Le nombre d’or

Lycée Fénelon Sainte-Marie Mathématiques

Terminale S8 / 2013-2014 M. Lichtenberg

Devoir maison N°1 – Sujet 2

Note : pour certaines questions, on utilisera un outil électronique. A chaque fois, on précisera l’outil utilisé (calculatrice, tableur, …).

Le nombre d’or

1. Résoudre dans \ l’équation x²− − =x 1 0.

La solution positive est notée Φ et appelée « nombre d’or ».

2. Démontrer les trois égalités suivantes : 1 1

Φ = +

Φ, Φ = 1+ Φ et

2 1

2 1

Φ = Φ + Φ −

Chacune de ces égalités conduit à considérer une suite dont on va établir la convergence vers Φ. Dans la suite du problème on pourra tirer parti des trois égalités ci-dessus.

Une première suite

On considère la suite

( )

an définie par :

0

1

2

, _n 1 1

n

a

n a

+ a

⎧ =

⎪⎨∀ ∈ = +

⎪⎩ `

1. Démontrer : 3

*, 2

2 ⁿ

n a

∀ ∈` ≤ ≤ .

2. Démontrer : ₁ 4

*, ⁿ 9 ⁿ

n a ₊ a

∀ ∈` − Φ ≤ − Φ 3. Démontrer alors par récurrence :

1 1

*, 4

9

n

n an a

⎛ ⎞ −

∀ ∈` − Φ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ − Φ puis en déduire : , 4

9

n

n an ⎛ ⎞

∀ ∈` − Φ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Démontrer que

( )

an converge et déterminer sa limite.

5. En utilisant la question 3, déterminer, à l’aide d’un outil électronique, un entier N_a tel que :

10 10

a n

n≥N ⇒ a − Φ ≤ ⁻

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Une deuxième suite

On considère la suite

( )

bn définie par :

0

1

2

, _{n n} 1

b

n b ₊ b

⎧⎪ =

⎨∀ ∈ = +

⎪⎩ `

1. Démontrer : ∀ ∈n `,Φ ≤b_n+1≤b_n ≤2 puis en déduire que

( )

bn converge.

2. Démontrer :

(

1

) ( )

*, 0 1

n 3 n

n b ₊ b

∀ ∈` ≤ − Φ ≤ − Φ .

3. Montrer alors par récurrence : ^{*, 0}

( )

¹

3

n

n bn ⎛ ⎞

∀ ∈` ≤ − Φ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . En déduire la limite de

( )

bn . 4. En utilisant la question 3, déterminer, à l’aide d’un outil électronique, un entier N_b tel

que :

10 10

b n

n≥N ⇒ b − Φ ≤ ⁻

Une troisième suite

On considère la suite

( )

cn définie par :

0

2 1

2 , 1

2 1

n n

n

c

n c c

+ c

⎧ =

⎪ +

⎨∀ ∈ =

⎪ −

⎩ `

Sur 1

I ;

2

⎤ ⎡

=⎥⎦ + ∞⎢⎣, on définit la fonction f par :

( )

^{2 1}

2 1

f x x x

= +

− .

1. Vérifier que ^f

( )

^{Φ = Φ, que f '}

( )

^{Φ =0} et que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle

[

^{Φ + ∞;}

[

^.

2. Montrer par récurrence : ∀ ∈n `,Φ ≤c_n+1≤c_n≤2 puis en déduire que

( )

cn converge.

3. Montrer que : 1

( )

²

, 1

n 2 n

n c₊ c

∀ ∈` − Φ ≤ − Φ 4. Montrer par récurrence :

1 2 22 ... 2

, 0 1

2

n

n cn

+ + + +

∀ ∈` ≤ − Φ ≤ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ .

5. Déterminer la limite de

( )

cn .

6. En utilisant la question 4, déterminer, à l’aide d’un outil électronique, un entier N_c tel que :

1010

c n

n≥N ⇒ c − Φ ≤ ⁻