POLYCOPIE ANALYSE NUMERIQUE

UNIVERSITE MOHAMED 1

FACULTE DES SCIENCES D’OUJDA-MAROC UNIVERSITE MOHAMED PREMIER FACULTE DES SCIENCES OUJDA Département de mathématiques

et informatique

Année universitaire : 2010/ 2011

Section SMA-SMI /S2

POLYCOPIE ANALYSE NUMERIQUE

Abdesslam Boutayeb Mohamed Derouich

Table des matières

1 RAPPELS 5

1.1 IDENTITES ALGEBRIQUES : . . . 5

1.2 TRIGONOMETRIE : . . . 5

1.2.1 valeurs usuelles des fonctions trigonométriques : . . . 5

1.2.2 Périodes et symétries : . . . 5

1.2.3 Formules trigonométriques . . . 6

1.3 DEVELOPPEMENTS LIMITES . . . 7

1.4 INTEGRATION . . . 8

2 Approximations des solutions de l’équation f(x) =0 14 2.1 Rappels et notations . . . 14

2.2 Méthode de Newton : . . . 19

2.3 Méthode de Newton modifiée : . . . 21

2.4 Méthode de dichotomie : . . . 21

2.5 Méthode de fausse position ( Regula Falsi) : . . . 23

2.6 Exercices . . . 24

3 Inroduction à l’interpolation 28 3.1 Rappel et définitions . . . 28

3.2 Interpolation de Lagrange . . . 33

3.2.1 Existence et Unicité de l’interpolant . . . 33

3.2.2 Interpolation linéaire . . . 34

3.2.3 Erreur d’interpolation (de Lagrange) . . . 34

3.3 Exercices . . . 36

4 Intégration numérique 38 4.1 Introduction . . . 38

4.2 Approximation . . . 39

4.2.1 Approximation par des rectangles à gauche . . . 40

4.2.2 Approximation par des rectangles à droite . . . 41

4.2.3 Approximation par des rectangles médians . . . 42

4.2.4 Approximations par des trapèzes . . . 43

4.2.5 Formule de Simpson . . . 44

4.3 Interpolation et Erreur d’intégration numérique . . . 45

4.4 Applications : . . . 45

4.4.1 Interpolation linèaire et la formule du trapèze : . . . 45

4.4.2 Formule du trapèze composée . . . 45

4.4.3 Erreur de la formule de Simpson . . . 46

4.5 Exercices . . . 46

5 Méthodes directes de résolution des systèmes linéairesAx= b 48 5.1 Résolution d’un système par les méthodes de descente ou de remontée 49 5.2 Matrices élémentaires . . . 50

5.2.1 Matrices élémentaires de Gauss . . . 50

5.2.2 Matrices élémentaires de Danilevski . . . 50

5.2.3 Matrices élémentaires de Householder . . . 50

5.2.4 Matrices élémentaires de permutation . . . 51

5.2.5 Matrices élémentaires de Perlis . . . 51

5.2.6 Matrices élémentaires de Givens (ou de rotation) . . . 53

5.3 Méthodes de Gauss . . . 53

5.3.1 Méthode de Gauss sans pivot . . . 53

5.3.2 Méthode de Gauss avec pivot partiel . . . 54

5.3.3 Méthode de Gauss avec pivot total . . . 56

5.3.4 Méthode de Gauss-Jordan . . . 56

5.4 FactorisationLU . . . 56

5.5 Factorisation de Choleski (matrice symétrique) . . . 58

5.6 Factorisation de Householder (matrice unitaire ) . . . 59

5.7 Conditionnement . . . 60

5.8 Matrices creuses . . . 61

5.9 Résultats sur les matrices non carrées . . . 67

5.10 Résolution des systèmes à matrices non carrées . . . 68

5.11 Conclusion . . . 72

5.12 Exercices . . . 73

6 Méthodes indirectes de résolution des systèmes linéairesAx=b 75 6.1 Introduction . . . 75

6.2 Généralités et définitions . . . 76

6.3 Description des méthodes classiques . . . 78

6.3.1 Méthode de Jacobi . . . 78

6.3.2 Méthode de Gauss-Seidel . . . 80

6.3.3 Méthode de relaxation . . . 82

6.4 Comparaison des méthodes classiques . . . 85

6.4.1 Comparaison des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel . . . 85

6.4.2 Comparaison des méthodes de Jacobi et de relaxation . . . . 86

6.5 Méthodes semi-itératives . . . 92

6.6 Décomposition des matrices positives . . . 93

6.6.1 Décomposition régulière des matrices . . . 94

6.7 Comparaison des méthodes classiques dans le cas des matrices po- sitives . . . 95

6.8 Complément bibliographique . . . 97

6.9 Exercices . . . 98

7 Analyse numérique des équations differentielles ordinaires (e.d.o) 106 7.1 Rappels sur les équations differentielles ordinaires (e.d.o) . . . 106

7.2 Systèmes linéaires . . . 107

7.3 Notions de stabilité . . . 108

7.4 Système d’équations aux differences linéaires avec coéfficients constants110 7.5 Méthodes numériques pour les problèmes de condition initiale . . . 111

7.5.1 Convergence . . . 112

7.5.2 Consistance . . . 112

7.5.3 Stabilité . . . 113

7.5.4 Méthode d’Euler . . . 114

7.5.5 Méthodes de Taylor dans le cas scalaire . . . 116

7.5.6 Méthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire . . . 117

7.5.7 Méthodes de Runge-Kutta explicites . . . 117

7.6 Applications . . . 122

7.7 Complément bibliographique . . . 134

7.8 Exercices . . . 136

7.9 Examen d’Analyse Numérique Session de juin . . . 140

7.10 Examen Analyse Numérique Session de juin (rattrapage ) . . . 142

7.11 Corrigé( Session de Juin) . . . 142

Table des figures

2.1 la solution estx =1.3652 . . . 21

2.2 f(1).f(2)< 0 . . . 23

2.3 x=2.7133 . . . 24

3.1 Interpolation de Newton . . . 33

3.2 Interpolation de Lagrange . . . 36

4.1 Approximation par des rectangles à gauche . . . 41

4.2 Approximation par des rectangles à droite . . . 42

4.3 Approximation par des rectangles médians . . . 43

7.1 Convergenceλ=4.5,2_cyclesλ=6 . . . 124

7.2 4_cyclesλ=6.5,Chaosλ= 7 . . . 124

7.3 λ=3.5 ,γ=2-λ=5.5 ,γ =2.5 . . . 125

7.4 SIR à deux populations . . . 126

7.5 Convergence∆t=0.01, Convergence oscillatoire∆t =0.018 . . . . 128

7.6 Oscillation∆t=0.027 . . . 128

7.7 Convergence-Oscillation . . . 129

7.8 Schéma de transmission . . . 129

7.9 . . . 132

7.10 Effet de l’effort physique . . . 134

Chapitre 1

RAPPELS

1.1 IDENTITES ALGEBRIQUES :

X (a+b)² =a²+2ab+b² X (a−b)² =a²−2ab+b² X a²−b² = (a−b(a+b)

X (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ X a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) X a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

X (a+b)⁴ =a⁴+4a³b²+6a²b²+4ab³+b⁴

X (a+b)ⁿ =aⁿ+C_n¹aⁿ⁻¹b+...+C^k_na^n−kb^k+...+bⁿ

·

avec C^k_n= ^n!

k!(n−k)!

¸

X 1+2+3+...+ (n−1) +n= ⁿ(n+1) 2

X aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+....+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹

X a^2m+1+b^2m+1= (a+b)(a^2m−a^2m−1b+....−ab^2m−1+b^2m) X Cas particuliers (a=1) 1−xⁿ⁺¹= (1−x)(1+x+x²+...+xⁿ)

1.2 TRIGONOMETRIE :

1.2.1 valeurs usuelles des fonctions trigonométriques : 1.2.2 Périodes et symétries :

X sin(x+2π) =sinx X sin(x+π) =−sinx

θ sinθ cosθ tgθ cotgθ

0 = 0^◦ 0 1 0 -

π

6 =30^◦ 1/2 √

3/2 √

3/3 √ 3 π

4 =45^◦ √

2/2 √

2/2 1 1

π

3 =60^◦ √

3/2 1/2 √

3 √

3/3 π

2 =90^◦ 1 0 - 0

X sin(x+ ^π

2) =cosx X sin(−x) =−sinx X sin(^π

2 −x) =cosx X cos(x+2π) =cosx X cos(x+π) =−cosx X cos(x+ ^π

2) = −sinx X cos(−x) =cosx X cos(^π

2 −x) = sinx X tg(x+2π) =tgx X tg(x+π) =tgx X tg(x+^π

2) =−cotgx X tg(−x) =−tgx X tg(^π

2 −x) =cotgx X ch(x) = ^ex+e^−x

2 X sh(x) = ^ex−e^−x

2 X th(x) = ^sh(x)

ch(x) X coth(x) = ^ch(x)

sh(x)

1.2.3 Formules trigonométriques X cos(nπ) = (−1)ⁿ

X sin²(^nπ

2 ) = ¹+ (−1)ⁿ⁺¹ 2

X cos(x+y) =cosxcosy−sinxsiny X cos(x−y) =cosxcosy+sinxsiny X sin(x+y) =sinxcosy+cosxsiny X sin(x−y) =sinxcosy−cosx siny X tg(x+y) = ^tgx+tgy

1−tgxtgy X tg(x−y) = ^tgx−tgy 1+tgxtgy X cos(2x) =cos²x−sin²x

=2cos²x−1

=1−2sin²x X sin(2x) =2 sinxcosx X tg(2x) = ^2tgx

1−tg²x

1.3 DEVELOPPEMENTS LIMITES

X sin(x) =x− ^x3 3! + ^x5

5! +...+ (−1)^{p x2p+1}

(2p+1)!+o(x^2p+1) X cos(x) =1− ^x2

2! +^x4

4! +...+ (−1)^{p x2p}

(2p)!+o(x^2p) X tan(x) =x+x³+2x⁵

15+o(x⁶) X sh(x) =x+ ^x3

3! + ^x5

5! +...+ ^x2p+1

(2p+1)!+o(x^2p+1) X ch(x) =1+ ^x2

2! + ^x4

4! +...+ ^x2p

2p!+o(x^2p) X th(x) =x−^x3

3! + ^2x5

5! +o(x⁶) X ¹

(1−x) =1+x+...+xⁿ+o(xⁿ) X ¹

(1+x) =1−x+...+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ) X ln(1+x) =x− ^x2

2 +...+ (−1)^n+1xn

n +o(xⁿ) X ln(1−x) =−x− ^x2

2 −...− ^xn

n +o(xⁿ) X exp(x) =1+x+ ^x2

2! +...+ ^xn

n! +o(xⁿ)

X (1+x)^α = 1+αx+^α(α−1)

2 x²+· · ·+^α(α−1)(α−2.)· · ·(α−n+1)xⁿ

n! +

o(xⁿ)

X arctan(x) =x− ^x3

3 +...+ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

(2n+1) +o(x²ⁿ⁺¹) X arcsin(x) =x³+ ^x3

2×3+ ¹×3 2²×2!×^x5

5 +....+¹×3× · · · ×(2n−1)

2ⁿn! × ^x2n+1 2n+1+ o(x²ⁿ⁺¹)

1.4 INTEGRATION

1) Z

udv =uv−

Z vdv 2)

Z

aⁿdu= ^au

lna+c,a6=1,a >0 3)

Z

cosudu= sinu+c 4)

Z

sinudu =−cosu+c 5)

Z

(ax+b)ⁿdx= (ax+b) a(n+1)

n+1

+c,n6=1 6)

Z

(ax+b)⁻¹dx= ¹

a ln|ax+b|+c 7)

Z

x(ax+b)ⁿdx= (ax+b)ⁿ⁺¹

a² [^ax+b n+2 − ^b

ax+b] +c 8)

Z

x(ax+b)⁻¹dx= ^x a − ^b

a² ln|ax+b|+c 9)

Z

x(ax+b)⁻²dx= ¹

a²[ln|ax+b|+ ^b

ax+b] +c 10)

Z dx

x(ax+b) = ¹

bln| ^x

ax+b|+c 11)

Z

(√

ax+b)ⁿdx= ² a

³√ ax+b

´_n+2

n+2 +c,n =−2 12)

Z √ ax+b

x dx= 2√

ax+b+b

Z x

x√ ax+b 13)(a)

Z dx

x√

ax+b = √²

−btan⁻¹

rax+b

−b +c,b<0 (b)

Z dx

x√

ax+b = √¹ bln|

√ax+b−√

√ b

ax+b+√

b|+c,b>0 14)

Z √ ax+b

x² dx= −

√ax+b

x + ^a

2

Z dx

x√

ax+b+c 15)

Z x

x^2√ax+b =−

√ax+b dx − ^a

2b

Z dx

x√

ax+b+c 16)

Z dx

a²+b² = ¹

a tan⁻¹ x a +c

17)

Z dx

(a²+x²)² = ^x

2a²(a²+x²)+ ¹

2a³ tan⁻¹ x a +c 18)

Z dx

a²−x² = ¹

2aln|^x+a x−a|+c 19)

Z dx

(a²−x²)² = ^x

2a²(a²−x²)+ ¹ 2a²

Z dx a²−x² 20)

Z dx

√a²+x² =sinh⁻¹ x

a +c=ln|x+^pa²+x²|+c 21)

Z p

a²+x²dx= ^x 2

pa²+x²+ ^a2

2 sinh⁻¹ x a +c 22)

Z x²p

a²+x²dx= ^x(a²+2x²)√ a²+x²

8 − ^a4

8 sinh⁻¹ x a +c 23)

Z √ a²+x²

x dx=^pa²+x²−asinh⁻¹|^a x|+c 24)

Z √ a²+x²

x² dx=sinh⁻¹ x a −

√a²+x²

x +c

25)

Z x²

√a²+x²dx=−^a2

2 sinh⁻¹ x a + ^x

√a²+x²

2 +c

26)

Z dx

x√

a²+x² = −¹

aln|^a+√ a²+x²

x |+c

27)

Z dx

x²√

a²+x² = −

√a²+x² a²x +c 28)

Z dx

√a²−x² =sin⁻¹ x a +c 29)

Z p

a²−x²dx= ^x 2

pa²−x²+ ^a2

2 sin⁻¹ x a +c 30)

Z x²p

a²−x²dx= ^a4 8 sin⁻¹ 31)

Z √ a²−x²

x dx=^pa²−x²−aln|^a+√ a²−x²

x |+c

32) Z √

a²−x²

x² dx=−sin⁻¹ x a −

√a²−x²

x +c

33)

Z x²

√a²−x²dx= ^a2

2 sin⁻¹ x a − ¹

2xp

a²−x²+c 34)

Z dx

x√

a²−x²dx= −1

a ln|^a+√ a²−x²

x |+c

35)

Z dx

x²√

a²−x²dx= −√ a²−x² a^2x +c 36)

Z dx

√x²−a²dx=cosh⁻¹ x

a +c=ln|x+^px²−a²|+c 37)

Z p

x²−a²dx= ^x 2

px²−a²− ^a2

2 cosh⁻¹ x a +c 38)

Z

(^px²−a²)ⁿdx= ^x(√

x²−a²)ⁿⁿ

n+1 − ^na2 n+1

Z

(^px²−a²)ⁿ⁻²dx,n6=−1

39)

Z dx

(√

x²−a²)^ndx= ^x(√

x²−a²)ⁿ⁻²

(2−n)a² − ⁿ−3 (n−2)a²

Z dx

(√

x²−a²)^n−2dx 40)

Z

x(^px²−a²)ⁿdx= (√

x²−a²)ⁿ⁺²

(2−n)a² +c,n6=−2 41)

Z x²p

x²−a²dx= ^x

8(2x²−a²)^px²−a²−^a4

8 cosh⁻¹ x a +c 44)

Z x²

√x²−a²dx= ^a2

2 cosh⁻¹ x a + ^x

2

px²−a²+c

45)

Z dx

x√

x²−a² = ¹

a sec⁻¹|^x

a|+c= ¹

acos⁻¹|^a x|+c 46)

Z dx

x²√

x²−a² =

√x²−a² a²x +c 47)

Z dx

x√

2ax−x² =sin⁻¹(^x−a a ) +c 48)

Z p

2ax−x²dx= ^x−a 2

p2ax−x²+ ^a2

2 sin⁻¹(^x−a a ) +c 49)

Z

(^p2ax−x²)ⁿdx= (x−a)(√

2ax−x²)ⁿ

n+1 + ^na2

n+1 Z

(^p2ax−x²)ⁿ⁻²dx 50)

Z dx

(√

2ax−x²)ⁿ = (x−a)(√

2ax−x²)²⁻ⁿ

(n−2)a² + (n−3) (n−2)a²

Z dx

(√

2ax−x²)ⁿ⁻² 51)

Z xp

2ax−x²dx= (x+a)(2x−3a)√

2ax−x²

6 + ^a3

2 sin⁻¹ x−a a +c 52)

Z √

2ax−x²

x dx=^p2ax−x²+asin⁻¹ x−a a +c 53)

Z √

2ax−x²

x² dx=−2

r2a−x

x −sin⁻¹(^x−a a ) +c 54)

Z xdx

√2ax−x² = asin⁻¹x−a

a −^p2ax−x²+c 55)

Z dx

x√

2ax−x² =−¹ a

r2a−x x +c 56)

Z

sinaxdx= −¹

acosax+c 57)

Z

cosaxdx= ¹

asinax+c 58)

Z

sin²axdx= ^x

2− ^{sin 2ax} 4a +c 59)

Z

cos²axdx= ^x

2 + ^{sin 2ax} 4a +c 60)

Z

sinⁿaxdx= −sinⁿ⁻¹axcosax

na +ⁿ−1

n Z

sinⁿ⁻²axdx 61)

Z

cosⁿaxdx= ^cosn

−1axsinax

na + ⁿ−1

n Z

cosⁿ⁻²axdx 62)(a)

Z

sinaxcosbxdx=−^cos(a+b)x

2(a−b) −^sin(a+b)x 2(a+b) ^,a

2 6=b²

(b) Z

sinaxsinbxdx=−^sin(a−b)x

2(a−b) −^sin(a+b)x 2(a+b) ^,a

2 6=b² (c)

Z

cosaxcosbxdx=−^sin(a−b)x

2(a−b) +^sin(a+b)x 2(a+b) ^,a

2 6=b² 63)

Z

sinaxcosaxdx=−^{cos 2ax} 4a +c 64)

Z

sinⁿaxcosaxdx= ^sin

n+1ax

(n+1)a +c,n6= −1 65.

Z cosax

sinaxdx= ¹

aln|sinax|+C 66.

Z

cosⁿaxsinax dx=−^cosn+1ax

(n+1)a +C, n6=−1 67.

Z sinⁿax

cos^maxdx= −¹

aln|cosax|+C 68.

Z

sinⁿaxcos^max dx = ^sin

n−1axcos^m+1ax

a(m+n) + ⁿ−1 m+n

Z

sinⁿ⁻²axcos^max dx, n6=−m(si n=-m ,utiliser N^◦.86)

69.

Z

sinⁿaxcos^max dx = −^sinn

+1axcos^m−1ax

a(m+n) + ^m−1 m+n

Z

sinⁿaxcos^m−2ax dx,

n6=−m(si m=-n ,utiliser N^◦.87) 70.

Z dx

b+csinax = −2 a√

b²−c² tan[

rb−c b+ctan(^π

4 −^ax

2 )] +C b² >c² 71.

Z dx

b+csinax = −1 a√

c²−b² ln|^c+bsinax+√

c²−b²cosax

b+csinax |+C, b² <c² 72.

Z dx

1+sinax = −¹ atan(^π

4 − ^ax 2 ) +C 73.

Z dx

1−sinax = ¹ atan(^π

4 + ^ax 2 ) +C 74.

Z dx

b+ccosax = −2 a√

b²−c²tan⁻¹[

rb−c b+ctanax

2 ] +C, b² >c² 75.

Z dx

b+ccosax = −1 a√

c²−b²ln|^c+bcosax+√

c²−b²sinax

b+ccosax |+C, b²<c² 76.

Z dx

1+cosax = ¹ atanax

2 +C 77.

Z dx

1−cosax =−¹ a cotax

2 +C 78.

Z

xsinax dx= ¹

a² sinax− ^x

a cosax+C 79.

Z

xcosax dx= ¹

a² cosax+^x

a sinax+C 80.

Z

xⁿsinax dx=−^xn

a cosax+ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹cosax dx 81.

Z

xⁿcosax dx= ^xn

a sinax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹sinax dx

82.

Z

tanax dx= ¹

aln|secax|+C 83.

Z

cotax dx= ¹

a ln|sinax|+C 84.

Z

tan²ax dx= ¹

atanax−x+C 85.

Z

cot²ax dx= −¹

a cotax dx−x−C 86.

Z

tanⁿax dx= ^tann−1ax a(n−1) −

Z

tanⁿ⁻²ax dx, n6=1 87.

Z

cotⁿax dx=−^cotn−1ax a(n−1) −

Z

cotⁿ⁻²ax dx, n6=1 88.

Z

arcsinax dx=xarcsinax+¹ a

p1−a²x²+C 89.

Z

arccosax dx=xarccosax− ¹ a

p1−a²x²+C 90.

Z

arctanax dx=xarctanax− ¹

2aln(1+a²x²) +C 91.

Z

xⁿarcsinax dx= ^xn+1

n+1arcsinax− ^a n+1

Z xⁿ⁺¹

√1−a²x²dx, n 6=−1 92.

Z

xⁿarccosax dx= ^xn+1

n+1arccosax+ ^a n+1

Z xⁿ⁺¹

√1−a²x²dx, n6=−1 93.

Z

xⁿarctanax dx= ^xn+1

n+1 arctanax− ^a n+1

Z xⁿ⁺¹

1+a²x²dx, n6=−1 94.

Z

e^axdx= ¹

ae^ax+C 95.

Z

b^axdx= ¹ a

b^ax

lnb+C, b> 0 ,b6= 1 96.

Z

xe^axdx= ^eax

a²(ax−1) +C 97.

Z

xⁿe^axdx= ¹

axⁿe^ax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹e^axdx 98.

Z

xⁿb^axdx= ^xnbax alnb− ⁿ

alnb Z

xⁿ⁻¹b^axdx, b> 0 ,b6= 1 99.

Z

e^axsinbx dx= ^eax

a²+b²(asinbx−bcosbx) +c 100.

Z

e^axcosbx dx= ^eax

a²+b²(acosbx+bsinbx) +c 101.

Z

lnax dx=xlnax−x+C 102.

Z

xⁿlnax dx= ^xn+1

n+1lnax− ^xn+1

(n+1)² +C, n6=−1 103.

Z

x⁻¹lnax dx= ¹

2(lnax)²+C 104.

Z dx

xlnax =ln|lnax|+C 105.

Z

sinhax dx= ¹

acoshax+C

106.

Z

coshax dx= ¹

a sinhax+C 107.

Z

sinh²ax dx= ^{sinh 2ax} 4a − ^x

2 +c 108.

Z

cos²ax dx= ^{sinh 2ax} 4a + ^x

2 +c 109.

Z

sinhⁿax dx= ^sinh

n−1axcoshax

na −ⁿ−1

n Z

sinhⁿ⁻²ax dx, n6=0 110.

Z

coshⁿax dx= ^cosh

n−1axsinhax

na +ⁿ−1

n Z

cosⁿ⁻²ax dx, n6=0 111.

Z

xsinhax dx= ^x

a coshax− ¹

a² sinhax+c 112.

Z

xcoshax dx= ^x

a sinhax− ¹

a² coshax+c 113.

Z

xⁿsinax dx= ^xn

a coshax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹cosax dx 114.

Z

xⁿcoshax dx= ^xn

a sinhax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹sinhax dx 115.

Z

tanhax dx= ¹

a ln(coshax) +C 116.

Z

cothax dx= ¹

aln|sinhax|+C 117.

Z

tanh²ax dx=x−¹

a tanhax+C 118.

Z

coth²ax dx= x− ¹

acothax+C 119.

Z

tanhⁿax dx= −^tanh

n−1ax (n−1)a +

Z

tanhⁿ⁻²ax dx n6=1 120.

Z

cothⁿax dx=−^coth

n−1ax (n−1)a +

Z

cothⁿ⁻²ax dx n6=1 121.

Z

e^axsinhbx dx= ^eax 2 [ ^ebx

a+b− ^e−bx

a−b] +c, a²6=b² 122.

Z

e^axcoshbx dx= ^eax 2 [ ^ebx

a+b+ ^e−bx

a−b] +c, a²6=b² 123.

Z _∞

0 xⁿ⁻¹e^−xdx=R(n) = (n−1)!, n> 0.

124.

Z _∞

0 e^−ax2dx= ¹ 2

rπ

a, a>0 125.

Z π 2

0 sinⁿx dx=

Z π 2

0 cosⁿx dx=







2·4·6· · ·(n−1)

3·5·7· · ·n si n enier impaire≥3 1·3·4· · ·(n−1)

2·4·6· · ·n ·^π

2 si n entier paire ≥2

Chapitre 2

Approximations des solutions de l’équation f ( x ) = 0

2.1 Rappels et notations

Définition 2.1.1. :

Soit kun réel strictement positif etgune fonction définie sur un intervalle[a,b]de R à valeurs dansR. La fonctiong est dite Lipschitzienne de rapport dek(encore ditek−Lipschitzienne) si pour tousxet yde[a,b]on a :|g(x)−g(y)| ≤k|x−y|. Définition 2.1.2. :

Soitg une fonctionk−Lipschitzienne sur[a,b]. La fonctiongest dite contractante de rapport de contractionksik∈]0, 1[.

Exemple 2.1.1. :

La fonctiong(x) =sin(x)est Lipschitzienne de rappportk=1 Exercice 2.1.1. :

Montrer que la La fonction g(x) = ¹

3cos(x) est Lipschitzienne et déterminer le rappportk

Définition 2.1.3. :

Soitgune fonction définie sur un intervalle[a,b]deRà valeurs dansRla fonction gest dite uniformément continue sur[a,b]si :

∀ε≥0,∃ηtel que∀xetyde[a,b]vérifiant|y−x| ≤η, on ait|g(y)−g(x)| ≤ε Remarque 2.1.1. :

Toute fonction Lipschitzienne sur[a,b]est unfiormément continue sur[a,b].

Théorème 2.1.1(des Valeurs Intermédiaires).

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné[a,b]deR.

Alors pour tout réelθappartenant à f([a,b]), il existe un réel c∈[a,b]tel queθ= f(c). Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique.

Théorème 2.1.2(des Valeurs Intermédiaires cas particulierθ=0).

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle[a,b]et vérifiant f(a)× f(b)≤ 0, alors il existe un réel c∈[a,b]tel que f(c) =0.

Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique.

Théorème 2.1.3(de Rolle).

Soit f une fonction définie sur[a,b] et à valeurs dans R. Si f est continue sur [a,b]et dérivable sur]a,b[, alors il existe un réel c∈]a,b[tel que : f⁰(c) =0.

Théorème 2.1.4(des Accroissements Finis).

Soit f une fonction définie sur [a,b] et à valeurs dans R Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur]a,b[, alors il existe un réel c∈]a,b[tel que :

f(b)− f(a) = (b−a)× f⁰(c). Théorème 2.1.5(Formule de Taylor).

Soit f une fonction de classe Cⁿsur[a,b]dont la dérivée f⁽ⁿ⁺¹⁾est définie sur]a,b[, alors il existe un réel c∈]a,b[ tel que :

f(b) = f(a) + (b−a)f⁰(a) +...1

n!(b−a)ⁿf⁽ⁿ⁾(a) + ¹

(n+1)!(b−a)ⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(c). Théorème 2.1.6(Formule de MacLaurin).

Soit f une fonction de classe Cⁿsur un intervalle I contenant0et telle que f⁽ⁿ⁾soit déri- vable à l’intrérieur de I . Alors∀x ∈ I, il existe un réel c strictement compris entre0et x tel que :

f(x) = f(0) +x f⁽¹⁾(0) + ¹

2!x²f⁰⁰(0) +... 1

n!xⁿf⁽ⁿ⁾(0) + ¹

(n+1)!xⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(c). Définition 2.1.4. :

Soit θun réel et f une fonction définie sur un intervalleI deRet à valeurs dansR. θest dit zéro de f si f(θ) =0

Définition 2.1.5. :

Soit θun réel etgune fonction définie sur un intervalleIdeRet à valeurs dansR. θest dit point fixe degsig(θ) =θ.

Lemme 2.1.1. :

Soit I un intervalle deRet f une fonction définie sur I et à valeurs dansR.

Alors la recherche des zéros de f est équivalente à la recherche des points fixes de la fonction g définie sur I par : g(x) =x− f(x)

Preuve :

En effet, si f(θ ) = 0 alorsg(θ) = θ− f(θ) =θ et inversement, sig(θ) = θalors f(θ) =θ−g(θ) =θ−θ=0.

Lemme 2.1.2. :

Soit g une fonction de classe C¹ sur[a,b]. S’il existe un réel k ≥ 0tel que :|g⁰(x)| ≤ k

∀x∈[a,b]alors la fonction g est k−Lipschitzienne sur[a,b]. Preuve :

Il suffit d’appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction gsur [x,y] avecx≤ y.

Donc il existec∈]x,y[tel que :g(y)−g(x) = (y−x)g⁰(c)et comme on a :|g⁰(c)| ≤ k, il s’ensuit que :|g(y)−g(x)| ≤k|x−y|

Définition 2.1.6. :

Soit(u_n)une suite admettant pour limiteθ.

On appelle erreur de lan^emeétape le réel défini pare_n=u_n−θ Définition 2.1.7. :

On dit que la convergence de(u_n)versθest d’orderpsi : lim_n→∞|e_n+1|

|e_n|^p =C où petCsont des réels>0 Sip=1 (avecC<1) la convergence est dite linéaire Sip=2 on dit que la convergence est quadratique.

Remarque 2.1.2. :

L’ordre de convergencepn’est pas nécessairement un entier.

Définition 2.1.8. :

On dira que le réelδest une approximation du réelαavec la precisionεsi :

|α−δ| ≤ε.

En particulier, on dira que le termeu_n0 d’une suite(u_n)approche la limiteθavec précisionεsi|u_n0 −θ| ≤ε.

Exemple 2.1.2. : la suite(u_n) = (¹

n)tend vers zéro quandntend vers l’infini.

Si on veut une précisionε = 10⁻¹ , il suffit de prendre n₀ tel que 1

n₀ ≤ 10⁻¹ou

encoren₀ ≥10

mais si on exige une precision de 10⁻⁵ alors on doit prendren₀ tel que 1

n₀ ≤ 10⁻⁵ c.a.dn₀ ≥10⁵

Remarque 2.1.3. :

Il est important de saisir la notion de vitesse de convergence. Par exemple, les suites (¹

n),( ¹ n²),(¹

n⁴)convergent vers zéro quandntend vers l’infini mais la vitesse de convergence diffère d’une suite à l’autre.

Théorème 2.1.7. :

Soit g une fonction k−contractante sur [a,b] et à valeurs dans [a,b] , et (u_n) la suite récurrente définie par :

u₀ ∈[a,b], u₀donné et u_n+1= g(u_n)pour tout n≥0 Alors :

1- la suite(u_n)converge vers un réelθ 2- la fonction g admet un point fixe unique 3- Pour tout n∈N^∗ on a :|u_n−θ| ≤ ^kn

1−k|u₁−u₀| Preuve :

Tout d’abord, commeu₀ ∈ [a,b]et queg: [a,b]→[a,b], on au_n ∈ [a,b]pour tout n∈N.

Ensuite, le fait quegsoit une fonctionk−contractante implique que :

|u_n+1−u_n|= |g(u_n)−g(u_n−1)| ≤k|u_n−u_n−1| pour tout n≥1.

Par conséquent on obtient :

|u_n+1−u_n| ≤kⁿ|u₁−u₀| pour tout n≥0 (2.1.1) A l’aide de l’inégalité 2.1.1 on montre que la suite(u_n)vérifie :

|u_n+p−u_n| ≤ ¹

1−kkⁿ|u₁−u₀| En effet : Pour tousp∈N^∗ etn∈Non a :

|u_n+p−u_n| ≤ |u_n+p−u_n+p−1|+|u_n+p−1−u_n+p−2|+...|u_n+2−u_n+1|+|u_n+1−u_n|

≤ k^n+p−1|u₁−u₀|+k^n+p−2|u₁−u₀|..+kⁿ⁺¹|u₁−u₀|+kⁿ|u₁−u₀|

≤ ¹−k^p

1−k kⁿ|u₁−u₀|

≤ ¹

1−kkⁿ|u₁−u₀| (2)

L’inégalité(2)nous permet de prouver que la suite(u_n)est de Cauchy. En effet : Commekⁿ−−−−−→

n−→+∞ 0 alors pour toutε> 0, il existen₀tel que pour toutn≥ n₀on ait : kⁿ≤ ¹−k

|u₁−u₀|^ε et par suite : 1

1−kkⁿ|u₁−u₀| ≤ε Donc pour toutε>0, il existen₀tel que pour toutn≥ n₀on ait :

|u_n+p−u_n| ≤kⁿ 1−k

|u₁−u₀| ≤ε

La suite(u_n)est donc de Cauchy et par conséquent elle converge vers une limiteθ.

Comme la fonctiongest continue sur[a,b], queu_n+1 =g(u_n)et que u_n∈[a,b] ∀n∈N

alors on a : lim

n→∞u_n=θ= g(θ) c-a-d : θest un point fixe deg Unicité du point fixe:

Supposons quegadmet un autre point fixeαdifferent deθalors on a :

|g(α)−g(θ)|= |α−θ| ≤k|α−θ|ou encore(1−k)|α−θ| ≤0 mais commek< 1, alorsα=θ

Enfin, en faisant tendrepvers l’infini dans l’inégalité|u_n+p−u_n| ≤ ^kn

1−k|u₁−u₀|, on obtient :

|θ−u_n| ≤ ^kn

1−k|u₁−u₀| ∀n∈N^∗ Théorème 2.1.8(condition de convergence locale).

Soit g une fonction de classe C¹au voisinageθ. Si g(θ) =θet|g⁰(θ)| ≺1, alors il existeεstrictement positif tel que :

∀u₀ ∈ I_ε = [θ−ε,θ+ε], la suite (u_n) = (g(u_n−1))est définie et converge versθ , l’unique solution de g(x) =x dans I_ε

Preuve :

Puisquegest de classeC¹au voisinage deθet que|g⁰(θ)|<1 on a :|g⁰(x)|< 1 ∀xau voisinage deθ.

Par consequent, il existeεstrictement positif tel que :

∀x∈ I_ε, |g⁰(x)|<1 et puisqueg⁰est continue sur le fermé borné I_ε, on déduit qu’il existek ∈]0, 1[tel que :

∀x ∈ I_ε, |g⁰(x)| ≤k<1

Pour appliquer le théorème , il suffit de vérifier que : g(I_ε)⊂ I_ε. Or, par application du théorème des accroissements finis on a :

∀x∈ I_ε,|g(x)−θ| ≤ |x−θ| Remarque 2.1.4. :