On définit une propagation d’onde dans un milieu matériel comme étant une perturbation évolutive du milieu sous l’action d’une excitation. Puisque le milieu est constitué de plusieurs particules en interaction entre elles, les forces internes sont responsables du déplacement de la perturbation. Cette propagation dépend des propriétés physiques du milieu où l’onde se propage.
Figure 1.7: Propagation dans différents milieux
Onde élastique dans le solide:
Soit un barreau solide homogène, rectiligne et continu de faible section S dont une extrémité est fixé sur un support rigide fixe. On applique à l’autre extrémité une force de traction F
à la longueur du barreau, on constate un allongementl.
Figure 2.7 : Allongement due à la force de traction
Les variations relatives ) S ( F l f
l
présentent deux aspects fondamentaux. Le premier est appelé le phénomène élastique, dans ce cas la, le barreau reprend sa longueur originale lorsque la force est supprimée, l’intervalle OA. Le deuxième aspect est représenté dans l’intervalle AB, appelé zone non linéaire, à cet effet, même après la suppression de la contrainte, il existe un allongement résiduel comme le montre la figure 3.7
Figure 3.7: Comportement de la loi de Hooke
Dans la zone élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke comme suit
S F E 1 l
l
Où E est une constante propre au matériau, appelée module de Young qui s’exprime en Newton par mètre carré.
On étudie des ondes longitudinales se propageant le long de l’axe xx’ dans un barreau solide indéformable, homogène et continue. A cet effet, On considère un élément du barreau de section S, de masse volumique, de constante de Young E, de longueurdx , et de massedm . Les deux sections réparties sur les abscisses x et x dx sont soumises respectivement aux forces de traction
) x (
F et F(x dx).
L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :
x dx ) F x ( F ) dx x ( F t Sdx U
2 2
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la déformation comme suit :
x SE U ) x (
F
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des caractéristiques macroscopiques des matériaux :
2 2
2
2
Figure 4.7 : Déformation locale du barreau
Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles sont de la forme:
) kx t ( j 0e U ) x (
U
Où k V
est le module du vecteur d’onde.
On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du déplacement de l’onde :
) x ( U j
) x ( SEjkU t
) x ( U
x SE U )
x ( U
) x ( ) F x (
Z
Où l’impédance en tout pointxest calculée comme suit :
SZc
V S ) x (
Z
Où Zcest appelée l’impédance caractéristique du barreau. Elle ne dépend pas de la position du milieu.
Mouvement ondulatoire dans une corde
Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde libre représentée comme suit.
Figure 5.7 : La corde est au repos
Soit une corde de longueurl et de massem, la masse linéique μ(supposée constante le long de celle-ci) est définit comme suit:
dx dm l
m
Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas déformer le câble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueurdl :
Les Approximations sont les suivantes:
Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon à être presque parallèle à l'axe x. Les angles (x,t),( xdx,t ) sont donc considérés comme petits
La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.
Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure 6.7 ci-dessous :
Figure 6.7: Mouvement transversal de la corde
Le bilan des forces s’écrit :
dl
Ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x, et a
représente l’accélération selon y. Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne:
La loi de Newton appliquée à la masse dmdxdonne (nous considérons que chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas allongement) :
Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonctiony(x) :
2
Il en résulte l’équation aux dérivées partielles :
Elle se nomme "l’équation d’onde des cordes vibrantes".
Nous vérifions les unités de
F sont celles du carré d'une vitesse(m/ s)2, comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :
V F
Le Fouet
Le fouet est une corde dont la masse linéique diminue avec la longueur, très massique prés de la poignée et peu massive à l’autre extrémité représenté dans la figure 7.7.
Lorsqu’on agite le fouet, l’onde ne se déplace pas de la même vitesse, car la vitesse dépend de la masse linéique. La grande vitesse atteinte par l’extrémité du fouet peut déplacer une quantité d’air et ainsi provoquer un claquement.
Figure 7.7 : Le fouet
Lorsque la corde est tendue par les deux extrémités, on aura l’interférence des ondes incidentes et les ondes réfléchies, d’où l’apparition des ondes stationnaires. Dans ce cas la, on applique les conditions aux bords, comme suit :
0 ) t , a x ( y ) t , 0 x (
y
On obtient les modes propres :
avec n N
a kn n
Le schéma est représenté dans la figure 8.7
Figure 8.7 : Modèle de la corde tendue
Le premier dispositif expérimental qui illustre l’expérience de la production des ondes stationnaires est celui de « MELDE » représenté dans la figure 9.7.
Figure 9.7: Dispositif expérimental de « MELDE »
Expérience générale :
Une corde de longueur Lest placée horizontalement sur deux tiges en fer, à l’une des extrémités de la corde nous attachons un poids de masse M. Un vibreur fait vibrer la corde selon une intensité variable. Nous constatons qu’il se produit un mouvement particulier de la corde qui présente des ventres et des nœuds en différents points.
Figure 10.7 : Expérience de la corde tendue
Autres applications :
Les cordes vibrantes sont des résonateurs à fréquences multiples : La mise en vibration peut s’effectuer par :
Pincement (harpe)
Percussion (piano)
Frottements (violon)
Figure 11.7 : cordes de la guitare
Réflexion et transmission
La figure 12.7 montre deux cordes ayant la même tension et de masse linéaires différentes raccordées au point x=0,appelé point de discontinuité.
Figure 12.7: Modes de transmission et de réflexion d’une onde mécanique
Lors du passage de l’onde mécanique incidente du milieu 1 vers le milieu 2, il existe une onde transmise vers le milieu 2 et une onde réfléchie vers le milieu 1.
Au point de discontinuité, on applique les conditions de continuité telle que :
Mouvement transversal dans une membrane
On considère un petit élément de cotés (dx,dy )dans une membrane
caractérisée par une tension par unité de longueur et une masse surfaciqueM s. On définit w(x,y,t)le déplacement transversal local et
f la densité surfacique des forces extérieures.
Figure 13.7 : Mouvement ondulatoire de la membrane
En appliquant la loi dynamique de Newton pour l’élément (dx,dy ) :
2 L’équation d’Alembert aux dérivées partielles devient alors :
2
La quantité
Ms
représente la célérité de la propagation de l’onde dans la membrane.
Les solutions devront satisfaire les conditions aux limites sur le contour .
Pour fixe : on a w(x,y)0 pour (x,y)
Applications
Problème 1 :
Soit une corde vibrant transversalement dans le planOxy . L’équation de mouvement est de forme y f( x,t ). Soient T et μ la tension et la masse linéique de la corde à l’équilibre.
Figure 14.7 : La corde libre
Ecrire l’équation de propagation de l’onde.
En déduire la céléritéVdes oscillations.
On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal.
Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la méthode des séparations des variables.
Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distancea, lâchée sans vitesse initiale.
Figure 15.7: La corde tendue
Déterminer la forme de la solution générale.
Montrer que les fréquences de vibration de la corde sont multiples entier d’une fréquence fondamentalef1.
Application numérique:
Pour la troisième corde de la guitare de longueur a=63cm en nylon, de masse volumique ρ=1200kg/m3et de section S=0.42mm2.
Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son fondamental f1=147Hz (note ré).
La corde maintenant est écartée de la position d’équilibre à l’instant t=0, telle que représentée par la figure 16.7 et lâchée sans vitesse initiale:
Figure 16.7 : La corde écartée de sa position initiale Déterminer la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
L’équation de propagation aux dérivées partielles s’écrit:
2
Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre :
En utilisant la méthode des séparations des variables
)
D’où la solution s’écrit comme suit :
)
La corde est maintenant fixée :
les conditions aux limites nous donnent :
a
x
Les longueurs d’ondes associées aux modes propres sont :
n
La figure ci-dessus, Figure 14.7 illustre les différents types des modes propres :
Figure 17.7 : Modes propres
les conditions initiales nous donnent :
t
D’où, la solution finale s’écrit:
1
Les fréquences propres des vibrations de la corde :
Application numérique :
N
L’équation de la corde à l’instant initial dans ce cas est de la forme :
a
En appliquant la condition initiale :
0
On obtient :
a
On multiplie les deux membres par x a
Après intégration, on obtient :
2
La solution finale s’écrit alors :
1
Problème 2:
Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique, tendue par une force de tension d’intensité F constante. La corde au repos est horizontale et matérialisée par l’axeOx .
Au cours de la propagation d’une onde, le point M de la corde, d’abscisse x au repos subit le déplacement transversal y(x, t) à l’instant t. On néglige l’influence de la pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée suivant l’axeOx , Ox Oy et de valeur algébrique: bV ( x,t ) par unité de longueur (avec b0), où
t
est la vitesse transversale de l’élément de la
corde d’abscissexà l’instantt.
On définit k le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible (b).
Etablir la relation de dispersion sous la forme :
c )]
( jg 1 ) [
(
k
Exprimer les coefficientsgetcen fonction des donnéesF,et b.
En déduire l’équation de l’ondey(x, t). Que peut on dire sury(x, t)? On définit l’impédance mécanique complexe
) t , x ( V Z~ Ty
Où Ty désigne la projection sur Oy de la tension de la corde enM(x).
Exprimer l’impédance mécanique complexe Z~
de la corde en fonction de F,, b. et.
Solutions :
Soit le schéma d’un élément de la corde subit des forces de tensions et de frottement comme suit :
Figure 18.7 : Mouvement oscillatoire de la corde sous la force de frottement
En appliquant la loi dynamique de Newton, on a :
dl dm avec t dm y ] sin [sin
F f
0 ] cos [cos
F a
dm F
2 2 x
dx x fr
x dx
x
L’équation du mouvement s’écrit :
On obtient alors :
2
L’équation aux dérivées partielles du déplacementy(x, t):
t
On remplace la forme de la solution sinusoïdale dans l’équation de propagation, on obtient :
t
Après simplification, On aura :
F
La relation de dispersion devient alors :
2 )
Ainsi que les coefficients sont déterminés comme suit :
La solution de l’équation de l’onde y(x, t)s’écrit alors :
c)
C’est une onde progressive amortie.
L’impédance mécanique complexe s’écrit:
y
D’ou
2 ) j b 1 ( F Z~
Problème 3 :
Partie A : Equation de la corde vibrante :
Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique, est tendue horizontalement suivant l’axe Ox avec une tensionFconstante, voire la figure 19.7.
La corde, déplacée de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant t par le déplacement quasi vertical y(x, t), compté à partir de sa position d’équilibre, d’un point Md’abscisse x au repos.
A l’instant t, la tension T(x,t ) exercée par la partie de la corde à droite de M sur la partie de la corde à gauche deM, fait un petit angle ( x,t )avec l’horizontale.
On admettra petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de pesanteur.
Figure 19.7 : Mouvement de la corde
Equation des cordes vibrantes:
On considère le tronçon de la corde compris entre les abscissesx,x dx .
Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante.
En déduire la céléritéVde l’onde en fonction deet F.
Partie B : Analogie électrique :
Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure 20.7 comme suit :
Figure 20.7 : une tranche d’une cellule électrique sans perte
Montrer que la cellule électrique représentée ci dessus constitue un circuit analogique d’un élément de corde vibrante de longueur dx
Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique Lind, de la capacité linéique Cap, de l’intensité du courant i(x, t) et de la tension électrique u(x, t).
Solutions : Partie A :
L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante : En appliquant la loi dynamique sur l’élément de la corde, on a :
dl
L’équation du mouvement s’écrit :
On obtient :
2
2y y
D’ou l’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x)s’écrit:
L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des ondes de courant et de tensions comme suit :
2
L’équivalence mécanique-électricité :
t
Deux cordes, de masses linéiques 1 et 2, sont attachées à la jonction O pour former une longue corde tendue horizontalement suivant l’axe Ox avec une force de tension d’intensitéF. On choisit l’abscissex=0 à la jonction O des deux cordes.
Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude ai et venant de la gauche (régionx0) de la forme :
A la jonctionOil y a une onde réfléchie dans la régionx0et une onde transmise vers la région x0. On définit k1 et k2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes dans les régionsx0et x0:
Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux relations qui lient les amplitudes ai,at,ar et le rapport
2 1
k k .
En déduire les coefficients de réflexion
i r
a
R a et de transmission
i
Application numérique : On attache en O un fil d’acier(1) de diamètre d1=2 mmet un fil d’acier (2)de diamètre d2=1.2mm.
Calculer, pour l’onde qui se propage du fil (1) vers le fil (2), les coefficients R etT.
Solutions :
Les deux équations de continuité :
En appliquant les deux équations de continuités :
On obtient alors :
i
On obtient :
2
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Application numérique :
%
Problème 5:
Soit U une onde mécanique longitudinale se propageant suivant l’axe Ox dans un barreau cylindrique homogène indéformable de masse volumique , de module de YoungEde longueurl et de section droiteS.
Ecrire l’équation de propagation d’Alembert.
Déterminer la solution U(x, t)de l’onde.
Déterminer l’impédance mécanique Z(x) à la position x. En déduire l’impédance caractéristique du milieuZc.
Solutions
L’équation de propagation des ondes :
Pour une onde progressive, Les solutions de l’équation aux dérivées partielles sont de la forme:
) kx t ( j 0e U ) x (
U
Où k V est le module du vecteur d’onde.
On définit l’impédance mécanique en tout point x du barreau comme étant le rapport entre la composante normale de la force de traction et la vitesse du déplacement de l’onde :
) x ( U j
) x ( SEjkU t
) x ( U
x SE U )
x ( U
) x ( ) F x (
Z
Où l’impédance en tout pointxest calculée comme suit :
SZc
V S ) x (
Z
Problème 6:
Un barreau cylindrique d’aluminium, de masse volumique de longueur l et de section droite, subit un allongement relatif :
E
F l
l
Sous l’effet d’une force F d’étirement dans le sens de l’axe 0x du barreau ; la constante E est le module d’Young du métal. On négligera les variations de la section du barreau. Lors du passage d’une onde acoustique, l’élément de barreau compris entre les plans de section voisins d’abscisses x,xdx se déplacent respectivement de
) t , x (
s et s(xdx,t) à l’instant tpar rapport à leur position d’équilibre ;
Montrer que l’élongation s(x,t) obéit à une équation de propagation d’ondes.
Calculer la céléritéVde ces ondes dans le barreau d’aluminium pour lequel :
= 2700kg/m3 etE= 71010Pa Soit une onde plane progressive acoustique d’amplitude a0:
V ) t x ( co a ) t , x (
s 0
Calculer dans ce cas la variation relative maximale max de volume de l’élément de barreau (x,xdx) entre les instants0ett;
La tension T(x, t) du barreau au niveau de sa section droite d’abscisse x, à l’instantt.
Le barreau de longueurl, fixé à une de ses extrémitésO, est libre à l’autre extrémitéA.
On cherche la solution de l’équation de propagation de l’onde sous la forme t
sin ) x ( g ) t , x (
s
Déterminer la fonction g(x), on notera a l’amplitude de cette fonction spatiale.
On prend comme conditions aux limites :
0 ) t , l x x( et s 0 ) t , 0 x (
s
Déterminer les fréquences propres du barreau en fonction de E, l, et d’un entierN.
Dans les conditions où le son le plus grave a une fréquence f0=2KHz, Déterminer :
La longueur l= OAdu barreau cylindrique.
L’énergie cinétique moyenne Ec(t) de ce barreau en fonction de sa masse Met de la vitesse maximale Vmax d’un élément du barreau.
Solution :
L’équation de propagation d’ondes :
Soit un élément du barreau représenté comme suit :
Figure 21.7 : L’élément du barreau soumis à des forces de tractions
En appliquant la loi dynamique de newton :
2 2
t dm s ) t , x ( T ) dx x ( T a
m
F
L’équation du mouvement de l’élément dx s’écrit comme suit :
x dx ) T x ( T ) dx x ( T t dx s
2 2
D’après la loi de Hooke, la contrainte normale est exprimée en fonction de la déformation comme suit :
x E s ) x (
T
On obtient l’équation aux dérivées partielles, décrite comme équation des ondes élastiques dans les solides dont V est la vitesse de propagation qui dépend des caractéristiques macroscopiques des matériaux.
2
Application numérique:
s
La variation relativemaxet la tensionT(x, t):
V )
En utilisant la méthode des séparations des variables, on a :
t
On obtient :
0
Alors la solution générale s’écrit :
t
En utilisant les conditions aux bords, on aura :
0
Les fréquences propres du barreau :
En utilisant la condition au bord :
0 x) ( s x l
On obtient :
2
Les fréquences propres sont :
l 4
V ) 1 N 2
fN (
La longueur l= OAdu barreau cylindrique :
On a la relation de dispersion :
2 ) 1 N 2 l ( V
Pour le son le plus grave, c'est-à-dire, N=0: on a :
l 4 f0 V
D’où la longueur du barreau est égale: cm E 31
f 4 l 1
0
L’énergie cinétique moyenne :
l
0
2 c
2 2
c M(a )
8 ) 1 t ( E Sdx
t ) ( s 2 dm 1 2 v
) 1 t (
E
Problème7:
On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface S d’une membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace planOxyz et dont les axes sontOx,Oy,Oz. Soit un élément ds dont les cotes sont soumises a des tensions linéaires , comme le montre la figure 22.7 comme suit:
Figure 22.7 : Mouvement transversal de la membrane
Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une masse surfaciqueσ.
Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations des variables.
En déduire la forme de la solution générale de l’équation de propagation.
Solutions :
En appliquant la loi dynamique de Newton
dxdy ) y
z x ( z t dxdy z a
dm
F 2
2 2 2 2
2
L’équation de propagation de l’onde :
2 2 2 2
2 2
2 2 2
t z V z 1 t
z y
z x
z
La célérité de l’onde est égale à
V
Les solutions de l’équation différentielle :
En utilisant la méthode de séparation des variables :
)
On obtient :
2
Après le calcul, on obtient les équations différentielles séparées comme suit:
Dont les solutions sont de la forme:
t
Ainsi, la solution totale s’écrit sous la forme:
)
Une ligne de transmission téléphonique, parallèle à l’axeOx, sans pertes, peut être décomposée en cellules élémentaires de longueurdx. Cette ligne est caractérisée par son inductance linéique Lind et sa capacité linéiqueCap . Comme le montre la figure 23.7 ci dessous :
Figure 23.7 : Elément de la ligne électrique
Montrer que le courant i(x, t)et la tension u(x, t)obéissent à une même équation d’onde d’Alembert que l’on déterminera.
Exprimer en fonction de Lind et Cap la célérité Vde la propagation de l’onde de courant et de l’onde de tension sur cette ligne.
On admet qu’une onde progressive harmonique de courant se propage dans cette ligne, supposée infinie :
V ) caractéristique Zc est une constante qu’on exprimera en fonction de Lind etCap. La ligne, située dans l’espace x0, s’étend jusqu’en x=0 où elle est fermée sur une résistance R. On alimente la ligne par une tension par tension sinusoïdale de pulsation
L’onde de courant s’écrit alors sous la forme :
t
Justifier cette écriture en notation complexe.
Exprimer l’impédance
) dans l’expression deZ(x).
Solutions
:
L’équation de propagation :
En appliquant les lois fondamentales des mailles et des nœuds, on obtient :
En combinant les deux équations, on obtient les équations de propagations des ondes de courant et de tensions comme suit :
L’impédance caractéristique Zc : Soit l’expression :
)
Alors l’impédance caractéristique :
L’onde de courant résultante dans cette ligne fermée par la résistance Rest due à la superposition d’une onde incidente qui se propage vers lesx0 qui s’écrit
L’onde de courant résultante dans cette ligne fermée par la résistance Rest due à la superposition d’une onde incidente qui se propage vers lesx0 qui s’écrit