[ Baccalauréat STI F11 F11
′Métropole juin 2002 \
Calculatrice autorisée
Durée : 2 heures Coefficient : 2
EXERCICE 8 points
On considère les fonctionsf etgdéfinies surRpar f(x)=x2·e−x et g(x)=x·e−x
µ
On rappelle que e−x= 1 ex
¶ . Le plan est muni d’un repère orthonormal¡
O ;−→ u,−→
v¢
d’unités graphiques 4 cm. On désigne parCf etCgles courbes représentant respectivement les fonctionsf etgdans ce repère.
La courbeCgest tracée sur la feuille annexe qu’il faudra compléter et rendre avec la copie.
I. Étude de la fonctionf .
1. Déterminer la limite de la fonctionf au voisinage de−∞.
2. On admet que la limite de la fonctionf au voisinage de+∞est égale à 0. Interpréter graphi- quement ce résultat.
3. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf.
Calculerf′(x) et montrer que la fonctionf a le même signe que 2x−x2. 4. Étudier le signe def′(x) surRet dresser le tableau de variation de la fonctionf. 5. Sur la feuille annexe, tracer la courbeCf dans le même repère.
II. Étude des positions relatives des courbesCf etCg.
1. Calculer les coordonnées des points d’intersection des courbesCf etCg.
2. Déterminer graphiquement sur quels intervalles la courbeCg est située au-dessus la courbe Cf.
PROBLÈME 12 points
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=4lnx−x+2.
etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal¡ O ;−→
ı,→−
¢
d’unité graphique 1 cm.
1. a. Déterminer la limite def en 0.
Que peut-on en déduire pour la courbeC? b. Montrer quef(x)=x
µ 4lnx
x −1+2 x
¶
pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[.
En déduire la limite def en+∞. (On rappelle que lim
x→+∞
lnx x =0).
2. On désigne parf′la fonction dérivée def. a. Calculerf′(x) pour toutx∈]0 ;+∞[.
b. Étudier le signe de f′(x) selon les valeurs dexet établir le tableau de variation def sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
3. a. Déterminer la valeur exacte def(2) et def µ1
2
¶
en fonction de ln 2.
b. Déterminer la valeur exacte def(e) et def(e2) en fonction de e.
Baccalauréat STI Métropole A. P. M. E. P.
c. Résoudre dans ]0 ;+∞[ l’équationf(x)= −x−2.
4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : (On donnera des valeurs décimales ap- prochées à 10−2près.)
x 0,5 1 2 3 4 5 7 11 17
f(x)
5. TracerC dans le repère¡ O ;→−
ı,−→
¢
6. Dans le même repère, tracer la droiteDd’équationy= −x−2.
Comment peut-on graphiquement retrouver le résultat de la question3. c.? 7. On considère la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
F(x)=4xlnx−2x−x2 2 . a. Démontrer queFest une primitive def sur ]0 ;+∞[.
b. Calculer I = Z2
1 f(x) dx. En donner la valeur exacte en fonction de ln 2.
F11 F11′ 2 juin 2002
Baccalauréat STI Métropole A. P. M. E. P.
À RENDRE AVEC LA COPIE
-101234 -2 -1 0 1 2
01234−1 −→ı −→O Cg
F11 F11′ 3 juin 2002
