Scientifique
Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEF Faculté : Sciences
Département : Physique Domaine : ST-SM
TOME 2:
ONDES MECANIQUES
Rappels de Cours
Problèmes posés aux concours d’entrée aux Grandes Ecoles Scientifiques
Module : Physique 03 Niveau : 2
ièmeAnnée Licence
Présenté par :
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Année Universitaire : 2014 /2015
Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:
Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis, pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et matériel qui m'a permis d’achever ce travail.
Je le dédie également à:
Ma très chère femme et mes chers enfants
Mes chers frères et sœurs
Mes oncles et tantes
Toute ma famille et mes proches
Avant propos
Nomenclature
Sommaire
TOME 2 : ONDES
Chapitre 6 :Généralités sur le phénomène de propagation.
139
Chapitre 7 :Propagation d’onde mécanique dans les solides.
164
Chapitre 8 :Propagation d’onde mécanique dans les fluides
206 Références bibliographiques
) t (
p
Coordonnées généralisées
ET
Energie totale du système
Ec
Energie Cinétique du système
Ec
Energie Cinétique moyenne du système
Ep
Energie potentielle su système
L
Lagrangien du système
S
Action du système
Fexe
Forces extérieures appliquées au système
Mexe
Moments extérieurs appliqués au système
0
Pulsation propre du mouvement libre
A
Amplitude
Déphasage
T0
Période propre du mouvement libre
k
Constante de raideur du ressort
C
Constante de torsion
J
Moment d’inertie
R
Rayon d’un disque
m
Masse d’un système
xi
Coordonnées du système
V
Vitesse du déplacement
l
Longueur du ressort
l0
Longueur du ressort à vide
P0
Pression du gaz à l’équilibre
V0
Volume du gaz à l’équilibre
dx
Tranche d’élément entre les positions
xet
x+dxCap
Capacité électrique
Lind
Capacité électrique
q
Charge qui circule dans le circuit
) t (
u
Tension d’alimentation
ffr
Force de frottement
Coefficient de frottement
Facteur d’amortissement
Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T
Pseudo Période du mouvement faiblement amorti
) t (
f
Force extérieure appliquée au système
Pulsation Force extérieure appliquée au système
) t (
pg
Solution générale du mouvement force
) t (
pp
Solution particulière
r
Pulsation de résonance du mouvement forcé
2 1,
Pulsation de coupure en régime forcé
Bande passante
Z Impédance
Masse linéique de la corde
Masse surfacique
T
Tension de la corde
Tension linéaire
EConstante de Young
w
Longueur d’onde
k0
Vecteur d’onde
V
Vitesse de propagation
s
Coefficient de compressibilité
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques réparties en Huit chapitres.
Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres.
Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
TOME 2
ONDES MECANIQUES
Chapitre 6 :
Généralités sur le phénomène de
propagation
Rappels théoriques
L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de matière, comme le montre la figure 1.6.
Figure 1.6 : Mouvement de la vague
Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’Alembert où encore équation d’onde décrite comme suit:
2 2 2 2
2
V x
t
Ouest l’onde qui se propage dans la direction Oxavec une vitesseV.
La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu. Elle varie d’un milieu à un autre.
L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie.
On définit la direction de propagation d’une onde dans l’espace tridimensionnel par le vecteur d’ondek(kx,ky,kz )
. Le rapport
) V (
k est appelé la relation de la dispersion de l’onde.
Il existe deux types de milieux :
Milieu dispersif:
La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de la longueur d’onde, telle que
dk Vg d
. Les composantes se propagent avec des vitesses de phase différentes. Toute fois si le signal de l’onde n’est pas déformé il se compose d’un groupe d’ondes dont les fréquences se situent dans une bande très étroite. Nous avons dans ce cas, la vitesse du groupe Vg avec laquelle se déplace le groupe d’onde.
Exemple: ce phénomène se perçoit par exemple dans l'air lorsque l'amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute fréquences se propagent plus rapidement que les ondes de basse fréquence, l'air est dispersif)
Figure 2.6 : Propagation du paquet d’onde
Milieu non dispersif:
La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation, telle que cons tan te
) V (
k . Elle ne dépend pas de la fréquence,
composantes d’un son, quelque soient leurs fréquences, se déplacent à la même vitesse. C’est ainsi qu’on peut écouter de la musique sans déformation exécutée par un orchestre.
Il existe deux types d’ondes :
Onde longitudinale:
L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le montre les figures 3.6-a.et 3.6-b
Figure 3.6-a : Phénomène d’onde longitudinale
Figure 3.6-b : Phénomène d’onde longitudinale dans les gaz
Onde transversale:
L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme le montre les figures 4.6-a et 4.6-b
Figure 4.6-a: Phénomène d’onde transversale
Figure 4.6-b: Phénomène d’onde transversale de la corde
Il y a des ondes qui ne sont pas transversale ni longitudinale comme par exemples les vagues comme le montre les figures 5.6-a et 5.6-b/
5.6-a
5.6-b
Figure 5.6 : Mouvement de la vague
L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :
A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.
A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau.
Exemple:Lorsqu’on jette une pierre sur une surface d’eau, comme la montre la figure 6.6 ci-dessous :
Figure 6.6 : Phénomène d’onde circulaire
Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant dans un plan
A trois dimension : Ondes sonores.
Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :
Périodicité temporelle : Caractérisée par la périodeT (s).
Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde
w(m). Le phénomène de diffraction est une des caractéristiques importante des ondes.
il se manifeste lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, voire la figure 7.6 :
Figure 7.6 : Phénomène de diffraction des ondes
Si deux ondes identiques se rencontrent: c'est le phénomène d'interférence, voire la figure 8.6 :
Figure 8.6 : Franges d’interférences
D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :
Figure 9.6 : Phénomène d’interférence des ondes
L’expérience de Young: la lumière passe à travers deux trous séparés par une distanced. Il apparait sur l’écran alors des interférences circulaires comme le montre la figure 10.6 ci- dessus :
Figure 10.6 : Phénomène d’interférence en optique
Le phénomène d’interférence des ondes acoustiques émises par deux hauts parleurs comme le montre la figure 10.6 :
Figure 11.6 : Phénomène d’interférence d’ondes acoustique
Effet doppler d'une source sonore en mouvement.
L'effet Doppler ou effet Doppler-Fizeau est le décalage de fréquence d’une onde (onde mécanique, acoustique, électromagnétique, etc.) entre la mesure à l'émission et la mesure à la réception lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur varie au cours du temps. Si on désigne de façon générale ce phénomène physique sous le nom d'effet Doppler, on réserve le terme d'« effet Doppler-Fizeau » aux ondes électromagnétiques.
Cet effet fut présenté par Christian Doppler en 1842 dans l'article sur la lumière colorée des étoiles doubles et de quelques autres astres du ciel, confirmé sur les sons par le chercheur néerlandais Ballot (en utilisant des musiciens jouant une note calibrée sur un train de la ligne Utrecht-Amsterdam), et fut également proposé par Hippolyte Fizeau pour les ondes électromagnétiques en 1848.
Reconstitution du passage d’une voiture.
Figure 12.6 : Illustration de la variation de la longueur d’onde en fonction de la vitesse
Figure 13.6 : passage en supersonique et onde de choc sonore
L'effet Doppler se manifeste par exemple pour les ondes sonores dans la perception de la hauteur du son d’un moteur de voiture, ou de la sirène d’un véhicule
immobile par rapport au récepteur), que le véhicule se rapproche du récepteur (le son est plus aigu) ou qu’il s’éloigne (le son est plus grave). (Il faut cependant remarquer que la variation de la hauteur du son dans cet exemple est due à la position de l'observateur par rapport à la trajectoire du mobile.
Applications
Problème 1 :
Une source émet une onde mécaniqueψde fréquenceνse propageant dans la direction 0xavec une vitesseVconstante.
Ecrire l’équation de propagation.
Posant les variables suivantes :
V t x
p et
V t x
q .
Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.
En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et infini en régime sinusoïdal.
Solutions :
L’équation de propagation :
2 2 2 2
2
V x
t
C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.
Les solutions générales, en utilisant la méthode du changement des variables qui sont:
V t x q
V t x p
Pour le premier terme de l’équation Pour le premier ordre, on a :
t 1 q t 1 p t avec
q q t p p
t
On obtient alors :
q p
t
Pour le deuxième ordre, on aura :
t 1 q t 1 p t avec
q q p q t p q p p q
p ] t
[ t t2 t
2
On obtient alors :
q p p
p q t q
2 2 2 2 2 2
2 2
De même pour le deuxième terme : Pour le premier ordre, on a :
V 1 x q
V 1 x p x avec
q q x p p
x
On obtient :
q p V
1 x
Pour le deuxième ordre, on aura :
V 1 x q
V 1 x p x avec
q q p q x p q p p q
p ] x
[ x x2 x
2
On obtient alors :
q p p
p q x q
2 2 2 2 2 2
2 2
Apres, on intègre les deux termes dans l’équation de base, on obtient :
) p ( p 0
q
) q ( q 0
0 p p q q p
2 2
1 2
2 2
D’ou la solution totale s’écrit sous la forme :
) p ( ) q
( 2
1
T
On obtient alors la somme de deux types de signaux qui s’écrit sous la forme :
réfléchie Onde
V ) t x (
incidente Onde
V ) t x ( V )
t x ( V ) t x (
2 1 2
1
T
Les figures 14.6 et 15.6 représentent l’illustration physique des fonctions
V ) t x
1(
et )
V t x
2(
Figure 14.6: Ondes progressives dans le sens de la direction positive
Figure 15.6: Ondes réfléchies dans le sens contraire de la direction positive
Dans un milieu homogène infini et en régime sinusoïdal, la solution est de la forme :
) V x t ( cos A ) x , t
(
Problème2 :
Une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans un espace cartésien Oxyz avec une vitesseVconstante.
Etablir l’équation de propagation de S
Déterminer les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables.
On définit le vecteur d’ondeko et la pulsationω.
En déduire la forme de la solution générale.
Donner une relation entrekoetω
L’espace de propagation est une cavitéparallépépidiquede dimension(a, b, c).
Figure 16.6 : La cavité de la propagation des ondes
On considère qu’à l’instant initialS(t 0 ) 0 .
Déterminer les solutions finales.
Solutions :
L’équation de propagation à trois dimensions:
Figure 17.6 : Une onde plane à trois dimensions
On décompose le vecteur d’onde k
en trois composantes (kx,ky,kz )sous la forme suivante :
2 z 2 y 2 x
2 k k k
k
On détermine les composantes (kx,ky,kz )en trois directions:
2 2 2
2 2 2
z
2 2 2
y
2 2 2
x
t S S avec 1
z S S k 1
y S S k 1
x S S k 1
Après sommation terme à terme, On obtient alors :
S 2 2 2 2 2 2 2
2 z 2 y 2
x z
S y
S x
S S k 1 k k k
D’ou :
S t V
S 2
2
2
Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables :
) t ( T ) z ( C ) y ( B ) x ( A ) x , t (
S
On remplace la solution dans l’équation aux dérivées partielles, on obtient alors :
Cste t
) t ( T ) z ( C ) y ( B ) x ( A V
1 z
) t ( T ) z ( C ) y ( B ) x ( A y
) t ( T ) z ( C ) y ( B ) x ( A x
) t ( T ) z ( C ) y ( B ) x ( A
2 2
2 2
2 2
2 2
2
D’où :
) Cste t ( T
) t ( T V
1 ) x ( C
) x ( C ) x ( B
) x ( B ) x ( A
) x ( A
2
Après le calcul on obtient les équations différentielles comme suit :
k V
k k k k avec 0
) t ( T ) t ( T
0 ) z ( C k ) z ( C
0 ) y ( B k ) y ( B
O ) x ( A k ) x ( A
o
2 z 2 y 2 x 2
2 2 z
2 y 2 x
Ainsi que, les solutions sont déterminées comme suit :
t sin T t cos T ) t ( T
z k sin C z k cos C ) z ( C
y k sin B y k cos B ) y ( B
x k sin A x k cos A ) x ( A
2 1
z 2 z 1
y 2 y 1
x 2 x 1
Dans l’espace limité la propagation de l’onde est confinée. On a l’interférence des ondes incidentes et réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires dans les trois directions. A cet effet l’onde finale est régie par les conditions aux bords.
En appliquant les conditions aux limites suivantes :
0 ) c x ( C ) 0 x ( C
0 ) b y ( B ) 0 y ( B
0 ) a x ( A ) 0 x ( A
On obtient les solutions :
c k p
et 0 C
b k m et 0 B
a k n et 0 A
) m ( z 1
) m ( y 1
) n ( x 1
Avec les conditions initiales :
0 T 0
) 0 t (
S 2
Les solutions finales s’écrivent alors :
t cos T ) t ( T
z k sin C ) z ( C
y k sin B ) y ( B
x k sin A ) x ( A
1 z 2
y 2
x 2
D’ou :
t cos z k sin y k sin x k sin T C B A ) t , z , y , x (
Sn,m,p 2 2 2 1 (xn) (ym) (zp) n,m,p
Ainsi la solution totale pour tous les modes propres est :
1 2 2 2
n m p
p , m , n )
p ( z )
m ( y )
n ( x
T(x,y,z,t) sink xsink ysink zcos tavec A B C T
S
Problème 3 :
Un haut parleur envoie dans l’air des ondes sonores S de fréquenceνse propageant à symétrie sphérique avec une vitesse V constante. A tout instant, l’amplitude de l’onde sonore sera la même sur une surface centrée sur le haut parleur.
Ecrire l’équation de propagation deS.
Résoudre l’équation aux dérivées partielles.
Exprimer la solution générale dans le cas d’un milieu infini en régime sinusoïdal. Interpréter les résultats.
Solutions :
L’onde se propage d’une manière sphérique dans un milieu à symétrie radiale.
Figure 18.6 : Forme de l’onde sphérique
L’équation de propagation :
S t V
S 2
2
2
La solution générale de l’équation aux dérivées partielles :
Pour un milieu ayant une symétrie radiale on a le rayon de la sphèrerqui se calcule comme suit:
2 2 2
2 x y z
r
Alors, la solution S(x,y,z,t ) ne dépend que de la variablerdevient :
) t , r ( S ) t , z , y , x (
S
Pour la variablex :
r S r x x r r S x S
Pour la deuxième dérivée :
2 2 2
2 2
2
r S r 1 r S r
1 r x r S r 1 x r r S r 1 x r x x r S r 1 r S r x x x S x x
S
D’où :
2 2 2
2 2 2 2 2
r 1 x r S r 1 r
S r x x
S
De même pour la directiony:
2 2 2
2 2 2 2 2
r 1 y r S r 1 r
S r y y
S
De même pour la directionz:
2 2 2
2 2 2 2 2
r 1 z r S r 1 r
S r z z
S
On somme pour les trois directions, on obtient :
r S r 2 r S S z
S y
S x
S
2 2 2
2 2 2 2 2
Après transformation on aura :
2 2
r ) rS ( r S 1
D’où :
2 2 2 2
2
t ) rS ( V
1 r
) rS (
En posant la nouvelle variable :
rS
L’équation aux dérivées partielles devient :
2 2 2 2 2
t V
1
r
La solution s’écrit sous la forme :
V ) t r ( V )
t r ( ) r , t
( 1 2
D’où la solution globale devient :
)
V t r ( g V ) t r ( r f ) 1 t , r ( S
On a deux types d’onde : Une onde sphérique incidente et une onde sphérique réfléchie.
La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal dans un milieu infini devient comme suit :
2 2 2
2 x y z
r avec V )
t r ( r cos ) 1 t , r (
S
On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure 10.6.
Figure 19.6 : Forme conique de l’Onde
Le facteur r
1représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même manière.
Problème 4 :
Soit une onde mécanique S de fréquence ν se propageant dans le plan (0xy) avec une vitesseVconstante.
Ecrire l’équation de propagation.
Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables.
On pose les conditions suivantes :
0 ) 0 y y( , S 0 ) 0 x (
S
Déterminer les solutions générales.
Application :
Etablir l’équation de propagation dans le cas d’un jet de pierre sur une surface d’eau.
En déduire les solutions générales.
Figure 20.6 : Mouvement ondulatoire circulaire à la surface de l’eau
Solutions :
La propagation se fait à deux dimensions suivant le schéma :
Figure 21.6 : Mouvement d’une onde a deux dimensions
L’équation de propagation à deux dimensions s’écrit comme suit:
2 2 2 2 2 2 2
y S x
V S t
S
