1.1 D´ efinition, crit` ere d’existence et discussion sur la non-unicit´ e

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XI

Calcul int´ egral

Table des mati` eres

1 Primitives 2

1.1 Définition, critère d’existence et discussion sur la non-unicité . . . 2

1.2 Primitives des fonctions usuelles . . . 3

1.3 Primitives et lin´earit´e . . . 3

1.4 Primitives et composition . . . 4

2 Int´egration des fonctions continues 5 2.1 Int´egrale d’une fonction continue entre deux points . . . 5

2.2 Interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction continue . . . 5

2.3 Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue . . . 7

2.4 Int´egrations par parties . . . 8

2.5 Int´egration par changement de variable . . . 8

2.6 Int´egrale fonction de sa borne sup´erieure−cas continu . . . 9

2.7 Sommes de Riemann . . . 10

2.8 Formule de Taylor avec reste int´egral . . . 11

3 Int´egration des fonctions continues par morceaux 12 3.1 Fonctions continues par morceaux . . . 12

3.2 Int´egrale d’une fonction continue par morceaux entre deux points . . . 14

3.3 Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 14

3.4 Int´egrale fonction de sa borne sup´erieure−cas continu par morceaux . . . 16

(2)

1 Primitives

1.1 D´ efinition, crit` ere d’existence et discussion sur la non-unicit´ e

D´efinition (primitive d’une fonction) :SoitIun intervalle r´eel et soitf:I→Rune fonction. Une primitive def surI est une fonctionF:I→Rtelle que :







F est d´erivable surI et

∀x∈I, F^′(x) =f(x).

Exemple 1 :Soit la fonction

f : R → R

x 7→ x+ 1.

Alors la fonction

F : R → R

x 7→ x² 2 +x

est une primitive def surR. En effet,F est dérivable sur R(fonction polynôme) et pour toutx∈R,F^′(x) = f(x). Plus généralement, on vérifie, pour toutK∈R, la fonction

F+K : R → R

x 7→ x²

2 +x+K est aussi une primitive def surR.

Théorème 1 (forme générale des primitives d’une fonction sur un intervalle, à partir d’une) :Soit I unintervalleréel et soitf:I→Rune fonction. On suppose quef admet une primitiveF0 surI.

1. Pour toutK∈R, la fonction

F0+K : R → R

x 7→ F0(x) +K est une primitive de f surI.

2. R´eciproquement, si F est une primitive de f surI, alors il existe K∈Rtel que :F =F0+K.

⋄ Preuve du théorème 1 :Ce théorème repose de fa¸con essentielle sur le fait qu’une fonction dérivable sur un intervalleI, de dérivée nulle surI, est constante surI.

Exemple 2 :

f : ]−1,+∞[ → R

x 7→ 1

x+ 1. On v´erifie ais´ement que la fonction

F0 : R → R

x 7→ ln(x+ 1)

est une primitive def sur ]−1,+∞[. D’après le théorème 1, les primitives def sur ]−1,+∞[ sont les fonctions

FK : R → R

x 7→ ln(x+ 1) +K o`uK est une constante r´eelle.

Théorème 2 (critère d’existence d’une primitive) :SoitI un intervalle réel et soitf:I→Rune fonction continue surI. Alorsf admet une primitive surI.

Remarque 1 :La fonction

f : R → R

x 7→ e^x²

est continue surR(comme composée de fonctions usuelles continues sur leurs domaines de définition). D’après le théorème 2, elle admet donc une primitiveF surR. Mais,^≪on ne sait pas^≫ exprimerF à l’aide des fonctions usuelles. La détermination explicite de primitives n’est donc pas toujours possible.

(3)

1.2 Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive Domaine de validit´e

x7→a,ar´eel x7→ax surR

x7→xⁿ,nentier relatif,n6=−1 x7→ xⁿ⁺¹ n+ 1

surRsin∈N

sur ]− ∞,0[ ou sur ]0,+∞[, sin≤ −2

x7→x⁻¹= 1

x x7→ln(x) sur ]0,+∞[

x7→ 1

√x x7→2√

x sur ]0,+∞[

x7→sin(x) x7→ −cos(x) surR

x7→cos(x) x7→sin(x) surR

x7→ 1

cos²(x) = 1 + tan²(x) x7→tan(x) suri

−π 2,π

2

hpar exemple

x7→e^x x7→e^x surR

x7→ 1

√1−x² x7→arcsin(x) sur ]−1,1[

x7→ 1

1 +x² x7→arctan(x) surR

Remarque 2 :Pour démontrer les résultats de ce tableau, il suffit de vérifier, pour chaque ligne, que la fonction de la deuxième colonne est dérivable sur l’intervalle donné et de montrer que sa dérivée co¨ıncide avec la fonction de la première colonne.

1.3 Primitives et lin´ earit´ e

Théorème 3 (primitives et linéarité) :SoitIun intervalle réel. Soientf:I→R,g:I→Rdeux fonctions et soientλ, µ∈R. On suppose quef admet une primitiveF surI et queg admet une primitiveGsur I.

Alors la fonctionλF +µGest une primitive de la fonctionλf+µg surI.

⋄ Preuve du théorème 3 : Une combinaison linéaire de fonctions dérivables sur I est dérivable sur I et la dérivation est linéaire.

⋄ Exemple 3 :Soit la fonction

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ 2

x−x². D´eterminer toutes les primitives def sur ]0,+∞[.

(4)

1.4 Primitives et composition

Théorème 4 (primitives et composition) : Soient I et J deux intervalles réels. Soit f:I → R et soit g: J → Rdeux fonctions dérivables sur leur ensemble de définition telles que la composée g◦f: I → Rest définie, i.e. telles que :

∀x∈ I, f(x)∈J.

Alors la fonctiong◦f:I→Rest une primitive surIde la fonction hd´efinie par :

h : I → R

x 7→ f^′(x)×g^′(f(x)).

⋄ Preuve du théorème 4 :Ce théorème est une traduction, dans le langage des primitives, du résultat fonda- mental du cours de calcul différentiel suivant. Sif:I→Ret soitg:J →Rdeux fonctions dérivables sur leur ensemble de définition telles que la composéeg◦f est définie, alors la fonctiong◦f:I→Rest dérivable surI et on a pour toutx∈I, (g◦f)^′(x) =f^′(x)×g^′(f(x)).

Remarque 3 :Ce théorème possède de nombreuses applications. On liste^≪les plus classiques^≫ ci-dessous.

Hypoth`eses Fonction Une primitive Domaine de validit´e

• u:I → R admettant une primitiveU surI

• a, b∈Raveca6= 0

x7→u(ax+b) x7→ 1

a×U(ax+b)

sur un intervalle J de R telle que pour toutx∈J, ax+b∈I

• u:I→Rd´erivable surI

• ∀x∈I, u(x)6= 0 x7→u^′(x)

u(x) x7→ln(|u(x)|) surI

u:I→Rdérivable surI x7→u^′(x)×eû(x) x7→eû(x) surI

• u:I→Rd´erivable surI

• ∀x∈I, u(x)>0

• α∈Ravecα6=−1

x7→u^′(x)× u(x)^α

| {z }

e^α×ln(u(x))

x7→ 1

α+ 1 ×u(x)^α+1 surI

⋄ Exemple 4

1. D´eterminer toutes les primitives sur Rde la fonction

f1 : R → R

x 7→ sin(3x).

2. D´eterminer toutes les primitives sur Rde la fonction

f2 : R → R

x 7→ x

x²+ 1. 3. D´eterminer toutes les primitives sur Rde la fonction

f3 : R → R

x 7→ x e^x². 4. D´eterminer toutes les primitives sur Rde la fonction

f4 : R → R

x 7→ sin(x) cos⁴(x).

(5)

2 Int´ egration des fonctions continues

2.1 Int´ egrale d’une fonction continue entre deux points

Définition (intégrale d’une fonction continue sur un intervalle I, entre a ∈ I et b ∈ I) : Soit f une fonction continue sur un intervalleI et soient a, b∈I. On appelle intégrale de aà b le nombre réel noté Z b

a

f(x)dxet d´efini par :

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a) o`uF est une primitive (quelconque) de f surI.

Remarque 4 :On conserve les notations de la d´efinition.

1. La d´efinition de Z b

a

f(x) dx ne dépend pas du choix de la primitive F de f sur I choisie, d’après le théorème 1.

2.

Z b a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx.

Exemple 5 : 1.

Z 2 0

1dx= [x]²₀= 2−0 = 2

2. Plus généralement, si a et b sont deux nombres réels tels que a < balors : Z b

a

1 dx = [x]^b_a =b−a. En d’autres termes,

Z b a

1dx est la longueur de l’intervalle [a, b].

3.

Z 4 0

x dx= x²

2 4

0

=4² 2 −0²

2 = 8.

2.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale d’une fonction continue

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;−→i ,−→j). L’unité d’aire est l’aire du carré de côtéOI, oùI est le point du plan tel que−→

OI =−→i.

Théorème 5 (interprétation géométrique de l’intégrale) :Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleIet soienta, b∈Itels quea < b. On noteCf la courbe représentative def relativement au repère (O;−→i ,−→j).

Alors l’int´egrale Z b

a

f(x) dx est l’aire du domaine du plan délimité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

⋄ Exemple 6

1. On a vu dans l’exemple pr´ec´edent que : Z 2

0

1dx= 2. On peut retrouver ce résultat par voie géométrique, en utilisant l’interprétation géométrique de l’intégrale.

1

−1

1 2

−1

En effet, le domaine du plan délimité par la courbe représentative de la fonction constante 1, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= 0 etx= 2 est le rectangle grisé. Son aire vaut 2×1 = 2.

(6)

2. Également dans l’exemple précédent, on a vu que : Z 4

0

x dx= 8. Ici aussi, on peut retrouver ce résultat par voie géométrique, en utilisant l’interprétation géométrique de l’intégrale.

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

En effet, le domaine du plan délimité par la courbe représentative de la fonctionx7→x, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= 0 etx= 4 est le triangle isocèle rectangle grisé. Son aire vaut 4×4

2 = 8.

3. Soit la fonction

f : R → R

x 7→ x²−4x+ 5.

On cherche `a calculer l’aire du domaine gris´e ci-dessous.

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

Cf

D’après l’interprétation géométrique de l’intégrale, cette aire vaut : Z 4

1

f(x)dx. On calcule enfin Z 4

1

f(x)dx= 6 pour conclure.

Remarque 5 :Le calcul d’aire^≪sous la courbe^≫, comme on l’a vu précédemment dans le 3. de l’exemple 6 est une des raisons pour lesquelles on introduit la notion d’intégrale.

Dans la construction donnée ici de l’intégrale, on s’est appuyé de fa¸con essentielle sur la notion de primitive.

En fait, on peut adopter une autre approche pour construire l’intégrale. On s’appuie alors sur cette notion géométrique d’aire^≪sous une courbe^≫. L’intégrale est alors définie par un processus d’approximation de l’aire

≪sous la courbe^≫ `a l’aide de ^≪petits rectangles^≫. On illustrera ce point de vue plus tard, dans la partie intitul´eesommes de Riemann.

(7)

2.3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale d’une fonction continue

Théorème 6 (propriétés de l’intégrale d’une fonction continue): Soient a, b∈Rtels quea < b.

1. Relation de Chasles

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur [a, b]. Pour toutc∈[a, b], on a : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

2. Lin´earit´e

Soientf: [a, b] →Retg: [a, b]→Rdeux fonctions continues sur [a, b]. Pour toutλ∈R, pour toutµ∈R, la fonction λf+µgest continue sur [a, b] et on a :

Z b a

λf(x) +µg(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx

! +µ

Z b

a

g(x)dx

! .

3. Positivit´e

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue et positive sur [a, b]. Alors : Z b

a

f(x)dx≥0.

De plus : Z b

a

f(x)dx= 0 si et seulement si pour toutx∈[a, b],f(x) = 0.

4. Croissance de l’int´egrale

Soient f: [a, b] →Ret g: [a, b]→Rdeux fonctions continues sur [a, b]. telles quef ≤g sur [a, b]. Alors : Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

5. Majoration de la valeur absolue d’une int´egrale

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur [a, b] Alors|f|est continue sur [a, b] et on a :

Z b a

f(x)dx ≤

Z b

a |f(x)|dx.

Remarque 6 : La propriété 1. (relation de Chasles) et la propriété 3. (positivité) sont claires dans le cas où f est positive sur [a, b], grâce à l’interprétation géométrique de l’intégrale. La propriété 4. (croissance de l’intégrale) est également claire, dans le cas oùf et g sont positives sur [a, b], toujours grâce à l’interprétation géométrique de l’intégrale.

⋄ Exemple 7

1. Soit la fonction

f : [0,2] → R

x 7→

xsi 0≤x≤1 2−xsi 1< x≤2 Justifier l’existence de l’int´egrale

Z 2 0

f(x)dxet calculer de deux mani`eres sa valeur.

2. Jusitifer l’existence de l’int´egrale

Z 1 0

5x− 1 1 +x² dx et calculer sa valeur.

(8)

⋄ Exemple 8 :Pour toutn∈N, on pose :

In = Z 1

0

xⁿ 1 +e^x dx.

1. Soitn∈N. Justifier queIn est bien d´efinie.

2. Montrer que la suite (In)n∈Nest d´ecroissante.

3. Montrer que la suite (In)n∈Nconverge.

4. Justifier que :

∀n∈N, ∀x∈[0,1], 0≤ xⁿ 1 +e^x ≤1

2 xⁿ. 5. En d´eduire que :

∀n∈N, 0≤I_n ≤ 1 2(n+ 1). 6. Conclure quant `a la limite de la suite (In)n∈N

2.4 Int´ egrations par parties

Rappel (fonction de classeC¹ sur un intervalle) :Une fonctionf d´efinie sur un intervalleI deRest dite de classe C¹ surI sif est d´erivable surI et sif^′ est continue surI.

Théorème 7 (intégration par parties) :Soient a, b∈ Rtels que : a < b. Soient uet v deux fonctions de classeC¹sur [a;b]. Alors on a :

Z b a

u(x)v^′(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx.

⋄ Preuve du théorème 7 :Ce théorème est conséquence de la formule de dérivation : (uv)^′=u^′v+v^′u.

Exemple 9 :Justifier l’existence de l’int´egrale Z 1

0

x e^−2xdxet calculer sa valeur.

2.5 Int´ egration par changement de variable

Théorème 8 (intégration par changement de variable) : Soient α, β ∈ R tels que : α < β. Soit I un intervalle réel.

• Soitϕ: [α, β]→Rune fonction de classeC¹ sur [α, β].

• Soitf:I→Rune fonction continue surI.

• On suppose que la fonction f◦ϕest bien d´efinie, i.e. que : pour toutx∈[α, β],ϕ(x)∈I.

On a :

Z β α

f(ϕ(u))ϕ^′(u)du= Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx.

Exemple 10

1. Justifier que l’int´egrale

I= Z 2

0

1 4 +x² dx est bien d´efinie et calculer sa valeur.

2. Justifier que l’int´egrale

J = Z ^π₂

0

sin(2u) 2 + 2 sin(u) du

est bien d´efinie et calculer sa valeur `a l’aide du changement de variablex= sin(u).

(9)

2.6 Int´ egrale fonction de sa borne sup´ erieure − cas continu

Théorème 9 (intégrale fonction de sa borne supérieure −cas continu) :SoitI un intervalle réel. Soit f:I→Rune fonction continue surI et soita∈I.

1. La fonction :

F : I → R

x 7→

Z x a

f(t)dt est bien d´efinie ; c’est la primitive de f surIqui s’annule ena.

2. La fonctionF vérifie doncF(a) = 0 et est dérivable (donc continue) surI, avec comme dérivéef. 3. Si pour tout x∈I,f(x)≥0, la fonctionF est croissante.

♥ Preuve du th´eor`eme 9

• F est bien d´efinie

La fonctionfest continue surI. Elle admet donc une primitive notéeF0surI(cf. théorème 2). La fonction F0 est donc dérivable surI et on a :F₀^′ =f. D’après la définition de l’intégrale, on a donc :

(⋆) ∀x∈I, F(x) =F0(x)− F0(a)

| {z }

constante

.

La fonctionF est donc bien d´efinie.

• F(a) = 0

C’est clair, par exemple d’apr`es (⋆).

• F est une primitive de f

La fonction F est donc dérivable sur I comme différence de deux fonctions dérivables sur I (la fonction F0 et la fonction constante égale àF0(a)). De plus, d’après (⋆), on a :

∀x∈I, F^′(x) =F₀^′(x) =f(x).

• Si pour tout x∈I,f(x)≥0 alors la fonctionF est croissante surI C’est clair par application du crit`ere diff´erentiel de stricte monotonie.

Exemple 11 :SoitF la fonction d´efinie par :

F : R → R

x 7→

Z x 0

e⁻^t

2 2 dt

AlorsF est bien d´efinie et est d´erivable (donc continue surR). On a, pour tout x∈R,F^′(x) =e⁻^x

2

2 >0. On en d´eduit que la fonctionF est strictement croissante surR.

Exemple 12 :A l’aide du théorème 9 et d’une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonction` logarithme népérien sur son domaine de définition ]0,+∞[.

Th´eor`eme 10 (valeur moyenne d’une fonction) :Soient a, b∈ Rtels que a < b. Soit f: [a, b] →R une fonction continue sur [a, b]. Alors il existec∈]a, b[ tel que :

f(c) = 1

b−a Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

valeur moyenne de la fonctionf

.

(10)

Preuve du th´eor`eme 10 :La fonction

F : I → R

x 7→

Z x a

f(t)dt

est dérivable (donc continue) sur [a, b]. On peut donc lui appliquer le théorème des accroissements finis. On obtient qu’il existec∈Rtel que :

F(b)−F(a)

b−a =F^′(c).

OrF(b) = Z b

a

f(t)dt,F(a) = 0 etF^′(c) =f(c) d’après le théorème 9. On en déduit que : Z b

a

f(t)dt

b−a =f(c).

2.7 Sommes de Riemann

Th´eor`eme 11 (sommes de Riemann) : Soient a, b ∈ R tels que :a < b. Soit f: [a, b] → R une fonction continue sur [a, b]. Alors on a :

1 n

n−1X

k=0

f

a+k b−a n

!

n→+∞−→

1 b−a

Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

et 1 n

Xn

k=1

f

a+k b−a n

!

n→+∞−→

1 b−a

Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

.

Interprétation géométrique du théorème 11

• Dans le cas où on suppose de plusf positive sur [a, b], on peut expliquer géométriquement la convergence de la suite de terme général :

b−a n

n−1X

k=0

f

a+k b−a n

!

vers Z b

a

f(t)dt. Ce n’est pas tout à fait la formulation de la première assertion du théorème précédent (on a mutliplié par (b−a) de chaque côté du symbole_n→+∞−→ ), mais l’énoncé précédent est équivalent et plus commode pour ce qui nous intéresse.

• On commence par donner une interprétation géométrique du terme d’indice 5 de la suite considérée. Sur le dessin ci-dessous, on a posé, pour toutk∈J0,5K:

x_k =a+k b−a 5 .

Pour chaque k ∈ J0,4K, le rectangle Rk a pour hauteur f(xk) et pour largeur xk+1−xk = b−a 5 . Par suite, l’aire du rectangleRk est : b−a

5 f(xk).L’aire de tout le domaine gris´e ci-dessous est donc : X4

k=0

b−a

5 f(xk) = b−a 5

X4

k=0

f

a+k b−a 5

! .

On retrouve le terme d’indice 5 de la suite consid´er´ee.

(11)

Cf

x0 x1 x2 x3 x4 x5

R0 R1 R2 R3 R4

• Le terme d’indice n (n ∈ N^∗ quelconque) de la suite considérée admet une interprétation géométrique analogue, dans laquelle les rectangles auront pour largeur b−a

n . Plus n devient grand, plus il y a de rectangles et plus ceux-ci ont une largeur petite (le découpage est de plus en plus fin). Intuitivement l’aire de la zone grisée (la somme des aires desnrectangles), qui est égale au terme d’indicende la suite, tend vers l’aire du domaine associé à f au-dessus de [a, b], i.e.

Z b a

f(x)dx, quandntend vers +∞.

Exemple 13 :Etudier le comportement asymptotique de la suite (u´ n)n∈N∗ d´efinie par :

∀n∈N^∗, un = 1 n

n−1X

k=0

k n

3! .

2.8 Formule de Taylor avec reste int´ egral

Rappel (fonction de classe Cⁿ sur un intervalle) :Soitn∈N^∗. Une fonctionf définie sur un intervalleI deRest ditede classeCⁿ surIsif est dérivablenfois surI et sif⁽ⁿ⁾(dérivéen-ième def) est continue surI.

Théorème 12 (formule de Taylor avec reste intégral) :SoitIun intervalle réel et soit n∈N. Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹sur un intervalleI. Soienta, x∈I. Alors on a :

f(x) = f(a) +f⁽¹⁾(a)

1! (x−a) +f⁽²⁾(a)

2! (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

| {z }

Polynˆome de degr´ende Taylor

+ Z x

a

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

n! (x−t)ⁿdt

| {z }

Reste d’ordren

=

Xn

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k

| {z }

Polynˆome de degr´ende Taylor

+ Z x

a

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

n! (x−t)ⁿdt

| {z }

Reste d’ordren

.

Cette formule est appel´ee formule de Taylor `a l’ordrenpour la fonctionf ena.

Remarque 7 : Dans le cas où n= 0, l’assertion équivaut à : Z x

a

f^′(t)dt =f(x)−f(a). Cette dernière est vraie, d’après la définition même de l’intégrale que nous avons adoptée.

Exemple 14 1. Montrer que :

∀x∈]0,+∞[,

Z x 0

cos(t)(x−t)²

2 dt

≤x³

6 . 2. ´Ecrire la formule de Taylor `a l’ordre 2 pour la fonction sinus en 0.

3. En d´eduire que :

∀x∈]0,+∞[, |sin(x)−x| ≤x³ 6 .

(12)

4. Donner une valeur approchée de sin(0,1) en majorant l’écart entre cette valeur approchée et la valeur exacte.

5. ´Etudier la limite ´eventuelle de sin(x) x² − 1

x quandxtend vers 0⁺.

3 Int´ egration des fonctions continues par morceaux

3.1 Fonctions continues par morceaux

Définition (restriction d’une fonction à une sous-partie de son domaine de définition) :Soitf:I→R une fonction et soitJ une partie (non vide) de I. Alors la restriction de f àJ est la fonction notéef|J définie par :

f|J : J → R x 7→ f(x).

Pour passer def `a f|J, on a uniquement restreint l’ensemble de d´efinition.

Exemple 15 :Ci-dessous, on a représenté la fonction carrée

f : R → R

x 7→ x²

(cf. courbe en pointillés) et la restrictionf|[−1,2]de la fonction carrée à l’intervalle [−1,2] (cf. courbe en gras) .

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 Cf

Cf|[−1,2]

D´efinition (fonction continue par morceaux sur un segment) : Soient a, b∈ R tels que : a < b. Soit f: [a, b]→Rune fonction.

1. On dit quef est continue par morceaux sur [a, b], s’il existe une subdivision a=a0< a1< a2< . . . < an< an+1=b

de [a, b] telle que pour touti∈J0, nK,f|]ai,ai+1[ est prolongeable par continuité à [ai, ai+1], i.e. quef (ou f_|]a_i_,a_i+1_[) admet une limite finie à droite ena_i et une limite finie à gauche enai+1. Une telle subdivision a=a0< a1< a2< . . . < a_n< an+1 =b de [a, b], lorsqu’elle existe, est dite adaptée àf.

2. Sif est continue par morceaux sur [a, b] et sia=a0< a1< a2< . . . < a_n< an+1=best une subdivision de [a, b] adapt´ee `af, alors pour touti∈J0, nKon note

f_|]a\_i_,a_i+1_[ : [ai, ai+1] → R

x 7→









 lim

x→a⁺_i

f(x) six=a_i f(x) siai< x < ai+1

lim

x→a⁻_i+1

f(x) six=ai+1

le prolongement par continuit´e de f|]ai,ai+1[ `a [ai, ai+1].

(13)

Exemple 16

1. Soitf la fonction d´efinie par :

f : [−2,2] → R

x 7→

1 six∈[−1,1]

0 sinon.

On repr´esente graphiquementf comme suit.

1 2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

• •

[ ]

Cf

Alorsf est continue par morceaux sur [−2,2]. Elle poss`ede deux points de discontinuit´e, en −1 et en 1.

La subdivisiona0=−2< a1=−1< a2= 1< a3= 2 de [−2,2] est adaptée àf. 2. Soitg la fonction définie par :

g : [−1,1] → R

x 7→







0 si x∈[−1,0]

1

x si x∈]0,1].

On repr´esente graphiquement la fonction g comme suit.

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3

−1

−2

−3

Cg

b

Une fonction continue par morceaux sur [−1,1] admet en particulier une limite finie à gauche et à droite de tout point de ]−1,1[, une limite finie en −1 à droite et une limite finie en 1 à gauche. La fonctiong n’est pas continue par morceaux sur [−1,1] carg(x) →

x→0⁺+∞.

Définition (fonction continue par morceaux sur un intervalle) :SoitIun intervalle réel (non vide). Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit quef est continue par morceaux surI, si pour tous a, b∈I tels quea < b la fonctionf_|[a,b] définie sur [a, b] est continue par morceaux sur [a, b].

Exemple 17

1. SoitI un intervalle deR. Alors la fonction indicatrice1I deI d´efinie par : 1I : R → R

x 7→

1 si x∈I 0 sinon

est continue par morceaux surR. En particulier, siaetb sont deux réels tels quea < b, alors la fonction 1[a,b] est continue par morceaux surR. En effet, elle ne possède que deux points de discontinuité (enaet enb) et on a :

1[a,b](x) →

x→a⁻0 ; 1[a,b](x) →

x→a⁺1 ; 1[a,b](x) →

x→b⁻1 ; 1[a,b](x) →

x→b⁺0.

(14)

2. Soit fonctionf d´efinie par :

f:R→R, t7→e^−t×1^R⁺(t).

On repr´esente graphiquement la fonction f comme suit.

1 2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

• [

Cf

La fonctionf est continue par morceaux surR. En effet, elle ne ne poss`ede qu’un point de discontinuit´e (en 0) et :

f(x) →

x→0⁻0 ; f(x) →

x→0⁺1.

3.2 Int´ egrale d’une fonction continue par morceaux entre deux points

On généralise la notion d’intégrale vue pour les fonctions continues aux fonction continues par morceaux.

D´efinition (int´egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment) : Soient a, b∈ Rtels que : a < b. Soit f: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b] et soita=a0 < a1 < a2 < . . . <

an< an+1=bune subdivision de [a, b] adaptée àf. Alors on définit l’intégrale deaà bdef par : Z b

a

f(t)dt = Xn

i=0

Z ai+1

ai

f_|]a\_i_,a_i+1_[(t)dt

= Z a1

a0

f\|]a0,a1[(t)dt+ Z a2

a1

f\|]a1,a2[(t)dt+ Z a3

a2

f\|]a2,a3[(t)dt+. . .+ Z an+1

an

f|]a\n,an+1[(t)dt.

Remarque 8 :On conserve les notation de la précédente définition.

1. Notons que, pour chaque i ∈ J0, nK, l’int´egrale Z ai+1

ai

f|]a\i,ai+1[(t) dt est bien d´efinie, car la fonction f_|]a\_i_,a_i+1_[ est continue sur [ai, ai+1].

2. On peut d´emontrer que le nombre Z b

a

f(t)dtne dépend pas de la subdivision de [a, b] adaptée àf choisie.

Exemple 18 :On considère à nouveau la fonctionf = (1[−1,1])|[−2,2] du 1. l’exemple 16 définie par : f : [−2,2] → R

x 7→

1 si x∈[−1,1]

0 sinon.

On a vu quef est continue par morceaux et que la subdivisiona0=−2< a1=−1< a2= 1< a3= 2 est une subdivision de [−2,2] adaptée à f. On vérifie que les fonctionsf|]−2,−1[\ ,f\|]−1,1[ etf[|]1,2[ sont définies par :

f_|]−2,−1[\ : [−2,−1] → R

x 7→ 0

f\_|]−1,1[ : [−1,−1] → R

x 7→ 1

f[_|]1,2[ : [1,−2] → R

x 7→ 0.

On a donc, par d´efinition : Z 2

−2

f(t)dt= Z −1

−2

f_|]−2,−1[\ (t)

| {z }

0

dt+ Z 1

−1

f\_|]−1,1[(t)

| {z }

1

dt+ Z 2

1

f[_|]1,2[(t)

| {z }

0

dt= 2.

3.3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale d’une fonction continue par morceaux

Remarque 9 : Toutes les propriétés de l’intégrale d’une fonction continue énoncées dans le théorème 6 s’étendent à l’intégrale des fonctions continues par morceaux,exceptée l’équivalence dans la propriété de posi- tivité.

(15)

En effet, sia, bsont des réels tels quea < bet si une fonctionf: [a, b]→Rest continue par morceaux sur [a, b], positive sur [a, b] et d’intégrale nulle sur [a, b], alorsf n’est pas nécessairement identiquement nulle sur [a, b].

On peut montrer qu’une telle fonction est nulle sur [a, b],sauf ´eventuellement en un nombre fini de points.

Par exemple, la fonctionf d´efinie par :

f : [−1,1] → R

x 7→

0 si x∈[−1,1[

1 si x= 1 qui a pour repr´esentation graphique :

1 2

−1

−2 Cf

b

[

est continue par morceaux sur [−1,1], positive sur [−1,1] et v´erifie Z 1

−1

f(t) dt = 0. Pourtant elle n’est pas identiquement nulle sur [−1,1] : en 1 elle ne s’annule pas.

Théorème 13 (propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment) : Soienta, b∈Rtels que :a < b.

1. Relation de Chasles

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b]. Pour toutc∈[a, b], on a : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

2. Lin´earit´e

Soient f: [a, b] →Ret g: [a, b]→R deux fonctions continues par morceaux sur [a, b]. Pour tout λ∈R, pour toutµ∈R, la fonction λf+µgest continue par morceaux sur [a, b] et on a :

Z b a

λf(x) +µg(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx

! +µ

Z b

a

g(x)dx

! .

3. L’int´egrale d’une fonction positive presque partout est positive

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b] et positive sur [a, b], sauf ´eventuellement en un nombre fini de points, alors :

Z b a

f(x)dx≥0.

4. Int´egrale et relation d’ordre

Soient f: [a, b]→Retg: [a, b]→Rdeux fonctions continues par morceaux sur [a, b] telles quef ≤g sur [a, b], sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points, alors :

Z b a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

5. Majoration de la valeur absolue d’une int´egrale

Soit f: [a, b]→R une fonction continue par morceaux sur [a, b] Alors|f| est continue par morceaux sur l’intervalle [a, b] et on a :

Z b a

f(x)dx ≤

Z b

a |f(x)|dx.

(16)

3.4 Int´ egrale fonction de sa borne sup´ erieure − cas continu par morceaux

Théorème 14 (intégrale fonction de sa borne supérieure − cas continu par morceaux) :SoitI un intervalle réel. Soitf:I→Rune fonction continue par morceaux surI et soita∈I.

1. La fonction :

F : I → R

x 7→

Z x a

f(t)dt est bien d´efinie.

2. La fonctionF est continue surI.

3. Si la fonctionf est continue enx0∈I, alors la fonction F est d´erivable enx0et on aF^′(x0) =f(x0).

4. Si la fonction f est positive sur [a, b] sauf ´eventuellement en un nombre fini de points, alors la fonctionF est croissante sur [a, b].

⋄ Preuve du th´eor`eme 14

Exemple 19 :Soitf la fonction1[2,+∞[ (indicatrice de l’intervalle [2,+∞[), i.e. : On a donc :

f : R → R

x 7→

0 six∈]− ∞,2[

1 six∈[2,+∞[ On repr´esente graphiquementf comme suit :

1 2

−1

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

Cf [

b

SoitF la fonction d´efinie par :

F : R → R

x 7→

Z x 0

f(t)dt.

On calcule que :

∀x∈R, F(x) =

0 six≤2 x−2 six >2.

On a donc :

1 2 3 4

−1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4 CF

comme représentation graphique deF. On retrouve les résultats du théorème précédent : 1. F est continue surR;

2. F est d´erivable enx0 si x0 6= 2 (2 est l’unique point de discontinuit´e def) et pour tout x0 ∈R\ {2}, F^′(x0) =f(x0) ;

3. F est croissante surR(f est positive surR).