Sur la détermination des axes dans les courbes du troisième ordre

(1)

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

S. M

ANGEOT

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 10 (1893), p. 43-44

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(2)

S U R LA

D É T E R M I N A T I O N D E S A X E S

LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE,

PAR M. S. MANGEOT,

P R 0 F I-J S S Î3 V H A U L l* (î 'K 15 1) K T 11 0 1' M S -

Soit, en coordonnées cartésiennes rectaji^ulaires,

/(,r,y) :r:o

l'équation entière, à coefricienl.s réels, d'une cubique autre qifuii système de trois droites parallèles,

Si les deux constantes

à ( t ^ f ^f\ , à f^f ^ A a:::::^^^,, -h^,^ ^•-^;(^^4^

ne sont pas nulles à la fois, la cubique ne peut avoir plus d'un axe» et, quand cet axe existe, il peut être représenté par l'équation

,,,,{^"f\-^ -„.)-'•{-...,„,

\/Àr" ()f/ âxôy

lorsque les trois directions asymptotiques de la courbe ne sont pas confondues et, dans le cas contrairey par la formule

, ôf ôf

h— — a— :r::;o.

()x ôy

Si les constantes a et h sont nulles toutes les deux, soient a et (S

(3)

44 S. MANGEOT. — SUR LA DÉTERMINATION DES AXES, ETC..

les valeurs de .r e t j qui vérifient les équations linéaires

A f^Z ^ _ ^^V1 - - i W à'/ ( ^ Y'

àx [à^ ày^ \à^ày) J ~0 5 ôf [ô^ 'àf """ ^:-jyj ^

valeurs qui sont ici finies et déterminées. Quand on n'a pas a la fois

^ == °. ^3 == <'^ la cubique a au plus un axe, et, s'il exista son équa- tion est

,,-.^._<,-P)I:-.-,

Lorsqu'on a simultanément ^ ." o, ^ = o, |;i cofirix* iKlincf (rois axes, qui sont définis par la formule

9 ( , y — p , a — , r ) ; = - : o ,

yC^'j) désignant l'ensemble des (,crmcs di) IroisiciïK' dcyrc de

A«\y) (.')•

On peut encore faire usage du (,h6orcm<i q u i s u i f :

Quand l'un des nombres a, h att, (Uffen'nl de wo, fi<>nr yw /// ru- biffi

ûf ^

ô.r <h-

un facteur F de la forrru- h»- - ay + <.(,r>s(,; n f'^iMUw <h' f'fi.n' /',v/

ique ait. un axe, il faut. ci il, su/'fil. (iw C wpn-ssi.w h<)l n^ whw'lb

(l,r <iy

^ Dîins le c;»s ou l'on a a :: : : o, h - - o, lit condition pour que 1;» f.olirhc ait au moins mi <w esf.

J^' V\ . .

" w " ^,

^ • } L a (incsLi.m p.,it, (••l.rc <wisi(l<-.n.<. (.onmH. nwli.c. t,»m. <|u,. <.(,«.! Omit.^ !<...

«qualions d ,ir,o (Iroil,. cl, fl-roo <-nHrl,r. ;,!^l,.i<ii,(,, c,, s,,il r<-<.otn,.,ilr<. H, l,i dro.K. <.st r,u il est. |iaa axo (in la cciirlie. ' '