Devoir surveillé n˚5

Terminale S

Devoir surveillé n˚5

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NOM :

CLASSE :

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 4

Terminale S

Devoir surveillé n˚5

EXERCICE 1 (8 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Un site internet propose des jeux en ligne.

Partie A (4 pts) Pour un premier jeu :

⊲ Si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à 2 5 .

⊲ Si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est égale à 4 5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G

l’événement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note p

la probabilité de événement G

.

L’internaute gagne toujours la première partie et donc p

= 1.

1. Compléter sur ce document l’arbre pondéré suivant :

b b

G

p

b

G

. . .

b

G

. . .

b

G

1 − p

b

G

. . .

b

G

. . . 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p

= 1

5 p

+ 1 5 . 3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u

= p

− 1

4 . (a) Montrer que (u

)

est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier terme u

à préciser.

(b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p

= 3 4 ×

1

5

+ 1 4 . (c) Déterminer la limite de p

.

(d) Algorithmique

On admet que la suite (p

) est décroissante. (Bonus : Le démontrer )

On désire savoir à partir de combien de parties jouées, la probabilité que l’internaute gagne la nième partie est inférieure ou égale à 0, 251. L’algorithme qui suit, une fois complété, répond à cette question.

Variables : p est un nombre réel et n est un nombre entier naturel.

Initialisation : Affecter à p la valeur 1.

Affecter à n la valeur 1.

Traitement : Tant que . . . .

Affecter à n la valeur . . . . Affecter à p la valeur 3

4 ×

1

5

+ 1 4 . Fin de Tant que.

Sortie : Afficher n.

Compléter l’algorithme sur ce document et donner la valeur de n qu’il affiche une fois éxécuté.

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Partie B (4 pts)

Désormais, le joueur doit effectuer 10 parties d’un même jeu. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1 4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne 4 parties ? Qu’il gagne au moins une partie ? Les résultats seront arrondis à 10

près.

(c) Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat.

2. Le joueur doit payer 30 e pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 e . (a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

(b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 e ? Le résultat sera arrondi à 10

près.

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EXERCICE 2 (4 points)

Le thorium 237 est un élément radioactif émetteur de rayon α. Lorsqu’une source radioactive de thorium a une masse initiale m

, cette masse varie en fonction du temps selon la loi de décroissance radioactive.

On appelle demi-vie radioactive, le temps mis par le thorium pour perdre la moitié de sa masse.

Si M (t) est la masse, en gramme, de thorium, à l’instant t, on a M(t) = m

e

, où t est exprimé en jours.

1. On dispose à l’instant t = 0 d’une source radioactive de thorium de masse m

= 10

g. Sachant que la demi-vie du thorium est égale à 18 jours, calculer λ. Arrondir λ à 5 décimales.

2. Dans les deux questions qui suivent, on prendra λ =

.

(a) Quelle est la masse de thorium restante au bout de 36 jours ?

(b) Au bout de combien de jours le thorium aura-t-il perdu 90% de sa masse ? (arrondir à l’unité) (c) On a représenté la fonction M sur le graphique ci-dessous. Le compléter pour illustrer graphique-

ment la demi-vie et les questions 2.a et 2.b.

t M(t)

m

5 O

C

bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc

3. La vitesse instantanée de perte de masse est donnée par M

(t). Prouver qu’elle proportionnelle à la masse M (t), à l’instant t, de thorium 237.

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EXERCICE 3 (8 points)

On considère l’équation notée (E) :

ln(x) = −x

Le but de cet exercice est de prouver que l’équation (E) admet une unique solution notée α appartenant à l’intervalle ]0; +∞[ et d’utiliser une suite convergente pour obtenir une valeur approchée de cette solution.

Partie A : Existence et unicité de la solution :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : f (x) = x + ln(x)

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[.

2. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution appartenant à l’intervalle ]0; +∞[.

3. En déduire que (E) admet une unique solution α et prouver que 1

2 < α < 1.

Partie B : Obtention d’une suite qui converge vers α :

1. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : g(x) = 1

5 (4x − ln(x))

(a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.

(b) En déduire que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [

; 1], g(x) appartient à cet intervalle.

(c) Démontrer qu’un nombre réel x de ]0; +∞[ est solution de l’équation (E) si, et seulement si, g(x) = x.

2. On considère la suite (u

)

définie par u

= 1

2 et, pour tout n entier naturel n par : u

= g(u

)

(a) En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

1

2 6 u

6 u

6 1 (b) En déduire que la suite (u

) converge.

Bonus : Prouver que la limite de (u

)

est α.

Partie C : Recherche d’une valeur approchée de α :

À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u

, arrondie à la sixième décimale.

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