Fonctions circulaires STI2D 1
Fonctions circulaires
I. Cercle trigonométrique ; mesures d’un angle orienté Activité p 48
A. Le cercle trigonométrique Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗)
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1 et sur lequel on choisit :
le sens direct ou sens positif, qui est contraire au sens des aiguilles d’une montre ;
le sens indirect ou sens négatif qui est le sens des aiguilles d’une montre.
B. Le radian Définition
Sur un cercle trigonométrique, l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1, mesure 1 radian (notation : 1 rad)
𝝅 radians correspond à 180°
Exemples :
Un angle plat mesure 𝝅 radians Un angle droit mesure 𝝅
𝟐 radians
C. Mesures d’un angle orienté Définition
Sur un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle orienté est égale à la mesure de l’arc intercepté en respectant le sens : mesure positive dans le sens direct, mesure négative dans le sens indirect.
Remarque
Un angle orienté possède plusieurs mesures.
Exemples
L’angle orienté (𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗⃗) mesure 𝜋
2 radians. L’angle orienté (𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗) mesure −𝜋
2 radians.
L’angle orienté (𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗⃗) mesure −3𝜋
2 rad ; −7𝜋
2 rad ; 𝜋
2 rad ; 5𝜋
2 rad…
Voir exercice résolu 1 p 49 Applications n°1 – 2 p 49
Exercices n°1 à 4 p 59
Fonctions circulaires STI2D 2 II. Mesure principale d’un angle orienté
Activité p 48 A. Mesure principale
Définition
La mesure principale d’un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant à l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋]
Exemples :
L’angle orienté (𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗; 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗) a plusieurs mesures :3𝜋
2 dans le sens direct, −𝜋
2 dans le sens indirect ou encore 7𝜋
2, −5𝜋
2…. Sa mesure principale est −𝜋
2
L’angle orienté (𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗; 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗) a pour mesure principale −𝜋 B. Les mesures principales remarquables
Voir exercice résolu 2 p 51
Applications n°1 – 2 p 51
Exercices n°6 à 10 – 12 – 13 p 59 – 60
III. Cosinus et sinus d’un angle orienté
A. Définition du cosinus et du sinus d’un angle orienté Définition
Soit x une mesure de l’angle orienté (OI ;OM) où M est un point du cercle trigonométrique
Le cosinus de 𝒙, noté 𝒄𝒐𝒔 𝒙, est l’abscisse du point M.
Le sinus de 𝒙, noté 𝒔𝒊𝒏 𝒙, est l’ordonnée du point M.
Propriétés Pour tout x réel :
−𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝟏
−𝟏 ≤ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝟏
𝒄𝒐𝒔²(𝒙) + 𝒔𝒊𝒏²(𝒙) = 𝟏
𝑩 𝑨
Fonctions circulaires STI2D 3 B. Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
Activité p 48
Voir exercice résolu 3 p 53
Applications n°1 – 2 p 53 Exercices n°14 à 17 p 60
IV. Utilisation du cercle trigonométrique ; angles associés A. Cosinus et sinus d’angles associés
Voir exercices résolus 4 – 5 p 55
Applications n°1 – 2 p 55
Exercices n°18 à 28 p 60
Fonctions circulaires STI2D 4 B. Equations 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 et 𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒂
Propriété
Les solutions dans R de l’équation 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 sont 𝒙 = 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅
𝒙 = −𝒂 + 𝟐𝒌𝝅 où k est un entier relatif
Propriété
Les solutions dans R de l’équation 𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒂 sont 𝒙 = 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅
𝒙 = 𝝅 − 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅 où k est un entier relatif
Voir exercices résolus 6 – 7 p 57
Applications n°1 – 2 p 57 Exercices n°29 à 32 p 60
V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus Propriétés
Les fonctions 𝑥 ↦ cos 𝑥 et 𝑥 ↦ sin 𝑥sont périodiques de période 2𝜋 (les courbes représentatives sont inchangées par la translation de vecteur 2𝜋𝑖⃗)
Pour tout x réel, 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝟐𝝅) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 et 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝟐𝝅) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
La fonction 𝑥 ↦ cos 𝑥 est paire (la courbe représentative admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie)
Pour tout x réel, 𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
La fonction 𝑥 ↦ sin 𝑥 est impaire (la courbe représentative admet l’origine du repère pour centre de symétrie)
Pour tout x réel, 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙
On remarque que 𝐜𝐨𝐬( −𝝅
𝟐) = 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 𝐬𝐢𝐧( −𝝅
𝟐) = −𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 𝐜𝐨𝐬(−𝝅) = 𝐜𝐨𝐬(−𝝅 + 𝟐𝝅)
𝐬𝐢𝐧(−𝝅) = 𝐬𝐢𝐧(−𝝅 + 𝟐𝝅)
