A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
C. G UICHARD
Généralisation de la série de Taylor
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 4 (1887), p. 61-64
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GÉNÉRALISATION
DE
L A S É R I E D E T A Y L O R ,
PAR M. C. GUICHARD,
MAITRE DE CONFÉRENCES A LA FACULTE DES SCIENCES DE RENNES,
I. — Préliminaires.
Soit/(s) u n e fonction holomorphe dans tout le p l a n ; je désignerai par^(s) la dérivée d'ordre n de la fonction/(-s), par/_^(s) celle des intégrales d'ordre n, qui s'annule n fois pour z •== o.
Si l'on a
^-id^'
oon aura
f /^\_V^__Ap___^4-/^
J-^^Zà I . 3 . . . ( ^ + ^ ) 0
Soit C une aire fermée quelconque; ou aura à l'intérieur clé cette aire
^ m o d ^ — — ^ < M ,
0
M étant un nombre positif convenablement choisi; il en résulte
mod/_^(g)< , J^ (p==mods)Mo^pour toutes les valeurs de z, intérieures à C.
02 C. GUÏCÏIARÎ).
II. --- Étude de la série 11(5,^) •:=V /„( s ) . [{,...,/(, r).
jSSSB
— se
S i / e t R sont deux fondions entières, ia série -i- »
(0 2•^(';1)R--/^(•Z>)
représente une fonction h o l o m o r p h e des variables .r et ,s, pour toutes les valeurs de x et de .:;-
En effet, plaçons le point oc à l'intérieur d'une aire C, le p o i n t z à l'intérieur d ' u n e aire (7.
On aura, pour ces valeurs de x et z\
M r/1' M f'11
m o cl /,- „ ( ,z ) < ———— i m o d R...- „, ( ..y ) < —-—--- - /• r= mod.r.
Cela posé, la série ( s ) p e u t se décomposer en d e u x parties :
%
(1-)) ^^(:;^^{-'/^•('•^')?
()
( 3 ) ^/_,,(5)1U.<).
1
Les modules des termes de ces séries sont respectivement moindres q u e ceux des termes correspondanis des séries
(^) J^^^^^^^^^
0
(?>') j^AP^modIU.^,
1
qui sont convergentes et à termes positifs.
G É N É R A L I S A T I O N DE LA SÉRIE DE T A V L O R . 63
• III. — Propriété de la fonction II.
On voit tout de suite que la fonction II vérifie l'équation aux d é r i - vées p a r t i e l l e s
r)ïï _ <.)IÏ ûlï" ~ ~(h '
I I en résulte que II est fonction de .r -h z .
IV. —- Calcul des coefficients de la fonction II.
Nous poserons
./•("-i-,-^"'
o m.r)^-^'——^,;-,0
^
j g - / ., , ,\ _ _ ^ '-'P / ,, , ^\n
"^^-^T^-^-2"1"^ •
0
Si, dans la série (i), on fait , ^ = = 0 , toutes les intégrales de R(\r) sont n u l l e s ; les dérivées se réduisent aux coefficients B. On aura alors
I Ï ( ^ ^ B , / L ^ )
0
OIS
,'; y,
1I(-- + . ' • ) =^ B,, /_„(.- + ,r) =^ A,,R-,,(,r + ;).
0 0
Cette relation permet de c a l c u l e r les coefficients C. Elle donne (/!. ) Cp --= A() Bp + A,i :B^i -}-...+ Ap t:?o.
Si l'on considère m a i n t e n a n t les séries suivantes : ( 5 ) / = Ao + A,^ -h- As ^ + . . ., (6) R r = B o + B ^ - { - B 2 < î2- ^ . . .,
(7) n=:Co-+-c^ -i-a^-t-...,
()4 C. GUICHARD. — GÉNÉRALISATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR.
les formules (4) montrent que la série (7) est le produk des séries (5) et (6). Il peut se faire, d'ailleurs, que ces séries soient divergentes pour toutes les valeurs de t'y mais cela importe p e u ; la série II s'obtient en a p p l i q u a n t la règle de la m u l t i p l i c a t i o n de?
séries à y et R.
Cela posé, supposons la série R convergente pour toutes les valeurs de t; supposons de plus qu'elle représente une fonction de t n'ayant pas de zéros. R sera de la forme e^.
Posons
R' -^ e-'?w '= B, 4- B\ t -T- W, f- 4-...
et
^^T^-^7'-
0
La sériel/sera le produit des séries II et R'. On en conclul
IX
/(,Z.)=:^C,,li'_,,(^).
0
Ainsi une fonction entière q u e l c o n q u e est développable en séries con- t e n a n t les intégrales successives de la fonction R ' ( ^ ) .
Si, en particulier, on suppose R(^") == i , les séries II et; /'sont iden- t i q u e s ; la série ( i ) donne
3ç
/(.+.)_-^,/,,(.)^-^;
c'est la série de Taylor.
