5 : Formalisme de Dirac (2) et ´ evolution temporelle 1 Fonction d’onde et ´ equation de Schr¨ odinger

L3 - Physique-Chimie 26 novembre 2015 M´ ecanique quantique

TD n

5 : Formalisme de Dirac (2) et ´ evolution temporelle 1 Fonction d’onde et ´ equation de Schr¨ odinger

A. Pr´ eliminaire : distribution δ de Dirac.– La distribution δ(x) peut ˆ etre vue physiquement comme la limite d’une fonction δ

(x), r´ eguli` ere, centr´ ee sur l’origine et de largeur → 0, telle que

dx δ

(x) = 1.

1/ Donner deux exemples de fonction δ

(x).

2/ Soit ϕ(x) une fonction r´ eguli` ere. La propri´ et´ e fondamentale de la distribution de Dirac est

dx δ(x) ϕ(x) = ϕ(0) (1)

ou plus simplement δ(x) ϕ(x) = δ(x) ϕ(0).

Que vaut

dx δ(x − a) ϕ(x) ?

3/ En faisant

agir

δ(λx) sur une fonction test, montrer que δ(λx) =

δ(x). D´ eduire quelle est la dimension de δ(x).

4/ Que vaut la transform´ ee de Fourier de la distribution de Dirac ? D´ eduire la relation tr` es utile

−∞

dk

2π e

= δ(x) . (2)

B. Op´ erateurs position et impulsion.– On consid` ere une particule de masse m dans la situation dimensionnelle pour simplifier. On introduit ˆ x et ˆ p les op´ erateurs position et impulsion de la particule.

1/ On note | x i l’´ etat quantique o` u la particule est en x. Puisque cet ´ etat est caract´ eris´ e par une unique valeur de la position, c’est un vecteur propre de l’op´ erateur position :

x| ˆ x i = x|x i . (3)

D’apr` es la d´ efinition du produit scalaire, justifier que la fonction d’onde caract´ erisant un ´ etat quantique | ψ i est ψ(x) = h x |ψ i.

2/ On a h x | x

i = δ(x − x

) (normalisation des ´ etats | x i). Que vaut

dx

h x | x

ih x

|ψ i ? Et

dx

| x

ih x

| ?

3/ On note | p i l’´ etat quantique o` u la particule a une impulsion p, autrement dit

p| ˆ p i = p| p i . (4)

Sachant que la condition de normalisation est h p |p

i = δ(p − p

), justifier que h x |p i = 1

√ 2π

e

. (5)

1

4/ Justifier que la transformation de Fourier et la transformation inverse ψ(p) = ˜

Z +∞

−∞

√ dx

2π~ ψ(x)e

et ψ(x) =

−∞

√ dp 2π~

ψ(p)e ˜

(6) s’interpr` etent comme des changements de base.

5/ Retrouver et interpr´ eter l’´ egalit´ e de Parseval-Plancherel, pour deux fonctions ψ et ϕ :

−∞

dx ψ

(x)ϕ(x) =

−∞

dp ψ ˜

(p) ˜ ϕ(p)

C. ´ Equation de Schr¨ odinger.– L’hamiltonien (l’op´ erateur

´ energie

) de la particule est H ˆ = 1

2m p ˆ

+ V (ˆ x)

1/ Quelle est l’action de ˆ x

sur la fonction d’onde ψ(x) = h x |ψ i ? Et celle de V (ˆ x) ? 2/ Quelle est l’action de ˆ p sur la fonction d’onde ?

3/ L’´ equation d’´ evolution temporelle du vecteur d’´ etat | ψ(t) i est i

∂

∂t | ψ(t) i = ˆ H| ψ(t) i (7) Retrouver l’´ equation d’onde de Schr¨ odinger en multipliant cette ´ equation par h x |.

4/ Quelle ´ equation diff´ erentielle obtient-on si on multiplie l’´ equation (7) par h p | ? Donner deux exemples de potentiels pour lesquels la r´ esolution de cette ´ equation serait simple.

2 Dynamique de spin pour une particule de spin 1/2

Certaines particules poss` edent un degr´ e de libert´ e interne de spin en sus de leurs degr´ es de libert´ e de translation (classiquement cela correspondrait au degr´ e de libert´ e de rotation sur lui mˆ eme d’un corps solide). Une particule est caract´ eris´ ee par sa masse, sa charge ´ electrique,... et un nombre quantique de spin S, entier ou demi entier. Nous ´ etudions la dynamique de l’´ etat de spin en pr´ esence d’un champ magn´ etique pour une particule ´ electriquement neutre de spin S = 1/2 (par exemple un neutron).

A. Espace de Hilbert et Hamiltonien.– L’espace des ´ etats quantiques est de dimension deux. On note {| ↑ i, | ↓ i} les ´ etats propres de ˆ S

formant une base possible. Tout vecteur d’´ etat de spin se d´ ecompose sous la forme | ψ i = c

| ↑ i + c

| ↓ i.

1/ Pourquoi doit-on avoir |c

|

+ |c

|

= 1 ?

2/ Dans les notations de Dirac, l’´ equation de Schr¨ odinger prend la forme (7), o` u ˆ H est l’op´ erateur Hamiltonien (

l’´ energie

). Justifier pourquoi l’hamiltonien ˆ H doit ˆ etre hermitique, c’est-` a-dire que ˆ H

= ˆ H.

Indication :

consid´ erer h ψ(t) |ψ(t) i.

2

3/ Les composantes c

(t) et c

(t) de l’´ etat de spin | ψ(t) i portent la d´ ependance temporelle.

Rappeler la forme g´ en´ erale que prend l’´ equation de Schr¨ odinger dans la base des ´ etats de spin, i.e. ´ ecrire les ´ equations diff´ erentielles pour les deux composantes c

(t) et c

(t). On notera H la matrice 2 × 2 qui repr´ esente l’hamiltonien dans la base {| ↑ i, | ↓ i}. De combien de param` etres

ind´ ependants d´ epend la matrice H ?

4/ En principe l’´ etat quantique de la particule doit ´ egalement caract´ eriser son ´ etat orbital (i.e.

la densit´ e de probabilit´ e dans l’espace physique). L’espace de Hilbert d’une particule est donc

=

⊗

. Une base possible est {|~ r i ⊗ | σ i} o` u σ ∈ {↑, ↓}. Justifier que l’´ equation de Schr¨ odinger agit alors sur une fonction d’onde ` a deux composantes ψ

(~ r, t) et ψ

(~ r, t). ´ Ecrire explicitement le couple d’´ equations dans le cas o` u ˆ H =

p ˆ

+ V (ˆ x) − γ B S ˆ

.

B. Dynamique de l’´ etat de spin.– On consid` ere la situation o` u un champ magn´ etique uniforme pointe dans la direction ~ u

. L’Hamiltonien magn´ etique est

H ˆ = −γ B S ˆ

(8)

o` u ˆ S

est la troisi` eme composante de l’op´ erateur de spin. γ est le facteur gyromagn´ etique.

1/ Sachant que ˆ S

| ↑ i = +

| ↑ i et ˆ S

| ↓ i = −

| ↓ i, ´ ecrire les matrices qui repr´ esentent ˆ S

et ˆ H dans la base {| ↑ i, | ↓ i} On introduira la notation ω

= γ B.

2/ L’action de l’op´ erateur repr´ esentant la premi` ere composante de spin est ˆ S

| ↑ i = +

| ↓ i et S ˆ

| ↓ i = +

| ↑ i. Donner la matrice qui repr´ esente ˆ S

.

3/ Quels sont les valeurs propres de ˆ S

, not´ ees λ

et les vecteurs propres correspondants, not´ es

| ψ

i et | ψ

i ?

4/ On suppose que l’´ etat de spin est |ψ

i. Calculer h Hi ˆ

et ∆H

dans cet ´ etat.

5/ L’´ etat quantique de spin est initialement |ψ(t = 0) i = |ψ

i. Quel est l’´ etat | ψ(t) i ` a un instant t ult´ erieur ?

Suggestion :

il sera utile pour la suite d’exprimer |ψ(t) i dans la base {| ψ

i, |ψ

i}.

6/ Si le spin est dans l’´ etat | ψ(t) i trouv´ e ci-dessus, quelle est la probabilit´ e

(t) lors d’une mesure de ˆ S

de trouver comme r´ esultat la valeur propre λ

? Et

(t), la probabilit´ e pour obtenir λ

?

7/ D´ eduire la moyenne de l’observable ˆ S

au temps t, h S ˆ

i

. 8/ Que vaut h S ˆ

i

(sans calcul) ?

9/ Pr´ ecession de Larmor.– On rappelle que, dans la base {| ψ

i, | ψ

i}, la troisi` eme com- posante du spin ˆ S

est repr´ esent´ ee par la matrice

S

=

0 −i i 0

Calculer h S ˆ

i

. Analyser le mouvement du vecteur h Si ~ ˆ

.

3

3 L’Hamiltonien magn´ etique pour une particule de spin 1/2

On s’int´ eresse ` a l’´ etat de spin d’une particule de spin 1/2. L’espace des ´ etats quantiques est de dimension deux. On note {| ↑ i, | ↓ i} les ´ etats propres de ˆ S

formant une base possible. Tout vecteur d’´ etat de spin se d´ ecompose sous la forme |ψ(t) i = c

(t)| ↑ i + c

(t)| ↓ i.

1. Pourquoi doit-on avoir |c

(t)|

+ |c

(t)|

= 1 ?

2. Rappeler la forme g´ en´ erale que prend l’´ equation de Schr¨ odinger pour ce syst` eme ` a deux niveaux, i.e. ´ ecrire les ´ equations diff´ erentielles pour les deux composantes c

et c

. On notera H la matrice qui repr´ esente l’hamiltonien dans la base {| ↑ i, | ↓ i}.

3. Montrer que l’hamiltonien H doit ˆ etre hermitique, c’est-` a-dire que H

= H.

4 Evolution temporelle d’un syst` ´ eme ` a deux niveaux

Soient |ϕ

i et | ϕ

i deux vecteurs propres normalis´ es d’un Hamiltonien ˆ H associ´ es aux valeurs propres E

et E

. On pose

ω = E

− E

.

1. ´ Ecrire la matrice de ˆ H dans la base {| ϕ

i, | ϕ

i}.

2. Soit l’´ etat |ψ

i ∝ | ϕ

i − | ϕ

i. Normaliser | ψ

i puis calculer h Hi ˆ

et ∆H

dans cet

´ etat.

3. On prend comme condition initiale | ψ(t = 0) i = |ψ

i. Quel est l’´ etat | ψ(t) i ` a un instant t ult´ erieur ?

4. Soit l’observable ˆ A telle que ˆ A| ϕ

i = |ϕ

i et ˆ A| ϕ

i = | ϕ

i. ´ Ecrire la matrice associ´ ee ` a A ˆ dans la base {| ϕ

i, | ϕ

i}.

5. Quels sont les vecteurs propres et valeurs propres, not´ ees a

, de ˆ A ?

6. Pour l’´ etat | ψ(t) i trouv´ e ci-dessus, quelle est la probabilit´ e lors d’une mesure de ˆ A de trouver comme r´ esultat la valeur propre a

en fonction de t ?

7. Calculer la moyenne de l’observable ˆ A au temps t, h Ai ˆ

.

4