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Submitted on 1 Jan 1979
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SOLUTIONS APPROCHEES NON LINEAIRES POUR LE RAYONNEMENT ACOUSTIQUE D’UNE
SOURCE À SYMETRIE DE REVOLUTION
R. Burvingt
To cite this version:
R. Burvingt. SOLUTIONS APPROCHEES NON LINEAIRES POUR LE RAYONNEMENT
ACOUSTIQUE D’UNE SOURCE À SYMETRIE DE REVOLUTION. Journal de Physique Collo-
ques, 1979, 40 (C8), pp.C8-14-C8-18. �10.1051/jphyscol:1979803�. �jpa-00219508�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C8, supplément au n° 11, tome 40, novembre 1979, page cg_ 1 4
SOLUTIONS APPROCHEES NON LINEAIRES POUR LE RAYONNEMENT ACOUSTIQUE D'UNE SOURCE À SYMETRIE DE REVOLUTION R. Burvingt
Laboratoire de Physique théorique et Mathématique, Université Paris VII, Tour 33-43, 2,plaae Jussieu 75221 Paris Cedex OS France.
Résumé. - On étudie le rayonnement acoustique d'une source plane à symétrie de révolution, située dans un plan rigide et vibrant suivant deux fréquences fondamentales. On propose de décrire le champ acoustique sur la paroi par une superposition de fonction de Gauss, et l'on montre que ce type de répartition peut être utilisé pour approcher une distribution en créneau. L'intérêt de cette répartition est qu'elle conduit dans le traitement au second ordre de l'équation non linéaire de base à des solutions analytiques simples ne comportant que des fonctions connues. Cette méthode est appliquée à l'étude du rayonnement paramétrique pour lequel on dispose de formules approchées utilisables.
Abstract. - The present study deals with the radiation of a plane circular source situated in a rigid wall and vibrating according to two fundamental frequencies. It is proposed to describe the acoustical field on the wall by a superposition of Gaussian functions, and it is shown that such a repartition can be used to approach a rectangular shape.
The interest of this representation is to ge for the second order solutions of the basis non linear equation, simple analytical expressions involving only known functions. This method is applied to the study of the parametric radiation for which suitable approximate formulas are avalaible.
1. INTRODUCTION. - Dans ce travail, nous nous pro posons d'étudier le rayonnement acoustique produit par un piston à symétrie de révolution vibrant à deux fréquences voisines. Nous avons en vue le cal- cul du rayonnement paramétrique que nous traitons par une méthode d'approximations successives ; dans ce qui suit nous nous limiterons â la première ité- ration en prenant la solution linéaire comme point de départ.
L'équation fondamentale que nous utiliserons satisfait aux deux restrictions suivantes : (i) cas faiblement non linéaire (le nombre de Mach est un petit paramètre) ; (ii) les longueurs d'onde des modes principaux sont au plus de l'ordre de grandeur des dimensions du piston (faible diffrac- tion locale). A ces deux limitations nous ajoutons encore une hypothèse supplémentaire, à savoir celle de l'existence d'effets thermovisqueux suffisam- ment importants pour éliminer les phénomènes de formation d'onde de choc. Dans ces conditions on peut admettre que les ondes de petite amplitude ont localement une forme voisine de celle d'une onde progressive plane et T o n établit que la den- sité réduite p'=P - p 0 satisfait â l'équation
PO / l / e t / 2 /
3ffi-C§Ap-b J3g jj£o
( 1 ) 3t2 cjj 3t3 3t2
C'est l'équation fondamentale de cette étude ; e l l e est obtenue â p a r t i r de la formulation donnée par Kuznetsov / 3 / pour les écoulements irrotationnels d'un gaz parfait à chaleur spécifique constante.
(En attribuant à 6 l'expression bien connue
D
2 = ! +^A~ , cette équation peut être adaptée au cas des fluides réels)
Le cas linéaire, première étape du calcul, a été traité approximativement à la fois en ce qui concerne : (i) la construction de la solution et (ii) sa formulation particulière pour une condi- tion à la limite sur le piston telle que la déri- vée normale de la densité est représentée sous la forme d'une somme de gaussiennes. Nous donnons également une approximation pour la répartition du type de créneau. L'intérêt de ce type de condi- tion à la limite réside essentiellement dans la simplicité de la solution linéaire approchée ainsi obtenue ( /l/ et /z/ ) qui permet ensuite un déve- loppement analytique satisfaisant pour l'étude de la première approximation du cas non linéaire.
A cette étape une étude analytique de l'émission paramétrique est ainsi rendue possible ( /z/).
2. - SOLUTION LINEAIRE POUR DES CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE GAUSSIEN. - Nous adoptons dans cette étude une description en variables d'Euler et définissons le champ de vitesses ou, ce qui est
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Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1979803
JOURNAL DE PHYSIQUE
1 'équivalent
à1 'approximation linéaire, la déri- vée normale de la densité réduite 5 x 0 .
En vue de l'étude du rayonnement paramétrique nous poserons
(2) PXO
=U(Y) (coswlt + cosw2t)
où u1 et w2 sont les deux fréquences de vibration du piston (supposées voisines).
La fonction
u!y)décrit les variations de l'amplitude le long d'un rayon du piston et nous proposons de la représenter sous la forme d'une somme de gaussiennes, en posant
:Dans le cas où l'on veut approcher une répartition du type créneau, nous pouvons prendre (voir figure courbe 1)
2 N (4) u(y)
=uO(l - (1 - e- qY
) )avec
: aet 1
=demi-largeur moyenne de la gaussienne de base.
Si le terme non linéaire au second membre de (1) est négligé, 1 'équation d'onde s'écrit alors dans le cas de la symétrie cylindrique (ox est 1 'axe de révolution).
on obtient sa solution en effectuant une transfor- mation de Fourier sur t et une transformation de Hankel sur y
Compte tenu de la condition aux 1 imites (2) et (3), l'expression de la densité réduite dans l'espace de Fourier est donnée par
N
2 b
où
z =1- 2i ?et
=k- est le coefficient 2co
d'absorption thermovisqueux
Cette approximation est valable dans tous les cas excepté si (et seulement si) la dimension de la source devient inférieure
àune longueur d'onde (cas g~ 1 ) . Dans ce dernier cas, 1 'approximation (7) est inutilisable pour les points recevant le rayonnement émis sous de grands angles et pour ceux
à proximité de la source. A la limite, une telle situation serait celle d'une source quasi- ponctuelle émétrice d'ondes sphériques.
Quand la répartition en x
=O est décrite par plusieurs gaussiennes (N > l), on peut pendre comme solution approchée du cas linéaire
-i kx-rix
p
(x,y)
=- u0 6 ( ~ b l )
+6 ( ~ * 2 ) e
w 2ik
L'intérêt des formules de ce type tient
àce que T'on peut se borner généralement
àun petit nombre de gaussiennes pour avoir une bonne approximation de la solution dans tout le domaine où le champ est notable. Dans les références /1/ et /2/, la répartition du type de créneau a été examinée en détail. Cette repartition se présente comme là.
superposition de deux distributions (voir figure) dont l'une (1) est du type défini en (4) et l'autre
(2) est négligée en raison des interférences des- tructives que donnent ses deux anneaux constitutifs
3. APPROXIMATION DE LA SOLUTION LINEAIRE. - Pour
une source représentée par une seule gaussienne
(N
= l ) ,la solution
(6)peut être approchée dans
un large domaine par
4. SOLUTION NON-LINEARIE DU SECOND ORDRE.
-
La pre-mière approximation n o n - l i n é a i r e de l a densité, W " pL'= k l t Z A ,P bl =
2'kk ,
2Co
2C0s o i t 1 'approximation au deuxième o r d r e
y2,
e s t ob- tenue en r é s o l v a n t (1) dans l a q u e l l e l e second mem- b r e (terme non l i n é a i r e ) e s t exprimé à l ' a i d e de l a s o l u t i o n l i n é a i r e . Il e s t à remarquer qu'une grande p r é c i s i o n d e y l n ' e s t pas indispensable de s o r t e que 1 'approximation (8) peut ê t r e u t i 1 i s é e . g e s t s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n d'onde 2La s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n (9) e s t donc l a somme des s o l u t i o n s r e l a t i v e s à chaque terme smn, ces termes représentant l ' i n t e r a c t i o n non l i n é a i r e de l a solu- t i o n gaussienne d ' i n d i c e m avec c e l l e d ' i n d i c e n.
Compte tenu de l a l i n é a r i t é du premiermembre de (9), on peut a i n s i rechercher l e s s o l u t i o n s avec un seul terme source, par exemple s12, p u i s sommer s u i v a n t m e t n.
A chacun de ces termes smn correspond une r é p a r t i - t i o n de sources en volume q u i e s t engendrée par l ' i n t e r a c t i o n des ondes p r i m a i r e s On peut donc concevoir l a zone é m e t t r i c e comme l a j u x t a p o s i t i o n de disques t r è s minces c o n s t i t u a n t des sources planes analogues au p i s t o n de l a p a r o i . Cette géo- m é t r i e nous c o n d u i t à envisager l a même technique d'approximation que dans l e cas l i n é a i r e e t à é c r i - r e i a s o l u t i o n de (9) comme l a somme des c o n t r i b u - t i o n s de ces sources planes élémentaires. En procé- dant a i n s i , on a b o u t i t à l ' e x p r e s s i o n :
En considérant l ' e x p r e s s i o n ( I l ) , nous constatons q u ' e l l e comporte des f o n c t i o n s élémentaires e t , dans l ' a c c o l a d e de gauche, une f o n c t i o n c y l i n d r i q u e incomplète du t y p e Sonine-Schlaefli q u i peut ê t r e notée
2
ia '
c f ./4/ : ~ ~ ( i ~ d ' ( l - $ ) , i z d i (1-;)+SX, 4 o y
$1
La s o l u t i o n de (11) détermine l e rayonnement acous- t i q u e au deuxième o r d r e d'un p i s t o n v i b r a n t s u i v a n t deux fréquences fondamentales (al e t w2) ; on v o i t a i n s i que l e s p e c t r e de ce rayonnement secondaire comprend l e s q u a t r e r a i e s 2wl, 2w2, w2+wl e t w2-w1.
Dans ces q u a t r e modes secondaires, l e s t r o i s premiers (correspondant aux fréquences-sommes) sont semblables mathématiquement e t ontdes développements asymptotiques simples. Leur étude montre que l e rap- p o r t d'amplitude avec un terme de fréquence fonda- mentale v a r i e à p a r t i r de c e r t a i n e s v a l e u r s de x comme l o g ( 1 ) e t ( 2.). Le quatrième mode correspondant à l a fréquence-différence, c ' e s t à d i r e l e rayonnement paramétrique, se d i f f é r e n c i e nettement des t r o i s premiers.
5. RAYONNEMENT PARAMETRIQUE.
-
Physiquement l e rayonnement parametrique e s t p r o d u j t par une r é p a r - t i t i o n en volume de sources (rayonnant à l a basse fréquence w2-w1) e t à l a q u e l l e on donne l e nom d'antenne paramétrique. Dans n o t r e c a l c u l , 0 1 1 i n t é -g r e sur l e s d i f f é r e n t e s s e c t i o n s (disques p l a n s ) du volume d ' i n t e r a c t i o n . Pour déterminer l e s l i m i - t e s de v a l i d i t é de chacune de ces c o n t r i b u t i o n s
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au rayonnement secondaire, on peut proceder comme pour l e rayonnement p r i m a i r e dû au mouvement du p i s t o n (disque en x = O) dans l e cas l i n é a i r e . On v o i t a i n s i que l e domaine de v a l i d i t é de chaque c o n t r i b u t i o n e s t déterminé par l e r a p p o r t e n t r e l e rayon du disque élémentaire e t l a longueur d'onde.
Finalement on v é r i f i e que l e domaine de v a l i d i t é de (11) e s t t o u t l e demi p l a n (x, O) sauf s i , au voisinage du p l a n r i g i d e x = O, l a zone d ' i n t e r a c - t i o n e s t à son début du t y p e antenne f i l i f o r m e ; dans ce d e r n i e r cas, n o t r e formule approchée (11) tombe en d é f a u t pour l e s p o i n t s s i t u é s dans l a p a r t i e f i l i f o r m e /2/.
L'antenne paramétrique peut aussi ê t r e d é c r i t e du p o i n t de vue des battements d'ondes p r i m a i r e s , ces d e r n i e r s ne prenant une forme vraiment s p h é r i - que que dans l a zone de Fraunhofer l o i n t a i n e . On v o i t a i n s i que t r o i s r é g i o n s peuvent ê t r e d i s t i n - guées dans une t e l l e antenne paramétrique : ( i ) l a p a r t i e près de l a p a r o i x = O où l e s battements sont presque p l a n ( i i ) une zone de t r a n s i t i o n où, sur une s e c t i o n donnée, on peut passer du commen- cement du battement à sa f i n en se déplaçant du bord l i m i t e de l a s e c t i o n j u s q u ' à l ' a x e acoustique.
( i i i ) l a r é g i o n où l e s battements o n t réellement une forme sphérique.
Notons que l a d i s t a n c e d'apparaissant dans l ' e x p r e s s i o n (11) correspond au m i l i e u de l a zone de t r a n s i t i o n .
L ' é t u d e q u a n t i t a t i v e d é t a i 1 lé e de ce rayonnement secondaire à l a fréquence paramétrique peut ê t r e e f f e c t u é e à 1 'a i d e de l a formule (11). A c e t e f f e t on e s t c o n d u i t à exprimer l a f o n c t i o n de Sonine- S c h l a e f l i au moyen de deux développements complé- mentaires, l ' u n l i m i t é , l ' a u t r e asymptotique. En désignant par A 1 'accolade d e ( l 1 )
,
l e développement 1 i m i t é en y donne : 2t a i n e .
Lorsque l e domaine d ' i n t e r a c t i o n des modes p r i - maires correspond au zones de Fresnel e t de Fraunhofer non l o i n t a i n e s , on peut u t i l i s e r l e dé- veloppement asymptotique ( c f / 4 / , p.68). Dans ce cas, on peut é c r i r e pour A hors de l a zone d ' i n t e r - a c t i o n (champ l o i n t a i n )
p-
unoù Pn e s t un polynôme de Legendre e t O,=
paramêtre q u i e s t pratiquement égal (du f a i t que
X%L
1) à 1 'a n g l e de demi-ouverture du diagramme de rayonnement donné par 1 a t h é o r i e de Westervel t / 5 / . En conclusion, l ' e x p r e s s i o n (13) donne une s o l u t i o n approchée q u i r e j o i n t en l e p r é c i s a n t l e r é s u l t a t de / 5 / . La ' s o l u t i o n obtenue dans ce cas e s t b i e n adaptée à l a s i t u a t i o n où l a première r é g i o n de l a zone d ' i n t e r a c t i o n joue un r ô l e prédominant.Dans l e s cas i n t e r m é d i a i r e s où l e s t r o i s r é - gions préalablement d i s t i n g u é e s o n t l a même impor-
-
Itance ( s o i t
=P--Id
kt), l e s deux développements (12) é t .(13) peuvent ê t r e p r i s en c o n s i d é r a t i o n simultanément, (12) é t a n t v a l a b l e près de l ' a x e e t (13) pour l e s grands angles en dehors de l a zone d ' i n t e r a c t i o n .6. CONCLUSION.
-
Nous avons développé une étude a n a l y t i q u e du rayonnement acoustique d ' u n p i s t o n à symétrie c y l i n d r i q u e v i b r a n t à deux fréquences fondamentales. E l l e repose e s s e n t i e l l e m e n t sur e k ( - n , i ~ d ' ( l - f ) )-
l ' u t i l i s a t i o n d ' u n e équation non l i n é a i r e s i m p l i - n=O n!
f i é e ( v a l a b l e pour des p e t i t e s amplitudes e t pour une f a i b l e d i f f r a c t i o n l o c a l e ) e t sur l a représen- t a t i o n de l a condition aux 1 im i t e s s u r l a p a r o i /'
(avec
=-6
) où ï' représente une f o n c t i o n gamma en termes d'une somme de gaussiennes.incompl e t e . t ' i n t é r ê t de ce t y p e de c o n d i t i o n aux l i m i t e s
C e t t e expression e s t v a l a b l e au voisinage de e s t d ' a p p o r t e r une s i m p l i f i c a t i o n n o t a b l e dans l ' a x e de r é v o l u t i o n , e t e l l e permet l ' é t u d e du l ' é t u d e a n a l y t i q u e de rayonnements assez d i r e c t i f s champ basse fréquence dans t o u t l e demi-espace Nous avons vu que l ' o n o b t i e n t a i n s i , pour l e s i l a zone d ' i n t e r a c t i o n des modes p r i m a i r e s se rayonnemement secondaire, des s o l u t i o n s approchées s i t u e p r i n c i p a l e m e n t en zone de Fraunhofer l o i n - q u i s'expriment dans l e cas général à 1 ' a i d e de
R. BURVINGT
f o n c t i o n s connues. D ' a u t r e p a r t , nous avons a p p l i - qué ces r é s u l t a t s à l ' é t u d e d é t a i l l é e du rayonne- ment paramétrique, pour l e q u e l on dispose de deux développements de l a f o n c t i o n de Sonine-Schlaefli q u i permettent d ' a b o u t i r aisément à des r é s u l t a t s numériques. Le domaine d ' a p p l i c a t i o n de l a présen- t e méthode ne se l i m i t e d ' a i l l e u r s pas aux p r o b l è - mes évoqués i c i . E l l e peut également s ' a p p l i q u e r en o u t r e ( i ) à l ' é t u d e des o r d r e s supérieurs a deux, ( i i ) à des d i s p o s i t i f s où l e p i s t o n à deux plans de symétrie e t ( i i i ) au cas où l e s r a i e s s p e c t r a l e s du rayonnement p r i m a i r e sont p l u s nom- breuses. E n f i n il s e r a i t également i n t é r e s s a n t d'envisager 1 'a p p l i c a t i o n de c e t t e méthode à d'au- t r e s types d'équations non l i n é a i r e s , comme c e l l e s rencontrées en o p t i q u e par exemple.
Réferences
/1/ R. B u r v i n g t
-
S o l u t i o n approchée pour l e r a - yonnement d'une antenne paramétrique à l ' é m i s - s i o n-
Revue du CETHEDEC, n o 48, 1976, p. 195- 218./2/ R. B u r v i n g t
-
Thèse de 3ème cycle, U n i v e r s i t é P a r i s V I I , Mars 1977./ 3 / V.P. Kuznetsov
-
S o v i e t Physics Acoustics-
Vol.
g,
n o 4, 1971, p. 467/4/ M.M. Agrest and M.S .Maksimov-Theot-y of incomple- t e c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s and t h e i r a p p l i c a - t i o n s . Springer Verlag (1971).
/5/ P.J. Westervelt J.A.S.A. Vol.
