E Systèmes électromécaniques

Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion Du Canton du Vaud

Systèmes électromécaniques

___________

Chapitre 01

R APPEL DE L ’ ÉLECTROMAGNÉTISME

E ^XERCICES

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices Page 1

1. CALCUL D’UN CIRCUIT MAGNÉTIQUE SIMPLE 1.1 DONNÉE

Soit le circuit magnétique de la Figure 1-1 traversé par un conducteur dans lequel circule un courant I. Chaque branche du circuit à une longueur moyenne lx et une section Sx.. De plus la branche 3 possède un entrefer de longueur δ.

I l₁

l₂

l₄

l₃ δ

S₄ S₁

S₂ S₃

S₃

Figure 1-1 : Circuit magnétique

Hypothèses :

Pas de flux de fuite, par d’effet de frange autour de l’entrefer La perméabilité relative du fer μr.

1.2 QUESTIONS

1.2.1 Déterminer le champ d’induction magnétique B dans chaque branche 1.2.2 Déterminer le champ d’induction magnétique dans l’entrefer

2. SPIRE EN COURT CIRCUIT 2.1 DONNÉE

Un anneau circulaire de rayon r tourne, à la vitesse angulaire ω constante autour d’un axe passant par son centre, dans un champ d’induction magnétique uniforme B. L’anneau est en cuivre et la résistance de la spire vaut R.

B

ω

n r

Figure 2-1 : Circuit magnétique (transformateur)

Hypothèse :

Le champ d’induction magnétique est uniforme dans l’espace Condition initiale.

Au temps t=0, l’anneau se trouve dans une position telle que le vecteur unité n est parallèle au vecteur B mais de sens opposé.

Définition

Le courant est considéré comme positif lorsqu’il circule dans l’anneau dans le sens anti- horaire.

2.2 QUESTION

2.2.1 Déterminer la valeur du courant circulant dans l’anneau en fonction du champ d’induction magnétique B, de la vitesse angulaire ω et du temps t.

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices Page 3

3. MODÈLE DU TRANSFORMATEUR 3.1 DONNÉE

Soit le circuit magnétique suivant :

n₁ spires u₁(t)

i₁(t)

n₂

spires ^u2(t) i₂(t)

noyau

Figure 3-1 : Circuit magnétique (transformateur) 3.2 QUESTIONS

3.2.1 Dessiner le schéma magnétique équivalent Hypothèse :

Perméabilité relative du fer infinie (μr=∞), flux de fuite nul, résistances électriques des bobinages nuls

3.2.2 Trouver une relation liant les courants circulant dans les bobines 1 (primaire) et 2 (secondaire).

3.2.3 Trouver une relation liant la tension d’entrée à la tension de sortie u₂=f(u₁).

3.2.4 A l’aide de sources commandées et de mesure de courant et de tension, trouver un modèle du transformateur

Hypothèse :

Perméabilité relative du fer finie, flux de fuite nul, résistances électriques des bobinages nuls 3.2.5 Que devient les relations entre les courants et tensions primaire et secondaire ? 3.2.6 Que devient le modèle du transformateur ?

3.2.7 Quelle condition est nécessaire sur la tension d’entrée en régime permanent ? 3.2.8 Ce montage est –il réversible, c’est-à-dire peut-on alimenter le secondaire et

observer le primaire en gardant les mêmes relations ?

4.2 QUESTIONS

4.1 DONNÉE

Le circuit magnétique suivant est muni d’un aimant permanent dont la caractéristique BH est donnée à la page suivante.

4. CIRCUIT MAGNÉTIQUE AVEC AIMANTS PERMANENTS

10mm

10mm

35mm

18mm

18mm

N S

50mm

Figure 4-1 : Circuit magnétique et aimant Hypothèse :

La perméabilité relative du circuit magnétique est infinie : μ_r =∞

4.2.1 Déterminer, pour une température de 20°C les valeurs caractéristiques de la droite de retour, soit μd, H₀, B^B₀.

4.2.2 Déterminer graphiquement puis calculer le point de fonctionnement de l’aimant {B^Ba,Ha} à 20°C pour la configuration du circuit magnétique donnée.

4.2.3 Calculer le champ d’induction magnétique B^Bδ dans l’entrefer.

4.2.4 Si l’aimant est sorti puis réinsérer dans le circuit magnétique peut-on observer une variation du champ d’induction magnétique dans l’entrefer B^Bδ On admet que cette opération se fait à une température de 20°C.

4.2.5 Quelle serait la valeur de l’entrefer optimum c’est à dire permettant d’avoir le produit B^BaHa de l’aimant maximum.

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 5

Figure 4-2 : Caractéristique BH de l’aimant

Material Remanence Coercivity Energy Density

max.

Continuous Temperature Material

Code

Br

typ

Br

min

HcB

typ

HcB

min

HcJ

typ

HcJ

min

(BH)max

typ325

(BH)max

min

Tmax 70°C 1.23T 1.12T 950 kA/m 765 kA/m 1200 kA/m 966 kA/m 292 KJ/m³ 214 KJ/m³

VACODYM

335 AP 12.3kG 11.2kG 11.9 kOe 9.6 kOe 15 kOe 12.1 kOe 37 MGOe 27 MGOe 160 ^oF

5. BILAN ÉNERGÉTIQUE 5.1 DONNÉE

Soit le circuit magnétique suivant

φ

l_fer

l_a

δ

lfer

l_a δ S_a Sδ

: : : : :

longueur de la partie fer longueur de l’aimant longueur de l’entrefer

surface normale de l’aimant traversée par le flux

surface normale de l’entrefer traversée par le flux

Figure 5-1 : Circuit magnétique déformable

Hypothèse :

Perméabilité relative du fer infinie (μ_r=∞), flux de fuite nul (tout le flux passe par l’entrefer δ), par de phénomène de frange.

La caractéristique de l’aimant est identique à celle de l’exercice 4 (Figure 4-2).

5.2 QUESTIONS

5.2.1 Par un calcul littéral, déterminer l’énergie magnétique confinée dans l’aimant en fonction des perméances Λ_i interne de l’aimant et Λ_δ d’entrefer.

5.2.2 Déterminer ensuite l’énergie magnétique dans l’entrefer.

On rappelle ici que W HdB dV. Il faut donc commencer par déterminer B

V B mag ⁼

∫ ∫

0

a et Ha

(point de fonctionnement de l’aimant), puis B_δ et H_δ.

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 1

1. CALCUL D’UN CIRCUIT MAGNÉTIQUE SIMPLE 1.2 CORRIGÉ

1.2.1 Déterminer le champ d’induction magnétique B dans chaque branche Loi d’ampère :

4 4 3 3 2

2 1

1l H l H H l H l

H

I = + + _δδ + + _1.1

Conservation du flux

3 4 3 3 2

2 1

1S B S B S B S B S

B = = _{δ δ} = = 1.2

Caractéristique des matériaux

4 0 4

3 0 3

0 2 0 2

1 0 1

H B

H B

H B

H B

H B

r r r r

μ μ

μ μ

μ μ μ

μ μ

δ δ

=

=

=

=

=

1.3

Champ d’induction magnétique dans chaque branche

1 4 0

4 3

0 3 0

2 0

2 1

0 1 1

4 0

1 4 1 3 0

1 3 1 0 1 1 2 0

1 2 1 1 0

1

4 0

4 3 0

3 0

2 0

2 1 0

1

1 S S l S

l S

S l S

l B I

B l S l S B S S B S l S B S l S B

B l B l

l B l B

I B

r r

r r

r r

r r

r r

r r

μ μ μ

μ μ

δ μ

μ μ

μ

μ μ μ

δ μ μ μ

μ μ

μ

μ μ μ

δ μ μ μ

μ μ

μ

δ δ δ

+ +

+ +

=

⇒

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

1.4

Plus généralement le champ d’induction magnétique dans la branche n

n r r

r r

n S

S l S

l S

S l S l

B I 1

4 0

4 3

0 3 0

2 0

2 1 0

1

μ μ μ

μ μ

δ μ

μ μ

μ ^{+ +} _δ ^{+ +}

= 1.5

1.2.2 Déterminer le champ d’induction magnétique dans l’entrefer Champ d’induction magnétique dans chaque branche

δ δ

δ

μ μ μ

μ μ

δ μ

μ μ

μ S ^S

l S

l S

S l S l B I

r r

r r

1

4 0

4 3

0 3 0

2 0

2 1

0

1 + + + +

= 1.6

2. SPIRE EN COURT CIRCUIT 2.2 CORRIGÉ

2.2.1 Valeur du courant dans l’anneau

Détermination de la valeur du courant dans l’anneau en fonction du champ d’induction magnétique B, de la vitesse angulaire ω et du temps t.

ϕ r

ϑ

ω v

E B dl x

y z

(+) (-) i ui

Court-circuit de la spire

Figure 2-1 : Circuit magnétique (transformateur)

Le système d’axes a été choisi de manière à ce que les composantes des vecteurs des grandeurs intervenant dans le calcul aient les valeurs suivantes

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

ϑ ϕ ω

ϑ ϕ ω

ϑ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϑ

ϕ ϕ

ϕ ω

ω

cos sin

sin sin

) sin(

cos cos

sin )

sin(

cos cos

sin ,

,

r r v

rd rd

rd

dl dl

dl dl

B B

0 0 0 0

0

2.1

Loi d’induction de Faraday

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

rd rd

rd

B r

r

d d

u

C C

i

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

⎟⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

⋅

×

−

=

⋅

=

∫

∫

∫

ϕ ϑ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϑ

ϕ ω

ϑ ϕ ω

π π 2

0 cos sin( )

cos sin 0

0

cos sin

sin sin

0 l B v l E

2.2

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 3

( )

r B R

i uⁱ ω π ω

sin

= 2

= 2.3

On voit donc que le courant circule dans un sens tel que le flux qu’il crée s’oppose à la variation de flux crée par le champ uniforme B dans la spire en mouvement.

Par exemple lorsque la spire est dans la de la Figure 2-1, la tension induite u_i est négative car

<0

=ωt

ϑ et par conséquent le courant circule dans le sens horaire. Le flux crée par ce courant est positif, il s’oppose donc à la variation de flux ∂φ ∂tqui elle est négative. Cette observation correspond à la loi de Lenz.

3. MODÈLE DU TRANSFORMATEUR 3.2 CORRIGÉ

3.2.1 Schéma magnétique équivalent.

Φ R_c

n₁i₁

n₂i₂

F_c

Figure 3-1 : Modèle électrique du transformateur 3.2.2 Relation liant les courant dans les bobines 1 et 2

Les FMM sont sommées car les courants i₁ et i₂ crées un champ d’induction magnétique dont le sens est le même

2 2 1

1 i n i

n ⋅ + ⋅

= Φ

⋅

ℜ 3.1

La FMM, F_c =ℜ⋅Φ est nulle car la perméabilité relative est infinie ^{ℜ =}

∫

L rSfer

μdl

2 2 1

0=n1⋅i +n ⋅i 3.2

3.2.3 Relation liant les tensions au primaire et secondaire Par la loi de Faraday, on a

dt n d t dt u

n d t

u₁()= ₁⋅ Φ ; ₂() = ₂⋅ Φ 3.3

Il est à noter que le flux est identique pour les deux bobinages, l'élimination du flux conduit à

2 2 1

1( ) ( )

n t u n

t u dt

dΦ = =

3.4 3.2.4 Modèle à l’aide de sources commandées

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 5

V

A

u₁ u₂

i₂ i₁

2 1 2i n

−n

1 1

2u

n n

Source de courant contrôlée en courant Source de tension

contrôlée en tension

n₁:n₂

2 2 1

1 u

n u = n

1 1 2

2 u

n u = n

2 1 2

1 i

n i =−n

1 2 1

2 i

n i =−n

Figure 3-2 : Modélisation du transformateur idéal 3.2.5 Inductance magnétisante

Dans le cas réel, la réluctance R du noyau magnétique est non nulle. On peut écrire les relations

dt t n d

t u et t i n t i n

t ( )

) ( )

( )

( )

( = ₁⋅₁ + ₂⋅ _{2 1} = ₁⋅ Φ

Φ

⋅

ℜ 3.5

l'élimination du flux Φ conduit à

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ⋅

ℜ ⋅

= ( ) ( )

)

( ₂

1 2 1

2 1

1 i t

n t n dt i

d t n

u 3.6

Cette équation est de la forme

dt t L di t

u _h ^h( )

)

1( = ⋅ 3.7

où

2 1 2 1

2 1

n i i n i

R L n

h h

⋅ +

=

=

3.8

L_h est l'inductance magnétisante et i_h le courant magnétisant rapportés au primaire du transformateur.

3.2.6 Modèle du transformateur

Le circuit équivalent est illustré à la Figure 3-3

Idéal n

: n

u₁ u₂

i₂ i₂

n₂ n₁

i₂ n₂ n₁ i₁+

L_h= n₁² R i₁

Figure 3-3 : Modèle du transformateur avec inductance magnétisante au primaire

L'existence du courant magnétisant entraîne un rapport des courants primaire et secondaire différent du rapport du nombre de spires.

3.2.7 Condition sur la tension au primaire en régime permanent

La tension primaire ne doit pas posséder de composante continue (DC). Dans le cas contraire, le courant dans l’inductance magnétisante tend vers l’infini (cours-circuit).

3.2.8 Réversibilité du transformateur

dt t n d

t u et t

i n t i n

t ()

) ( )

( )

( )

( = ₁⋅ ₁ + ₂⋅ _{2 2} = ₂⋅ Φ

Φ

⋅

ℜ 3.9

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ + ℜ ⋅

= () ()

)

( _{1 2}

2 1 2

2

2 i t i t

n n dt n d t

u 3.10

dt t L di t

u _h ^h()

) (

' '

2 = ⋅ 3.11

où

h h

h h

n i i n n i i n

n L n R L n

2 1 2 1 2 ' 1

2

1 2 2 ' 2

= +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

3.12

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 7

u₁ u₂

i₂ i₁

n₁ n₂

L_h= n₂² R i₁

i₁ n₁ n₂ i₂+

Idéal n₁: n₂

Figure 3-4 : Modèle du transformateur avec inductance magnétisante au secondaire

4. CIRCUIT MAGNÉTIQUE AVEC AIMANTS PERMANENTS 4.2 CORRIGÉ

4.2.1 Droite de retour

Des données du constructeur, on peut déterminer H0 =BH^B C et B0=Br. On a donc : H₀=950kA/m, B₀=1.23T @ 20°C

L’équation de la droite de retour vaut donc

a d

a B H

B = ₀ +μ _4.1

Avec pour la pente (permaébilité magnétique de l’aimant)

0 0

H B

d =

μ AN : ₃ 1.29 10 ⁶ 1.03 ₀

10 950

23 .

1 μ

μ = ⋅ =

= ⋅ ⁻

d 4.2

4.2.2 Droite de charge Théorème d’Ampère :

=0 +H_δδ l

H_{aa 4.3}

Conservation du flux

δ δS B S

B_{a a} = _4.4

Propriété du milieu

δ

δ μH

B = _{0 4.5}

A l’aide des relations 4.3, 4.4 et 4.5, on peut écrire pour la droite de charge :

a a a

a H

S S

B l μ ^δ

δ ⁰

−

= AN : B_a H_a ⁶H_a

7

10 36 . 10 1

50

18 50 10 4 18

35 − −

⋅

⋅ ⋅ =

− ⋅

= π _4.6

A l’aide des relations 4.1 et 4.6

a i a

a a d

a B B B

S l B S B

δ

μδδ

μ = − ΛΛ

−

= ₀

0

0 4.7

avec

μ

RAPPEL DE L’ELECTROMAGNETISME :exercices corrigés Page 9

B0

B

i

a δ

δΛ + Λ Λ

= AN : B_a =0.63T _4.8

Pour les champs magnétiques, on a :

( )

{

0

0 0

0

0 1 1

H d i

a d a a d a

i

a B

B B H

H B

B

B B

μ

μ μ ^δ

δ δ δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛Λ Λ+Λ −

=

−

⎪⎭ =

⎪⎬

⎫ +

=

Λ + Λ Λ

=

4.9

Puis finalement

H0

H

i i

a = −Λ Λ+Λδ AN : H_a =−464kA/m _4.10

4.2.3 Champ d’induction dans l’entrefer

A l’aide de la relation 4.4 (conservation du flux) B0

S B S S B S

i a a a

δ δ δ

δ = δ = ΛΛ+Λ AN : B_δ =1.13T _4.11

4.2.4 Extraction de l’aimant

A 20°C, le coude de la caractéristique d’aimantation se trouve dans le 3^ème quadrant, on peut donc dire que le point de fonctionnement se déplacera sur la droite de retour. Il n’y a donc pas perte de magnétisation.

4.2.5 Entrefer optimum

L’entrefer optimum correspond à un produit BaHa maximum. La courbe d’aimantation dans le 2^ème quadrant étant une droite, on peut dire que le point de fonctionnement vaut

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

=

0 0

2 1 2 1 }

, {

H H

B B

H B

a a a

a 4.12

A l’aide des relations 4.8 et 4.10, on peut écrire :

i i

a B B

B = ΛΛ+Λ = ⇒ Λ_δ = Λ

δ δ

0

0 2

1 4.13

Fort de ces considérations, on peut écrire

a a d a

a

d l

S S l

S

S μ δ μμ

μδ_{0 δ = ⇒ = 0 δ}

AN : δ =18.9mm _4.14

5. BILAN ÉNERGÉTIQUE 5.2 CORRIGÉ

5.2.1 Energie magnétique dans l’aimant

{ {

( )

(

)

i d

a a i

i d B

B V

a a a

a d d

a V

B

a a a a S H

S B l

charge de Droite a V

B a a a

mag

l S B

l S B dV

l B S S

dV dB S B S dV l

dB H W

a i a i

a a

fer a a a a

a

2 0 2

2 2 0 2

/ 1

0

0 0

0 ] [

2 1

2 1 2

1

0 0

δ δ

δ δ δ

δ δ μ

μ

μ μ μδ μ

δ μ

δ δ δ

δ

Λ + Λ

Λ

− Λ

=

Λ + Λ

Λ

− Λ

=

−

=

−

=

=

Λ + ΛΛ Λ =

Λ

−

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

43 42 1 43 42 1

5.1

5.2.2 Energie magnétique dans l’entrefer

{ {

(

)

i d

a a i

a a d d

i a

S B B S V

V B

V B mag

l S B l

S S B

l S

S S B

dV S B

dV dB B dV

dB H W

i

i a

2 2 0 2

0 2

/ 1

0

2 0 2

0 2

0

0 0 0

] [

2 1 2

1

2 1 2

1

1

0

δ δ δ

δ δ

δ δ δ δ δ

δ

δ δ δ δ

δ δ δ

μ μδ

μ μ

μ δ μ

μ

δ

δ δ δ δ δ

δ δ

δ δ

Λ + Λ

Λ

= Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ΛΛ+Λ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Λ Λ+Λ

=

=

=

=

Λ Λ

Λ + ΛΛ

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

43 42

1 _5.2

On voit ici que l’énergie globale confinée dans l’aimant est égale au signe près à l’énergie magnétisante confinée dans l’entrefer.

5.2.3 Energie magnétique dans le système

L’énergie magnétisante totale est la somme des énergies dans l’aimant et dans l’entrefer.

] 0

[ ]

[ + _maga =

mag W

W _{δ 5.3}

Cette valeur est nulle car il n’y a pas d’apport d’énergie externe au système.