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Submitted on 1 Jan 1979
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QUELQUES ASPECTS DE LA COMPARAISON ENTRE OPTIQUE ET ACOUSTIQUE NON
LINEAIRES
Bernard Perrin
To cite this version:
Bernard Perrin. QUELQUES ASPECTS DE LA COMPARAISON ENTRE OPTIQUE ET ACOUS- TIQUE NON LINEAIRES. Journal de Physique Colloques, 1979, 40 (C8), pp.C8-216-C8-220.
�10.1051/jphyscol:1979837�. �jpa-00219542�
Summary.- This paper is devoted to some results concerning nonlinear acoustics deduced from a comparison of nonlinear processes between optics and acoustics. In a first part an aspect of nonlinearity in acous- ics connected with the dimensionality of the medium of propagation is emphasized and illustrated by the proof of static instability of an ideal linear solid . In the second part a new phenomenon, which can be called acoustical rectification by analogy with nonlinear optics, is propounded to measure the third order elastic constants and its experimental consequences are predicted in a particular case.
QUELQUES ASPECTS DE LA COMPARAISON ENTRE OPTIQUE ET ACOUSTIQUE NON LINEAIRES
B. PERRIN
Département de Recherches Physiques (h.A. n° 71) Université Pierre et Marie Curie 4 place Jussieu, 75230 PARIS Cedex 05
Résumé.- Cet article est consacré à quelques résultats, concernant l'acoustique non linéaire, issus d'une comparaison des processus non linéaires entre l'optique et l'acoustique. Dans une première partie on met en évidence un aspect de la non linéarité en acoustique lié à la dimensionalité du milieu de pro- pagation, et, on l'illustre en démontrant l'instabilité statique d'un solide linéaire idéal.dans la seconde partie on propose d'utiliser un nouveau phénomène, que l'on appelle, par analogie avec l'optique non linéaire, la rectification acoustique, pour mesurer les constantes élastiques du troisième ordre et on décrit sur un exemple ce que peuvent être les manifestations expérimentales de ce phénomène.
1. Introduction. La comparaison des processus non linéaires en optique et en acoustique permet, d'une part d'approfondir l'analyse des propriétés qui déterminent l'essentiel des comportements non liné- aires dans ces deux domaines, d'autre part de recenser exhaustivement les phénomènes susceptibles de procurer des méthodes de mesure des caractéris- tiques non linéaires d'un milieu de propagation.
Dans cet article, restreint au milieu solide, nous présentons quelques conséquences, concernant l'acoustique non linéaire, que l'on peut déduire d'une telle démarche :
- L'identification d'une source de non linéa- rité en acoustique liée à la dimensionalité du milieu de propagation.
- La proposition d'utiliser un nouveau phénomè- ne (que T o n peut appeler, par analogie avec T o p - tique non linéaire, la rectification acoustique) en vue de mesurer les constantes élastiques du troisième ordre.
2. Sources de la non linéarité. En ce qui concer- ne l'optique, la non linéarité est totalement prise en compte par la relation qui exprime la polarisa- tion électrique d'un milieu diélectrique en fonc- tion du champ électromagnétique qui lui donne naissance. Les équations de Maxwell ne sont intrin- sèquement responsables d'aucune non linéarité et
conduisent, sans approximation, à une propagation linéaire des champs électromagnétiques dans le vide.
La situation est plus complexe en ce qui con- cerne l'acoustique où la description linéaire n'est toujours qu'une approximation. La non linéarité ne provient pas uniquement de l'équation d'état qui permet de traduire Tanharmonicité des potentiels interatomiques mais aussi des relations constitu- tives de l'acoustique qui sont intrinsèquement non linéaires. Cette dernière source de non linéarité est liée essentiellement à la dimensionalité du milieu de propagation ; celle-ci se manifeste par
l'introduction de divers termes non linéaires : - Ainsi, alors que pour les milieux unidimen- sionels une représentation satisfaisante de T é t a t de déformation est réalisée par le gradient de déplacement u.., pour les milieux de dimensionalité plus élevée, on doit utiliser les déformations de Lagrange r\.. qui sont des expressions non linéaires des composantes u.. :
8u,
(u. . = ; a. est une coordonnée Lagrangienne)
°
3 aj °
Article published online by EDP Sciences and available at
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1979837
JOURNAL DE PHYSIQUE
-
De même, l e s divers jacobiens introduits pour t e n i r compte de l a variation de l a masse volumique, de l a déformation du système de coordonnées...
ne s e simplifient pas dans l e s milieux non unidimensio- nels.Cette source de non l i n é a r i t é provoque l'appa- r i t i o n , dans l e s paramètres qui permettent de décri- r e l e s phénomènes non l i n é a i r e s , de constantes élastiques du second ordre au côté de c e l l e s du troisième ordre qui traduisent 1 'anharmonici t é du potentiel interatomique. Bien que l e s constantes du troisième ordre soient souvent supérieures d'un ordre de grandeur à c e l l e s du second ordre, l a pré- sence des constantes du second ordre e t , par conséquent, l a dimensionalité jouent dans l e s déve- loppements non l i n é a i r e s un rôle majeur que l ' o n peut i l l u s t r e r en étudiant un c r i s t a l l i n é a i r e idéal pour lequel l e s différentes non l i n é a r i t é s s e com- penseraient (certains auteurs /1,2/ ont évoqué une t e l l e d é f i n i t i o n ) .
Nous allons montrer, en e f f e t , que s i pour l e cas unidimensionel on peut concevoir un modèle parfai- tement l i n é a i r e (ou harmonique), i l n'en e s t plus de même pour l e s dimensionalités supérieures :
L'équation de propagation dans l e s solides s ' é c r i t :
pa e t @ sont respectivement l a niasse volumique e t l ' é n e r g i e de déformation par unité de volume du c r i s t a l non déformé.
J : jacobien J i k = u i k
+
gikL =
j kmn
nmn
+ 'jkmnrs %n Q r s + ' ' 'a
'jk 2(4)
Cjkmn e t Cjkmnrs sont respectivement l e s constantes élastiques de Brugger des second e t troisième ordres.
Si l e c r i s t a l l i n é a i r e idéal e s t t e l q u ' i l n'y a aucune interaction ni distorsion des ondes élastiques en cours de propagation, on peut é c r i r e :
On en déduit :
En écrivant l e s différentes symétries que v é r i f i e n t l e s constantes du troisième ordre, on obtient de t r è s f o r t e s r e s t r i c t i o n s s u r c e l l e s du second ordre. Ainsi l a symétrie par permutation des indices m e t n conduit au tableau 1 des cons- t a n t e s élastiques du second ordre (on peut montrer que l e s autres symétries ne procurent pas d'autres r e l a t i o n s ) . Un t e l solide a un comportement élas- tique hyperisotrope en ce qui concerne l a propaga- tion ( i .e : i l y a une tripled2génfrescence des modes) mais de plus présente une i n s t a b i l i t é s t a - tique puisque l e module, s o i t de compressibilité, s o i t de cisaillement, e s t négatif. Ce r é s u l t a t r e j o i n t d ' a i l l e u r s celui que 1 'on obtient au niveau microscopique quand on suppose un c r i s t a l parfaitement harmonique /3,4/ ( i .e : un c r i s t a l pour lequel l e développement du potentiel intera- tomique ne f a i t pas intervenir de paramètres de couplage d'ordre supérieur à deux).
3. La r e c t i f i c a t i o n acoustique. Bien que 1 'analy- s e des causes de l a non l i n é a r i t e fasse apparaître une plus grande complexité en acoustique qu'en optique, l e s manifestations macroscopiques doivent quant à e l l e s ê t r e analogues. Pour l e s e f f e t s du second ordre, e l l e s peuvent s e résumer pour une grande p a r t en l ' i n t e r a c t i o n de deux champs de radiation de fréquences al e t w2 qui procure un nouveau champ de fréquence w3. Une première règle de sélection impose :
TABLEAU 1
---
Constantes e l a s t i q u e s du second o r d r e d'un
" c r i s t a l 1 in é a i r e i d é a l
".
Il s u f f i t de prendre diverses valeurs de wl e t w2 pour o b t e n i r des phénomènes non l i n é a i r e s du second o r d r e ( t a b l e a u 2). A i n s i , pour l e s fréquen- ces w1 e t w2 égales respectivement à w e t
-
w, on o b t i e n t l e phénomène d i t de r e c t i f i c a t i o n .1
w1
w1
2w1
Génération de seconde harmonique1
Influence d'un champ statique sur la propagation d'un champ de radiation de frequence o
Rectification
Quelques effets non linéaires du second ordre
TABE4!--1
La r e c t i f i c a t i o n se t r a d u i t en o p t i q u e p a r 1 'ap- p a r i t i o n d'une p o l a r i s a t i o n continue l o r s du passa- ge d'un f a i s c e a u l a s e r i n t e n s e à t r a v e r s c e r t a i n s c r i s t a u x ; c e t e f f e t e s t d ' a i l l e u r s p a r f o i s . a p p e ï é
dc effect.
En acoustique l e tenseur a des c o n t r a i n t e s de Cauchy (ou c o n t r a i n t e s s u r l e s surfaces déformées) s ' é c r i t :
a =- 1 J - t J d e t 3 an
On p e u t déduire de (1,4,9) une r e l a t i o n non li- n é a i r e e n t r e oij e t uij :
Ai j k l m n e s t une combinaison l i n é a i r e de constantes é l a s t i q u e s des second e t t r o i s i è m e ordres.
S i un champ de déformation de fréquence fonda- mentale w se propage, nous pouvons é c r i r e (E << 1) :
donc, a(o) é t a n t l a composante s t a t i q u e du spectre des c o n t r a i n t e s :
Nous appelons r e c t i f i c a t i o n acoustique 1 ' e f f e t à une déformation E 5 (w) l a c o n t r a i n t e
Ai jklmn Skl Smn-(-w)
1
.
Remarques:!
.Cet e f f e t e s t t r è s proche du phéno- mène de p r e s s i o n de r a d i a t i o n acoustique d'abord prévu par Rayleigh /5/ dont l ' i n t e r p r é t a t i o n é t a i t d ' a i l l e u r s quelque peu erronée. Ce n ' e s t que vers 1920 que B r i l l o u i n /6/ é c l a i r a de manière remarqua- b l e ce phénomène en m e t t a n t en évidence l e s deux aspects s u i v a n t s :-
l a p r e s s i o n de r a d i a t i o n a un c a r a c t è r e t e n s o r i e l .-
il y a deux c o n t r i b u t i o n s d i s t i n c t e s à c e t e f f e t :.
d'une p a r t l a d i s t o r s i o n de l ' o n d e au cours de l a propagation,.
d ' a u t r e p a r t l e f l u x de q u a n t i t é de mouvement au t r a v e r s de l a s u r f a c e immobile s u r l a q u e l - l e se f a i t 1 'observation.De p l u s B r i l l o u i n e s t l e seul, à n o t r e connais- sance, à a v o i r envisagé l e cas des s o l i d e s .
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2. Le terme r e c t i f i c a t i o n acoustique a déjà é t é employé p a r Mathur e t Sagoo /7/ pour d é c r i r e un phénomène t r è s d i f f é r e n t de c e l u i que nous présen- tons e t p l u s apparenté à c e l u i de 1 'a u t o f o c a l i s a - t i o n : i l s o n t prévu e t observé qu'un faisceau u l t r a s o n o r e dont l e p r o f i l n ' e s t pas i r i t i a l e m e n t uniforme p e u t sous c e r t a i n e s c o n d i t i o n s s ' u n i f o r - m i s e r en cours de propagation. Le terme r e c t i f i c a - t i o n u t i l i s é dans ce cas a a l o r s un sens t r è s é l o i g n é de c e l u i q u ' i l r e v ê t en o p t i q u e ou en é l e c t r o n i q u e .
Les conséquences expérimentales de 1 a r e c t i f i c a t i o n acoustique dépendent e s s e n t i e l l e m e n t des c o n d i t i o n s aux l i m i t e s du s o l i d e . Nous considérons dans l a s u i t e que l e s c o n t r a i n t e s s t a t i q u e s sont n u l l e s s u r l e s faces du s o l i d e (ou t o u t au moins inchangées p a r 1 'a p p l i c a t i o n du champ u l t r a s o n o r e ) . Dès l o r s , l a r e l a t i o n (12) p r é v o i t f ' a p p a r i t i o n d'une déformation s t a t i q u e du s o l i d e l o r s du pas- sage de l ' o n d e u l t r a s o n o r e :
La d é t e c t i o n des déformations s t a t i q u e s p e u t ê t r e f a c i l i t é e s i 1 'on u t i l i s e une onde u l t r a s o n o r e modulée en impulsion A ( t
-2)
cos w ( t -a). A i n s i :v v
En général :
Kijkl représente l e tenseur des compliances é l a s t i q u e s .
S ' i l e s t p o s s i b l e de mesurer l a déformation du s o l i d e q u i r é s u l t e de l a r e c t i f i c a t i o n , on p e u t a l o r s déterminer c e r t a i n e s combinaisons des cons- t a n t e s é l a s t i q u e s du t r o i s i è m e o r d r e /4/.
Exemple : Les c r i s t a u x cubiques de p l u s haute symétrie possèdent s i x constantes é l a s t i q u e s du t r o i s i è m e ordre. S i l ' o n considère l a propagation d'une onde l o n g i t u d i n a l e A cos w ( t -2 ) s u i v a n t un axe d ' o r d r e 4, l a r e l a t i o n (13) d e v i e n t v :
( c e c i correspond à l ' a p p r o x i m a t i o n paramétrique).
- La r e c t i f i c a t i o n acoustique longitudinale va correspondre à l a propagation du s i g n a l 1 ( t )
2 2
X w A ( t -a) où 1 ( t ) e s t l a longueur de 1 'impul- s i o n dans 1; s o l i d e ( f i g u r e 1 ) . On peut donc p r é v o i r que l ' o r d r e de grandeur du déplacement dU à l a rec- t i f i c a t i o n sera comparable à c e l u i de l a seconde harmonique générée s u r une d i s t a n c e égale à c e l l e de l ' i m p u l s i o n . Les méthodes permettant de d é t e c t e r l e s harmoniques peuvent donc a p r i o r i ê t r e retenues pour m e t t r e en évidence l a r e c t i f i c a t i o n . A i n s i , l e s détecteurs c a p a c i t i f s t e l s que c e l u i développé p a r Gauster e t Breazeale /8/ semblent p a r t i c u l i è r e - ment b i e n adaptés : i l s permettent en e f f e t de f a i r e une mesure de l ' a m p l i t u d e du déplacement u l - trasonore s u r une e x t r é m i t é d ' u n s o l i d e . Une analyse autour de l a fréquence de récurrence de l ' i m p u l s i o n d o i t donc r é v é l e r un s i g n a l , correspondant à 1 ' i n t é - g r a t i o n du c a r r é de 1 'enveloppe ( f i g u r e 2), dont on peut déduire une combinaison l i n é a i r e des deux constantes Clll et C112'
Sous réserve que l ' o n puisse s'approcher e x p é r i - mentalement suffisamment près des c o n d i t i o n s 1 im i - t e s e x p l i c i t é e s précédemment, l a r e c t i f i c a t i o n acoustique peut donc devenir une n o u v e l l e approche
Références
/1/ Breazeale M.A. and Ford J . , J . Applied Physics 36 (1965), 3486.
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FIGURE 1 : Rectification acoustique due au passage d'une impulsion ultrasonore dans un
solide. /7/
FIGURE 2 : 2.a) Signal ultrasonore au début de 7a propagation.
2.b) Signal de r e c t i f i c a t i o n détecté à l ' e x t r é m i t é du solide.
pour mesurer l e s constantes élastiques du t r o i s i è - me ordre.
4,Conclusion. L'étude des analogies optique-acous- tique non l i n a i r e s neus a permis d'une part de mettre en r e l i e f un aspect essentiel de l a non l i n é a r i t é en acoustique l i é à l a dimensionalité du milieu de propagation (nous avons i l l u s t r é ce f a i t en démontrant 1 ' i n s t a b i l i t é s t a t i q u e d'un c r i s t a 2 l i n d a i r e i d é a l ) e t d ' a u t r e p a r t d'ébaucher une nouvelle méthode de mesure des constantes élas- tiques du troisième ordre u t i l i s a n t u n phénomène que nous proposons d'appeler l a r e c t i f i c a t i o n acoustique.
Breazeale M.A., VI ISNA, Moscou (1975), 133.
Ludwig W. Aarhus Summer School Lectures (19631, 23.
Perrin B . , Thèse de Doctorat d'Ingénieur, Paris VI (1978).
Rayleigh, S c i e n t i f i c Papers
1
(1912), '41, 262.Brillouin L . , Ann. SC. Ec. Norm. III-3J (1920) 357.
Mathur S.S. and Sagoo M.S., Can. J . Phys., (1974), 1723.
/8/ Gauster W.B. and Breazeale M.A., The Rev. of Sc. Instruments,
