Terminale S
Devoir surveillé n˚5 - 27/01/2017
2016 - 2017EXERCICE 1 ( 5 points)
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Résoudre sur R l’équation 2e
2x− 10 = 0.
2. Résoudre l’inéquation : ln(2x) + ln(x + 2) 6 ln 6.
3. Soit (v
n) la suite définie pour tout n ∈ N par : v
n= 5 −
2
3
n+1. On sait que lim
n→+∞
v
n= 5.
Déterminer le plus petit entier n tel que v
n> 4, 9
• • •
EXERCICE 2 (10 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A
Pour un premier jeu :
⊲ Si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à 2 5 .
⊲ Si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est égale à 4 5 .
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G
nl’événement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note p
nla probabilité de événement G
n.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p
1= 1.
1. Compléter sur ce document l’arbre pondéré suivant :
b b
G
np
nb
G
n+1. . .
b
G
n+1. . .
b
G
n1 − p
nb
G
n+1. . .
b
G
n+1. . . 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p
n+1= 1
5 p
n+ 1 5 . 3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u
n= p
n− 1
4 . (a) Montrer que (u
n)
n∈Nest une suite géométrique de raison 1
5 et de premier terme u
1à préciser.
(b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p
n= 3 4 ×
1
5
n−1+ 1 4 . (c) Déterminer la limite de p
n.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3
Terminale S
Devoir surveillé n˚5 - 27/01/2017
2016 - 2017(d) Algorithmique
On admet que la suite (p
n) est décroissante. (Bonus : Le démontrer )
On désire savoir à partir de combien de parties jouées, la probabilité que l’internaute gagne la nième partie est inférieure ou égale à 0, 251. L’algorithme qui suit, une fois complété, répond à cette question.
Variables : p est un nombre réel et n est un nombre entier naturel.
Initialisation : Affecter à p la valeur 1.
Affecter à n la valeur 1.
Traitement : Tant que . . . .
Affecter à n la valeur . . . . Affecter à p la valeur 3
4 ×
1
5
n−1+ 1 4 . Fin de Tant que.
Sortie : Afficher n.
Compléter l’algorithme sur ce document et donner la valeur de n qu’il affiche une fois éxécuté.
Partie B
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépen- dantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1 4 .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne 4 parties ? Qu’il gagne au moins une partie ? Les résultats seront arrondis à 10
−3près.
(c) L’espérance de X est 2,5. Interpréter ce résultat.
2. Le joueur doit payer 30 e pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 e . (a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
(b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 e ? Le résultat sera arrondi à 10
−5près.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 3
Terminale S
Devoir surveillé n˚5 - 27/01/2017
2016 - 2017EXERCICE 3 (10 points)
On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : e
x= 3 x
2+ x
3. Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par f (x) = 3 x
2+ x
3telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
A l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : Etude de la validité de la conjecture graphique 1. (a) Etudier selon les valeurs de x, le signe de x
2+ x
3.
(b) En déduire que l’équation (E) n’a pas de solution sur l’intervalle ] − ∞ ; −1].
(c) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] − 1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par : h(x) = ln 3 + ln x
2+ ln(1 + x) − x.
Montrer que, sur ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x) = 0.
3. (a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, on a : h
′(x) = −x
2+ 2x + 2
x(x + 1) . (b) Déterminer les variations de la fonction h.
(c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
(d) Conclure quant à la conjecture de la partie A.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 3 sur 3
