Rappels théoriques
Dans un milieu continu, la variation d’une grandeur en un point entraine sa modification un peu plus loin un peu plus tard, par un phénomène de propagation.
Dans u tuyau, une compression locale a tendance à se propager : ce sont les ondes acoustiques comme la montre la figure 1.8:
Figure 1.8:Exemple d’onde de compression dans un tuyau rempli d’air
On définit alors, les Ondes élastiques dans les fluides comme des ondes mécaniques qui se propagent dans les gaz ou dans les liquides.
On suppose que les fluides soient parfaits, il n’y aura pas d’absorption.
L’onde élastique dans l’air est due à la propagation de la variation de pression, c'est-à-dire par la compression et dilatation de l’air comme le montre les figures 2.8 et 3.8:
Figure2.8 : Propagation d’onde élastique plane dans l’air
Figure 3.8 : Propagation d’onde élastique sinusoïdale plane dans l’air
On définit la pression acoustique : p=P-P0 P : Pression absolue du fluide
P0: Pression absolue au repos
0: Masse volumique du fluide à l’équilibre
Dans un gaz, la pression est souvent de l’ordre de la pression atmosphérique,
Pa 10
P 5
Une vibration mécanique est véhiculée par une surpression localep(x,t), telle que :
P p .
Sachant que les mouvements aux fréquences sonores sont trop rapides pour qu’il y ait des échanges thermiques, les variations de pression sont donc adiabatiques et l’évolution d’un volume V est reliée à celle de la pression comme suit :
V 0 dV P
dP
Où
v p
c
c
est le rapport des chaleurs spécifiques à pression constante et à volume constant.
On obtient la relation suivante :
Cte PV
Mise en équation:
Beaucoup de problèmes de bruit industriel sont liés à la propagation d’ondes sonores dans des conduites et des tuyaux. Cette propagation est conditionnée par la longueur d’onde acoustiquetelle que :
f D c
D : Diamètre de la conduite sonore
c: Célérité du son dans l’air qui est égale à 344m/s à 20°c
f : Fréquence de l’onde
Soit une membrane vibrante émise une onde plane progressive dans un fluide uniforme, de masse volumique et de pression P0 à l’équilibre. Cette onde se propage dans la directionxpositif.
Le phénomène de propagation des ondes sonores dans le fluide est du principalement par une succession de compressions et de détentes des tranches de fluide voisines.
On considère une tranche de fluide d’épaisseur dx située aux abscisses x etdx. Soient les pressions P(x)etP(xdx)agissant sur les plans x etdx respectivement qui génèrent le mouvement de la tranche comme le montre la figure 4.8.
Soient U(x) et U(xdx)les déplacements à l’instant t des plans d’abscisse x et
dx
x respectivement.
Figure 4.8: Propagation d’onde acoustique dans un fluide
En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
) x ( F ) dx x ( F t dm U2
2
Où F(x)et F(xdx )sont des forces d’actions appliquée aux plans d’abscissex et xdxrespectivement.
P(x dx) P(x)
L’équation du mouvement s’écrit alors :
P(x dx ) P(x)
On définit la surpressionpd’un fluide compressible comme suit :
x
Où est appelé le coefficient de compressibilité.
En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
dx
D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit:
2
V 1 est appelée la célérité de l’onde sonore dans le fluide.
La solution de l’équation de l’onde est de forme sinusoïdale :
)
On définit l’impédance acoustique en un point, le rapport de l’amplitude complexe de la pression p(x,t) à l’amplitude complexe de la vitesse de particule U(x,t)comme suit :
On définit le produit 0V par l’impédance caractéristique du fluide.
Réflexion et transmission :
Lors du passage de l’onde acoustique incidente du fluide 1 vers le fluide 2, il existe à l’interface de séparation, une onde transmise vers le milieu 2 dans le sens desx>0et une onde réfléchie dans le sens desx<0 vers le milieu 1.
Figure 5.8: Interface fluide-fluide
Les types d’ondes acoustiques se présentent comme suit :
Les relations de continuités à l’interface sont :
On en déduit les équations de continuités à l’interface en fonctions des caractéristiques :
Applications
Problème 1:
Une conduite cylindrique de section S et d’axe horizontalOxcontient un gaz au repos, de pressionP0 , de masse volumique 0et de coefficient de compressibilités. Une onde acoustique plane se propageant dans ce fluide. On considère s(x,t)le déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse x au repos sous l’action de la pression P(x,t) et s(xdx,t) le déplacement du plan de la tranche de fluide d’abscisse
dx
x au repos sous l’action de la pressionP(xdx,t) comme le montre la figure 4.8.
On négligera les échanges thermiques de chaleur.
Figure 6.8 : Mouvement acoustique dans la tranche de fluide
Pour des petites oscillations :
Etablir l’équation de propagation relative au déplacements(x,t)à partir de l’équation fondamentale de la dynamique.
Calculer la céléritéVde l’onde acoustique dans l’air caractérisé par :
1 6 s 7.15.10 Pa
et 1.29kg.m3
Introduire les grandeurs suivantes :
V
Déterminer la solution générale de l’équation aux dérivées partielles de l’onde.
En déduire la solution de l’onde progressive sinusoïdale.
Solutions :
En appliquant la loi de la dynamique de Newton :
) et xdxrespectivement, comme le montre la figure 5.8.
Les forces appliquées aux plans s’écrivent :
P(x dx) P(x)
L’équation du mouvement s’écrit alors :
P(x dx ) P(x)
Figure 7.8 : Mouvement de la tranche de fluide
On définit la surpressionpd’un fluide compressible comme suit :
x U p 1
Où est appelé le coefficient de compressibilité.
En injectant la valeur de surpression à l’équation du mouvement ; on obtient :
dx x ) U ( 1
S x t
Sdx U
2 2
D’où l’équation de propagation des ondes sonores dans le fluide s’écrit sous la forme :
2 2 2 2 2 2
2 2
2
x V U t
U x
U 1 t
U
La célérité de l’onde sonore dans le fluide s’écrit :
V 1
Application numérique:
s
La solution générale de l’onde acoustique est de la forme :
V )
On définit les fonctions comme suit :
réfléchie
L’onde progressive sinusoïdale s’écrit alors :
)
Problème 2:
Une membrane d’un cylindre de section S émis une onde acoustique de pression pse propageant dans un fluide de masse volumique 0 suivant l’axeOx. A l’équilibre la pression du fluide est égale àP0.On définitkle module du vecteur d’onde.
Ecrire l’équation de propagation de la pression acoustique p(x,t)
En déduire en notation complexe, l’onde de pression progressive sinusoïdale.
On définit la pression acoustique au planxcomme suit :
x
Où est le coefficient de compressibilité du fluide.
En déduire l’allongementU(x,t).
Déterminer l’impédance acoustique au planxdéfinit comme suit :
)
En déduire l’impédance acoustique caractéristique du fluideZc.
L’équation de propagation de l’onde est égale à :
La solution de l’onde progressive sinusoïdale s’écrit en notation complexe sous la forme :
L’impédance acoustique au planxs’écrit :
L’impédance caractéristique est égale à :
V Zc 0
Problème 3:
Soit une onde acoustique progressive sinusoïdale de forme U(x,t)U0 cos(t kx )se déplaçant dans un fluide de masse volumique 0 de coefficient de compressibilité . Un petit élément du fluide de volume v0, se comprime et se dilate sous l’action de la surpressionpcomme le montre la figure 7.8
Figure 7.8: Flux d’énergie d’onde acoustique
Déterminer la densité d’énergie cinétique et la densité d’énergie potentielle
En déduire la densité d’énergie totale moyenne en régime sinusoïdal.
Calculer l’intensité de l’onde acoustique par unité de temps qui traverse une surface perpendiculaire à la direction de propagation.
On définit le niveau sonore en décibel comme suit :
0
db I
log I 10
N
Déterminer l’intensité, l’amplitude de la pressionp0 et la vitesse de la particule.
Application numérique:
Pour les niveaux 0 dBet 130dB,V= 330m/s,
I0=10-2W/m2,f=1kHZetZc 411SI . Calculer l’intensité I, l’amplitudep0.
Solutions :
Soit un petit élément de volume v0. Sous l’action de la surpression p, cet élément se comprime ou se dilate et se déplace paru(t,x) :
L’énergie cinétique s’écrit :
2 0 0
c v u
2
E 1
On déduit la densité d’énergie cinétique :
2 0
c u
2 1
L’énergie potentielle s’écrit:
Par conséquent, la densité d’énergie potentielle s’écrit alors :
2 p2
p
La densité d’énergie totale est égale :
2
En régime sinusoïdal la densité d’énergie totale s’écrit sous la forme :
)
D’ou la densité d’énergie totale moyenne est égale à:
2
L’intensité de l’onde :
On calcule tout d’abord l’énergie qui traverse pendant un intervalle de temps
dt une surfaceSperpendiculaire à la direction de propagation
dt SV P dE SVdt
dET T
AvecPest la puissance traversant cette surface.
D’où l’intensité de l’onde acoustiqueIs’écrit alors :
)
On en déduit l’intensité moyenne de l’onde acoustique comme suit :
2
On définit l’impédance caractéristique : Zc0V
Alors :
2 0 c
Z p 2 I 1
On déduit à partir du niveau sonore L’intensité:
Ndb
1 . 0 010 I I
L’amplitude de la pression :
I Z 2 p0 c
La vitesse de la particule :
C 0
Z U p
La position :
f 2 U U
Application numérique:
NdB I(W/m2) p0(Pa) U(m/s) u(m)
0 dB 10-12 2.9 10-5 7 10-8 1.1 10-11
130 dB 10 91 0.22 3.5 10-5
Problèmes supplémentaires
Problème 4:
On considère un tuyau de section circulaire et d’axe Ox rempli d’un fluide, voir la figure 6.8.
Figure 8.8 : Tube de rayonr0et de sectionS0
Au repos le fluide a une masse volumique 0et une pression inférieure
P0 identique à la pression extérieure qui est constante. A l’équilibre, on suppose que le champ des vitesses est nul et que la section du noyau est uniforme et notéeS0 .
On s’intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites amplitudes suivant l’axe Ox dans le cadre linéaire.
On donne les relations suivantes :
) t , x ( )
t , x (
) t , x ( p P ) t , x ( P
u ) t , x ( v ) t , x ( v
1 0 0
0
Ou u0
est le vecteur unitaire selon la directionOx . v(x,t)est appelé la vitesse acoustique, et p(x,t)est la surpression par rapport àP0 . Le fluide étant supposé parfait. On considère que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tube et que le coefficient de compressibilitésdu fluide considéré constant donnée par la relation:
s
s )
( P 1
On se place dans un tube rigide où la section du tube ne dépend pas de la surpression.
Ecrire l’équation de propagation d’Euler et en déduire une équation différentielle entre la vitesse acoustique v(x,t)et la surpressionp(x,t ).
Ecrire l’équation générale de conservation de la masse.
En déduire l’équation différentielle suivante :
x ) t , x ( u t
) t , x (
0
Etablir l’équation de propagation de la surpression et de la vitesseu(x,t). En déduire l’expression de la céléritéCde l’onde sonore en fonction de et de 0
Application numérique:
CalculerCde l’eau de mer pour : 5.21010Pa1et de 0 1050Kgm3