Problème 9 :
On se propose d’étudier le problème des ondes élastiques transversales dans un barreau solide, de masse volumique, de coefficient de cisaillementGsoumis à l’une de ses extrémités à une force de cisaillement, parallèle à la section S. on suppose que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en
bas sans mouvement horizontal. On appelleUzle déplacement transversal d’une tranche d’épaisseur dx à un instant donné, comme le montre la figure 24.7 :
Figure 24.7 : Ondes transversales dans un barreau
Sachant que chaque tranche d’épaisseur dx est soumise aux forces antagonistes F(x)et F(xdx)qui sont tangentes aux sections et qui sont produites par les portions du barreau qui sont situées de chaque coté du barreau. Etablir l’équation aux dérivées partielles de l’équation d’onde.
En déduire la célérité de l’onde.
Résoudre l’équation d’onde par la méthode de séparations des variables.
Problème 10:
Soit une chaine linéaire à un atome par maille de coté a. La position au repos du nième atome de massemest xnacomme le montre la figure 25.7.
Figure 25.7 : Chaine d’atomes identiques
Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de l’axeOx est caractérisée par :
) t x q (
Aej
On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type kx2
2
1 comme le montre la figure 26.7 avec kest la constante de rappelle.
Figure 26.7 : Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques
Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant
1 n n 1 n ,y ,y
y les déplacements des atomes de rang n-1, netn+1.
On cherchera la solution de forme :
) t x q ( j n
Ae n
y
Déterminer la relation de dispersion(q).
Tracer le graphe(q).
En déduire la vitesse de la phase.
Donner l’expression de la vitesse du groupe.
Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs d’onde.
Problème 11:
Dans tout le problème on considère une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique, tendue par une force de tension d’intensité F constante. la corde au repos est horizontale et matérialisée par l’axeOx .
Partie 1 :
On étudie des petits mouvements transversaux d’un point M d’abscisse x de la corde y f(x,t)au planOxy . En admettant qu'un élément de corde au repos M0 reste pendant le mouvement à la même abscisse. L'élongation d'un point d'abscisse x à l'instant t est notée y(x,t) . La tangente en M à la corde fait avec l'axe Ox un angle
) t , x
( qui reste petit, ce qui suppose que 1 x y
.
Enfin, l'action du champ de pesanteur sur le mouvement, ainsi que toute cause d'amortissement sont négligées.
Figure 27.7 : Elément de la corde
Équation d'onde pour un ébranlement le long de la corde
La longueur de la corde varie très peu lorsqu'elle vibre. Montrer qu'à des termes du second ordre en(x,t)près, l'abscisse curviligne Cpeut être confondue avec l'abscissex.
On admet que la tensionF
reste, en tout point, tangente à la corde.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un élément de la corde compris entrexetx dx .
Montrer à l'aide des hypothèses faites que la tension F
est de module constant, noté F, et que l'ébranlement est régi par une équation aux dérivée partielles dont on déterminera.
Exprimer la célérité Ven fonction deFet.
Solution en ondes progressives de l'équation de d'Alembert :
Introduire les grandeurs
V t x p et
V t x
q .
En déduire la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
Applications numériques:
Calculer Vpour une cordelette (type de Melde) en coton ou nylon de 1 gramme par mètre tendue sur une poulie par une masse de 100g.
Calculer Vpour une corde tendu d'acier de masse volumique 7.210 3kgm 3 , de rayon 1mm.
Partie 2 :
A présent la corde de longueur aest fixée en ses extrémités, deux points de l'axe Ox d'abscissex=0et x=a.
On cherche des solutions de l'équation (1) sous la forme de variables séparées :
) t ( g ) x ( f ) t , x (
y
Montrer quef etgdoivent être des fonctions sinusoïdales.
En notant ω la pulsation deg(t). Quelle est la relation de dispersion
) (
k ?
En utilisant les conditions aux limites, Montrer que les fréquences propres fn
sont multiples d’une fréquence fondamentale f1( fn nf1 avec nN ). En déduire la longueur d’onden .
Montrer que l'expression de la solution généraleyn(x,t ) s’écrit sous la forme :
a x sin n a
ft sin n a D
ft cos n C )
t , x ( y
1 n
n n
T
Applications numériques:
Pour une corde de longueur a, oscillant à la fréquence f, donner la tension Fn à appliquer pour obtenir le seul moden.
En déduire f pour n=1, (la fréquence fondamentale),F1 2930 N ,
1 3kg.m 6510
.
5
eta=1.22m.
Partie 3 :
Corde de piano
A l’instant t=0, la corde est immobile dans la position d’équilibre y(x,0 ) . Elle est frappée avec un petit marteau de largeur e (avece 1) situé entre les abscisses x d et x d e , qui communique par le choc une impulsion initiale à la partie frappée. Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l'instant t=0est modélisée par une «fonction créneau » comme suit.
ailleurs pour
0 ) 0 , x t ( y
e d x d pour u ) 0 , x t ( y
Déterminer les coefficients CnetDn.
Trouver une application musicale du fait que les coefficients dépendent de d.
Que faut-il faire pour supprimer un harmonique, en particulier celui correspondant àn=7?
Dans le cas
2
d a .Quelles sont les harmoniques présentes ?
Corde de clavecin, de guitare ou de harpe
La même corde est pincée et lâchée au temps t=0 de telle sorte que sa vitesse initiale soit nulle. L’endroit x=d où a lieu le pincement joue le même rôle vis à vis des harmoniques que celui de la frappe. En conséquence, et afin de limiter les calculs, nous nous limitons à un pincement en
2
x a si bien que la position initiale de la corde est définie par la «fonction triangle» comme suit :
a h
2
2 x a 0 a pour
h ) 2 0 , x ( y
Déterminer les coefficients CnetDn.
Comparer les spectres d'une corde à piano et d'une corde à clavecin et apprécier la différence de timbre sonore.
Pour une corde de guitare ou de harpe, le pincement peut être effectué délicatement avec un doigt de telle sorte que la position initiale soit définie par la «fonction parabole »comme suit:
) x a ( x a
h ) 2 0 , x (
y 2
Déterminer les coefficients CnetDn
Reprendre les calculs dans ce cas et conclure.
Oscillations entretenues: Expliquer ce qui se passe si, l'extrémité x=a étant fixée, on place en x=0 un vibreur de très faible amplitude de telle sorte quey(0,t) Acost.
Réflexion et transmission sur discontinuité :
Une corde très longue est composée de deux tronçons de masses linéiques1
et2, la tension étant toujoursF, le nœud enx=0 est sans masse.
Figure 28.7 : Phénomène de transmission et de réflexion
Du coté x<0 arrive un ébranlement d’une onde incidente de la forme :
V ) t x ( f ) t , x ( y
1
i oùfest une fonction quelconque.
Montrer qu'en plus de l'onde incidente, il existe une onde réfléchie
) t , x (
yr du cotéx<0et une onde transmise du cotéyt(x,t).
En utilisant les deux conditions de continuités, exprimer les deux expressions qui déterminent respectivement les coefficients de réflexion.
Problème 12:
On considère un mouvement transversal de la corde, supposée semi infinie, de masse linéique,soumise à une tensionFet terminée enx=0par le système composé par une masse m, d’un ressort de constante de raideur k et d’un amortisseur de coefficient de viscositécomme le montre la figure 29.7.
Figure 29.7 : Mouvement sinusoïdal d’une corde semi infinie
Une onde incidente sinusoïdale yi(x,t) d’amplitude A et de pulsation ω se propageant à partir dex<0. En équilibre la corde est horizontale et la massem se trouve enO.
Etablir l’équation de l’onde.
En déduire l’expression du déplacement de particule de l’onde incidenteyi(x,t).
Donner les expressions de l’impédance caractéristique Zcde la corde et de la célérité de l’onde.
En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à la masse m, Etablir l’expression de l’impédance mécanique terminale de la corde.
Déterminer la relation du coefficient de réflexion R, pour le déplacement de particules à l’extrémité de la corde.
Exprimer l’expression du déplacement totale de particules dans la corde.
Problème 12:
On considère un mouvement transversaly(x,t), de pulsation ω et de vecteur d’onde k se propageant suivant la directionOx. Soit une corde tendue étant fixée aux extrémités de longueur L, de masse linéique,sous une tensionF,est parcourue par deux ondes :
) kx t cos(
A ) t , x ( y et ) kx t cos(
A ) t , x (
y1 1 2 2
Décrivez le phénomène résultant dans le milieu.
Etablir l’expression de la solution totale.
Déterminer sur la corde les points qui sont immobiles.
Exprimer dans ce cas, la distance d entre deux points successifs en fonction de la longueur d’onde.
Montrer que les fréquences propres fn sont multiples d’une fréquence fondamentale f1qu’on déterminera.
Sur le violon, la note mi de fréquence fondamentale f=660 Hz est obtenue en faisant vibrer une corde de longueurL=33cm et de masse linéique
=5.410-4Kg/m.Dans ce cas calculer la tension de la corde.