Une généralisation du théorème de Rolle

Une généralisation du théorème de Rolle

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1, page 251 Exercice : Soitf :R→Rune fonction de classeC^p.

1. On suppose qu'il existen∈ {0, . . . p−1} tel quef(x) = 0 (xⁿ)lorsque|x|tend vers+∞. Montrer quef^(p) s'annule en un point.

2. Comment modier la preuve précédente si on suppose simplement que f estp fois dérivable surR?

3. Que se passe-t-il si n=p?

1. Le casp= 1 et n= 0 généralise le théorème de Rolle : si f tend vers0 en±∞, il existe un réel c tel quef⁰(c)6= 0. En eet, dans le cas contraire, f⁰ garderait un signe constant surR (car elle est continue) etf serait strictement monotone. Elle ne pourrait donc pas tendre vers0à la fois en

−∞et en +∞.

Passons maintenant au cas général. Il sut bien entendu de traiter le cas oùn=p−1. Supposons par l'absurde que la fonction f^(p) ne s'annule pas sur R. Comme elle est continue, elle garde un signe constant sur R et, quitte à prendre −f, on peut supposer qu'elle est structement positive.

Soitaun réel. La formule de Taylor-Lagrange permet d'armer que pour tout réelx, il existe un réelαx tel que

f(x) =f(a) +f⁰(a)

1! (x−a) +. . .+f^(p−1)(a)

(p−1)! (x−a)^p−1+f^(p)(αx)

p! (x−a)^p On divise cela parx^p−1 et on fait tendrexvers+∞et vers −∞. On obtient

f^(p−1)(a)

(p−1)! =− lim

x→+∞

xf^(p)(αx)

p! =− lim

x→−∞

xf^(p)(αx) p!

Mais commef^(p)(αx)>0, la première limite est positive et la seconde négative. Il en résulte que f^(p−1)(a) = 0. Comme cela vaut pour tout réela, f^(p−1)est identiquement nulle et cela contredit la stricte positivité def^(p).

2. Dans la preuve précédente, on a toujours le droit d'écrire la formule de Taylor-Lagrange, mais on ne dispose plus de l'argument de continuité pour dire quef^(p) garde un signe constant sur R. En réalité, cela reste vrai car une fonction dérivée vérie le théorème des valeurs intermédiaires. C'est le théorème de Darboux.

3. En revanche sip=n, le résultat n'est plus vrai. Pourp= 1, il sut de prendre une fonction bornée à dérivée strictement positive, par exemplex7→ Arctanxou x7→thx. On peut alors en déduire des contre-exemples pourpquelconque. En eet, soitf de classeC¹telle quef(x) =o(x)etf⁰>0 sur R et g telle que g^(p−1) = f. On a donc g^(p) = f⁰ ne s'annule pas sur R. Pourtant, comme g^(p−1)(x) =o(x), on a successivementg^(p−2)=o(x²),g^p−3(x) =o(x³), . . . ,g(x) =o(x^p)en+∞et en−∞(par le théorème d'intégration des relations de négligeabilité).

1