0 des faisceaux cohérents sur X. On démontre comme la proposition 3.1 la

Proposition 3.3. 1 - Soit

0−→ U −→ E −−−−→^A (Γ⊗M)⊕ G ⊕ G₀ −−−−→ F −→ V −→^B 0 un complexe, exact en U, E, F, V. Alors il existe un complexe

0−→ U −→ E ⊕ E⁰ −−−−→^α (Γ⊗N)⊕ G₀ −−−−→ F −→ V −→^β 0, avec

N = Hom(Γ,G)⊕M,

exact sauf au plus en (Γ⊗N)⊕ G₀, et tel que ker(β)/Im(α) ' ker(B)/Im(A).

2 - Réciproquement, si N est un espace vectoriel, et si on a un complexe du second type exact en U, E ⊕ E⁰, F, V, tel que que l’application linéaire

λ: Hom(E⁰,Γ)−→N

déduite de α soit injective. Alors il existe un complexe du premier type, avec M = coker(λ), exact en U, E, F, V, et tel que ker(B)/Im(A) ' ker(β)/Im(α).

3.2. Mutations constructives abstraites

On décrit ici de manière abstraite la situation de la proposition 3.1 (sans tenir compte de l’injectivité deAetαet de la surjectivité deBetβ). Il est possible de faire la même chose dans le cas plus général de la proposition 3.3. On étudie l’action de certains groupes d’automorphismes sur l’espace de tous les complexes, et on étudie la relation entre les orbites des deux types de complexes. Des hypothèses supplémentaires sont faites dans cette version abstraite, par exemple on suppose que Γ est simple.

3.2.1. Espaces de complexes de type 1 (version simplifiée) 3.2.1.1 Définition

Soient Z₁, Z₂, Z₃,Z₄ , H, T,M des espaces vectoriels de dimension finie. On pose W_C = (Z₁⊗M)⊕Z₂⊕(Z₃⊗M^∗)⊕Z₄.

Soient

σ:Z₁⊗H −→Z₂, σ⁰ :H⊗Z₄ −→Z₃, τ :Z₁⊗Z₃ −→T, τ⁰ :Z₂⊗Z₄ −→T

des applications linéaires. On suppose que σ est surjective, et que σ⁰ induit une inclusion Z₄ ⊂H^∗⊗Z₃. On suppose aussi que le diagramme suivant est commutatif :

(D)

Z₁⊗H⊗Z₄ −^σ⊗I−−−^Z→⁴ Z₂⊗Z₄

IZ1⊗σ⁰



 y



 y^τ

0

Z₁⊗Z₃ −−−→

τ T

Soit Q_C ⊂W_C l’ensemble des points (φ₁, z₂, φ₃, z₄)tels que τ(<φ₁, φ₃>) +τ⁰(z₂⊗z₄) = 0,

<φ1, φ3>désignant l’image de φ1⊗φ3 par la contraction de M Z₁⊗M ⊗Z₃⊗M^∗ −→Z₁ ⊗Z₃. Soient G_L, G_R etG₀ des groupes. On suppose que :

G_L opère linéairement à droite sur Z₁, Z₂, T. G_R opère linéairement à gauche sur Z₃,Z₄, T.

G₀ opère linéairement à gauche sur Z₂, H, et linéairement à droite sur Z₄.

On suppose que ces actions sont compatibles entre elles et avecσ, σ⁰,τ, τ⁰. Par exemple, on a σ(z1gL⊗h) = σ(z1⊗h)gL, σ⁰(g0h⊗z4) =σ(h⊗z4g0), (gRt)gL=gR(tgL),

si z₁ ∈Z₁,z₄ ∈Z₄,h∈H, t∈T, g_L∈G_L,g_R∈G_R et g₀ ∈G₀.

Définition 6. La donnée Θ de Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, H, T, M, σ, σ⁰, τ, τ⁰, et des actions de G_L, G_R et G₀ s’appelle un espace abstrait de complexes de type 1, et Q_C est l’espace total de Θ.

3.2.1.2 Dictionnaire

Dans la situation du §3.1, on a

Z₁ = Hom(E,Γ), Z₂ = Hom(E,G), Z3 = Hom(Γ,F), Z4 = Hom(G,F),

T = Hom(E,F), H = Hom(Γ,G),

les applications σ, σ⁰,τ,τ⁰ sont les compositions, et

G_L= Aut(E), G_R = Aut(F), G₀ = Aut(G).

3.2.1.3 Groupes associés

Les groupesG^op_L et G_R agissent à gauche de manière évidente sur W_C, et Q_C est invariant par ces groupes. Soit G₁ le groupe constitué des matrices

g_M 0 φ g₀

avec gM ∈GL(M),g0 ∈G0,φ∈M^∗⊗H(la loi de composition est évidente). Le groupeG1agit linéairement à gauche surWC : cette action provient d’une action à gauche sur (Z1⊗M)⊕Z2

et d’une action à droite sur (Z₃⊗M^∗)⊕Z₄ : si (φ₁, z₂, φ₃, z₄)∈W_C et g₁ ∈G₁, on a g₁(φ₁, z₂, φ₃, z₄) = (g₁(φ₁, z₂),(φ₃, z₄)g₁⁻¹).

L’action à gauche deG₁ sur (Z₁⊗M)⊕Z₂ est : g_M 0

φ g0

φ₁ z2

=

g_Mφ₁ σ(<φ, φ1>) +g0z2

. L’action à droite de G₁ sur (Z₃⊗M^∗)⊕Z₄ est :

(φ₃, z₄)

g_M 0 φ g₀

= (φ₃g_M + (I_M ⊗σ⁰)(φ⊗z₄), z₄g₀).

En utilisant la commutativité du diagramme(D), on montre aisément queQ_C estG₁-invariant.

Plus généralement, on montre que l’application W_C −→T

(φ₁, z₂, φ₃, z₄)7−→τ(<φ₁, φ₃>) +τ⁰(z₂⊗z₄)

estG₁-invariante. Dans la situation du §2.2.1.2, on a G₁ = Aut((Γ⊗M)⊕ G).

On pose

G = G^op_L ×G1×GR, qui agit à gauche sur W_C etQ_C.

3.2.2. Espaces de complexes de type 2 3.2.2.1 Définition

Soient Z₁, Y₂, T₂, Z₃, T, K, N des espaces vectoriels de dimension finie, et W_C⁰ = (Z₁ ⊗N)⊕(Y₂⊗N)⊕(Z₃⊗N^∗).

Soient

ν:K ⊗Y₂ −→Z₁, ν⁰ :K⊗T₂ −→T, λ:Y₂⊗Z₃ −→T₂,

τ :Z₁⊗Z₃ −→T

des applications linéraires. On suppose que ν induit une inclusion K ⊂Z₁⊗Y₂^∗ et que λ est surjective. On suppose aussi que le diagramme suivant est commutatif :

(D⁰)

K ⊗Y₂⊗Z₃ −−−→^ν⊗IZ3 Z₁⊗Z₃

IK⊗λ



 y



 y^τ K⊗T₂ −−−→

ν⁰ T

Soit Q⁰_C ⊂W_C⁰ l’ensemble des points (ψ₁, ψ₂, ψ₃)tels que τ(<ψ₁, ψ₃>) =λ(<ψ₂, ψ₃>) = 0, où<> désigne la contraction deN.

Soient G_L, G₀, G_R des groupes. On suppose que GL opère linéairement à droite sur T, Z1 etK, G_R opère linéairement à gauche sur T, Z₃ etT₂,

G₀ opère linéairement à gauche sur K et linéairement à droite sur T₂ etY₂.

On suppose comme pour les complexes de type 1 que les actions des groupes sont compatibles entre elles et avec les applicationsν, ν⁰, λ etτ.

Définition 7. La donnée Θ⁰ de Z₁, Y₂, T₂, Z₃, T, K, N, ν, ν⁰, λ, τ et des actions de G_L, G₀, G_R s’appelle un espace abstrait de complexes de type 2, et Q⁰_C est l’espace total de Θ⁰.

3.2.2.2 Dictionnaire

Dans la situation du §3.1, on a

Z₁ = Hom(E,Γ), Y₂ = Hom(E⁰,Γ), Z₃ = Hom(Γ,F), T₂ = Hom(E⁰,F),

T = Hom(E,F), K = Hom(E,E⁰), les applications ν,ν⁰, λ, τ sont les compositions et

G_L= Aut(E), G_R= Aut(F), G₀ = Aut(E⁰).

3.2.2.3 Groupes associés

Les groupesG^op_L et G_R agissent à gauche de manière évidente sur W_C⁰, et Q⁰_C est invariant par ces groupes. Soit G⁰₁ le groupe constitué des matrices

g_L 0 k g₀

avec gL∈GL, g0 ∈G0, k ∈K (la loi de composition est évidente). Alors G⁰₁ agit à droite sur Z₁⊕Y₂ :

(z₁, y₂)

g_L 0 k g₀

= (z₁g_L+ν(k⊗y₂), y₂g₀).

Dans la situation du §3.2.2.2, on a G⁰₁ = Aut(E ⊕ E⁰).

On en déduit une action à gauche de

G⁰ = GL(N)×G⁰₁^op×G_R

surW_C⁰. On vérifie comme dans le cas des complexes de type 1 que Q⁰_C estG⁰-invariant.

3.2.3. Mutations 1 =⇒ 2

3.2.3.1 Mutations d’espaces abstraits de complexes

On considère l’espace abstrait de complexes de type 1Θdu§3.2.1. On va en déduireΘ⁰, espace abstrait de complexes de type 2. Les espaces vectorielsZ₁,Z₃,T deΘ⁰ sont les mêmes que ceux deΘ. On prend

N =M ⊕H, Y2 =H^∗, T2 = (H^∗⊗Z3)/Z4, K = ker(σ)⊂Z1⊗H.

L’applicationτ deΘ⁰ est la même que celle de Θ.

L’application λ:Y2⊗Z3 −→T2 est la projection H^∗⊗Z3 −→(H^∗⊗Z3)/Z4. L’application ν :K⊗Y₂ −→Z₁ est la composée

K⊗Y₂ ⊂Z₁⊗H⊗Y₂ =Z₁⊗H⊗H^∗ −→Z₁.

Pour définir ν⁰ :K⊗T₂ −→T on part du diagramme commutatif suivant, déduit de(D⁰) Z₁⊗H⊗Z₄ −^σ⊗I−−−^Z→⁴ Z₂ ⊗Z₄

α



 y



 y^τ

0

Z₁⊗H⊗Z₃⊗H^∗ −−−→

τ⊗tr T

(tr désignant la trace H⊗H^∗ −→C etαprovenant de l’inclusion Z₄ ⊂Z₃⊗H^∗ déduite de σ⁰). Il en découle que

(τ ⊗tr)◦α(ker(σ)⊗Z₄) = {0}.

Donc τ ⊗tr induit une application linéaire

ker(σ)⊗((Z₃⊗H^∗)/Z₄) = K⊗T₂ −→T qui est par définitionν⁰.

La commutativité de (D⁰) se vérifie aisément.

Les groupes G_R, G_L, G₀ de Θ⁰ sont les mêmes que ceux de Θ et leurs actions sont évidentes.

L’espace abstrait de complexes de type 2Θ⁰ est ainsi complètement défini. On notera Θ⁰ = D₀(Θ).

3.2.3.2 Mutations de complexes

Soit (φ₁, z₂, φ₃, z₄)∈Q_C. On va en déduire une orbite G⁰.(ψ₁, ψ₂, ψ₃) deQ⁰_C. – Définition de ψ₁ ∈Z₁ ⊗N : on prend ψ₀ ∈Z₁ ⊗H tel que σ(ψ₀) =z₂, et

ψ₁ =ψ₀+φ₁ ∈ (Z₁⊗H)⊕(Z₁⊗M) =Z₁⊗N.

– Définition de ψ₂ ∈Y₂⊗N : on prend

ψ₂ =I_H ∈ H^∗⊗H⊂H^∗⊗(M ⊕H) =Y₂ ⊗N.

– Définition de ψ₃ ∈Z₃ ⊗N^∗ : on prend

ψ₃ =φ₃+z₄ ∈ (Z₃⊗M^∗)⊕Z₄ ⊂(Z₃ ⊗M^∗)⊕(Z₃⊗H^∗) = Z₃⊗N^∗.

On vérifie aisément que(ψ₁, ψ₂, ψ₃) est un élément de Q_C défini à l’action près du sous-groupe deG⁰₁ isomorphe à K, constitué des matrices

1 0 k 1

, k ∈K.

On a donc défini une application

D₀ :Q_C −→Q⁰_C/G⁰.

Lemme 3.4. Si x∈Q_C et g ∈G, alors D₀(gx) = D₀(x). Donc D₀ induit une application D0 :QC/G−→Q⁰_C/G⁰.

Vérification immédiate.

3.2.4. Mutations 2 =⇒ 1

3.2.4.1 Mutations d’espaces abstraits de complexes

On considère l’espace abstrait de complexes de type 2 Θ⁰ du §3.2.2. On va en déduire Θ, espace abstrait de complexes de type 1. On doit supposer que dim(N)≥dim(Y₂). On note W⁰⁰_C le sous-ensemble G⁰-invariant de W_C⁰ constitué des (ψ₁, ψ₂, ψ₃) tels que ψ₂ :Y₂^∗ −→N soit injective. Soit Q⁰⁰_C =Q⁰_C∩W⁰⁰_C.

On définit maintenantΘ. Les espaces vectorielsZ₁, Z₃,T deΘsont les mêmes que ceux deΘ⁰. On prend pourM un espace vectoriel de dimension dim(N)−dim(Y₂), et

H =Y₂^∗, Z2 = (Z1⊗Y₂^∗)/K, Z4 = ker(λ)⊂Y2⊗Z3. L’applicationτ deΘ est la même que celle deΘ⁰.

L’application σ :Z₁⊗H −→Z₂ est la projection Z₁⊗Y₂^∗ −→(Z₁⊗Y₂^∗)/K.

L’application σ⁰ :H⊗Z₄ −→Z₃ est la restriction de

tr⊗I_Z3 :H⊗H^∗⊗Z₃ −→Z₃.

Pour définir τ⁰ :Z2⊗Z4 −→T on part du diagramme commutatif suivant déduit de (D⁰) K⊗Y₂⊗Z₃ −−−→^IK⊗λ K⊗T₂

ν⊗I_Y2⊗Z3



 y



 y^ν

0

Z1⊗Y₂^∗⊗Y2⊗Z3 −−−→

τ⊗tr T

ν désignant l’inclusion K ⊂Z₁⊗Y₂^∗ déduite de ν. On a donc (τ⊗tr)◦(ν⊗I_Y2⊗Z3)(K⊗ker(λ) = {0}, et τ ⊗tr induit donc

τ⁰ : ((Z₁⊗Y₂^∗)/K)⊗ker(λ) =Z₂⊗Z₄ −→T.

La commutativité du diagramme (D)se vérifie aisément. Les groupes G₀,G_L etG_R deΘ sont les mêmes que ceux de Θ⁰ et leurs actions sont évidentes. L’espace abstrait de complexes de type 1 Θest ainsi complètement défini. On notera

Θ = D₀⁰(Θ⁰).

Proposition 3.5. On a D₀◦D⁰₀(Θ⁰) = Θ⁰ et D₀⁰ ◦D₀(Θ) = Θ.

Immédiat.

3.2.4.2 Mutations de complexes

Soit (ψ₁, ψ₂, ψ₃)∈Q⁰⁰_C. On va en déduire une orbite G.(φ₁, z₂, φ₃, z₄) deQ_C.

– Définition de φ₁ ∈ Z₁ ⊗M : on fixe d’abord un isomorphisme entre M et un supplé- mentaire de l’image de ψ₂ dans N :

N = Y₂^∗⊕M.

On prend pour φ1 la composante deψ1 dans Z1⊗M.

– Définition de z2 ∈Z2 : on prend la projection sur (Z1⊗Y₂^∗)/K de la composante de ψ₂ dans Z₁⊗Y₂^∗.

– Définition de φ₃ ∈Z₃ ∈M^∗ : on prend la composante de ψ₃ dans Z₃⊗M^∗. – Définition de z₄ ∈Z₄ : on prend z₄ =<ψ₂, ψ₃>∈ker(λ).

On vérifie aisément que (φ₁, z₂, φ₃, z₄) est un élément de Q_C défini à l’action près du groupe G₁.

On a donc défini une application

D⁰₀ :Q⁰⁰_C −→QC/G.

Lemme 3.6. Si x∈Q⁰⁰_C et g ∈G⁰, alors D⁰₀(gx) =D⁰₀(x). Donc D⁰₀ induit une application D₀⁰ :Q⁰⁰_C/G⁰ −→Q_C/G.

Vérification immédiate.

3.2.5. Théorèmes d’isomorphisme

Théorème 3.7. On a D⁰₀◦D0 =IQ_C/G et D0◦D₀⁰ =I_Q⁰⁰

C/G⁰.