Etudes de fonctions

(1)

1STMG Chap 7 Etudes de fonctions 1/4

ETUDES DE FONCTIONS

L objectif de ce chapitre est de pouvoir étudier le sens de variation des fonctions polynômes de degré 2 et 3 pour étudier des fonctions coûts, bénéfice …

I. Fonction dérivée d une fonction.

A partir d une fonction polynôme f, on peut définir une nouvelle fonction f appelée fonction dérivée de f.

1. Fonction dérivée d une fonction polynôme de degré 2.

Activité 1. A l aide du logiciel xcas, on détermine les fonctions f pour les fonctions suivantes :

p: x 3x 4 p ( x)

r: x 5 x 1 r ( x)

b: x 8x 2 b ( x)

f: x x² f ( x)

g: x x² 3 x 5 g ( x)

h: x x² 4x 2 h ( x)

k: x 3x² 6x 1 k ( x)

m: x 4x ² 2x 53 m (x )

La dérivée de la fonction x x² est la fonction x 2x

Si k est un nombre réel, la dérivée de la fonction x kx est la fonction x k La dérivée d une fonction constante est 0.

Si u est une fonction dérivable et k un nombre réel la dérivée de la fonction ku est ku Si u et v sont des fonctions dérivables, la dérivée de u v est u v

Applications :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f définie par f ( x) x ² 3x 1

g définie par g (x ) 4x ² 5x 3

h définie par h (x ) 5 x² 8 x 2

k définie par k (x ) 6 x² x 9

m définie par m (x ) 3x ² 7x 89

(2)

2. Fonction dérivée d une fonction polynôme de degré 3.

Définition : Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction définie sur par f (x ) ax

³

bx ² cx d avec a ,b,c et d des réels, a étant non nul.

Exemples :

La dérivée de la fonction x x

³

est la fonction x 3x² Applications :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f définie par f ( x) x

³

3x ² x 3

g définie par g (x ) 2x

³

4x ² 5x 3 h définie par h (x ) 5x

³

x ² 8 x 2 k définie par k (x ) 6x

³

5x² 3x 9 m définie par m (x ) x

³

x ² x 8

II. Lien entre dérivée et variations.

Activité 2 :

1. f est la fonction définie sur par f( x) x ² 4x 5.

a. Déterminer f ( x).

b. Construire le tableau de signes de f (x).

c. Construire le tableau de variations de la fonction f à l aide du chapitre sur le second degré.

(3)

2. g est la fonction définie sur par g( x) x

³

3x ² 24 x 20.

a. Déterminer g ( x).

b. Construire le tableau de signes de g (x).

c. Voici la courbe de la fonction g. Quel semble être le tableau de variations de g.

3. Commenter les résultats obtenus aux questions 1 et 2.

Théorème : Soit f une fonction polynôme et soit I un intervalle de . Si pour tout réel x de I, f (x ) 0, alors f est croissante sur I.

Si pour tout réel x de I, f (x) 0, alors f est décroissante sur I.

Applications :

Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : f définie sur par f (x ) 3 x² 5 x 2

g définie sur par g (x ) 4x ² 3x 1 h définie sur par h (x ) x

³

3 x² 8x 2 m définie sur par m (x ) x

³

3x ² 3x 5 p définie sur par p (x ) x

³

12 x

v définie sur par v (x ) 4x

³

12x ² 4

(4)

III. Tangente à une parabole.

Activité 3.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction définie sur par f (x ) x ² 4x 1.

1. Déterminer f (x ).

2. a. Placer le point A de la courbe, d abscisse 3.

b. Calculer f (3) puis tracer la droite de coefficient directeur f (3) passant par A.

3. a. Placer le point B de la courbe, d abscisse 0.

b. Calculer f (0) puis tracer la droite de coefficient directeur f (0) passant par B.

4. a. Placer le point C de la courbe, d abscisse 2.

b. Calculer f (2) puis tracer la droite de coefficient directeur f (2) passant par C.

5. Que peut-on dire de ces droites ?

Soit f une fonction polynôme et C sa courbe représentative dans un repère. A est une point de C, d abscisse x

A

.

f ( ) ^x

^A

s appelle le nombre dérivé de f en x

A

.

La tangente à C au point A est la droite passant par A de coefficient directeur f ( ) ^x

^A

^.

Elle a pour équation y f ( ) ^x

^A

( ^x ^x

A

) f ( ) ^x

^A

Etudes de fonctions

ETUDES DE FONCTIONS

L objectif de ce chapitre est de pouvoir étudier le sens de variation des fonctions polynômes de degré 2 et 3 pour étudier des fonctions coûts, bénéfice …

I. Fonction dérivée d une fonction.

A partir d une fonction polynôme f, on peut définir une nouvelle fonction f appelée fonction dérivée de f.

1. Fonction dérivée d une fonction polynôme de degré 2.

Activité 1. A l aide du logiciel xcas, on détermine les fonctions f pour les fonctions suivantes :

p: x 3x 4 p ( x)

r: x 5 x 1 r ( x)

b: x 8x 2 b ( x)

f: x x² f ( x)

g: x x² 3 x 5 g ( x)

h: x x² 4x 2 h ( x)

k: x 3x² 6x 1 k ( x)

m: x 4x ² 2x 53 m (x )

La dérivée de la fonction x x² est la fonction x 2x

Si k est un nombre réel, la dérivée de la fonction x kx est la fonction x k La dérivée d une fonction constante est 0.

Si u est une fonction dérivable et k un nombre réel la dérivée de la fonction ku est ku Si u et v sont des fonctions dérivables, la dérivée de u v est u v

Applications :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f définie par f ( x) x ² 3x 1

g définie par g (x ) 4x ² 5x 3

h définie par h (x ) 5 x² 8 x 2

k définie par k (x ) 6 x² x 9

m définie par m (x ) 3x ² 7x 89

2. Fonction dérivée d une fonction polynôme de degré 3.

Définition : Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction définie sur par f (x ) ax

bx ² cx d avec a ,b,c et d des réels, a étant non nul.

Exemples :

La dérivée de la fonction x x

est la fonction x 3x² Applications :

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f définie par f ( x) x

3x ² x 3

g définie par g (x ) 2x

4x ² 5x 3 h définie par h (x ) 5x

x ² 8 x 2 k définie par k (x ) 6x

5x² 3x 9 m définie par m (x ) x

x ² x 8

II. Lien entre dérivée et variations.

Activité 2 :

1. f est la fonction définie sur par f( x) x ² 4x 5.

a. Déterminer f ( x).

b. Construire le tableau de signes de f (x).

c. Construire le tableau de variations de la fonction f à l aide du chapitre sur le second degré.

2. g est la fonction définie sur par g( x) x

3x ² 24 x 20.

a. Déterminer g ( x).

b. Construire le tableau de signes de g (x).

c. Voici la courbe de la fonction g. Quel semble être le tableau de variations de g.

3. Commenter les résultats obtenus aux questions 1 et 2.

Théorème : Soit f une fonction polynôme et soit I un intervalle de . Si pour tout réel x de I, f (x ) 0, alors f est croissante sur I.

Si pour tout réel x de I, f (x) 0, alors f est décroissante sur I.

Applications :

Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : f définie sur par f (x ) 3 x² 5 x 2

g définie sur par g (x ) 4x ² 3x 1 h définie sur par h (x ) x

3 x² 8x 2 m définie sur par m (x ) x

3x ² 3x 5 p définie sur par p (x ) x

12 x

v définie sur par v (x ) 4x

12x ² 4

III. Tangente à une parabole.

Activité 3.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction définie sur par f (x ) x ² 4x 1.

1. Déterminer f (x ).

2.

a. Placer le point A de la courbe, d abscisse 3.

b. Calculer f (3) puis tracer la droite de coefficient directeur f (3) passant par A.

3.

a. Placer le point B de la courbe, d abscisse 0.

b. Calculer f (0) puis tracer la droite de coefficient directeur f (0) passant par B.

4.

a. Placer le point C de la courbe, d abscisse 2.

b. Calculer f (2) puis tracer la droite de coefficient directeur f (2) passant par C.

5. Que peut-on dire de ces droites ?

Soit f une fonction polynôme et C sa courbe représentative dans un repère. A est une point de C, d abscisse x

.

f ( ) x

s appelle le nombre dérivé de f en x

.

La tangente à C au point A est la droite passant par A de coefficient directeur f ( ) x

.

f ( ) ^x

La tangente à C au point A est la droite passant par A de coefficient directeur f ( ) ^x

^.

Elle a pour équation y f ( ) ^x

( ^x ^x

) f ( ) ^x

^.