Partie B : Patch de tr` es forte rigidit´ e

Probl` eme 1 : corrig´ e

Vibrations d’un tambour non homog` ene

Partie A : Formulation du mod` ele

1. Dans le cas Ω_b=∅, la formulation variationnelle associ´ee consiste `a d´etermineru∈C⁰([0, T];H₀¹(Ω))∩

C¹([0, T];L²(Ω)) tel que pour tout v∈H₀¹(Ω), on ait pour tout 0< t < T, d²

dt² Z

Ω

ρauv dx+ Z

Ω

ka∇u· ∇v dx= 0,

avecu(t= 0) =U0 etdu/dt(t= 0) =U1. Commeρa et ka sont strictement positifs, (u, v)7→

Z

Ω

ρ_auv dx

d´efini un produit scalaire surL²(Ω) et (u, v)7→

Z

Ω

ka∇u· ∇v dx

est une forme bilin´eaire continue et coercive (d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e) sur H₀¹(Ω).

D’apr`es le th´eor`eme 8.3.1 d’existence du cours sur les ´equations d’´evolution hyperboliques, il existe une solution unique.

2. La formulation variationnelle dans ce cas est identique, quitte `a remplacerρaparρetka par k. D’apr`es le th´eor`eme 8.3.1 du cours, il existe `a nouveau une solution unique appartenant

`

a u∈C⁰([0, T];H₀¹(Ω))∩C¹([0, T];L²(Ω)).

3. La formulation variationnelle associ´ee au probl`eme spectral consiste `a d´eterminer les solu- tions (u, λ)∈H₀¹(Ω)×Rtelles que pour toute fonction testv∈H₀¹(Ω), on ait

Z

Ω

k∇u· ∇v dx=λ Z

Ω

ρuv dx.

D’apr`es le th´eor`eme 7.3.2 du cours, il existe une base orthonormale de vecteurs propres de L²(Ω) muni du produit scalaire

(u, v)7→

Z

Ω

ρuv dx.

4. On noteU₀ⁱetU₁ⁱles coefficients deU₀et deU₁dans la base spectrale. On note de plusα_i(t) les coefficients de udans la base spectrale, c’est `a dire

u(t) =

∞

X

i=1

α_i(t)u_i.

En injectant l’expression deudans la formulation variationnelle, il vient pour touti >0, α⁰⁰_i(t) +λiαi(t) = 0,

avecαi(0) =U₀ⁱ etα⁰_i(0) =U₁ⁱ. On en d´eduit que

α_i(t) =U₀ⁱcos(ω_it) +U₁ⁱsin(ω_it)/ω_i, avecω_i =√

λ_i. 5. On a

λ₁(r, s) = inf

v∈H¹₀(Ω)

R

Ωak_a|∇v|²dx+R

Ω_brk_a|∇v|²dx R

Ω_aρa|v|²dx+R

Ω_bsρa|v|²dx

Le terme de droite ´etant croissant par rapport `ar, une augmentation de la rigidit´e entraine une augmentation de la plus petite valeur propre et produit un son plus aig¨ue. L’augmenta- tion de la densit´e `a un effet inverse et conduit donc `a une note fondamentale plus grave.

Partie B : Patch de tr` es forte rigidit´ e

6. La fonctionr7→λ₁(r,1) est croissante. Par ailleurs,

λ₁(r,1) = inf

v∈H₀¹(Ω)

R

Ω_aka|∇v|²dx+R

Ω_brka|∇v|²dx R

Ωρa|v|²dx ≤ inf

v∈W

R

Ω_aka|∇v|²dx R

Ωρa|v|²dx

o`uW est l’ensemble des ´el´ements deH₀¹(Ω) tels que ∇v= 0 sur Ω_b. Cet ensemble est non vide. On en d´eduit que λ₁(r,1) est major´e et croissant en r et donc convergent lorsque r tend vers l’infini vers une limiteλ^∗.

7. On a pour toutr≥1,

Z

Ω

ka∇|u1(r,1)|²dx≤λ^∗.

D’apr`es l’in´egalite de Poincar´e, l’ensemble des ´el´ements u<sub>1</sub>(r,1) avec r≥1 est born´ee dans H<sup>1</sup>(Ω). L’ouvert Ω ´etant born´e et r´egulier, il existe, d’apr`es le Th´eor`eme de Rellich une suite u1(rn,1) (avec (rn)_n≥0croissante, tendant vers l’infini) convergente vers un ´el´ementu^∗ dans L²(Ω).

8. D’apr`es l’´egalit´e de la m´ediane, on a Z

Ω

k(r_m)

∇u₁(r_m,1)− ∇u₁(r_p,1) 2

2

dx= 1

2 Z

Ω

k(r_m)|∇u₁(r_m,1)|²dx+ Z

Ω

k(r_m)|∇u₁(r_p,1)|²dx

− Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1) +∇u1(rp,1) 2

2

dx.

On a Z

Ω

k(rm)|∇u1(rm,1)|²dx=λ1(rm,1).

Commerm≤rp, Z

Ω

k(rm)|∇u1(rp,1)|²dx≤ Z

Ω

k(rp)|∇u1(rp,1)|²dx=λ1(rp,1), et

Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1) +∇u1(rp,1) 2

2

dx≥λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

.

On en d´eduit que Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1)− ∇u1(rp,1) 2

2

dx

≤λ1(rm,1) +λ1(rp,1)

2 −λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

dx.

9. D’apr`es la convergence de u1(rm,1) et u1(rp,1) dans L²(Ω) ainsi que la convergence de λ1(rm,1) et λ1(rp,1), on constate que le terme de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente converge vers z´ero lorsque m et ptendent vers l’infini. Ainsi, la suite u1(rn,1) est de Cauchy dans H₀¹(Ω) donc convergente.

10. On a

Z

Ω_a

ka|∇u1(rn,1)|²dx+ Z

Ω_b

karn|∇u1(rn,1)|²dx≤λ^∗.

On en d´eduit que

Z

Ω_b

|∇u1(rn,1)|²dx

tend vers z´ero lorsque n tend vers l’infini. Par ailleurs, comme u1(rn,1) converge vers u^∗ dansH₀¹(Ω), on a∇u^∗= 0 presque partout sur Ω_b.

11. Tout d’abord, on a

u^∗∈W :={v∈H₀¹(Ω) tel que∇v= 0 sur Ωb}.

En passant `a la limite dans la formulation variationnelle, on obtient que pour toutv∈W, Z

Ω_a

ka∇u^∗· ∇v dx=λ^∗ Z

Ω

ρau^∗v dx. (8)

Partie C : Patch de tr` es grande densit´ e

12. On a, pour toutv∈H₀¹(Ω_b) prolong´e par 0 sur Ω_a,

λ1(1, s)≤ R

Ωka|∇v|² sR

Ωbρ_a|v|²dx. Ainsi,sλ1(1, s) est born´e ind´ependamment de s.

On rappelle que

sλ1(1, s) = inf

v∈H₀¹(Ω)

R

Ωka|∇v|²dx R

Ωas⁻¹ρ_a|v|²dx+R

Ωbρ_a|v|²dx.

Le terme de droite ´etant croissant en fonction de s, on en d´eduit que l’application s 7→

sλ1(1, s) est croissante. ´Etant par ailleurs major´ee et strictement positive, elle admet une limite β >0 lorsquestend vers l’infini.

13. On a

Z

Ω

ka|∇u1(1, s)|²dx≤λ1(1, s).

Comme sλ1(1, s) est born´e, on en d´eduit que s^1/2u1(1, s) est born´e dans H₀¹(Ω), d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e. Cela implique en particulier queu1(1, s) tend vers z´ero dansH¹. 14. On a

Z

Ω_a

ρa|u1(1, s)|²dx+ Z

Ω_b

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx= 1.

Commeu₁(1, s) converge vers z´ero dansL²(Ω), on en d´eduit que Z

Ωb

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx→1

lorsque stend vers l’infini.

15. Commes^1/2u1(1, s) est born´e dansH₀¹(Ω) ind´ependamment des, il existe une suite (sn)n≥0

croissante, tendant vers l’infini telle quesn1/2u1(1, sn) soit convergente dansL²(Ω) (d’apr`es le Th´eor`eme de Rellich). On note wsa limite, et on a

Z

Ωb

ρa|w|²dx= lim

n→∞

Z

Ωb

ρa|sn1/2u1(1, sn)|²dx= 1.

16. Il suffit d’utiliser l’´egalit´e de la m´ediane. En effet, on obtient ainsi Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm)−sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx= 1

2

sm

Z

Ω

ka|∇u1(1, sm)|²dx+sp

Z

Ω

ka|∇u1(1, sp)|²dx

− Z

Ω

ka

∇

s_m^1/2u₁(1, s_m) +s_p^1/2u₁(1, s_p) 2

2

dx.

On a Z

Ω

k_a|∇u₁(1, s_m)|²dx=λ₁(1, s_m), Z

Ω

ka|∇u1(1, sp)|²dx=λ1(1, sp), et

Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm) +sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx≥smλ1(1, sm)γ(sm, sp).

On en d´eduit l’in´egalit´e demand´ee. De plus, on aγ(sm, sp) qui converge versR

Ω_bρa|w|²dx= 1 lorsquemetptendent vers l’infini. Ainsi,s_n^1/2u₁(1, s_n) est une suite de Cauchy dansH₀¹(Ω) et est donc convergente dans H₀¹(Ω) et par unicit´e de la limite dans L²(Ω), celle-ci est la fonctionw.

17. Pour toutv∈H₀¹(Ω), on a Z

Ω

ka∇u1(1, sn)· ∇v dx=λ1(1, sn) Z

Ωa

ρau1(1, sn)v dx+sn

Z

Ω_b

ρau1(1, sn)v dx

.

Soit encore Z

Ω

k_a∇s_n^1/2u₁(1, s_n)· ∇v dx= s_nλ₁(1, s_n)

s_n^−1/2

Z

Ω_a

ρ_au₁(1, s_n)v dx+ Z

Ω_b

ρ_as_n^1/2u₁(1, s_n)v dx

.

En utilisant la convergence des_n^1/2u₁(1, s_n) verswdansH₀¹(Ω), des_nλ₁(1, s_n) versβ et de u₁(1, s_n) vers z´ero dansL²(Ω), on en d´eduit que

Z

Ω

ka∇w· ∇v dx=β Z

Ωb

ρawv dx.

Par ailleurs,

Z

Ω_b

ρa|w|²dx= 1.

Probl` eme 2 : corrig´ e

Un mod` ele (simplifi´ e) de forces coh´ esives

Partie A : ´ Etude du mod` ele continu

1. On utilise la d´efinition 10.1.1. Soitv∈V. Pour toutw∈V, un calcul direct donne E(v+w) =E(v) +L(w) +R(w),

avec

L(w) = Z

Ω

µ∇v· ∇w dx− Z

Ω

f w dx, R(w) =1 2

Z

Ω

µ|∇w|²dx.

L:V →Rest une application lin´eairecontinue car

|L(w)| ≤(µk∇vk_L2(Ω)+kfk_L2(Ω))kwkV,

et R(w) =o(w) car|R(w)| ≤ ¹₂µkwk²_V. Par suite,E est diff´erentiable env∈V et on a hE⁰(v), wiV⁰,V =

Z

Ω

µ∇v· ∇w dx− Z

Ω

f w dx.

2. On utilise la proposition 10.1.15, formule (10.11). Pour tout (v, w)∈V ×V, il vient hE⁰(v)− E⁰(w), v−wiV⁰,V =

Z

Ω

µ|∇(v−w)|²dx≥µC_Ω²kv−wk²_V.

La fonctionnelle E est donc fortement convexe surV de param`etreα=µC<sub>Ω</sub><sup>2</sup>. Enfin, comme la diff´erentiabilit´e implique la continuit´e, l’existence et unicit´e du minimiseur global de E sur V est fournie par le th´eor`eme 9.2.6 (appliqu´e avecK=V qui est un espace de Hilbert d’apr`es l’´enonc´e).

3. Pour tout (v, w)∈V ×V, il vient commeψ⁰ est globalement Lipschitzienne et γ_∗ lin´eaire continue,

hJ⁰(v)−J⁰(w), v−wiV⁰,V = Z

Ω

µ|∇(v−w)|²dx+ Z

∂Ω_∗

(ψ⁰(γ∗v)−ψ⁰(γ∗w))γ∗(v−w)ds

≥µC_Ω²kv−wk²_V −L Z

∂Ω∗

|γ_∗(v−w)|²ds

=µC_Ω²kv−wk²_V −Lkγ_∗(v−w)k²_L2(∂Ω∗)

≥(µC_Ω² −LC_γ²_∗)kv−wk²_V,

d’o`u la forte convexit´e deJsous la condition (5) avec param`etreα=µC_Ω²−LC_γ²_∗. L’existence et unicit´e du minimiseur global deJsurV est `a nouveau fournie par le th´eor`eme 9.2.6. Enfin, en appliquant la remarque 10.2.2 au minimiseur global deJsurV, la condition d’Euler s’´ecrit J⁰(u) = 0 dansV⁰, c’est-`a-dire

Z

Ω

µ∇u· ∇v dx+ Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗u)γ_∗v ds= Z

Ω

f v dx, ∀v∈V.

4. En prenant v arbitraire dans C_c^∞(Ω) dans la condition d’Euler, on d´eduit que−µ∆u= f dansL²(Ω). Puis, en appliquant la formule de Green, il vient (puisquev est nulle sur∂ΩD)

Z

∂Ω∗

n

µ^∂u_∂n +ψ⁰(γ_∗u)o

γ_∗v ds= 0, ∀v∈V.

La fonction ^∂u_∂n ´etant dansL²(∂Ω∗) caru∈H²(Ω) et commeψ⁰(γ∗u)∈L²(∂Ω∗), le r´esultat de densit´e qu’on a admis permet de conclure que µ_∂n^∂u+ψ⁰(γ_∗u) = 0 dansL²(∂Ω_∗).

Remarque.Pour toutt∈R, on aψ(t) =ψ(0) +tψ⁰(0) +Rt

0(ψ⁰(s)−ψ⁰(0))dset ψ⁰(t) =ψ⁰(0) + (ψ⁰(t)−ψ⁰(0)), si bien que

|ψ(t)| ≤ |ψ(0)|+t|ψ⁰(0)|+¹₂t²L, |ψ⁰(t)| ≤ |ψ⁰(0)|+tL.

En appliquant ces in´egalit´es avec t=γ∗v(x) pour presque toutx∈∂Ω∗, en int´egrant sur∂Ω∗ et en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz, on d´eduit que

kψ(γ∗v)kL¹(∂Ω∗)≤ |ψ(0)||∂Ω∗|+|ψ⁰(0)||∂Ω∗|^1/2kγ∗vkL²(∂Ω∗)+¹₂Lkγ∗vk²_L2(∂Ω∗), kψ⁰(γ_∗v)kL²(∂Ω∗)≤n

2|ψ⁰(0)|²|∂Ω∗|+ 2L²kγ∗vk²_L2(∂Ω∗)

o^1/2 ,

o`u|∂Ω_∗|d´esigne la mesure (superficielle) de∂Ω_∗, ce qui montre queψ(γ_∗v)∈L¹(∂Ω_∗) etψ⁰(γ_∗v)∈ L²(∂Ω_∗). Comme ψ⁰(γ_∗v)∈L²(∂Ω_∗), l’application lin´eairew7→R

∂Ω∗ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds est continue surV. Enfin, comme

Ψ(v+w)−Ψ(v)− Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds= Z

∂Ω∗

Z 1

0

(ψ⁰(γ_∗v+tγ_∗w)−ψ⁰(γ_∗v))dt

γ_∗w ds,

on conclut quant `a la diff´erentiabilit´e de la fonctionnelle Ψ en majorant le membre de droite par

1

2LC_γ²_∗kwk²_V.

Partie B : Discr´ etisation

5. ´Etude de la fonctionnelle discr`eteJh.

a) De par l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz, il vient, pour touta∈ Ah,

|hγ_∗vhia|²=h⁻²_a Z

a

γ_∗vhds ²

≤h⁻²_a Z

a

ds Z

a

|γ_∗vh|²ds

=h⁻¹_a kγ_∗vhk²_L2(a), d’o`u la majoration demand´ee en sommant sura∈ Ah.

b) Pour tout (v_h, w_h)∈V_h×V_h, il vient hJ_h⁰(vh)−J_h⁰(wh), vh−whi_V⁰

h,Vh = Z

Ω

µ|∇(vh−wh)|²dx

+ X

a∈A_h

ha(ψ⁰(hγ_∗vhia)−ψ⁰(hγ_∗whia)hγ_∗(vh−wh)ia

≥µC_Ω²kvh−whk²_V −L X

a∈Ah

ha|hγ∗(vh−wh)ia|²

≥µC_Ω²kvh−whk²_V −Lkγ∗(vh−wh)k²_L2(∂Ω∗)

≥(µC_Ω²−LC_γ²_∗)kvh−whk²_V,

en utilisant le fait queψ⁰ est Lipschitzienne,γ_∗lin´eaire continue et la question pr´ec´edente appliqu´ee `a la fonction (vh−wh). D’o`u la forte convexit´e deJh surVh.

c) L’existence et unicit´e du minimiseur global de Jh sur Vh r´esulte toujours du th´eor`eme 9.2.6 (on peut aussi appliquer le th´eor`eme 9.1.3 en dimension finie avecK=Vh, Jh est continue car diff´erentiable et tend vers l’infini `a l’infini car fortement convexe de par la proposition 9.2.5). Le minimiseuruh∈Vhsatisfait l’´equation d’Euler dansV<sub>h</sub><sup>0</sup>, c’est-`a-dire

Z

Ω

µ∇uh· ∇vhdx+ X

a∈A_h

haψ⁰(hγ_∗uhia)hγ_∗vhia= Z

Ω

f vhdx, ∀vh∈Vh.

6. Estimation d’erreur.

a) En utilisant la forte convexit´e deJh surVh avec le param`etre α, le fait que J_h⁰(uh) = 0 dansV_h⁰, queJ⁰(u) = 0 dansV⁰ et queVh⊂V, il vient

αkδhk²_V ≤ hJ_h⁰(uh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh

=−hJ_h⁰(vh), δhiV_h⁰,V_h

=−hJ⁰(v_h), δ_hi_V⁰

h,V_h+hJ⁰(v_h)−J_h⁰(v_h), δ_hi_V⁰

h,V_h

=hJ⁰(u)−J⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh+hJ⁰(vh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh, d’o`u le r´esultat.

b) On d´esigne parT₁ etT₂les deux termes du membre de droite de la majoration ci-dessus.

On a

T₁= Z

Ω

µ∇(u−v_h)· ∇δ_hdx+ Z

∂Ω∗

(ψ⁰(γ_∗u)−ψ⁰(γ_∗v_h))(γ_∗u−γ_∗v_h)ds

≤(µ+LC_γ²_∗)ku−v_hk_Vkδ_hk_V. Par ailleurs,

T2= X

a∈A_h

Z

a

(ψ⁰(γ_∗vh)−ψ⁰(hγ_∗vhia))γ_∗δhds,

carR

aψ⁰(hγ∗vhia)γ∗δhds=haψ⁰(hγ∗vhia)hγ∗δhia. D’o`u T2≤LCγ∗

( X

a∈Ah

Z

a

|γ_∗vh− hγ_∗vhia|²ds )^1/2

kδhkV.

En simplifiant parkδhkV, on obtient l’in´egalit´e demand´ee.

c) On choisitvh:=rhuet on utilise les propri´et´es d’interpolation derh pour obtenir αkuh−rhukV ≤

(µ+LC_γ²_∗)C1+LCγ∗C2 hkuk_H2(Ω).

En utilisant l’in´egalit´e triangulaire et `a nouveau l’estimation surku−rhukV, on obtient l’estimation d’erreur avecC3=C1+α⁻¹((µ+LC_γ²_∗)C1+LCγ∗C2).

Remarque.Pour montrer le r´esultat d’interpolation qui a ´et´e admis, on proc`ede comme suit. En notant Π∗ la projection L<sup>2</sup>-orthogonale sur Mh (qui revient `a prendre les moyennes sur chaque arˆete de Ah), il s’agit d’estimer krhu−Π∗(rhu)kL²(∂Ω_∗). De par l’in´egalit´e triangulaire,

krhu−Π∗(r_hu)kL²(∂Ω∗)≤ krhu−ukL²(∂Ω∗)+ku−Π∗(u)kL²(∂Ω∗)+kΠ∗(u−rhu)kL²(∂Ω∗). Le troisi`eme terme du membre de droite est inf´erieur au premier, et celui-ci est ma- jor´e parC<sub>2</sub><sup>0</sup>h<sup>3/2</sup>kukH<sup>2</sup>(Ω). Le deuxi`eme terme est major´e parC₂⁰⁰hkukH¹(∂Ω∗)et la norme kukH¹(∂Ω∗)est contrˆol´ee parkukH²(Ω).

Partie C : R´ esolution num´ erique

7. M´ethode de d´ecomposition-coordination.

a) Soitu_hle minimiseur global deJ_hsurV_h. On d´efinitξ_h∈M_hen posant, pour touta∈ Ah, ξ_a:=ξ_h|a =hγ∗u_hia. On constate que (u_h, ξ_h)∈K. De plus, pour tout (v_h, η_h)∈K,

Jh(u_h, ξ_h) =J_h(u_h)≤J_h(v_h) =Jh(v_h, η_h),

ce qui montre que (u_h, ξ_h) est minimiseur global de Jh dans K. R´eciproquement, si (v_h, η_h) est minimiseur global deJ_h dansK, il vient

J_h(v_h) =J_h(v_h, η_h)≤ J_h(u_h, ξ_h) =J_h(u_h), si bien quev_h=u_h caru_h est le minimiseur global deJ_h dansV_h.

b) Pour tout (vh, ηh)∈Vh×Mh, il vient

hF_a⁰(u_h, ξ_h),(v_h, η_h)i_(Vh×Mh)0,V_h×M_h=hγ_∗v_hi_a−η_a. Par cons´equent, si la combinaison lin´eaireP

a∈AhωaF_a⁰(uh, ξh) est nulle (dans (Vh×Mh)⁰), en la faisant agir sur (vh, ηh) = (0, χa) o`uχaest la fonction indicatrice de l’arˆetea∈ Ah, il vient ωa = 0. L’arˆete a ∈ Ah ´etant arbitraire, on en d´eduit la libert´e de la famille (F_a⁰(u_h, ξ_h))_a∈Ah.

c) Comme la famille (F_a⁰(uh, ξh))_a∈Ah est libre, on peut appliquer le th´eor`eme 10.2.8 au couple (uh, ξh) qui est minimiseur (global) de Jh sur K : il existe M r´eels (λa)a∈A_h, appel´es multiplicateurs de Lagrange, tels que

J_h⁰(u_h, ξ_h) + X

a∈Ah

λ_aF_a⁰(u_h, ξ_h) = 0 (∈(V_h×M_h)⁰).

En testant successivement avec (v_h,0) pour tout v_h ∈ V_h puis avec (0, η_h) pour tout η_h∈M_h, il vient

Z

Ω

µ∇uh· ∇vhdx+ X

a∈Ah

λ_ahγ∗v_hia= Z

Ω

f v_hdx, ∀vh∈V_h,

X

a∈A_h

haψ⁰(ξa)ηa−λaηa= 0, ∀ηh∈Mh.

D’o`u les ´equations (6a)-(6b) en d´efinissant ph ∈Mh parpa :=ph|a =h⁻¹_a λa. La libert´e de la famille (F_a⁰(uh, ξh))_a∈Ah implique l’unicit´e des multiplicateurs de Lagrange ; il en est donc de mˆeme de la fonctionph∈Mh.

8. Algorithme it´eratif.

a) En diff´erentiant le Lagrangien par rapport `a son premier argument, on obtient, pour tout vh∈Vh,

Z

Ω

µ∇uⁿ⁺¹_h · ∇vhdx+ X

a∈Ah

hapⁿ_ahγ_∗vhia+r X

a∈Ah

ha(hγ_∗uⁿ⁺¹_h ia−ξⁿ_a)hγ_∗vhia = Z

Ω

f vhdx.

On d´ecomposeuⁿ⁺¹_h sous la formeuⁿ⁺¹_h =PN

i=1U_iⁿ⁺¹ϕ_i. On introduit le vecteurUⁿ⁺¹∈ R^N de composantesU_iⁿ⁺¹, ainsi que la matrice A∈R^N,N et le vecteurBⁿ ∈R^N avec, pour tout 1≤i, j≤N,

A_ij = Z

Ω

µ∇ϕi· ∇ϕjdx+r X

a∈Ah

h_ahγ∗ϕ_iiahγ∗ϕ_jia,

Bⁿ_i = Z

Ω

f ϕidx+ X

a∈Ah

ha(rξ_aⁿ−pⁿ_a)hγ∗ϕiia.

On obtient le syst`eme lin´eaire

AUⁿ⁺¹=Bⁿ.

La matriceAest sym´etrique. Elle est d´efinie positive car, pour tout X ∈R^N, en posant x_h=PN

i=1X_iϕ_i, il vient

N

X

i,j=1

AijXiXj = Z

Ω

µ|∇xh|²dx+r X

a∈Ah

ha|hγ_∗xhia|²≥µC_Ω²kxhk²_V.

b) En diff´erentiant le Lagrangien par rapport `a son deuxi`eme argument, on obtient, pour toutηh∈Mh,

X

a∈Ah

haψ⁰(ξⁿ⁺¹_a )ηa− X

a∈Ah

hapⁿ_aηa−r X

a∈Ah

ha(hγ_∗uⁿ⁺¹_h ia−ξ_aⁿ⁺¹)ηa = 0.

Pour touta∈ Ah, en choisissantηh=χa, la fonction indicatrice de l’arˆetea, il vient ψ⁰(ξⁿ⁺¹_a ) +rξ_aⁿ⁺¹=pⁿ_a+rhγ∗uⁿ⁺¹_h ia.

On introduit la fonctiong_a:R→Rtelle que, pour toutt∈R, g_a(t) =ψ(t) +r

2t²−(paⁿ+rhγ_∗uⁿ⁺¹_h i_a)t.

On constate d’une part que ξ_aⁿ⁺¹ est cherch´e comme annulant la d´eriv´ee g_a⁰ et d’autre part, que pour tout (s, t)∈R×R,

(g_a⁰(s)−g⁰_a(t))(s−t) = (ψ⁰(s)−ψ⁰(t))(s−t) +r(s−t)²≥(r−L)(s−t)², d’o`u la forte convexit´e dega surRsous la conditionr > L. On en d´eduit queξ_aⁿ⁺¹existe et est unique.