Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2 CONTR ˆOLE CONTINU NUM´ERO 5 – Mardi 31 mai 2016
R`eglement –L’´epreuve dure 2 heures. Les calculatrices sont interdites. Les t´el´ephones portables doivent ˆetre
´
eteints. Il est admis de consulter le formulaire distribu´e en cours et des notes personnelles qui tiennent sur une page recto-verso.
Les questions 1–5 ont une seule bonne r´eponse, qui vaut 1 point.Indiquer les r´eponses par leur lettre correspondante, en indiquant bien la question (dans l’ordre 1 `a 5), dans la pr´emi`ere page de la copie d’examen.
Pour les autres exercices, le bar`eme est indiqu´e entre parenth`eses etla r´eponse doit ˆetre justifi´ee.
Question 1 – La matrice Hessienne de la fonction P(T, V) = nR T
V (gaz parfait) est
(a)
nR
V −nR T V2
(b)
n
V −nR V2
−nR
V2 −n T V2
(c)
0 −nR
V2
−nR V2
2nR T V3
(d)
nR
V
−nR T V2 n T
V
Question 2 – Pour le potentiel gravitationnel Φ(r, ϕ, θ) =−GM
r , le gradient (au sens physique : −−−→
grad Φ) vaut
(a) GM ϕ
r e~r (b) GM
r2 e~r (c) GM
r2 e~ϕ (d) GM
r3sinϕe~ϕ
Question 3 – Pour le champ de vecteurs −→
A(ρ, ϕ, z) = sinϕ ~eρ+z ρ
~k, la divergence, div−→ A, vaut
(a) 1
ρ (b) sinϕ+z
ρ (c) sinϕ− z
ρ2 (d) sinϕ+ 1 ρ
Question 4 – La circulation du champ ´electrostatique −→
E(r, ϕ, θ) = Q 4π
1
r2e~r le long d’un cercleγde rayon R, centr´e `a l’origine dans le plan xOy, vaut
(a) 0 (b) Q
4π (c) QR
4 (d) Q
4πR Question 5 – Le flux d’un champ −→
B `a divergence nulle sur tout R3, `a travers une surface ferm´ee S qui entoure un solide de volume 3πR3, vaut
(a) 0 (b) 3πR3 (c) 3
4πR3 (d) calcul
impossible
1
Exercice 1 [3.5 pts] – Ecrire le d´´ eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 au point (0,0) de la fonction f(x, y) = e3x
2y+ 1.
Exercice 2 [3.5 pts] – Consid´erons une feuille d’aluminium en forme de demi-disqueD+donn´e par 0≤ρ≤1 et 0≤ϕ≤π, ayant densit´e de masseµ(x, y) =y.
a) Dessiner le demi-disque sur le planxOy.
b) Trouver la masse totale de la feuille d’aluminium.
c) Trouver le barycentreG(xG, yG) de la feuille d’aluminium, en sachant queR
sin2ϕ dϕ= 12(ϕ−sinϕcosϕ).
Exercice 3 [4 pts] – Consid´erons le champ de vecteurs du plan
−
→E(x, y) = 2xsiny~ı +x2cosy~.
a) Expliquer pourquoi le champ−→
E est conservatif sur R2. b) Trouver son potentiel scalairef tel que−→
E =−−→
gradf. c) Calculer la circulation de−→
E le long d’une courbeγ qui joigne le point A(1,0) au pointB(5, π/2).
Exercice 4 [4 pts] – Calculer le flux du champ de vecteurs
−
→V(x, y, z) =−x~ +y2~k
`
a travers lasurface de Gaudi S param´etr´ee par f(u, v) = (u, v, usinv), u∈[0,1], v∈[0, π/2].
2
