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l’estimation et au diagnostic actif de systèmes dynamiques non linéaires : application au domaine
aéronautique
Qiaochu Li
To cite this version:
Qiaochu Li. Contribution à la planification d’expériences, à l’estimation et au diagnostic actif de
systèmes dynamiques non linéaires : application au domaine aéronautique. Autre. Université de
Technologie de Compiègne, 2015. Français. �NNT : 2015COMP2231�. �tel-01299578�
Par Qiaochu LI
Thèse présentée
pour l’obtention du grade de Docteur de l’UTC
Contribution à la planification d’expériences, à l’estimation et au diagnostic actif de systèmes dynamiques non linéaires : application au domaine aéronautique
Soutenue le 10 novembre 2015
Spécialité : Technologies de l’Information et des Systèmes – Mathématiques appliquées et Problèmes inverses
D2231
Compi` egne
Technologies de l’Information et des Syst` emes Ph.D dissertation
Defended by
Qiaochu LI
Contribution ` a la planification d’exp´ eriences, ` a l’estimation et au
diagnostic actif de syst` emes dynamiques non lin´ eaires.
Application au domaine a´ eronautique
soutenance soutenue le 10 Novembre 2015 :
Membre de jury :
Rapporteurs : Luc Jaulin - Professeur, Lab-STICC Michel Kieffer - Professeur, L2S
Membres du jury : Abdellatif El badia - Professeur, LMAC
Floriane Collin - Maitre de conf´ erence, CRAN Nathalie Revol - Maitre de conf´ erence, LIP
Directrices : Zohra Cherfi - Professeur, Laboratoire Roberval
Lilianne Denis-vidal - Maitre de conf´ erence, HDR, LMAC
Carine Jauberthie - Maitre de conf´ erence, LAAS
I, declare that this thesis titled, ‘Contribution ` a la planification d’exp´ eriences, ` a l’estimation et au diagnostic actif de syst` eme dynamiques non lin´ eaire. Application au domaine a´ eronautique’
and the work presented in it are my own. I confirm that :
This work was done wholly or mainly while in candidature for a research degree at this University.
Where any part of this thesis has previously been submitted for a degree or any other qualification at this University or any other institution, this has been clearly stated.
Where I have consulted the published work of others, this is always clearly attributed.
Where I have quoted from the work of others, the source is always given. With the exception of such quotations, this thesis is entirely my own work.
I have acknowledged all main sources of help.
Where the thesis is based on work done by myself jointly with others, I have made clear exactly what was done by others and what I have contributed myself.
Signed : Date :
i
20 Novembre 2015
Dave Barry
iii
Cette ´ etude a ´ et´ e r´ ealis´ ee au sein de l’´ equipe d’accueil Laboratoire Math´ ematique Appliqu´ ee de Compi` egne (LMAC), dirig´ ee par Madame Lilianne DENIS-VIDAL. Je tiens ` a la remercier chaleureusement de m’avoir propos´ e et de superviser ce sujet, pour son accueil et les moyens donn´ es pour r´ ealiser ce travail dans les bonnes conditions. Madame Carine JAUBERTHIE a
´ egalement accept´ e la direction scientifique de cette th` ese, et ce malgr´ e ses nombreuses res- ponsabilit´ es. Madame Zohra CHERFI m’a continuellement donn´ e des conseils pr´ ecieux, cette exp´ erience sera inoubliable dans toute ma vie. Je ne sais comment les remercier pour leurs dis- ponibilit´ es, leur patience, leurs conseils et tout ce qu’elles ont pu m’apprendre au cours de ces trois ann´ ees.
Je remercie vivement Messieurs Luc JAULIN et Michel Kieffer qui m’ont fait l’honneur d’accepter de Rapporter sur cette th` ese et je tiens ` a leur exprimer ma profonde gratitude.
Je remercie aussi messieur Abdellatif EL BADIA et mesdames Nathalie REVOL et Floriane COLLIN d’avoir accept´ e d’ˆ etre membre du jury.
Cette th` ese ne se serait jamais r´ ealis´ ee sans l’aide de l’´ equipe du LMAC pour leur soutien qui n’a jamais fait d´ efaut. Merci particuli` erement ` a Monsieur Nicolaos LIMINIOS pour les solutions de tous les soucis administratifs ; merci ` a Batoul, Chrysanthi, Shousheng, pour leur amiti´ e ; Je tiens ` a remercier toutes les personnes du service de l’UTC pour leur accueil et leur sympathie.
Je voudrais aussi remercier tous mes amis. T´ emoins de tant de doutes, sans vous, ce m´ emoire n’aurait jamais vu le jour.
En dernier lieu, je ne sais comment exprimer toute ma gratitude ` a ma femme Jing XU, qui soutiendra sa th` ese trois mois plus tard que moi ; mes remerciements envers mes parents, pour leurs encouragements et leur soutien sans condition ; un remerciement est ´ egalement adress´ e aux th´ esards de l’UTC : Batoul, Souade, Hayat, Ir` ene, Diana, Taozui, Bihao, Xingxing, Bi’ao, liste non exhaustive. pour leur soutien sans condition, pour tous les partages entre nous.
On dit souvent entre les doctorants, que la r´ edaction d’une th` ese est un cauchemar : il y a des moments difficiles, il y a des moment sceptiques. L’essentiel est la fa¸ con de point de vue sur la r´ edaction. Sachant que gagner de l’argent, c’est plus dur que r´ ediger une th` ese.
v
In this work, we will study the uncertainty integration problem in a bounded error context for the dynamic systems, whose input and the initial state have to be optimized so that some other operation could be more easily and better obtained.
This work is consisted of 6 chapters : the chapter 1 is an introduction to the general subject which we will discuss about. The chapter 2 represents the basic tools of interval analysis.
The chapter 3 is dedicated to state estimation and parameter estimation. We explain at the first, how to solve the ordinary differential equation using interval analysis, which will be the basic tool for the state estimation problem given the initial condition of studied systems. On the other side, we will look into the parameter estimation problem using interval analysis too. Based on a simple hypothesis over the uncertain variable, we calculate the system’s parameter in a bounded error form, considering the operation of intervals as the operation of sets. Guaranteed results are the advantage of interval analysis, but the big time consumption is still a problem for its popularization in many non linear estimation field. We present our founding techniques to accelerate this time consuming processes, which are called contractor in constraint propagation field. At the end of this chapter, different examples will be the test proof for our proposed methods.
Chapter 4 presents the searching for optimal input in the context of interval analysis, which is an original approach. We have constructed several new criteria allow such searching. Some of them are intuitive, the other need a theoretical proof. These criteria have been used for the search of optimal initial states and le better parameter estimation results. The comparisons are done by using multiple applications and the efficiency is proved by evidence.
In chapter 5, we applied the approaches proposed above in diagnosis by state estimation and parameter estimation. We have developed a complete procedure for the diagnosis. The optimal input design has been reconsidered in an active diagnosis context. Both state and parameter estimation are implemented using an aeronautical application in literature.
The last chapter gives a brief summary over the realized subject, some further research directions are given in the perspective section.
All the algorithms are written in C/C++ on a Linux based operation system.
vii
Dans ce travail de th` ese, nous nous focalisons sur le probl` eme de l’int´ egration d’incertitude
`
a erreurs born´ ees pour les syst` emes dynamiques, dont les entr´ ees et les ´ etats initiaux doivent ˆ etre optimaux afin de r´ ealiser certaines fonctionnalit´ es.
Le document comporte 5 chapitres : le premier est une introduction pr´ esentant le panorama du travail. Le deuxi` eme chapitre pr´ esente les outils de base de l’analyse par intervalle.
Le chapitre 3 est d´ edi´ e ` a l’estimation d’´ etats et de param` etres. Nous d´ ecrivons d’abord une proc´ edure pour r´ esoudre un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires avec l’aide de cet outil. Ainsi, une estimation des ´ etats ` a partir des conditions initiales peut ˆ etre faite. Les syst` emes diff´ erentiels consid´ er´ es d´ ependent de param` etres qui doivent ˆ etre estim´ es. Ce probl` eme inverse pourra ˆ etre r´ esolu via l’inversion ensembliste. L’approche par intervalle est une proc´ edure d´ eterministe naturelle sans incertitude, tous les r´ esultats obtenus sont garantis. N´ eanmoins, cette approche n’est pas toujours efficace, ceci est dˆ u au fait que certaines op´ erations ensemblistes conduisent ` a des temps de calcul important. Nous pr´ esentons quelques techniques, par cela, nous nous pla¸cons dans un contexte ` a erreurs born´ ees permettant d’acc´ el´ erer cette proc´ edure.
Celles-ci utilisent des contracteurs cibl´ es qui permettent ainsi une r´ eduction de ce temps. Ces algorithmes ont ´ et´ e test´ es et ont montr´ e leur efficacit´ e sur plusieurs applications : des mod` eles pharmacocin´ etiques et un mod` ele du vol longitudinal d’avion en atmosph` ere au repos.
Le chapitre 4 pr´ esente la recherche d’entr´ ees optimales dans le cadre analyse par intervalle, ce qui est une approche originale. Nous avons construit plusieurs crit` eres nouveaux permettant cette recherche. Certains sont intuitifs, d’autres ont n´ ecessit´ e un d´ eveloppement th´ eorique. Ces crit` eres ont ´ et´ e utilis´ es pour la recherche d’´ etats initiaux optimaux. Des comparaisons ont ´ et´ e faites sur plusieurs applications et l’efficacit´ e de certains crit` eres a ´ et´ e mise en ´ evidence.
Dans le chapitre 5, nous appliquons les approches pr´ esent´ ees pr´ ec´ edemment au diagnostic via l’estimation de param` etres. Nous avons d´ evelopp´ e un processus complet pour le diagnostic et aussi formul´ e un processus pour le diagnostic actif avec une application en a´ eronautique.
Le dernier chapitre r´ esume les travaux r´ ealis´ es dans cette th` ese et essaye de donner des perspectives ` a la recherche.
Les algorithmes propos´ es dans ce travail ont ´ et´ e d´ evelopp´ es en C++ et utilisent l’environ- nement du calcul ensembliste.
ix
Declaration of Authorship i
Remerciements v
Abstract vii
R´ esum´ e ix
Contents xiii
List of Figures xvi
List of Tables xvii
Acronymes xix
1 Introduction 1
1.1 Introduction g´ en´ erale . . . . 1
1.2 Mod` ele math´ ematique ´ etudi´ e . . . . 2
1.2.1 L’erreur statistique et l’erreur ensembliste . . . . 3
1.2.2 Equations de sensibilit´ e . . . . 3
1.3 L’estimation de param` etres ` a erreurs inconnues mais born´ ees . . . . 5
1.4 Le diagnostic et le diagnostic actif . . . . 6
2 Outil d’estimation dans le contexte ensembliste 9 2.1 Introduction au contexte ensembliste . . . . 9
2.1.1 Calcul avec des ensembles . . . . 10
2.1.2 Repr´ esentation d’une variable incertaine . . . . 12
2.2 Introduction ` a l’analyse par intervalle . . . . 12
2.2.1 Pav´ e et sous pavage . . . . 14
2.2.2 Arithm´ etique des intervalles . . . . 15
2.2.3 Propri´ et´ e alg´ ebrique . . . . 17
2.2.3.1 Propri´ et´ e d’associativit´ e et de distributivit´ e . . . . 17
2.2.3.2 Propri´ et´ es de multiplication dans certains cas . . . . 18
2.2.3.3 Propri´ et´ e d’inclusion avec les matrices intervalles . . . . 19
2.2.4 Fonction d’inclusion . . . . 19
2.2.5 Pessimisme de surestimation . . . . 25
2.2.5.1 Le probl` eme d’ind´ ependance . . . . 25
2.2.5.2 Effet d’enveloppement . . . . 26
2.2.6 Arithm´ etique affine . . . . 26
2.2.7 Comparaison entre arithm´ etique affine et analyse par intervalle . . . . 27
2.2.8 Librairie d’intervalle . . . . 28
2.2.9 Image r´ eciproque d’un ensemble . . . . 29
xi
2.2.10 Image directe d’un ensemble . . . . 31
3 Estimation garantie et application aux mod` eles acad´ emiques 33 3.1 Estimation dans le contexte ensembliste . . . . 35
3.1.1 Estimation d’´ etat . . . . 36
3.1.2 Estimation de param` etres . . . . 38
3.1.3 Contracteur . . . . 41
3.2 Int´ egration num´ erique garantie bas´ ee sur le d´ eveloppement en s´ erie de Taylor . . 43
3.2.1 Existence et unicit´ e de la solution . . . . 46
3.2.2 Recherche d’une solution a priori . . . . 47
3.2.3 R´ eduction du pessimiste sur la solution . . . . 48
3.2.4 Effet d’enveloppement . . . . 49
3.2.4.1 M´ ethode de Extended Mean Value . . . . 50
3.2.5 Solveur disponible pour l’int´ egration garantie . . . . 52
3.3 Int´ egration num´ erique garantie bas´ ee sur le th´ eor` eme de M¨ uller . . . . 53
3.4 Application dans le domaine pharmaceutique . . . . 54
3.4.1 Estimation d’´ etat . . . . 57
3.4.2 Estimation param´ etrique . . . . 58
3.5 Application dans le domaine pharmacocin´ etique . . . . 64
3.6 Application dans le domaine a´ eronautique . . . . 67
3.6.1 Mod` ele du vol longitudinale d’un avion en atmosph` ere au repos . . . . 68
3.6.2 Estimation d’´ etat du mod` ele . . . . 69
3.6.3 Estimation de param` etres du mod` ele . . . . 71
4 Planification d’exp´ erience pour les syst` emes non-lin´ eaires 79 4.1 Principe de la planification d’exp´ eriences . . . . 80
4.1.1 Crit` ere de A-optimalit´ e-intervalle . . . . 82
4.1.2 Crit` ere M-optimalit´ e-intervalle . . . . 87
4.1.3 Crit` ere D-optimalit´ e-intervalle . . . . 89
4.1.4 Crit` ere Migmag-optimalit´ e-intervalle . . . . 90
4.2 Application au mod` ele d’avion . . . . 92
4.2.1 Effet ´ el´ ementaire des optimalit´ es diff´ erentes . . . . 94
4.2.1.1 Minimisation du nombre de point via la Trace optimalit´ e . . . . 95
4.2.2 R´ esultat de l’estimation de param` etres . . . . 96
4.3 Conclusion . . . 102
5 Diagnostic par analyse par intervalles 103 5.1 Diagnostic dans le contexte ` a erreurs born´ ees . . . 103
5.1.1 Approche par estimation d’´ etat . . . 105
5.1.2 Approche par estimation de param` etres . . . 106
5.2 Diagnostic pour le mod` ele d’avion . . . 107
5.2.1 Diagnostic par estimation d’´ etat . . . 107
5.2.2 Diagnostic par estimation de param` etres . . . 108
5.3 Diagnostic actif pour le mod` ele d’avion . . . 109
5.3.1 Cas de faute simple . . . 110
6 Conclusion 119 6.1 Conclusion . . . 119 6.2 Perspective . . . 120
A Annexe 121
A.1 Annexe pour l’algorithme de la recherche de l’entr´ ee . . . 121
Bibliographie 123
2.1 La longueur et le point milieu d’un pav´ e X = (X 1 , X 2 ) . . . . 15
2.2 Pav´ e pour la borne inf´ erieure . . . . 23
2.3 Pav´ e pour la borne sup´ erieure . . . . 23
2.4 Vecteur d’intervalle de dimension 1, 2 et 3 . . . . 26
3.1 L’estimation d’´ etat : la phase de pr´ ediction et la phase de correction . . . . 36
3.2 L’effet d’enveloppement . . . . 50
3.3 L’effet d’enveloppement calcul´ e par la Extended Mean Value . . . . 52
3.4 Mod` ele de deux compartiments . . . . 54
3.5 Evolution de l’intervalle contenant x 1 fourni par VNODE-LP, VSPODE, IOLA- VABE, EMV . . . . 55
3.6 Evolution de l’intervalle contenant x 2 fourni par VNODE-LP, VSPODE, IOLA- VABE, EMV . . . . 56
3.7 Estimation d’´ etat pour le mod` ele pharmaceutique . . . . 57
3.8 Estimation d’´ etat pour le mod` ele pharmaceutique . . . . 57
3.9 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite), ε = 0.01. . . . 58
3.10 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite), ε = 0.005. . . 59
3.11 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite), ε = 0.001. . . 59
3.12 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite), ε = 0.0005. . . 59
3.13 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite). . . . . 60
3.14 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite) ε = 0.01. . . . 62
3.15 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite) ε = 0.005. . . . 62
3.16 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite) ε = 0.001. . . . 62
3.17 Estimation param´ etrique de p 1 et p 2 (gauche) et p 2 et p 3 (droite)ε = 0.0005. . . . 63
3.18 Estimation d’´ etat ` a partir de p 2 = 0.35 et p 3 = 0.15. . . . . 63
3.19 Estimation de param` etre sur p 1 et p 2 . . . . . 65
3.20 Estimation de param` etre sur p 2 et p 3 . . . . . 65
3.21 Incidence et vecteur vitesse d’un avion. . . . . 68
3.22 L’estimation d’´ etat du mod` ele d’avion. . . . . 70
3.23 Les diff´ erentes entr´ ees pour le mod` ele d’avion. . . . . 72
3.24 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . . 72
3.25 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . . 73
3.26 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . . 73
3.27 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . . 74
3.28 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . . 74
3.29 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . . 75
3.30 Entr´ ee pour le mod` ele d’avion dite optimale. . . . . 75
3.31 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . . 76
3.32 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . . 76
3.33 La repr´ esentation des domaines rejetables en 3D. . . . . 77
xv
4.1 Deux entr´ ees optimales obtenues avec les crit` eres A et D optimalit´ e . . . . 94
4.2 La relation entre nombre de point par ´ echantillonnage et la valeur µ∗. . . . . 96
4.3 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . . 96
4.4 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . . 97
4.5 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . . 97
4.6 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . . 98
4.7 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . . 98
4.8 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . . 99
4.9 Entr´ ee optimale via le crit` ere Migmag. . . . 100
4.10 Boˆıte acceptable et boˆıte incertaine avec l’entr´ ee ˆ u 0 et ˆ u (ε 1 ). . . . 101
4.11 Estimation de param` etres par Monte Carlo avec l’entr´ ee ˆ u 0 et ˆ u. . . . 101
5.1 Approche du diagnostic par redondance analytique . . . 105
5.2 L’estimation d’´ etat du mod` ele d’avion . . . 108
5.3 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D . . . 110
5.4 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . 111
5.5 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . 111
5.6 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . 112
5.7 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . 112
5.8 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . 113
5.9 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . 113
5.10 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . 114
5.11 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . 114
5.12 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . 115
5.13 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . 115
5.14 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . 116
5.15 La repr´ esentation des domaines admissibles en 3D. . . . 116
5.16 La repr´ esentation des domaines incertains en 3D. . . . 117
5.17 La repr´ esentation des domaines rejet´ es en 3D. . . . 117
2.1 Diff´ erents raffinements . . . . 21
3.1 Temps d’ex´ ecution du programme (s). . . . . 64
3.2 Volume de p 1 p 2 p 3 . . . . . 66
3.3 Volume de p 1 p 2 p 3 . . . . . 67
3.4 Volume de p 1 p 2 p 3 . . . . . 67
3.5 Volume de p 1 p 2 p 3 . . . . . 77
3.6 Volume de p 2 p 3 p 4 . . . . . 77
3.7 Produit de p 1 p 2 p 3 p 4 . . . . . 77
4.1 Valeur optimale des crit` eres avec diff´ erents horizons. . . . . 93
4.2 Type d’entr´ ee obtenue. . . . . 94
4.3 Volume de p 1 p 2 p 3 p 4 . . . . . 99
4.4 Valeur de la fonction coˆ ut j(Ξ). . . . . 99
4.5 R´ esultat de l’estimation des param` etres en prenant ε 1 . . . . 100
xvii
EMI Ensemble de Mesure Incertaine EEC Ensemble des El´ ements Consistants
AA Arithm´ etique Affine
AI Analyse par Intervalles
INTLAB INTterval LABoratory FILIB++ Fast Interval LIBrary
PROFIL/BIAS Programmer’s Runtime Optimized Fast Interval Library / Basic Interval Arithmetic Subroutines
LAPACK/BLAS Linear Algebra PACKage / Basic Linear Algebra Subprograms VNODE Validated numerical ordinary differential equation
VNODE-LP Validated numerical ordinary differential equation through Literate Programming
EMV Extended Mean Value
VSPODE Validated Solutions of Initial Value Problems for Ordinary Differential Equations
IOVALABE iSAT-ODE Layer Around VNODE-LP and Bracketing Enclosures SIVIA Set Inversion Via Interval Analysis
LMI Linear Matrix Inequality
EE Elementary Effet
xix
Introduction
Contents
1.1 Introduction g´ en´ erale . . . . 1 1.2 Mod` ele math´ ematique ´ etudi´ e . . . . 2 1.2.1 L’erreur statistique et l’erreur ensembliste . . . . 3 1.2.2 Equations de sensibilit´ e . . . . 3 1.3 L’estimation de param` etres ` a erreurs inconnues mais born´ ees . . . . . 5 1.4 Le diagnostic et le diagnostic actif . . . . 6
1.1 Introduction g´ en´ erale
Pour changer le monde qui nous entoure, la premi` ere chose est de le comprendre. Une fa¸con d’y parvenir peut se r´ ealiser par le biais de la mod´ elisation. Le monde physique peut ˆ etre mod´ elis´ e math´ ematiquement par certaines formes d’´ equations dont les variables sont inconnues mais d´ ependent de mesures r´ eelles. Ces mesures sont souvent obtenues par un processus ou une observation, ce qui introduit souvent des perturbations sur les si- gnaux obtenus. Comme dans le domaine de l’automatique la plupart des machines sont contrˆ ol´ ees par certaines m´ ethodes num´ eriques qui emploient l’estimation et l’identifica- tion, ces branches ont largement ´ evolu´ e. L’estimation parle du probl` eme d’inverse, qui
´ evalue des variables inconnues d´ ependant de mesures donn´ ees. Les donn´ ees sont souvent bruit´ ees et c’est pourquoi il est n´ ecessaire d’´ evaluer de combien et comment les variables estim´ ees influencent le probl` eme consid´ er´ e.
Dans le cas classique stochastique, les incertitudes sont suppos´ ees suivre une certaine loi probabiliste. Mais dans certains cas, la probabilit´ e du ph´ enom` ene physique est suscep- tible d’ˆ etre incorrecte. Par exemple, le processus mesur´ e par des donn´ ees r´ eelles peut ˆ etre complexe (non lin´ eaire, temps variant, etc.) alors que des mod` eles simplifi´ es sont souvent utilis´ es dans le processus d’estimation. Ensuite, le r´ esidu du mod` ele simplifi´ e a une partie d’erreur d´ eterministe. Cela peut ˆ etre des d´ eviations sur leurs sorties, des d´ erives du cap- teur, etc. Si nous traitons ces erreurs comme des variables al´ eatoires distribu´ ees suivant une loi de distribution, alors des r´ esultats insatisfaisants pourront ˆ etre obtenus si la loi est mal choisie.
Parmi les approches alternatives, l’analyse par intervalles a attir´ e notre attention. Elle consid` ere toutes les variables comme des inconnues mais born´ ees par une borne sup´ erieure et une borne inf´ erieure, ce qui est une bonne interpr´ etation pour des ph´ enom` enes al´ eatoires de loi inconnue. Avec le perfectionnement des capteurs, les mesures sont faciles
1
`
a acqu´ erir et en plus, leur fr´ equence est de plus en plus ´ elev´ ee. Malheureusement les donn´ ees sont souvent sur ´ echantillonn´ ees et souffrent des erreurs structurelles quand la configuration du capteur n’est pas totalement satisfaite. Au lieu de prendre une valeur potentiellement bruit´ ee, l’approche par intervalle propose d’utiliser une borne sup´ erieure et une borne inf´ erieure pour encadrer ces erreurs.
Nous avons un ´ el´ ement ˆ x d’un probl` eme (par exemple des param` etres d’un syst` eme dynamique ou un instant particulier durant un processus) et nous souhaitons ´ evaluer une fonction f(ˆ x) (un syst` eme dynamique ou un processus hybride) de cet ´ el´ ement. Nous supposons que la valeur de l’´ el´ ement est incertaine, mais des informations a priori sont disponibles. Nous supposons que cet ´ el´ ement appartient ` a l’ensemble X dont les ´ el´ ements sont des solutions possibles et qu’une fonction f (ˆ x) est mesur´ ee. Nous supposons de plus que les mesures exactes ne sont pas disponibles mais que les mesures y sont perturb´ ees par une erreur e dont les bornes e (sup´ erieure) et e (inf´ erieure) sont connues. Le probl` eme de l’estimation consiste ` a trouver un estimateur F fournissant une approximation F (x) ⊃ f (ˆ x) en utilisant les donn´ ees y et ´ evaluant les mesures de cette approximation.
Dans l’analyse par intervalle, nous nous int´ eressons ` a la d´ etermination du choix d’une entr´ ee contrˆ ol´ ee dans le cas de syst` emes non lin´ eaires. Les algorithmes par intervalles propos´ es d´ edi´ es ` a de tels syst` emes sont d´ etaill´ es dans les chapitres qui suivent.
Nous nous orientons ` a tester des entr´ ees diff´ erentes via des crit` eres bas´ es sur la sensi- bilit´ e et aussi d’autres crit` eres qui ont aussi ´ et´ e ´ evalu´ es. Le but est de mettre au point la th´ eorie qui permet de formuler proprement notre d´ emarche dans le cadre ensembliste. Il s’agit d’un travail original, destin´ e ` a ˆ etre appliqu´ e au cas r´ eel comme le diagnostic actif.
En ce qui concerne le diagnostic actif, nous avons parcouru les travaux propos´ es dans la litt´ erature. Notre but est de trouver des entr´ ees permettant de raffiner le diagnostic de faute lorsque celui est ambigu.
1.2 Mod` ele math´ ematique ´ etudi´ e
Soit une fonction f : R × R n → R m continˆ ument diff´ erentiable de forme suivante :
y = f (t, p), (1.1)
pour tout t ∈ [0, T ] ∈ R et p ∈ P ⊂ R n . Alors si la fonction f dot´ ee d’une expression explicite, cette fonction est dite exacte. Supposons X ⊂ R n et Y ⊂ R m , alors un mod` ele exact a la forme suivante :
x(t, p) = h(t, p),
y(t, p) = g(x(t, p)), (1.2)
o` u h : [0, T ] × P → X et g : X → Y sont des fonctions continˆ ument diff´ erentiables . Dans la litt´ erature, souvent le mod` ele math´ ematique est d´ ecrit par un syst` eme d’´ equations non lin´ eaires diff´ erentielles ordinaires. Les mod` eles sont donn´ es sous la forme suivante :
x(t, p) = ˙ h(t, p, x(t, p)) x(0, p) = x 0 ,
y(t, p) = g(x(t, p)), (1.3)
o` u h : [0, T ] × P × X → X et g : X → Y sont des fonctions. Souvent, il y aura des erreurs intrins` eques quand nous mesurons les sorties et il est peu probable que le mod` ele co¨ıncide avec les mesures r´ eelles. Afin d’introduire ces incertitudes, nous utilisons un mod` ele math´ ematique qui ´ evalue les diff´ erences entre les sorties du mod` ele math´ ematique et du syst` eme r´ eel.
1.2.1 L’erreur statistique et l’erreur ensembliste Le mod` ele statistique est d´ efini par
y(t j ) = y m (t j , p 0 ) + e j , (1.4) o` u e j est un variable al´ eatoire qui repr´ esente les erreurs sur le processus de mesure et p 0 repr´ esente le “vrai” param` etre du mod` ele. Nous supposons que pour tous j = 1, . . . , N , la variable al´ eatoire e j a une distribution normale de moyenne nulle, c’est-` a-dire E(e j ) = 0.
Dans le cas scalaire, nous supposons que la variance d’erreur est var(e j ) = σ 2 pour tous j = 1, . . . , N et le cas vectoriel, nous supposons que var(e j ) = diag(σ 1 2 , σ 2 2 , . . . , σ m 2 ) pour tous j = 1, . . . , N . Comme e j est une variable al´ eatoire, y(t j ) est aussi une variable al´ eatoire.
La conception ensembliste peut ˆ etre appliqu´ ee dans n’importe quelle condition incer- taine, quelque soit le type de la source d’erreur qui va affecter les sorties du syst` eme dynamique. Supposons que e j suive une distribution gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 , alors cet ensemble peut ˆ etre d´ ecrit par un intervalle :
[E] = µ + 3σ[−1, 1] = [µ − 3σ, µ + 3σ], (1.5) qui repr´ esente 99.7% de sˆ uret´ e pour la variable e avec une distribution al´ eatoire.
Etant donn´ e un mod` ele math´ ematique et un ensemble de mesures d’exp´ eriences, l’´ etape suivante consiste ` a trouver un param` etre qui “adapte” les sorties du mod` ele math´ ematique aux mesures ` a partir de l’exp´ erience. Ce processus est connu comme ´ etant le probl` eme de l’estimation de param` etres et les hypoth` eses sur la distribution de la variable repr´ esentant le bruit qui influence la r´ esolution du probl` eme. Dans le contexte stochastique, ce probl` eme a ´ et´ e trait´ e dans le cas ponctuel. Avant d’entrer dans le contexte de l’analyse par intervalles, nous pr´ esentons un court r´ esum´ e concernant les ´ equations de sensibilit´ e d´ efinies par le mod` ele. Comme nous le verrons plus tard, la sensibilit´ e joue un rˆ ole important dans l’estimation de param` etres, la planification d’exp´ erience et dans le diagnostic actif.
1.2.2 Equations de sensibilit´ e
La sensibilit´ e donne des informations sur les impacts des variations des param` etres sur la sortie. L’obtention des sensibilit´ es d’un mod` ele pr´ ecis est un ´ el´ ement important dans l’estimation de param` etres et dans la planification d’exp´ erience.
D´ efinition 1. Les sensibilit´ es des sorties du mod` ele (1.2) et (1.3) par rapport aux pa-
ram` etres du mod` ele sont d´ efinies comme :
s p
1(t, p) = [ ∂y 1 (t, p)
∂p 1 , ∂y 2 (t, p)
∂p 1 , . . . , ∂y m (t, p)
∂p 1 ], s p
2(t, p) = [ ∂y 1 (t, p)
∂p 2 , ∂y 2 (t, p)
∂p 2 , . . . , ∂y m (t, p)
∂p 2 ], .. .
s p
np(t, p) = [ ∂y 1 (t, p)
∂p n
p, ∂y 2 (t, p)
∂p n
p, . . . , ∂y m (t, p)
∂p n
p].
(1.6)
Pour des syst` emes d´ ecrits par des mod` eles exacts, le calcul des sensibilit´ e est di- rect, nous r´ esolvons le mod` ele accompagn´ e des ´ equations de sensibilit´ es sous forme diff´ erentielle. Par souci de simplification des notations, nous consid´ erons que g est une fonction lin´ eaire r´ eduite ` a l’identit´ e. Ce qui est ´ equivalent ` a y(t, p) = x(t, p). Par d´ erivation, nous obtenons :
˙
x(t, p) = h(t, p, x(t, p)), (1.7)
Notons que ˙ x p
j(t, p) = ∂ x ˙
∂p j (t, p) et x p
j(t, p) = ∂x
∂p j (t, p), en r´ esultent les sensibilit´ es d’´ etats par rapport aux param` etres :
˙
x p
1(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
1(t, p) + h p
1(t, p, x(t, p)),
˙
x p
2(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
2(t, p) + h p
2(t, p, x(t, p)), .. .
˙
x p
np(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
np(t, p) + h p
np(t, p, x(t, p)).
(1.8)
Pour la condition initiale x(0, p) par rapport ` a p, nous d´ efinissons : x p (0, p) = [ ∂x(0, p) T
∂p 1 , ∂x(0, p) T
∂p 2 , . . . , ∂x(0, p) T
∂p n
p] T . (1.9)
Ensuite, il s’ensuit que les sensibilit´ es des ´ etats peuvent ˆ etre r´ esolues via le syst` eme :
˙
x(t, p) = h(t, p, x(t, p)),
˙
x p
1(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
1(t, p) + h p
1(t, p, x(t, p)),
˙
x p
2(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
2(t, p) + h p
2(t, p, x(t, p)), .. .
˙
x p
np(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
np(t, p) + h p
np(t, p, x(t, p)) [x(0, p) T , x p (0, p) T ] T = [x T 0 , x T 0,p ] T .
(1.10)
o` u h x (t, p, x(t, p)) repr´ esente la matrice jacobienne par rapport ` a x, h p
i(t, p, x(t, p)) repr´ esente la d´ eriv´ e de h par rapport ` a p i , pour i = (1, . . . , n p ).
Finalement, nous obtenons les sensibilit´ es du mod` ele :
s p
1(t, p) = y p
1(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
1(t, p) + h p
1(t, p, x(t, p)), s p
2(t, p) = y p
2(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
2(t, p) + h p
2(t, p, x(t, p)),
.. .
s p
np(t, p) = y p
np(t, p) = h x (t, p, x(t, p))x p
np(t, p) + h p
np(t, p, x(t, p)).
(1.11)
Si la dimension des ´ etats n est grande, la solution des ´ equations de sensibilit´ e peut ˆ etre lourde, nous pouvons regrouper les ´ equations de sensibilit´ e avec les ´ equations d’´ etat qui r´ esultent de plusieurs sous-syst` emes afin d’all´ eger les calculs.
1.3 L’estimation de param` etres ` a erreurs inconnues mais born´ ees
La strat´ egie que nous utilisons pour estimer les param` etres inconnus d’un mod` ele est bas´ ee sur les hypoth` eses qui ont ´ et´ e faites sur les e j , variables al´ eatoires qui repr´ esentent les erreurs dans le mod` ele statistique et aussi la quantit´ e des mesures disponibles. Deux m´ ethodes peuvent ˆ etre utilis´ ees pour l’estimation de param` etres. Chaque m´ ethode de- mande des hypoth` eses statistiques standards sur le comportement de e j .
— M´ ethode des moindres carr´ ees.
— M´ ethode de maximum de vraisemblance.
Celles ci sont d´ etermin´ ees par les connaissances de leurs lois de distribution [Casella 2002], [Banks 2009]. Si l’on connaˆıt approximativement la r´ epartition de e j , alors nous pouvons mettre en œuvre l’estimateur du maximum de vraisemblance afin d’utiliser les informations que l’on connaˆıt sur la distribution de e j dans l’estimation de param` etre.
L’estimation des moindres carr´ ees peut ˆ etre utilis´ ee quand la loi de distribution des e j
est inconnue [Burns 2007].
Dans un contexte ensembliste, l’estimation de param` etres est dite ` a erreurs born´ ees, toute les variables incluent toutes les valeurs possibles sur des quantit´ es incertaines [Jaulin 2001a] [Ra¨ıssi 2004b] [Kieffer 2011]. Avec les outils intervalles, les solutions peuvent ˆ etre aussi obtenues num´ eriquement et correctement en ne tenant compte que des erreurs d’arrondis sur l’ordinateur. Donc, quelle que soit le nombre de mesures, l’ap- proche ensembliste permet d’obtenir des r´ esultats garantis, ` a la fois num´ eriquement et pratiquement. Ce qui est diff´ erent des solutions retenues par l’approche stochastique, nous avons des intervalles de confiances sur les r´ esultats obtenus.
L’estimation de param` etres ` a erreur born´ ee a pour but de trouver un ensemble qui d´ ecrit les param` etres potentiellement corrects permettant de le projeter via la fonction du syst` eme ` a l’int´ erieur des donn´ ees born´ ees ou bien de trouver un ensemble qui minimise une fonction coˆ ut choisie, par exemple, la norme de la diff´ erence entre les donn´ ees mesur´ ees et les donn´ ees calcul´ ees [Jaulin 2001b]. La minimisation de cette fonction coˆ ut conduit
`
a une seule solution : le vecteur de param` etres sur le point minimal. D’ailleurs, cette
approche utilise la propri´ et´ e asymptotique de l’estimateur de vraisemblance, ce qui n’est
pas appropri´ e quand le nombre de mesures est insuffisant. Une approche plus int´ eressante
est d’utiliser l’estimation via le calcul ensembliste. L’avantage de cette m´ ethode est qu’elle
ne n´ ecessite pas d’hypoth` eses sur le nombre de donn´ ees, mais impose que les erreurs
de mesures soient born´ ees. Les r´ esultats que nous obtenons donnent une vision de la
r´ epartition des param` etres, ce qui nous permet d’appr´ ehender plus d’information : par
exemple l’´ etat de fonctionnement, pronostiquer les fautes, etc [Pons 2008]. Comme pour
chaque donn´ ee, nous devons faire une inversion ensembliste, ce qui n´ ecessite plusieurs
op´ erations r´ ecursive, le temps de calcul est alors plus coˆ uteux que dans le cas de la
m´ ethode statistique.
Une question qui se pose souvent concerne le temps d’´ echantillonnage permettant d’obtenir les mesures donnant la meilleure estimation de param` etres : Si nous avons N
´
echantillons de mesures, comment choisir les instants pour les M ´ echantillons suivants afin d’estimer les param` etres ? C’est une question cruciale car deux ensembles de donn´ ees contenant M ´ echantillons, mais pris ` a des instants diff´ erents peuvent conduire ` a une estimation de param` etres de qualit´ e diff´ erente. La r´ eponse est d’utiliser la planification d’exp´ erience. Avec cette approche, nous souhaitons planifier des exp´ eriences qui soient efficaces pour estimer au mieux les param` etres inconnus ` a partir du mod` ele. En plus elle nous permet d’identifier les conditions optimales pour les mod` eles correspondants.
Pour concevoir une planification d’exp´ erience, nous devons faire quelques hypoth` eses sur les param` etres ` a estimer. Cette information peut venir d’exp´ eriences pr´ ealables ou ` a partir d’une ´ etude sur le syst` eme mod´ elis´ e. Peu importe d’o` u vient cette information, la planification d’exp´ erience commence par la donn´ ee d’un ensemble born´ e dans lequel se trouveront avec certitude les param` etres ˜ p. La planification d’exp´ eriences est donc li´ ee ` a cet ensemble pr´ efix´ e (a priori connu) de param` etres. Pour cette raison, il est crucial de bien choisir cet ensemble de param` etres au d´ epart.
1.4 Le diagnostic et le diagnostic actif
Les syst` emes automatiques deviennent de plus en plus complexes et les algorithmes de contrˆ ole aussi. D’autre part l’efficacit´ e, la rentabilit´ e, la sˆ uret´ e sont des points incontour- nables. Cela demande des d´ eveloppements sur le diagnostic sur ces syst` emes automatiques afin de g´ erer la fiabilit´ e sur des syst` emes de sˆ uret´ es critiques [Chen 2012]. Des syst` emes de diagnostic sont alors propos´ es afin de d´ etecter les fautes et diagnostiquer leur importance sur l’objet ´ etudi´ e. Un tel syst` eme consiste de trois missions : la d´ etection, l’isolation et l’identification de fautes. Dans cette th` ese, nous parlerons de la m´ ethodologie du diag- nostic ` a base de mod` eles analytiques [Isermann 2005].
Avec cette approche, le principe fondamental du diagnostic s’´ enonce ainsi :
”toute proc´ edure de diagnostic proc` ede n´ ecessairement de tests de coh´ erence entre des signaux issus d’observation et des mod` eles de comportement”.
N´ eanmoins, la v´ erification de cette coh´ erence nous donne un taux de fausses alarmes
´
elev´ e en tenant compte de l’erreur incertaine importante, par contre, une seule faute r´ esulte de fautes multiples ` a la phase de d´ etection de faute, ce qui rend difficile d’isoler des fautes diff´ erentes. D’autre part, cette v´ erification de coh´ erence n´ ecessite une redondance mat´ erielle ou analytique qui restent le seul secours pour compenser tous ces inconv´ enients.
Le diagnostic actif stimule le syst` eme par une entr´ ee appel´ ee excitation afin de d´ ecider si dans les comportements du syst` eme apparaissent des dysfonctionnements ou pas. Il peut ˆ
etre utile dans les situations suivantes :
— G´ en´ eration des signaux de test lors de la mise en service d’un syst` eme pour en v´ erifier le bon fonctionnement.
— D´ etection des dysfonctionnements plus rapidement que dans les conditions nor-
males d’un syst` eme.
— D´ etection des dysfonctionnements cach´ es r´ esultant de la r´ egulation et conduisant
`
a ne pas percevoir le dysfonctionnement car les sorties sont indistinguables.
Le but du diagnostic est de trouver une s´ equence d’entr´ ees de telle sorte que les sorties calcul´ ees avec les syst` emes dysfonctionnels et les syst` emes fonctionnels de- viennent diff´ erentes. Nous supposons que les sorties du syst` eme sont disponibles ` a chaque instant t. Une sortie du syst` eme est not´ ee d’une mani` ere g´ en´ erale Y et Y = (y(t 1 ), · · · , y(t N )) T . Nous noterons T = t n
1, . . . , t n
kun ensemble d’instants de mesures, Y i (T ) = (y i (t n
1), . . . , y i (t n
k))) T la sortie qui subit la faute f i .
Pour que la faute f i soit d´ etectable, il suffit qu’il existe un instant t n
jitelle que la diff´ erence entre y i (t n
ji) et le mode normal soit significative [Isermann 2005] :
|y 0 (t n
ji) − y i (t n
ji)|≥ d pour tout i ∈ {1, · · · , n}, (1.12) o` u d > 0 et n repr´ esente le nombre de fautes et t n
jirepr´ esente un ´ el´ ement de t n
1i, . . . , t n
kiqui correspond ` a l’ensemble T pour la faute f i . y 0 (t n
ji) repr´ esente le syst` eme en fonction- nement normal, c’est-` a-dire sans faute.
La d´ etection de fautes et l’identification de fautes peuvent ˆ etre faites par le biais de surveiller peu de mesures, le processus dynamique, le mod` ele de signal et l’estimation de param` etres afin de g´ en´ erer un symptˆ ome [Isermann 1993]. Ce symptˆ ome sera ensuite
´ evalu´ e par une proc´ edure de diagnostic, qui est bas´ ee sur des connaissances a priori. Le taux de fausses “alarmes” est un effet in´ evitable dans le cadre de diagnostique probabi- liste, pour couvrir plus largement le cas d´ efaillant, de nombreuses exp´ eriences doivent ˆ etre faites pour avoir une valeur relativement bonne [Chen 2012]. Pour ´ evider ces probl` emes comme incertitudes, nous pouvons choisir un seuil pour d´ eterminer si une faute persiste ou pas, etc. Nous proposons d’utiliser l’approche d’analyse par intervalle afin de d´ etecter voire de diagnostiquer les fautes.
Nous appliquons deux approches diff´ erentes avec les techniques de diagnostiques. Dans cette th` ese : une m´ ethode surveille les ´ etats, calculer l’´ ecart entre la sortie sans faute et la sortie subissant des fautes en temps r´ eel. L’autre calcule les param` etres, nous comparons l’´ ecart entre les param` etres dans le cas normal et ceux qui du cas anormal. Pour la derni` ere m´ ethode, nous adoptons une processus d’inversion ensembliste afin de trouver l’ensemble de solution d’une fa¸con d´ eterministe et exhaustive, peu importe le type ensemble de param` etres admissibles (convexe ou pas). Grˆ ace ` a cette recherche exhaustive en utilisant
“Branch and Bound”, le temps d’ex´ ecution est long.
Afin d’am´ eliorer et d’affiner les r´ esultats du diagnostic via l’estimation de param` etres (temps et pr´ ecision), nous mettons en place une technique de diagnostic actif afin de sortir plus de l’information depuis le syst` eme ´ etudi´ e. La conception du choix d’entr´ ee est importante avec cette technique. Dans notre approche, cette entr´ ee est con¸cue hors ligne bas´ ee sur une analyse de sensibilit´ e qui cherche ` a rendre le domaine des solutions plus contractant.
Le chapitre 2 parle de l’outil d’estimation dans le contexte d’ensembliste. Ensuite,
le chapitre 3 parlera de l’estimation garantie en utilisant l’analyse par intervalles. Les
id´ ees principales pour estimer les ´ etats et les param` etres du mod` ele dynamique seront
pr´ esent´ ees et expliqu´ ees avec des exemples concrets. Pour augmenter la pr´ ecision des
r´ esultats d’estimation de param` etres, nous avons propos´ e d’utiliser une planification
d’exp´ erience afin de rendre le domaine initial des param` etres ` a estimer le plus petit
possible. Dans le chapitre 4, quelques crit` eres d’optimalit´ e ont ´ et´ e propos´ es et d´ emontr´ es
avec des exemples choisis du domaine a´ eronautique. Enfin, cette m´ ethode a ´ et´ e amen´ ee
dans le domaine du diagnostic actif afin de trouver les fautes ` a partir de l’estimation de
param` etre dans le chapitre 5. La conclusion et des perspectives seront donn´ ees dans le
dernier chapitre 6.
Outil d’estimation dans le contexte ensembliste
Contents
2.1 Introduction au contexte ensembliste . . . . 9 2.1.1 Calcul avec des ensembles . . . . 10 2.1.2 Repr´ esentation d’une variable incertaine . . . . 12 2.2 Introduction ` a l’analyse par intervalle . . . . 12 2.2.1 Pav´ e et sous pavage . . . . 14 2.2.2 Arithm´ etique des intervalles . . . . 15 2.2.3 Propri´ et´ e alg´ ebrique . . . . 17 2.2.4 Fonction d’inclusion . . . . 19 2.2.5 Pessimisme de surestimation . . . . 25 2.2.6 Arithm´ etique affine . . . . 26 2.2.7 Comparaison entre arithm´ etique affine et analyse par intervalle . . . . 27 2.2.8 Librairie d’intervalle . . . . 28 2.2.9 Image r´ eciproque d’un ensemble . . . . 29 2.2.10 Image directe d’un ensemble . . . . 31
2.1 Introduction au contexte ensembliste
Pour d´ ecrire l’incertitude, nous avons des outils dans les sciences pour l’ing´ enieur, l’une est l’approche probabiliste, plus classique et largement appliqu´ ee. Mais dans certaines applications, pour obtenir une estimation d´ eterministe par exemple, les incertitudes sur les conditions initiales et les incertitudes sur le syst` eme d’´ evolution peuvent limiter cette approche ` a cause d’une mauvaise connaissance sur les lois de distribution. Une autre approche peut ˆ etre utilis´ ee c’est l’approche ensembliste que nous pr´ esentons dans ce chapitre.
L’approche ensembliste utilise un ensemble born´ e X de R n , pour repr´ esenter une va- riable incertaine, que l’on sait contenue dans X . La repr´ esentation ensembliste est plus conservatrice que la repr´ esentation probabiliste, sa manipulation est beaucoup plus ais´ ee que celle des variables al´ eatoires. Par contre, elle ne demande aucune connaissance statis- tique, ce qui est toujours facile ` a manipuler en pratique. En ce qui concerne les syst` emes automatiques, il arrive souvent que l’erreur du capteur soit donn´ ee en terme de tol´ erance (erreur relative) et non en terme de densit´ e de probabilit´ e. Dans tous les cas, l’approche ensembliste est une approche naturelle pour traiter les mesures fournies par le capteur.
9
Il est clair que si les propri´ et´ es des variables al´ eatoires sont connues, une approche ensembliste semble inutile. Dans les probl` emes lin´ eaires gaussiens, par exemple, les calculs probabilistes sont ´ el´ ementaires et tr` es efficaces, alors qu’une approche ensembliste ne pr´ esente aucun int´ erˆ et.
Dans cette th` ese nous traiterons des probl` emes non lin´ eaires o` u l’approche ensembliste est bien adapt´ ee.
Dans les sciences pour l’ing´ enieur, beaucoup de probl` emes consistent ` a trouver des solutions dans un espace de recherche. Avec l’approche ensembliste, l’espace de recherche est recouvert par un nombre fini de sous ensemble simples, qui v´ erifient les principes suivants :
— Si une mˆ eme propri´ et´ e est ´ etablie pour chacun des sous-ensembles d’une partition de l’espace de recherche, alors cette propri´ et´ e est valide pour l’espace de recherche tout entier.
— Si l’on arrive ` a prouver qu’un sous-ensemble ne contient aucune solution du probl` eme, nous pouvons l’´ eliminer de l’espace de recherche.
— Si l’on n’arrive pas ` a prouver qu’un sous-ensemble ne contient aucune solution, nous pouvons toujours le d´ ecomposer en plusieurs sous-ensembles sur lesquels nous recommen¸cons une analyse.
Avec ces principes, nous trouvons les algorithmes de type branch and bound ainsi que tous les algorithmes que nous pr´ esenterons dans la suite.
Dans cette th` ese, seule l’approche de l’estimation ensembliste [Kosut 1992]
[Kieffer 1998] [Ra¨ıssi 2004b] sera utilis´ ee et ´ etudi´ ee.
2.1.1 Calcul avec des ensembles
La repr´ esentation exacte ou approch´ ee d’un sous-ensemble de R n est fondamentale dans notre approche. Elle doit permettre des manipulations efficaces des sous-ensembles d’une mani` ere la plus simple possible. Elle doit pr´ esenter tous les sous-ensembles qui nous int´ eressent et qui sont parfois non connexes et avec tout type de formes. Parmi les approches classiques pour repr´ esenter les sous-ensembles de R n , nous avons retenu la repr´ esentation par recouvrement [Jaulin 2001a]. Cette m´ ethode convient tout d’abord pour d´ efinir une classe de sous-ensemble de R n que l’on sait repr´ esenter et manipuler ais´ ement. Les ´ el´ ements de cette classe sont appel´ es des ”r´ ecipients” [Jaulin 2000]. Cette classe peut ˆ etre l’ensemble des ellipso¨ıdes, des pav´ es, des polytopes, des zonotopes, etc.
Pour une classe de “r´ ecipient” donn´ ee, un ensemble X peut g´ en´ eralement ˆ etre repr´ esent´ e par une union de boˆıtes qui recouvrent compl` etement X . Beaucoup de caract´ eristiques int´ eressantes de X se trouvent contenues dans cette union. Nous les distinguons par une classe de boˆıtes telle que tout compact X de R n peut ˆ etre encadr´ e par deux unions de
“r´ ecipient” X − et X + dans le sens o` u
X − ⊂ X ⊂ X + . (2.1)
Une connaissance du couple [ X − , X + ] nous donne de pr´ ecieuses informations sur X .
Dans la suite, nous allons utiliser cette repr´ esentation o` u les ”r´ ecipients” sont des pav´ es.
Similaires au cas ponctuel, les op´ erations sur les ensembles peuvent s’en d´ eduire faci- lement mais avec de petites modifications.
Soient X un sous ensemble de R n , Y un sous ensemble de R m et f : R n → R m , une fonction vectorielle. Nous d´ efinissons l’image directe de X par f :
f ( X ) = 4 {y ∈ R m | ∃x ∈ X , f (x) = y}, (2.2) l’image r´ eciproque de Y par f :
f −1 ( Y ) = 4 {x ∈ R n | ∃y ∈ Y , f (x) = y}. (2.3) Les op´ erateurs classiques peuvent ˆ etre d´ efinis pour les ensembles. Ainsi, si X et Y sont deux sous ensembles de R n ,
X + Y = 4 {x + y, x ∈ X , y ∈ Y }. (2.4) Notons que les multiples occurrences entraˆınent du pessimisme, par exemple, X − X doit ˆ etre compris comme l’ensemble {x − y, x ∈ X , y ∈ X } et non pas comme l’ensemble {x − x, x ∈ X } = {0}. Cependant, si f (x) = x − x, f ( X ) = {0}.
Les op´ erations ensemblistes pures regroupent, par exemple, la projection canonique, l’union, l’intersection. D´ efinissons ces op´ erations dans le cas o` u X et Y sont deux sous ensembles de R n et R m .
proj i ( X ) = 4 {x i ∈ R | ∃x = (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ) T ∈ R n , x ∈ X }, (2.5) X ∩ Y
= 4 {x ∈ R n | x ∈ X et x ∈ Y }, avec n = m, (2.6) X ∪ Y = 4 {x ∈ R n | x ∈ X ou x ∈ Y }, avec n = m. (2.7) Les relations binaires ensemblistes classiques :
X ⊂ Y ⇔ ∀x ∈ X , x ∈ Y , (2.8)
X = Y ⇔ X ⊂ Y et Y ⊂ X . (2.9)
Soit f une fonction R n → R , (x 1 , . . . , x n ) → y dont nous connaissons une expression permettant de l’´ evaluer. Si F ( X 1 , . . . , X n ) est le r´ esultat d’un calcul ensembliste sur X , utilisant cette expression en rempla¸cant chaque x par X pour f [Moore 2009]. Alors, nous avons l’inclusion :
f( X 1 , . . . , X n ) ⊂ F ( X 1 , . . . , X n ), (2.10) o` u
f ( X 1 , . . . , X n ) = {f (x 1 , . . . , x n ), x 1 ∈ X 1 , . . . , x n ∈ X n } (2.11)
2.1.2 Repr´ esentation d’une variable incertaine
Maintenant, expliquons le passage d’un mod` ele statistique ` a un mod` ele ensembliste via un exemple acad´ emique, ceci nous permettra de comprendre pourquoi une repr´ esentation ensembliste permet une manipulation plus simple des variables al´ eatoires que l’approche probabiliste.
Exemple 1. Consid´ erons trois variables al´ eatoires r´ eelles X, Y et Z reli´ ees par la contrainte Z = X + Y . Cherchons ` a d´ eduire les propri´ et´ es statistiques de Z ` a partir de celles de X et Y par l’approche probabiliste puis par l’approche ensembliste.
— Approche probabiliste.
Supposons que X et Y ont des densit´ es de probabilit´ e π(X) = 1/2 sur [0, 2] et π(Y ) = 1/3 sur [1, 3]. Pour calculer π(Z), il nous faut une information sur le comportement conjoint de X et Y . Nous allons donc supposer que X et Y sont ind´ ependantes. Ainsi, la densit´ e du couple est uniforme avec π(X, Y ) = 1/6 sur le pav´ e [0, 2] × [1, 3].
— Approche ensembliste.
L’incertitude associ´ ee ` a X et Y est donn´ ee par un ensemble. Pour ˆ etre coh´ erent avec l’approche probabiliste, nous allons prendre l’intervalle [X] = [0, 2] pour X et l’intervalle [Y ] = [1, 3] pour Y . Il est alors clair que Z est dans l’intervalle [Z] = [0 + 1, 2 + 3] = [1, 5].
Sur cet exemple, l’approche ensembliste engendre des calculs plus simples et de- mande moins d’hypoth` eses sur le comportement conjoint que l’approche probabi- liste.
Les manipulations non lin´ eaires sont plus simple avec l’approche ensembliste qu’avec l’approche probabiliste. Si dans cet exemple, Z est donn´ e par Z = X 2 Z, le calcul de π(Z) devient tr` es difficile. Avec l’approche ensembliste, nous obtenons facilement, pour la variable Z, l’intervalle [Z ] = [0, 2] 2 × [1, 3] = [0, 2 × 2] × [1, 3] = [0, 4] × [1, 3] = [0, 12].
Pour des probl` emes statistiques non lin´ eaires, nous pouvons utiliser la r` egle 5σ ou 3σ pour transf´ erer les incertitudes du type probabiliste au type ensembliste, voir l’´ equation (1.5), o` u σ d´ esigne l’´ ecart type en probabilit´ es.
2.2 Introduction ` a l’analyse par intervalle
L’analyse par intervalle a ´ et´ e d´ evelopp´ ee par R.E. Moore [Moore 1966] dans les ann´ ees 1960. Cette analyse peut ˆ etre consid´ er´ ee comme une extension des nombres r´ eels, un inter- valle est repr´ esent´ e par deux nombre r´ eels. Cet intervalle contient tous les r´ eels encadr´ es par une borne sup´ erieure et une borne inf´ erieure. Cette id´ ee peut ˆ etre facilement appliqu´ ee dans l’analyse d’erreur comme par exemple : le centre de l’intervalle est une approxima- tion de la vraie valeur et la largeur de l’intervalle est la r´ egion incertaine [Moore 1966].
De nombreux travaux ont ´ et´ e abord´ es sur le sujet du calcul intervalle arithm´ etique dans des ann´ ees 1960s. Ensuite, dans des ann´ ees 1990s - 2000s [Rihm 1994] [Makino 1996]
[Nedialkov 1999b] [Makino 2005], le calcul num´ erique garanti a ´ et´ e beaucoup visit´ e d’un
point de vue math´ ematique via l’approche intervalle, ce qui a donn´ e naissance de nom- breux solveurs librement utilis´ es de par le monde. L’analyse par intervalle peut donner une vision plus naturelle sur les incertitudes et elle est utilis´ ee dans diff´ erentes applica- tions de l’ automatique pour l’observation et l’estimation, etc. Dans cette section, des explications importantes concernant l’analyse par intervalle sont pr´ esent´ ees. Pour une information suppl´ ementaire, le lecteur pourra consulter le livre de Moore [Moore 2009].
L’analyse par intervalle constitue la base de l’int´ egration garantie et de l’analyse de sen- sibilit´ e dont nous parlerons dans le prochain chapitre. Pour uniformiser les notations d’intervalle, la variable intervalle est not´ ee : [x], qui appartient ` a IR . Une matrice d’in- tervalle est not´ ee : [X], qui appartient ` a IR n×m o` u n et m repr´ esentent respectivement le nombre de lignes et le nombre de colonnes dans cette matrice.
D’un point de vue math´ ematique, un intervalle est un ensemble r´ eel born´ e,
[x] = [a, b] = {x : a 6 x 6 b}. (2.12) L’intervalle not´ e [x] repr´ esente un intervalle o` u les deux bornes extrˆ emes sont donn´ ees par la borne inf´ erieure x et la borne sup´ erieure x. Nous utilisons l’op´ erateur sup([x]) pour signifier la borne sup´ erieure x et l’op´ erateur inf ([x]) pour signifier la borne inf´ erieure x.
Par la suite, nous illustrons certaines d´ efinitions importantes et notations dans la communaut´ e.
La largeur d’un intervalle est d´ efinie par :
ω([x]) = x − x. (2.13)
Le point milieu d’un intervalle [x] est not´ e : m([x]) = (x + x)
2 . (2.14)
La valeur absolue est :
|[x]| = max(|x|, |x|). (2.15) Deux intervalles sont dits ´ egaux si et seulement si leurs deux bornes sont ´ egales :
[x] = [y] si x = y et x = y. (2.16)
Nous disons qu’un intervalle est inclu dans un autre intervalle :
[x] ⊆ [y] si et seulement si y 6 x et x 6 y. (2.17) L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle d´ efini par l’expression :
[x] ∩ [y] = {z ∈ IR | z ∈ [x] et z ∈ [y]}, (2.18) et l’union de deux intervalles est d´ efinie ci-dessous :
[x] ∪ [y] = {z ∈ IR | z ∈ [x] ou z ∈ [y]}. (2.19)
Afin que le calcul ensembliste soit ferm´ e et respecte les r` egles classiques, nous d´ efinissons l’enveloppe d’un sous-ensemble X de IR comme le plus petit intervalle [X]
qui le contient. Par exemple, l’enveloppe de deux intervalles [2, 3] ∪ [4, 8] est ´ egale [2, 8].
L’enveloppe de deux intervalles est d´ efini par :
[x]∪[y] = [min(x, y), max(x, y)]. (2.20) ce qui est toujours un intervalle. Alors nous avons :
[x] ∪ [y] ⊆ [x]∪[y]. (2.21)
2.2.1 Pav´ e et sous pavage
D´ efinition 2. Un pav´ e [x] (ou boˆıte) de IR n est le produit cart´ esien de n intervalles pouvant s’´ ecrire sous la forme suivante :
[x] = [x 1 , x 1 ] × · · · × [x n , x n ] = [x 1 ] × [x 2 ] × · · · × [x n ]. (2.22) Un pav´ e [x] est appel´ e un vecteur intervalle car ses n composantes sont des intervalles de R . L’ensemble de tous les pav´ es de IR est not´ e IR n
Cela change aussi la d´ efinition de la longueur ω, qui correspond ` a la longueur de son plus grand cˆ ot´ e :
ω([x]) = max(x i − x i ), i = 1, · · · , n. (2.23) Par exemple, soit un pav´ e [x] = [−2, 6] × [3, 4],
ω([x]) = 8.
De mˆ eme pour la d´ efinition du point milieu :
m([x]) = (m([x i ]), i = 1, · · · , n). (2.24) La bissection d’un pav´ e [x] est l’op´ eration qui consiste ` a couper le pav´ e en deux sur son plus grand cˆ ot´ e. Nous reprenons le pav´ e pr´ ec´ edent [x] qui g´ en` ere deux nouvelles pav´ es :
[x] 1 = [−2, 2] × [3, 4] et [x] 2 = [2, 6] × [3, 4].
Un sous-pavage P de IR est une union de pav´ es de IR n qui ne se chevauchent pas, ce
qui signifie que leur intersection deux ` a deux est vide sauf ´ eventuellement s’ils ont une
fronti` ere commune.
X 1
X 2
X
