S5-4 périodes semaine Page 1 sur 12

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Chapitre 3 : Equation du second degré 1. Rappel : Résoudre dans IR

a) 3x²– x = 0 b) 7 x² + 3 = 0

c) 4x² – 9 = 0 d) x ²– 7 = 1

e) x² = 7 f) x² = 0

g) -4x² + 100 = 0 h) 3x² - 27x = 0

i) -5x² - 50 = 0 j) 2x² + 8x -6 = 0

• Toutes les équations que vous venez de résoudre sont du second degré, car l’exposant maximal de l’inconnue x est 2.

• Nous venons de procéder un peu à la façon d’al-Khwarizmi – mathématicien arabe (les mathématiques, ainsi que d’autres sciences dont l’astronomie, « arabes » ont été particulièrement florissantes et productives alors que l’Europe traversait une période moins riche aux « larges » environs de l’an Mil) – auteur du « Petit livre d’al-jabr et d’al-muqabala » (première moitié du IX^e siècle) , qui envisageait de nombreuses disjonctions de cas pour résoudre les équations du second degré. Si aucune des procédures vues ci-dessus ne doit être oubliée – nous retiendrons le théorème suivant – aucune d’entre elle ne permet de venir à bout, sauf cas particulier, de l’équation a x² + b x + c = 0, d’où l’intérêt du paragraphe à suivre !

Théorème

Soit a ∈ IR. Alors l’équation x² = a :

• admet deux solutions distinctes si a > 0 : x = a et x = – a

• admet une solution unique si a = 0 : x = 0

• n’admet aucune solution si a < 0 : S = ∅

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Vocabulaire

Les solutions d’une équation sont aussi appelées racines de l’équation.

Exemples :

x² = 16 3x² = 0 4x² = -64

2. Activité

Il faut résoudre l’équation suivante : x²– 2x – 3 = 0 x²– 2x = ( x – 1 )² – ….

x² – 2x – 3 = (x – 1 )² –…..– 3 = ( x – 1 )² –…

D’où la factorisation : x² – 2x – 3 = ……….

D’où les solutions : x1 =………… x2 = 3. Forme canonique du trinôme ax²+ bx + c : Soit a x ² + b x + c ( a ≠ 0 ) un trinôme du second degré . Comme a ≠ 0, pour tout réel x : a x ² + b x + c = a ( x² + b

a x + c a ) Or x² + b

a x est le début du développement de ( x + b 2a )² Donc, pour tout réel x,

a x ² + b x + c = a [ ( x + b 2a )² – b²

4a² + c a ]

= a [ ( x + b 2a )² – b²

4a² + 4ac 4a² ] =

= a [ ( x + b

2a )² – b² –4ac

4a² ] Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme

(3)

Remarque : le réel b² – 4 a c se note ∆ (delta) et s’appelle le discriminant du trinôme.

Ecrire sous forme canonique puis résoudre l’équation :

x²– x – 2 = 0 x² – 4x + 5 = 0 x² – 6x + 9 = 0

4. Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0 ( avec a ≠≠≠≠ 0 ) ax² + bx + c = a [ ( x + b

2a )² – b² - 4ac

4a² ] = a[ ( x + b 2a )² –

4a² ] avec = b²– 4ac 1^ercas : ∆ > 0

4a² = ( 2a )² donc ax² + bx + c = a [ ( x + b

2a )² – ( 2a )²]

=a ( x + b 2a +

2a )( x + b 2a –

2a )

= a ( x – -b-

2a )( x – -b+

2a ) L’équation admet donc deux solutions distinctes : x1 = -b- ∆

2a et x2 = -b+ ∆ 2a 2 ^èmecas : ∆ = 0

ax² + bx + c = a ( x + b 2a )²

= a ( x – -b 2a )²

L’équation admet une seule solution : x0 = -b 2a 3^èmecas : ∆ < 0

–

4a² > 0 , donc ( x + b 2a )² –

4a² ] > 0 L’équation n’a pas de solution :

(4)

A retenir :

Pour résoudre l’équation ax²+ bx + c = 0,

on commence par calculer le discriminant ∆ = b²– 4ac

Si…. Solutions de ax²+ bx + c = 0 Factorisation de ax²+ bx + c

∆ > 0, alors x1= -b- ∆

2a et x2= -b+ ∆ 2a

a( x – x1 )( x – x2 )

∆ = 0, alors x₀= -b

2a ( racine double ) a( x – x0 )²

∆ < 0, alors Pas de solution Pas de factorisation possible

Lorsque > 0, l’équation ax²+ bx + c = 0 admet deux racines réelles distinctes x1 et x2 .

Alors on a x1 + x2 = -b

a et x1.x2 = c

a

Exemples : x²+ 3x – 4 = 0

2x²+ x + 1 8 = 0

x²+ x + 1 = 0

(5)

Avec la calculatrice

Pour résoudre une équation du second degré, utiliser la commande “solve” dans une feuille de calcul.

Application : Résoudre à l’aide de la calculatrice les équations suivantes

a) x² – 3x – 10 = 0 réponse :

b) y² + 3y – 10 = 0 réponse :

c) t² + 3t + 10 = 0 réponse :

d) -w² + 3w – 10 = 0 réponse :

e) -2z² + 4z – 3 = 0 réponse :

f) aa² – 4 = 0 réponse :

g) 3x² + 5x = 8 réponse :

h) -8s² = 65s - 4 réponse :

(6)

Equations du second degré (exercices) Exercice 1 :Retrouver la/les solution/s de chaque équation :

x² = 5

S = { }

x² = 16

S = { }

x²= 0

S = { }

x² = 1

S = { }

x² = -2

S = { }

-x² = -2

S = { }

-x² = 49

S = { }

(-x)² = 3

S = { }

Exercice 2 :Résoudre les équations suivantes :

x² – 2 = 3 x² + 6 = 8 5 – x² = -2 -13 – x² = 11

5x² = 15 3x² = 12 17 – 7x² = 3 6 + 2x² = 5

Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes :

(x – 3)² = 7 (x + 7)² = 3 (x – 7)² = 3 (x + 3)² = -7

(2x – 3)² = 1 (2x – 1)² = 3 (4 – 3x)² = 2









1 x + 3

2 = 2

(7)

Exercice 4 :Ecrire sous forme canonique puis factoriser le polynôme, comme dans l’exemple : A(x) = x² + 6x + 5

= x² + 2 ×××× 3 ××××x + 5

= (x² + 2 ×××× 3 ××××x + 3²) – 3² + 5

= (x + 3)² – 9 + 5

= (x + 3)² – 4

= (x + 3)² – 2²

= (x + 3 + 2)(x + 3 – 2)

= (x + 5)(x + 1)

B(x) = x² – 12x + 35

C(x) = x² – 2x – 3 D(x) = x² + 6x + 8 E(x) = x² – 6x – 7

F(x) = x² – 14x + 47 G(x) = x² + x – 6 H(x) = 25x² – 10x – 3

(8)

Exercice 5 : Calculer -b a et c

a puis la somme et le produit des racines proposées, puis interpréter les résultats obtenus :

Polynôme -b

a

c

a x1 x2 Somme Produit x1 et x2 sont-elles les racines du polynôme ?

A(x) = x² + x – 6 -3 2

B(x) = x² – 12x + 35 -7 5

C(x) = -x² – x + 12 -4 3

D(x) = 2x² + 2x – 4 -2 -1

E(x) = 2x²+ 5x – 3 1

2 -3

F(x) = 6x² + x – 1 -1

3

1 2

G(x) = -2x²+ x + 15 3 5

2

H(x) = 6x² + 17x + 5 -1

3

-5 2

I(x) = x² + 2x – 2 3 – 1 3 + 1

J(x) = -4x² – 4x + 1 -1 - 2

2

-1 + 2 2

Exercice 6 :Retrouver rapidement les deux racines de chaque polynôme

(sous la forme x² – Sx + P où S et P sont respectivement la Somme et le Produit des racines) :

A(x) = x² – 7x + 10 2 et 5 -5 et -2 -2 et 5 -5 et 2

B(x) = x² + x – 12 -3 et 4 2 et -6 -2 et 6 -4 et 3

C(x) = x² + 9x + 20 4 et 5 -6 et -3 -5 et -4 3 et 6

D(x) = x² + 8x + 7 -5 et -3 -6 et -2 -8 et 0 -7 et -1

E(x) = x² + 5 6 x + 1

6 5 et -6 -1

2 et -1

3 1 et 1

6

1 3 et 1

2

(9)

Exercice 7 : Pour chacune de ces équations, dire combien elle admet de solutions : a. x² – 3x – 10 = 0

∆ =



a. Calculer le discriminant

b. Calculer les racines ( il y en a systématiquement deux ).

c. En déduire la forme factorisée du polynôme.

A(x) = x² – 3x – 10 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2 = …… – ……

……

x1 = x2=

c. A(x) =

B(x) = x² – 2x – 15 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2= …… – ……

……

x1 = x2= c. B(x) =

C(x) = 6x² – x – 1 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2 = …… – ……

……

x1 = x2= c. C(x) =

D(x) = 6x² + 11x – 10 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2 = …… – ……

……

x1 = x2=

c. D(x) =

E(x) = 15x² – 4x – 4 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2 = …… – ……

……

x1 = x2= c. E(x) =

F(x) = 9x² – 6x – 1 = 0 a.

∆ = b² – 4ac

∆ = ……² – 4 × …… × ……

∆ =

∆ = (……)² b. x1 = -b + ∆

2a x2 = -b – ∆ 2a x1 = …… + ……

…… x2 = …… – ……

……

x1 = x2= c. F(x) =

(11)

Exercice 9 : Résoudre les équations suivantes 1) x² – 3x – 10 = 0

2) x² – 10 = 0 3) 9x² – 12x + 4 = 0 4)3x² – 5x = 0 5) 2x² + x – 1 = 0 6) 3x² – 7x + 4 = 0 7) -x² + 7x – 1 = 0

Exercice 10 : Calculer le discriminant de chaque polynôme, puis dire si on peut le factoriser.

A(x) = x² + 6x + 5

∆ =

A

 

^peut

^peut

(12)

Exercice 11 : En connaissant la (ou les) racine(s) de chaque polynôme, l’écrire sous forme factorisée :

Exercice 12 : Factoriser les polynômes suivants (ils sont tous factorisables), en utilisant le discriminant uniquement lorsque c’est nécessaire :

A(x) = x² + 6x B(x) = x² – 4 C(x) = 9x² – 1

D(x) = x² + x – 5 E(x) = 4x² – 3 F(x) = 5x² – 10x + 2

G(x) = -3x² + x + 5 H(x) = -8x + 3x² I(x) = 2x + 5x² – 7

Exercice 13 :

Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 4 cm

En mettant le problème en équation, déterminer une valeur approchée du réel x tel que si, l’on augmente la longueur de ce rectangle de x cm et l’on diminue la largeur de ce rectangle de x cm, alors on obtient un nouveau rectangle dont l’aire est égale à la moitié de celle du rectangle au départ.

Exercice 14 :

Un rectangle a pour périmètre 34cm et chacune des diagonales a pour longueur 13cm.

Calculer les dimensions de ce rectangle.

Exercice 15 :

Une habitation a la forme suivante : Déterminer x pour que la superficie au sol soit 96 m²

Exercice 16 :

Déterminer deux entiers naturels consécutifs dont le produit est égal à 210.

Exercice 17 :

Déterminer 3 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du plus grand.

Exercice 18

Un jardin carré est transformé en un jardin rectangulaire de la façon suivante : la longueur d’un côté du carré est doublée et la longueur de l’autre côté du carré est diminué de 1mètre.

Déterminer la longueur du côté du carré initial de telle façon que l’aire du jardin soit augmentée de 15 m².

A(x) = x² + 7x + 10

avec x1 = -2 et x2 = -5

B(x) = 2x² + 7x + 6

avec x1 = -2 et x2 = -3 2

C(x) = 3x² – 42x + 147 avec x0 = 7

donc A(x) = donc B(x) = donc C(x) =

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









 



 



 

 



 



 



 



 



 





 



 



 

 



 



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

x-2

x

3x