Liste 8

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L.S.Marsa Elriadh

Liste 8

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths ^Exercices

1

Exercice 1:

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z² 2z + 2 = 0

2. Soit K, L, M les points d'affixes respectives : z_K = 1 + i ; z_L = 1  i ; z_M =  i ³.

Placer ces points dans le plan muni d'un repère orthonormal direct

1 2

e ,e )

(O ; (Unité graphique : 4 cm).

On complétera la figure dans les questions suivantes.

3. a) On appelle N le symétrique du point M par rapport au point L.

Vérifier que l'affixe z_N du point N est : 2 + i( ³ 2).

b) La rotation de centre O et d'angle ²



transforme le point M en le point A et le point N en le point C.

Déterminer les affixes respectives z_A et z_C des points A et C.

c) La translation de vecteur u

d'affixe 2i transforme le point M en le point D et le point N en le point B.

Déterminer les affixes respectives zD et zB des points D et B.

4. a) Montrer que le point K est le milieu des segments [DB] et [AC].

b) Montrer que : i z z

z z

K B

K

C 



 .

c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 2:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct^(O^;^e₁^,^e₂⁾, unité graphique : 3 cm.

1. Placer les points B et D d'affixes respectives zB = ³ + i, zD = ³  i.

On complètera la figure dans les questions suivantes.

2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.

3. Soit E le point d'affixe z_E = ³

i

e



.

a) Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle

2

. Déterminer l'affixe zA du point A et vérifier que A est le milieu du segment [OB].

b) Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur 2e2. Déterminer l'affixe zC du point C.

4. Calculer

A B

A C

z z



 et déterminer un argument de ce nombre complexe.

5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].

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2

Exercice 3:

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal u,v)

;

(O , (unité graphique : 2 cm), on note B et C les points d'affixes respectives  i et

2 . 3i

Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M´ d'affixe z´

telle que ^e³



z. ⁱ '

z .

1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme exponentielle (reⁱ^).

2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.

3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images

respectives B´ et C´ par la transformation R des points B et C. Placer B´

et C´ dans le plan P.

Que peut-on dire du point B´ ?

Que peut-on dire des points B´ et C´ relativement à l'axe des abscisses ? 4. a) En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z

telle que ^.

2 3 i z

i

z   

b) Déterminer l'image D´ par la transformation R de l'ensemble D.

Exercice 4:

On considère le plan complexe P muni du repère orthonormal direct (O ;e1,e2).

1. Soit le polynôme P tel que, pour tout z de C, P(z) = z³ 4z² + 6z  4.

Déterminer les réels u et v tels que P(z) = (z  2)(z² + uz + v) et résoudre dans C l'équation P(z) = 0.

2. On note  la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et ك le conjugué de .

Soit A, B et C les points d'affixes respectives , ك et 2, I le milieu de [AB]

et r la rotation de centre O et d'angle

2

.

Déterminer l'affixe du point r(B) et en déduire la nature du quadrilatère OACB.

3. Soit f l'application de P privé du point C dans P qui au point M d'affixe z (z  2) associe le point M' d'affixe z' définie par : z' =

2 ) 1 (





 z

i

z .

a) Déterminer f(A) et f(B).

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Déterminer le point E tel que f(E) = C. (0,5 point)

b) Quelles distances représentent les réels | z  (1 + i) | et | z  2 | ? En déduire que si M appartient à la médiatrice de [AC], M' appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

Exercice 5:

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; ^u,^v) unité graphique : 4 cm, on considère les points A, B et C d'affixes

respectives a, b, et c telles que :a = 1  i, b = 1 + i, c =  1 + i =  a.

On note  le cercle de diamètre [AB].

1. a) Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle .

b) Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c) Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B.

Déterminer l'angle de r et le point r (B ), image de B par r.

d) Déterminer l'image ' du cercle  par r ; placer ' sur la figure.

2. On considère un nombre ]0 ; 2[ distinct de  ; on note M le point d'affixe z 1 ie^ⁱ .

On désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.

a) Montrer que M est un point de  distinct de A et de B.

b) Exprimer z' en fonction de z.

Calculer en fonction de  les affixes u et u' des vecteurs ^BM^et^BM^' c) Etablir la relation u = u' tan

2

 .

d) Prouver que les points B, M et M' sont alignés.

Placer sur la figure un point M et son transformé M'.

Exercice 6:

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, i,j)on donne les points A et B distincts d’affixes respectives z1 et z2, soit A’

l’image de A par r_(O,/2) et B’ l’image de B par r_(O,-/2)

1/exprimer les affixes z’₁ et z’₂ des points A’ et B’ en fonction de z₁ et z₂ 2/ quel est l’affixe du milieu I de [A’B’] ?

3/ quel est l’affixe du point H tel que OHAB ?

4/ déduire des questions précédentes que la médiane (OI) du triangle OA’B’ est une hauteur du triangle OAB et que OI=1/2AB

Exercice 7:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j) ; on désigne par A et K les points d’affixes respectives 1 et 1+i et par I et J les points d’affixes respectives i et –i

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1/ on désigne par  le cercle de centre O et de rayon 1 ; on considère sur ce cercle un point N distinct de I et J ; on note t une mesure de l’angle

) , (iON

a/ quelle est la nature du triangle INJ ?

b/ montrer que pour tout réel t /2 + k, kZ ; le nombre complexe e i

e i

it it



est imaginaire pur

dans la suite on désigne par =(A,1)

2/ soit r la rotation de centre O et d’angle /2 a/ tracer  et son image ’ par r

b/ soit M’=r(M), exprimer z’ l’affixe de M’ en fonction de z l’affixe de M c/ déterminer l’antécédent H de K par r

3/ dans cette question, M est un point quelconque du cercle  distinct de H et K.

on note  une mesure de l’angle (i,AM). Soit M₁=tAO(M), on désigne par z, z₁ et z’ les affixes respectives de M, M₁ et M’

a/ montrer que z1=z-1 ; en déduire z=1_e^i

b/ montrer que

e i e i i i z

i z

i i



 

 



) 1 (

) 1 ( '

c/ en déduire que M, K et M’ sont alignés

d/ donner alors une construction de M’ connaissant M.