INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs SOUMIS A DES CONDITIONS D'MPLIFICATION ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE

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INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs SOUMIS

A DES CONDITIONS D’MPLIFICATION

ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE

P. Leroux-Hugon

To cite this version:

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 2, Tome 28, Févr. 1967, page C 1-65

INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs SOUMIS

A

DES CONDITIONS

D'AMPLIFICATION ACOUSTIQUE NON

LINEAIRE

par P. LEROUX-HUGON (*)

Laboratoire d7Etude et de Recherche Générale, la Radiotechnique, 92 Suresnes

Résumé.

-

Des instabilités de courant ont été observées dans GaAs soumis à un champ élec- trique élevé, appliqué suivant une direction piézoélectriquement active. Ces instabilités peuvent être attribuées à un couplage électron-phonon non linéaire. On donne une théorie élémentaire du phénomène qui permet de calculer les conditions d'établissement de l'instabilité. On présente égale- ment des données expérimentales sur la variation du champ critique en fonction de la longueur de l'échantillon, de la concentration en porteurs et de la température. Ces résultats sont en bon accord avec les prévisions du calcul.

Abstract.

-

Current instabilities have been observed in GaAs when an electric field is applied along a piezoelectric direction. These instabilities may be attributed to a non Iinear electron- phonon coupling. We give an elementary theory of the phenomenon which allows us to predict onset of instabilities. We give experimental data on the variation of the threshold field as a func- tion of lenght of the sample, carrier concentration and temperature. These results are in agree- ment with calculation.

1. Introduction.

-

Il est bien établi que l'applica- tion d'un champ électrique élevé, suivant une direction piézoélectriquement active d'un semiconducteur, conduit à une amplification ultrasonore lorsque la vitesse de déplacement des porteurs excède la vitesse du son [Il. L'amplification ultrasonore peut être suffisamment élevée pour conduire à des phénomènes de non-linéarité qui provoqueront des instabilités du courant qui traverse l'échantillon.

Des instabilités de courant, attribuées à ce couplage électron-phonon non linéaire, ont été observées dans un certain nombre de semi-conducteurs piézoélec- triques : Te [2], CdS [3], Z n 0 [3], GaSb [4] et GaAs [5]. Cet effet peut être important: sur la figure 1, qui représente les oscillations du courant dans un échan- tillon de GaAs à la température ambiante, on voit que le taux de modulation du courant peut atteindre 80

%.

Nous donnerons une théorie élémentaire du phé- nomène qui permet de calculer la limite de non- linéarité de l'amplification, c'est-à-dire les conditions d'établissement de l'oscillation. Nous présenterons également des résultats expérimentaux, relatifs à

GaAs, qui sont en bon accord avec les prévisions de ce calcul.

(*) Stagiaire D. R. M. E.

RG. 1. - Oscillation du courant dans GaAs. n = 2 x 1014; T = 300 "K 5 ys/division.

Taux de modulation 80 % L=lOrnm

T = 3 p s V = 1 050 V.

2. Conditions de formation d'un domaine de champ

fort.

-

Les mécanismes de conduction électrique sont très différents en champ électrique faible et en champ fort. En particulier, des mécanismes de collision qui interviennent de façon négligeable pour limiter la mobilité électronique en champ faible peuvent devenir prépondérants en champ fort. La mobilité est alors réduite, ce qui peut conduire à une

(3)

C l - 6 6 P. LEROUX HUGON

caractéristique J(E) ( J densité de courant, E champ appliqué) ayant la forme indiquée sur la figure 2.

FIG. 2. -Densité de courant (4 en fonction du champ appliqué (E) en présence d'une résistance différentielle négative.

Dans ces conditions, Ridley [6] a montré qu'un

échantillon soumis à une tension constante, telle que E

>

E,, cesse d'être électriquement homogène et se sépare en deux domaines où le champ électrique a les valeurs El et E, avec :

où L est la longueur de l'échantillon et 1 la largeur du domaine de champ fort (Fig. 3a). La figure 3b indique la répartition du potentiel en fonction de la longueur. On voit que la formation de domaines entraîne la réduction du courant qui' traverse l'échan- tillon.

tiel est rétablie ce qui conduit à la formation d'un nouveau domaine. Le phénomène est donc pério- dique, de période 8 = Llv (*).

Le couplage piézoélectrique peut amplifier la den- sité de phonons à une valeur telle que la contribution des collisions électron-phonon à la limitation de la mobilité soit prépondérante et que la condition de formation de l'instabilité dJ/dE = O, soit satisfaite (**).

L'expérience suggère que, dans ce cas, le domaine de champ fort est celui où la densité de phonon élevée limite la mobilité électronique à la valeur p,,, infé- rieure à la mobilité en champ faible F,.

La continuité électrique implique alors :

Les phonons qui limitent Ia mobilité se propagent à

la vitesse v,, ce qui fixe la période du phénomène

8 = LIUs.

3. Théorie élémentaire.

-

On étudie généralement les processus de conduction à partir de l'équation de Boltzman qui décrit l'évolution de la fonction de distribution des électrons ; en présence d'un couplage piézoélectrique il faudra lui ajouter l'équation de Boltzman pour ces phonons et trouver les expressions de fonction de distribution pour les électrons et les phonons qui satisfassent simultanément les deux

équations. Dans le cas d'un système isotherme et isotrope (c'est-à-dire avant la formation d'un domaine) ce système d'équations peut s'écrire

\

=

P&>

champ +

>

(:;

coüision +

(g)

électron-phonon (2)

1 %

=

($1

électron-phonon +

(g)

phonon-phonon

(3) Sans résoudre explicitement ce système d'équation, nous utiliserons les expressions des différents termes, établies dans une approximation linéaire, pour calculer la limite de non-linéarité du processus de couplage.

i n s . ~ ; l i ~

a'hblie

avant instabilité

/ /

3.1 EXPRESSION DE LA DENSITÉ DE PHONON DANS DES CONDITIONS D'AMPLIFICATION.

-

Le terme

rend compte de l'amplification ultrasonore due au cou-

FIG. 3.

-

Domaine de champ faible et de champ fort (3a). Répartition du potentiel dans le barreau : avant l'établissement (pointillé) et après l'établissement (trait plein) de l'instabilité (3b).

Si le domaine se propage à la vitesse u, lorsqu'il quitte l'échantillon, la répartition homogène du poten-

(*) Ce sont essentiellement les conditions aux limites imposées par le circuit qui provoquent l'instabilité, il ne s'agit donc pas

d'une instabilité intrinsèque du semi-conducteur.

(4)

INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs C l - 6 7

plage piézoélectrique. L'expression correspondante du gain acoustique par unité de longueur a été établie par White [SI.

YU,

Le paramètre

caractérise le champ électrique et le terme

définit le couplage (eij élément du tenseur de piézo- électricité, E constante diélectrique, C i j constante élastique).

Les collisions des phonons entre eux, caractéri- sées par (aN/at),honon-phonon, conduisent à une atté- nuation T(w) qui, dans les conditions présentes, est proportionnelle à la fréquence [7]. La figure 4 montre que pour un champ convenable (y

>

y,), il y a gain acoustique net dans un domaine de fréquence

o1

<

w

<

oz où ml et w2 sont définies par : g(y7 01) = T(w1) ; ~(YY 02) = T(w2)

.

Nous admettrons alors comme expression de la densité de phonon :

est la densité de phonons à l'équilibre thermique et où G(w, y) est donné par :

O pour cc>

<

w1 et o

>

oz

g(o, y)

-

F(w) pour ml < w

<

w2 e t y > Y0 3.2 MOBILITÉ LIMITÉE PAR LES PHONONS.

-

On CaraC- térise la diffusion d'un électron de vecteur d'onde k par un phonon de vecteur d'onde q(w = us q), par un temps de relaxation [8] :

où B(q), élément de matrice du terme de perturbation, est donné, dans le cas de couplage piézoélectrique [9J Par

où a est une combinaison convenable des constantes élastiques (a

-

1).

On cherchera Sa valeur moyenne de .tph, prise sur toute la distribution électronique, ce qui nous per- mettra de calculer la contribution des collisions électron-phonon à la limitation de la mobilité :

En portant (5) dans (6), le calcul de la valeur

moyenne

<

z

>,

dans le cas d'une distribution non dégénérée, nous donne :

FIG. 4.

-

Gain dû au couplage électron-phonon

(5)

C l - 6 8 P. LEROUX.

cette expression est identique à celle donnée par Meijer et Polder [9].

3. ETABLISSEMENT DE L'INSTABILITÉ.

-

La densité de courant est :

Dans cette expression, po la mobilité à champ faible est définie à partir du terme (~f/ût),olli,io,, correspondant aux mécanismes de collision prépon- dérants en champ faible (dans GaAs, à 77 OK, par exemple, aux collisions sur les impuretés ionisées).

La condition dJ/dE = O devient (pour p0 indépen- dant de E),

On cherchera la valeur de E, qui insérée dans (4) et dans (7) satisfait (8) pour une valeur donnée de t. Comme pph dépend du temps, on n'observera d'instabilité que si le domaine se forme en un temps plus court que la période du phénomène. C'est cette condition qui différencie le type d'instabilité que nous étudions de l'Effet Gunn, par exemple, où le temps d'établissement de l'instabilité est négligeable devant la période. Comme cette période est définie par la longueur de l'échantillon, on s'attend à ce que le champ à partir duquel le domaine peut se former, dépende directement de L.

4. Etude expérimentale de l'instabilité dans le cas de GaAs. - 4.1 DÉFINITION DU PHÉNOMÈNE.

-

Nous avons étudié la variation du courant qui traverse un échantillon de GaAs soumis à des impul- sions de tension constante, délivrées par un généra- teur de faible résistance interne [5].

Une série de mesures a été faite à 77 OK ou au voi- sinage de cette température sur des échantillons fabriqués par la Radiotechnique (lingot no 223) de concentration en porteurs n = 2 x 1016 et de mobilité 5 500 cm2/V. s environ. La longueur des échantillons était comprise entre 2 et 15 mm.

Les échantillons étaient en général taillés de façon

à ce que le champ électrique appliqué soit parallèle

à la direction [110] du cristal. Le champ appliqué, dans ces conditions, est colinéaire au champ électrique associé à l'onde acoustique transverse vibrant suivant [O011 et se propageant suivant [Il01 qui est piézoélectriquement active dans ce cristal [IO]. La vitesse de propagation du domaine, déduite de la période, est strictement égale à la vitesse de propagation de l'onde acoustique transverse, 3,3 x IO5 cm/s [l].

Lorsqu'on augmente la tension appliquée à l'échan- tillon, on constate que l'impulsion de courant, ini- tialement constante en fonction du temps, se déforme ;

la déformation se produit de plus en plus tôt et son amplitude augmente, à mesure que la tension appli- quée croit (Fig. 5).

FE. 5. - Impulsion de courant en fonction du temps.

-

GaAs. n = 2 x 1 0 1 6 ; E = 292 V/cm - a - E = 348 V / C ~ - b - E = 515 V / C ~ -c- E = 835 V / C ~ - d - En abscisses, 0,s &division (a) et (b), 9,5 A/div. (c) et (d), 23,6 A/div.

Si on taille un échantillon dans une direction légèrement différente de [110] (IO0 environ) on constate que l'ascillation n'intervient que pour un champ critique plus fort, la période étant différente et la déformation plus faible.

(6)

INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs C l - 6 9

du champ appliqué (saturation), comme l'indique la figure 6.

FIG. 6.

-

Caractéristique J ( E ) à 77 OK. - GaAs. cr = 23,9 (C2.cm) -1 ; p = 0,55 ; L = 11 mm.

4.2 INPLUENCE DE LA LONGUEUR DU BARREAU, DE LA TEMPÉRATURE ET DE LA CONCENTRATION EN PORTEURS SUR LA CARACTÉRISTIQUE J(E).

-

NOUS avons tracé un certain nombre de caractéristiques J(E) sur un échantillon dont on faisait varier la longueur. On a mesuré simultanément le temps d'établissement de l'instabilité en fonction du champ appliqué.

Les résultats, portés sur la figure 7 montrent que le champ critique est d'autant plus élevé que le barreau est court, c'est-à-dire que le parcours amplificateur y est plus faible. On constate par ailleurs que la valeur de J, à la saturation, n'est pas indépendante de L.

Nous avons tracé, pour un même échantillon, une série de caractéristiques J(E) à différentes températures supérieures à 77 OK. Les résultats sont portés sur la figure 8.

Enfin nous avons utilisé des échantillons taillés dans un lingot de GaAs, fournis par la Société Mon- Santo, de caractéristiques différentes

L'instabilité se produit à la température ambiante pour des champs appliqués de 800 V/cm, l'échan- tillon ayant 11 mm de long. L'oscillogramme de la figure 1 a été obtenu sur un échantillon de ce type. La caractéristique J(E) correspondante est portée sur la figure 9.

FIG. 7. - Caractéristiques J(E) pour différentes longueurs d'échantillon. T = 77 OK ; a = 16 @.cm)-1.

FIG. 8. - Caractéristique J(E) pour différentes températures.

(7)

C l - 7 0 P. LEROUX HUGON

FXG. 9. - Caractéristique J(E) à 300 OK.

d'instabilité pour E < 1 200 V/cm, en refroidissant l'échantillon vers 220 OK.

5. Discussion. - 5.1 DENSITÉ DE COURANT A LA

SATURATION. D'après nos hypothèses, la densité du courant à la saturation doit être :

où le champ El est tel que le gain dû au couplage piézoélectrique équilibre les pertes acoustiques. On calculera approximativement la valeur y, du para- mètre y en écrivant que cette condition est satisfaite pour la fréquence

pour laquelle le gain piézoélectrique, donné par (4),

est maximum. On aura donc

Pour calculer r(m,,J, nous sommes partis des valeurs d'atténuation acoustiques obtenues sur GaAs

à 60 OKet à la fréquence de 9 Gc/s [12]. Nous avons extrapolé ces données en admettant, d'après [7], la loi

r

CC

c,

TU

et en utilisant les valeurs mesurées de la chaleur spé- cifique C, [13].

Nous avons calculé les valeurs de mm,

r

et y. pour les échantillons dont les caractéristiques sont données sur les figures G et 9. La valeur du paramètre A utilisée

est celle qui a été obtenue par différents expérimen- tateurs [14]. Les valeurs de El ainsi obtenues et les

valeurs expérimentales sont comparées sur le tableau 1.

5.2 INFLUENCE DE LA VARIATION DES PARAMÈTRES SUR

LE CHAMP CRITIQUE E,.

-

Pour obtenir la valeur de E,, solution de l'équation (8), il est nécessaire d'évaluer l'intégrale (7). Cette opération a été confiée à un ordinateur. Avec un certain nombre d'approxima- tions, il est cependant possible d'obtenir une expression analytique de pH et d'en déduire E,.

En utilisant cette méthode approchée, nous avons

TABLEAU I

Comparaison entre les valeurs calculées et les valeurs expérimentales du champ El

(8)

INSTABILITÉS DE COURANT DANS GaAs C l - 7 1 calculé E, pour différentes valeurs du temps d'éta-

blissement t, les paramètres utilisés se rapportant aux échantillons dont les caractéristiques sont portées sur la figure 7. Les résultats de ce calcul sont comparés, sur la figure 10, à ceux qui sont obtenus expérimen- talement.

De la même façon, connaissant les variations de la conductivité et de la mobilité en fonction de la température, on peut calculer les valeurs de E,, pour un temps d'établissement égal à la période, aux tempé- ratures correspondant aux mesures de la figure 7. Nous avons comparé ces valeurs, sur la figure 11, aux valeurs expérimentales.

50 400 450

FIG. i l . -Variation du champ critique en fonction de la température. - GaAs. a = 0,125 (Q.cm) - 1 ; p = 6 500 cm2/V.s ; L = llmm.

Pour juger de l'accord entre les données théoriques et expérimentales, nous devons tenir compte de trois facteurs :

- les hypothèses très simplificatrices introduites dans la théorie,

- les erreurs numériques importantes que peut entraîner le calcul approché de p,,,

-

l'imprécision dans la détermination des para- mètres qui interviennent dans ce calcul : les valeurs de a peuvent différer d'un échantillon à l'autre et la température de l'échantillon peut être mal définie.

Dans ces conditions, il nous semble que l'accord entre les données expérimentales et les résultats du calcul est satisfaisant. En particulier, la variation du temps d'établissement en fonction du champ appli-

qué confirme qualitativement et quantitativement nos hypothèses sur les conditions de formation de l'instabilité. De la même façon, l'accord entre les valeurs mesurées et calculées du champ à saturation El

justifie l'emploi du modèle élémentaire que nous proposons.

6. Conclusion.

-

Nous avons étudié un type particulier d'instabilités de courant, dues au couplage piézoélectrique en champ électrique élevé ; il semble bien que la théorie élémentaire proposée rende compte, en première approximation, des phénomènes observés. Un certain nombre de points restent à préciser, concernant le détail du mécanisme de couplage (résolution de l'équation de Boltzman) et les conditions de formation et de propagation du domaine de champ fort.

Cette étude nous a également permis de préciser les limites de la théorie classique de l'amplification ultrasonore 11) et de calculer dans quelles conditions un échantillon piézoélectrique cesse d'être utilisable comme amplificateur.

D'autres phénomènes de couplage électron-phonon peuvent intervenir dans GaAs (saturation, couplage avec les phonons optiques). Dès maintenant ce type d'instabilité peut apparaître concurremment à d'autres effets (effet Gunn) pour les limiter ou les moduler. 7. Remerciements. - Je suis heureux de remercier M. Veilex pour son intérêt constant et pour son aide dans le cours de ce travail. Je remercie également M. Hervouet, qui avait obtenu les premiers résultats dans ce domaine, et dont la collaboration m'a été tris utile.

Note ajoutée sur épreuves

La notion de temps de relaxation qui permet d'établir la formule (6) n'est pas strictement appli- cable à notre problème. Elle implique en effet que (aflat)électron-phonon soit proportionnel à E. Ce terme en fait est proportionnel à (p, Elu,

-

1) et dépend fortement de l'orientation de E par rapport à l'orientation cristalline. Du point de vue numérique l'approximation que nous avons utilisée modifie la valeur au coefficient reliant pph à l'exponentielle (formule (7)), mais non l'exponentielle elle-même. Ceci n'introduit pas une grande erreur dans le calcul du champ de seuil.

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