TÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS .
CI-2-3 P RÉVOIR LES RÉPONSES TEMPO -
RELLES ET FRÉQUENTIELLES D ’ UN SYS -
TÈME DU PREMIER OU SECOND ORDRE
Objectifs MODELISER RESOUDRE EXPERIMENTER
A l’issue de la séquence , l’élève doit être capable de :
• B2 :Proposer un modèle de connaissance et de comportement
◦ Renseigner les paramètres caractéristiques d’un modèle de comportement (premier ordre, deuxième ordre, dérivateur, intégrateur, gain, retard)
• C2 :Procéder à la mise en œuvre d’une démarche de résolution analytique
◦ Prévoir la réponse temporelle à un échelon
◦ Prévoir la réponse fréquentielle dans le plan de Bode
◦ Prévoir les performances en termes de rapidité
◦ Relier la rapidité aux caractéristiques fréquentielles de Bode
• D3 :Mettre en œuvre un protocole expérimental
◦ Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle du premier ordre ou du deuxième ordre à partir de sa réponse indicielle
◦ Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle de comportement à partir de sa réponse fréquentielle
◦ Associer un modèle de comportement (premier ordre, deuxième ordre, intégrateur, gain) à partir de sa réponse fréquentielle
Table des matières
1 Étude temporelle 2
1.1 Système du premier ordre . . . . 2
1.1.1 Définition . . . . 2
1.1.2 Réponse impulsionnelle . . . . 2
1.1.3 Réponse indicielle . . . . 2
1.2 Système du deuxième ordre . . . . 3
1.2.1 Définition . . . . 3
1.2.2 Réponse indicielle . . . . 4
1.2.3 Caractéristique du régime pseudo périodique . . . . 6
1.2.4 Influence des paramètres caractéristiques . . . . 8
1.2.5 Compléments concernant le régime apériodique . . . . 8
1.3 Réponse des systèmes à d’autres signaux tests . . . . 9
1.3.1 Réponse impulsionnelle (unitaire) . . . 10
1.3.2 Réponse à une rampe (unitaire) . . . 10
2 Étude fréquentielle 11 2.1 Intérêt de l’analyse fréquentielle . . . 11
2.1.1 Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier . . . 11
2.1.2 Transformée de Fourier d’un signal quelconque . . . 11
2.2 Réponse d’un système à une entrée sinusoïdale . . . 12
2.3 Représentation du comportement harmonique . . . 12
2.3.1 Ordres de grandeurs et modes de représentation . . . 12
2.3.2 Diagrammes de BODE . . . 12
1 Étude temporelle
1.1 Système du premier ordre
1.1.1 Définition
DÉFINITION: Système du premier ordre
On appelle système du premier ordre d’entrée e(t)et de sortie s(t), un système régi par une équation différentielle de type:
τ.ds
dt +s(t)=K.e(t) Avec les conditions d’Heaviside (s(0−)=e(0−)=0), la fonction de transfert estH(p)= K
1+τ.p avecKle gain statique etτ la constante de temps.
1.1.2 Réponse impulsionnelle
La réponse impulsionnelle d’un système est par définition, la réponse à un Dirac:
e(t)=δ(t) ⇔ E(p)=1 S(p)=H(p).E(p)
⇒ S(p) = H(p)= K
1+τ.p ⇒ s(t)= K τ.e−t/τ 1.1.3 Réponse indicielle
La réponse indicielle d’un système est par défini- tion, la réponse à un échelon:
e(t)=E0.u(t) ⇔ E(p)= E0 p
S(p) = K 1+τ.p.E0
p = K.E0. 1 p − τ
1+τ.p
!
⇔ s(t) = K.E0
1−e−t/τ
⇒ s0(t) = K.E0 τ .e−t/τ
s(t)
t K.E0
E0
τ K.E0/τ
0,95.K.E0
3τ 0,63.K.E0
1.1.3.1 Propriétés remarquables
• La valeur à convergence vaut : lim
t7→+∞s(t)=K.E0ou lim
p7→0+p.S(p)= K.E0
• Le temps de réponse à 5% est obtenu pour un tempst=3.τ:s(3.τ)≈0,95.K.E0
• Pour le tempst=τ, on obtient :s(t)=0,63.K.E0
• La pente à l’origine vaut K.E0 τ
1.1.3.2 Influence des paramètres caractéristiques Influence de la constante de tempsτsur la réponse
indicielle s(t)
t τ=5 τ=10 τ=15 τ=20 s(t)
t τ%
Influence du gainKsur la réponse indicielle.
s(t)
t K=0.4 K=0.6 K=0.8 K=1.0 K=1.1 s(t)
t
Uneaugmentationde la constante de tempsdiminue la rapiditédu système (temps de réponse à 5% obtenue pourt=3.τ).
Une augmentation deKagit comme une augmentation de la consigneE0. 1.2 Système du deuxième ordre
1.2.1 Définition
DÉFINITION: Système du second ordre
On appelle système du second ordre d’entrée e(t) et de sortie s(t) un système régi par une équation différentielle de type:
a2.d2s
dt2 +a1.ds
dt +a0.s(t)=b0.e(t) Les systèmes du second ordre sont généralement caractérisés à partir des coefficients:
Le gain statique :K
K= b0 a0
La pulsation propre du système non amorti :ω0 ω0=
ra0 a2
Le facteur d’amortissement :ξ ξ= a1
2.√ a0.a2 Dans les systèmes réels à dissipation d’énergieξ≥0.
La fonction de transfertH(p)=S(p)/E(p) devient avec les conditions d’Heaviside (s(0−)=e(0−)=0):
1 ω20.d2s
dt2 + 2.ξ ω0.ds
dt +s(t)= K.e(t)
H(p)= K
1+ 2.ξ
ω0.p+ p2 ω20
ou encoreH(p)= K.ω20 p2+2.ξ.ω0.p+ω20
1.2.2 Réponse indicielle
1.2.2.1 Régime permanent Étude de régime établi.
e(t)=E0.u(t) S(p)=H(p).E(p)
⇒ S(p)= K 1+ 2.ξ
ω0.p+ p2 ω20
.E0 p
En appliquant le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale, il vient:
s(0+) = lim
p7→+∞p.S(p)=0 ds
dt
(0+) = lim
p7→+∞p.(p.S(p)−s(0+))=0 s(+∞) = lim
p7→0p.S(p)=K.E0 REMARQUES:
• Le régime établi ne dépend que deK.E0, le gain statique. En revanche,ξetω0n’influence pas le régime définitif.
• La tangente à l’origine est de pente nulle 1.2.2.2 Régime transitoire
Le calcul du régime transitoire impose de décomposerS(p) en fractions rationnelles. Il convient donc de connaître les pôles de la fonction de transfert. L’équation caractéristique est alors définie par:
p2+2.ξ.ω0.p+ω20=0 ⇒ ∆ =(2.ξ.ω0)2−4.ω20=4.ω2. ξ2−1
En fonction des valeurs du coefficient d’amortissementξ, on distingue 3 cas :
? Régimepseudo périodiqueξ <1
? Régimeapériodique critiqueξ=1
? Régimeapériodiqueξ >1
• Régime apériodiqueξ >1
L’équation caractéristique présente deux racines réellesp1et p2:
p1=−ξ.ω0−ω0.q
ξ2−1 et p2=−ξ.ω0+ω0.q ξ2−1
On introduit alors les valeursτ1etτ2telles queτ1= −p1−1etτ2=−p−12 qui conduisent alors à l’expression deS(p) suivante:
S(p) = E0
p . K.ω20
(p−p1)(p−p2) = E0
p . Kω20
p1.p2.(−p.τ1−1)(−p.τ2−1) = E0
p . Kω20
ω20.
ξ2−(ξ2−1)
(1+τ1.p)(1+τ2.p)
= E0
p . K
(1+τ1.p)(1+τ2.p) =K.E0
1
p + τ1 τ2−τ1
1 p+ 1
τ1
− τ2 τ2−τ1
1 p+ 1
τ2
⇒
s(t)=K.E0. 1+ 1 τ2−τ1.
τ1.e−t/τ1−τ2.e−t/τ2
!
• Régime apériodique critiqueξ=1
L’équation caractéristique présente une racine doublep0=−ω0. Posonsτ=ω−10
S(p)= 1
p. K.E0
(1+τ.p)2 ⇒ s(t)= K.E0. 1−
1+ t
τ
.e−t/τ
• Régime pseudopériodiqueξ <1 L’équation caractéris-
tique présente deux racines complexes conjuguéeszet ¯z:
z=−ξ.ω0± j. ω0.q 1−ξ2
!
| {z } ωp
Pour éviter toutes confusions avec l’intensité, jest lava- riable complexe i = eiπ2 et non la racine troisième de l’unitéei2π3 . On noteωp=ω0.p
1−ξ2la pulsation propre du système.
S(p) = E0
p . K.ω20
(p−z) (p−z)¯ = E0
p . K.ω20
"
(p+ξ.ω0)+j ω0.q 1−ξ2
!# "
(p+ξ.ω0)−j ω0.q 1−ξ2
!#
= E0
p . K.ω20
(p+ξ.ω0)2+ω2p =K.E0
p − K.E0
q 1−ξ2
.
q
1−ξ2 (p+ξ.ω0)
(p+ξ.ω0)2+ω2p +ξ. ωp
(p+ξ.ω0)2+ω2p
s(t) = K.E0.
1− e−ξ.ω0.t q
1−ξ2 q
1−ξ2.cos(ωpt)+ξ.sin(ωpt)
!
=K.E0
1− e−ξ.ω0.t q
1−ξ2 sin
ωp.t+arctan
q
1−ξ2 ξ
s(t)= K.E0.
1− e−ξ.ω0.t q
1−ξ2 sin
ω0.q
1−ξ2.t+arctan
q
1−ξ2 ξ
1.2.2.3 Réponse indicielle en fonction deξ
La réponse indicielle d’un système du second ordre pré- sente trois types de régime suivant les valeurs deξ:
• régime apériodique
• régime apériodique critique
• régime pseudopériodique
Régime pseudopériodique
Régime apériodique critique Régime apériodique
1.2.3 Caractéristique du régime pseudo périodique
On parle ici de laréponse indicielled’un système desecond ordre.
1.2.3.1 Dépassements
Les dépassements dépendent des valeurs du coefficient d’amortissementξ
• Les réponses des systèmes du second ordre peuvent présenter des dépassements dont l’amplitude peut être compa- rable à celle de l’échelon lui-même.
• Le temps de réponse à 5% varie suivant la valeur du coefficient d’amortissementξ:
◦ ξ 1: l’amortissement est faible (ξ= 0.1 par exemple), les oscillations sontmal amorties, le temps de réponse est grand.
◦ ξ=0,7: le système présente un dépassement faible, juste inférieur à 5%, avec letemps de réponse le plus faible.
◦ ξ = 1: le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique. Il ne correspond pas au minimum absolu de temps de réponse mais il s’agit cependant dusystème sans dépassement le plus rapide.
◦ ξ1: il n’y a pas de dépassement, mais le système estlent, donc le temps de réponse est grand.
1.2.3.2 Relation entre les amplitudes des dépassements et le coefficient d’amortissement
Un système du second ordre soumis à un échelon ne présente de dépassement que pourξ <1. Cherchons la relation entre les datestides maxima et minima locaux, les amplitudesDides dépassements et le coefficient d’amortissementξ.
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t
s(t)
D1
D2
D3
D4
E0 K.E0
T = 2.π ω0.q
1−ξ2 tk = k.π
ω0.q 1−ξ2
Di=K.E0.e−(2.i−1). ξ.π√
1−ξ2
• Recherche desti:Pour chercher lesti, on cherche quand la dérivée des(t) s’annule:
L
s0(t) = p.S(p)−s(0)= p.E0
p . K.ω20
(p+ξ.ω0)2+ω2p −0= K.E0.ω20 p2+2.ξ.ω0.p+ω20 s0(t) = L−1
K.E0.ω20 p2+2.ξ.ω0.p+ω20
=K.E0. ω0 q
1−ξ2
.e−ξ.ω0.t.sin(ω0.q
1−ξ2.t)
Cette dérivée s’annule pour:
• t7→ ∞, ce qui correspond au régime établi
• t=0, tangente horizontale en 0
• ω0.p
1−ξ2.t=k.π. Ainsi:
◦ Lenième maximumDnest atteint en
tn= (2.n−1).π ω0.q
1−ξ2
◦ Lemième minimum relatif pourk=2.men
tm= 2.m.π ω0.q
1−ξ2
• Recherche desDi:
Le dépassement est donnée parDi= s(t2.i−1)− lim
t7→∞s(t):
Di = K.E0.
1−e−ξ.ω0.t2.i−1 q
1−ξ2 .sin
ω0.q
1−ξ2.t2.i−1+arctan
q
1−ξ2 ξ
−K.E0
= −K.E0.
e−ξ.ω0.t2.i−1 q
1−ξ2 .sin
ω0.q
1−ξ2. (2.i−1).π ω0.q
1−ξ2 +arctan
q
1−ξ2 ξ
= −K.E0.
e−ξ.ω0.t2.i−1 q
1−ξ2 .sin
(2i−1).π+arctan
q
1−ξ2 ξ
= K.E0.
e−ξ.ω0.t2.i−1 q
1−ξ2 .sin
arctan
q
1−ξ2 ξ
or tan2φ
1+tan2φ = sin2φ
cos2φ+sin2φ =sin2φ
⇒ sin2
arctan
q
1−ξ2 ξ
=
q
1−ξ2 ξ
2
1+
q
1−ξ2 ξ
2 =1−ξ2
et comme p
1−ξ2≥0 etξ ≥0, arctan
q
1−ξ2 ξ
∈h 0,π2i
ce qui implique:
sin
arctan
q
1−ξ2 ξ
= q
1−ξ2Il vient alors pourDi Di= K.E0.e−ξ.ω0.t2.i−1 =K.E0.e−
(2.i−1)√ξ.π 1−ξ2
REMARQUE:La pulsationω0ne modifie pas l’amplitude des dépassements
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t ω0=1 rad/s ω0=0.5 rad/s ω0=2 rad/s
K=1 ξ=0.3 E0=1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ D1
K.E0
D1 K.E0 =e
−
π.ξ q
1−ξ2
1.2.4 Influence des paramètres caractéristiques
Les courbes ci-contre, représentent les produits du temps de réponse à 5%trpar la pulsation propreω0, et du temps de mon- téetmpar la pulsation propreω0, Ces produits sont tracés en fonction du coefficient d’amortissementξ. Le temps de montée correspond au temps de la première intersection de la réponse avec l’asymptoteK.E0.
Letemps de réponse minimum(réponse indicielle) est atteint pour 0,7. Au delà de cette valeur, la courbe est régulière car il n’y a plus de dépassement. Les bosses de la partie gauche de la courbe sont dues aux sauts d’un extremum à un autre du temps de réponse. Le temps de montée devientinfinie pourξ≥1puisqu’il n’y a plus de dépassement.
10−2 10−1 100 101 102
100 101 102 103
ξ Tr−5%.ω0Tm.ω0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0
5 10 15
ξ Tr−5%.ω0Tm.ω0
Temps de réponse à 5% réduitTr−5%.ω0et temps de montéeTmen fonction du coefficient d’amortissement, en échelle logarithmique (à gauche) et en échelle linéaire (à droite).
1.2.5 Compléments concernant le régime apériodique
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
0 2 4 6 8 10
s(t)=K.E0. 1+ 1
τ2−τ1.
τ1.e−t/τ1−τ2.e−t/τ2
s(t)=s1(t)+s2(t)+s3(t) s1(t)=K.E0
s(t)
s3(t)=−K.E0. ττ2−2τ1.e−t/τ2 s2(t)=K.E0. ττ2−1τ1.e−t/τ2
t K.E0
0,95.K.E0
0,63.K.E0
K.E0 τ2
τ1 τ2 τ2 τ2 τ2 τ2
La réponse indicielle d’un système du second ordre en régime apériodique (ξ >1 avec deux pôles réels) est la somme d’un échelon (représentant la réponse permanente) et de deux exponentielles amorties de constantes de temps différentes (repré- sentant la partie transitoire de la réponse). Les pentes à l’origine sont exactement opposées ce qui conduit à une tangente horizontale pour la somme.
Lorsque un système du second ordre en régime amorti présente deux pôles réelsp1etp2très différents (|p2| |p1|), le pôle p2de norme la plus petite (donc la constante de tempsτ2est la plus grande) est ditdominant. Le système peut être assimilé à un premier ordre, éventuellement retardé de la valeur de la constante de tempsτ1.
La figure de droite montre un tel second ordre pour lequelp1=5.p2. 1.3 Réponse des systèmes à d’autres signaux tests
1.3.1 Réponse impulsionnelle (unitaire)
+0 +
2 +
4 +
6 +
8 +
+ 10 0 0.25+ 0.5+ 0.75+ 1+
K=2, τ=2
K=1, τ=1 K=1, τ=2 K=0.5, τ=1 s(t)=−K
τ .e−τt
Premier ordre (réponse impulsionnelle)
ξ=0 0< ξ <1 ξ=1 ξ >1
Deuxième ordre (réponse impulsionnelle) 1.3.2 Réponse à une rampe (unitaire)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10
τ=1 τ=2
e(t)=t.u(t) K=2
K=1
K=0,5
t
Premier ordre (réponse en poursuite)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10
ξ=0,2
ξ=1
ξ=2
e(t)=t.u(t) K=2
K=1
K=0,5
t
Deuxième ordre (réponse en poursuite)
0 1 2 3 4
0 1 2 3
4 e(t)=t.u(t)
err(t)
∆(t)
s(t)
t
On appelle alors :
• l’erreur en traînage (ou en poursuite)err(t)
• retard en traînage∆(t)
2 Étude fréquentielle
2.1 Intérêt de l’analyse fréquentielle
2.1.1 Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier
Si f(t) est un signal périodique de périodeT0alors:
• f(t)= a0 2 + +
∞
X
k=1
(ak.cos(k.ω0.t)+bk.sin(k.ω0.t))
• f(t)=
k=+∞
X
k=−∞
Fk.ej.k.ω0.t
Fk
ω
ω0 2.ω0 3.ω0 4.ω0 5.ω0 6.ω0 7.ω0
Exemple de décomposition d’un signal créneau en série de Fourier.
La série est tronquée pour différentes valeurs den∈ {0,1,2,5,10,50}.
5 0 5 10 15 20
2 4 6
8
n = 0
5 0 5 10 15 20
2 4 6 8
n = 1
5 0 5 10 15 20
2 4 6 8
n = 2
5 0 5 10 15 20
2 4 6 8
n = 5
5 0 5 10 15 20
2 4 6 8
n = 10
5 0 5 10 15 20
2 4 6 8
n = 50
2.1.2 Transformée de Fourier d’un signal quelconque
f(t)= Z +∞
−∞
F(ω).ej.ω.tdω
+ t
1 +
2 +
3 +
4 +
5 +
6 +
7 +
8 +
9
−1+
−0.5+ 0+ 0.5+ 1+
⇒
Par transformée de Fourier
f(t)=sin(2.t)+0.25.sin(35.t)
F(ω)= Z +∞
−∞
f(t).e−j.ω.tdt
0+ 0.25+ 0.5+ 0.75+ 1+
ω
2 35
2.2 Réponse d’un système à une entrée sinusoïdale
L’entrée est sinusoïdale:e(t)=E0.cos(ω.t+ Φ).u(t)=Re
E0.ej.(ω.t+Φ)
E(p) H(p) S(p)=H(p).E(p)
En régime permanent : s(t) = Re
E0.H(j.ω).ej.(ω.t+Φ)
= E0.|H(j.ω)|.cos ω.t+ Φ +arg (H(j.ω))
La réponse d’un système linéaire continu invariant à une entrée sinusoïdale est une réponse sinusoïdale de même fréquence (même période et même pulsation).
Le signal est déphasé de arg (H(j.ω)) et l’amplitude vaut
E0.|H(j.ω)|. t
e(t) s(t)
retard de phase 2.3 Représentation du comportement harmonique
2.3.1 Ordres de grandeurs et modes de représentation
La fonction de transfert dépend des valeurs deω. Pour la caractériser sur une largeplage fréquentielle en donnant autant d’importance aux basses fréquences qu’aux hautes fréquences, on utilise uneéchelle logarithmique. De même, leséchelles de variation de|H(j.ω)|sont si étendues qu’il est préférable de faire figurer leslogarithmesde ces quantités. On définit alors par:
GdB(ω) = 20.log|H(j.ω)| le gain en décibels (dB) φ(ω) = arg (H(j.ω)) la phase en degré ou en radian
Afin de représenterH(j.ω), on utilise principalement les représentations deBODE, deNYQUISTet deBLACK.
2.3.2 Diagrammes de BODE
Au nombre de deux, ces diagrammes représentent les variations degain en décibeletde phase(radian ou degré) en fonction de la pulsation en radian par seconde tracée sur une échelle logarithmique.
On se contente dans la majorité des cas d’un tracé asymptotique.
2.3.2.1 Système du 1er ordre
La transmittance (ou fonction de transfert) s’écrit sous la forme : H(p)= K
1+τ.p ⇒H(j.ω)= K 1+τ.j.ω.
|H(jω)| = |K|
|1+τ.j.ω| = K p
1+τ2.ω2
φω(ω) = arg (H(j.ω))=arg(K)−arg(1+τ.j.ω)
= −arctan(τ.ω) avecφω(ω)∈h
−π2,0i
puisqueτ.ω >0
ω 1
τ ω= 1
τ ω 1
τ GdB(ω)≈ 20.log(K) 20.log (K)−3 20.logK
τ
−20.log(ω)
φ(ω)≈ 0 −π
4 −π
2
0,1.1
τ 1
τ 10.1
τ
-20dB
-3 dB GdB(ω)
ω
0,1.1
τ 1
τ 10.1
τ
−π 4
−π 2 φ(ω)
ω
2.3.2.2 Système du 2nd ordre
La transmittance se met sous la forme :H(p)= K.ω20
p2+2.ξ.ω0.p+ω02 ⇒H(j.ω)= K.ω20
(ω20−ω2)+2.j.ξ.ω0.ω.
|H(j.ω)|=
K.ω20
(ω20−ω2)+2.j.ξ.ω0.ω
= K.ω20
q(ω20−ω2)2+4.ξ2.ω20.ω2 φω(ω)=arg(K.ω20)−arg
(ω20−ω2)+2.j.ξ.ω0.ω
=−arctan
2.ξ.ω0.ω ω20−ω2
avecφω(ω)∈[−π,0]
ωω0 ωω0
GdB(ω)≈ 20.log(K) 20.log K.ω20
−40.log(ω)
φ(ω)≈ 0 −π
Gain en décibelsGB(ω): Phaseφω(ω):
Si 0≤ξ≤ √1
2 le diagramme de Bode présente une résonance pourωr=ω0.p
1−2.ξ2. En effet, puisque la fonction racine
crée une bijection deR+dansR+, rechercher un extremum du dénominateur de|H(j.ω)|revient à chercher la minimum de la fonction f(ω) définie par:
f(ω)=(ω20−ω2)2+4.ξ2.ω20.ω2 ⇒ f0(ω)=(−2.ω).2.(ω20−ω2)+4.ξ2.ω20.2.ω f0(ωr)=0 ⇒ −(ω20−ω2r)+2.ξ2.ω20=0 ⇒ ωr=ω0.q
1−2.ξ2siξ≤ 1
√
2 On a alors:
GdB(ωr) = 20.log
K.ω20
q(ω20−ω2r)2+4.ξ2.ω20.ω2r
=20.log
K q
(1−(1−2.ξ2))2+4.ξ2.(1−2.ξ2)
= 20.log
K
q4.ξ2+4.ξ2−8.ξ4
=20.log(K)+ 20.log
1 2.ξ.q
1−ξ2
| {z } coefficient de surtension
2.3.2.3 Représentation d’un système quelconque
Afin de représenter un système, il est intéressant de le décom- poser en fonction élémentaire du premier ordre, deuxième ordre et en intégrateur ou dérivateur.
H(p)= K pα.
Y
i
(1+τi.p).Y
m
1+ 2.ξm
ω0m.p+ p2 ω20m
Y
k
(1+τk.p).Y
n
1+ 2.ξn
ω0n.p+ p2 ω20n
• Le module de la fonction de transfert en décibels est égal à la somme des modules de chaque fonction élémentaire.
GB(ω) = 20.log|H(j.ω)|=20.log
K (j.ω)α.
Y
i
(1+τi.(j.ω)).Y
m
1+ 2.ξm
ω0m(j.ω)+(j.ω)2 ω20m
Y
k
(1+τk.(j.ω)).Y
n
1+ 2.ξn
ω0n.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20n
= 20.log
K (j.ω)α
+X
i
20.log|1+τi.(j.ω)|+X
m
20.log
1+ 2.ξm
ω0m.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20m
. . . . . .−X
k
20.log|1+τk.(j.ω)| −X
n
20.log
1+ 2.ξn
ω0n(j.ω)+ (j.ω)2 ω20n
• L’argument de la fonction de transfert est égal à la somme des arguments de chaque fonction élémentaire.
φω(ω) = arg (H(jω))=arg
K (j.ω)α
Y
i
(1+τi.(j.ω)).Y
m
1+2.ξm
ω0m.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20m
Y
k
(1+τk.(j.ω)).Y
n
1+ 2.ξn
ω0n.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20n
= arg K (j.ω)α
! +X
i
arg (1+τi.(j.ω))+X
m
arg
1+ 2.ξm
ω0m.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20m
. . . . . .−X
k
arg (1+τk.(j.ω))−X
n
arg
1+ 2.ξn
ω0n.(j.ω)+ (j.ω)2 ω20n
2.3.2.4 Représentation de Bode asymptotique des fonctions élémentaires On pose :X=log(ω)
• Action proportionnelle H(p)= K
GdB(H(j.ω)) = 20.log (|K|) K∈R+ ⇒ = 20.log (K)
φ(H(j.ω)) = arg (K) K∈R+ ⇒ = arctan 0
K
!
=0
• Action intégrale et action dérivée
H(p)= pα ⇒
GdB(H(j.ω)) = 20.log (|(j.ω)α|)=α.20.log (|j.ω|)=α.20.log (ω)=α.20.X φ(H(j.ω)) = arg ((j.ω)α)=α.arg (0+ j.ω)ω≥=0α.π2
Action intégrale
H(p)= 1 p
Action dérivée H(p)= p
• Systèmes du premier ordre généralisé
H(p) = (1+τ.p)α
⇒
GdB(H(j.ω)) = 20.log (|(1+τ.j.ω)α|)=α.20.log (|1+ j.τ.ω|)=α.20.log p
1+(τ.ω)2 φ(H(j.ω)) = arg ((1+τ.j.ω)α)=α.arg (1+ j.τ.ω)=α.arctan (τ.ω)
ω1
τ ω=1
τ ω 1
τ GdB(H(j.ω))≈ α.20.log (1)=0 α.20.log
q 1+τ
τ
=3.α α. 20.log (τ)+20.log(ω)=α. 20.log (τ)+20.X α.20.log (1) = α. 20.log (τ)+20.log(ω)
0 = 20.log (τ.ω) Intersection des asymptotes de gain au point
ω=1
τ ,GdB=0 φ(H(j.ω))≈ α.arctan (0)=0 α.arctanτ
τ
=π
4.α α.arctan (+∞)=α. π
2
PRÉVOIR LES RÉPONSES TEMPORELLES ET FRÉQUENTIELLES
• Systèmes du second ordre généralisé
H(p) =
1+ 2.ξ
ω0.p+ p2 ω20
α
⇒
GdB(H(j.ω)) = 20.log
1+2.ξ
ω0.j.ω+ (j.ω)2 ω20
!α
!
=α.20.log
1+ 2.ξ
ω0.j.ω− ω2 ω20
!
= α.20.log
s
1− ω2 ω20
!2
+4.ξ2.ω ω02
φ(H(j.ω)) = arg
1+ 2.ξ
ω0.j.ω+ (j.ω)2 ω20
!α!
=α.arctan
2.ξ.ω
ω0 1− ω2 ω20
ωω0 ω=ω0 ωω0
GdB(H(j.ω))≈ α.20.log (1)=0 α.20.log (2.ξ) α.20.log
s
−ω2 ω20
!2
=α.40.logω ω0
=−α.40.log (ω0)+α.40.X
α.20.log (1) = α.40.logω ω0
0 = logω ω0
Intersection des asymptotes de gain au point (ω=ω0,GdB=0) φ(H(j.ω))≈ α.arctan (0)=0 α.arctan (±∞)=π
2.α α.arctan (0−)=α.π
• Systèmes du premier ordre • Systèmes du second ordre
H(p)=1+τ.p
H(p)= 1 1+τ.p
H(p)=1+τ.p
H(p)= 1 1+τ.p
H(p)=1+2.ξ ω0.p+ p2
ω20
H(p)= 1
1+2.ξ ω0
.p+ p2 ω20
H(p)=1+2.ξ ω0.p+ p2
ω20
H(p)= 1
1+2.ξ ω0
.p+ p2 ω20
