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Sur les limites d’application de la géométrie métrique en
physique nucléaire. I
J. Mariani
To cite this version:
SUR LES LIMITES D’APPLICATION DE LA
GÉOMÉTRIE
MÉTRIQUE
ENPHYSIQUE
NUCLÉAIRE.
I.Par J. MARIANI.
Collège de France.
Physique théorique.
Sommaire. 2014 On sait que le problème de la structure de l’atome est lié à celui des discontinuités de l’action, qui résultent de l’existence de la constante h et entraînent la stabilité des orbites électroniques de Bohr que la mécanique classique n’explique pas ; ce problème a été résolu en montrant que cette dernière emploie les pro-cédés de l’optique géométrique, qui ne sont plus justifiés dans le domaine atomique et en réalisant le passage à
la mécanique ondulatoire.
D’une manière tout à fait analogue, le problème des particules élémentaires, qui n’est pas résolu à l’heure
actuelle, fait intervenir une nouvelle constante universelle r0, de l’ordre de grandeur de 10-13 cm, qui représente
le quantum élémentaire de longueur
(rayon
de l’électron$$e2/moc2
ou rayon des noyauxlégers)
et se trouve lié à la stabilité des corpuscules matériels et des noyaux.On suppose, dans le présent exposé, que ces deux problèmes connexes admettent des solutions analogues ; mais pour résoudre le problème des corpuscules élémentaires, il faut introduire l’idée nouvelle que ce n’est plus seulement la mécanique classique qui est en défaut dans les domaines spatiaux de l’ordre de grandeur de r0,
mais encore la géométrie métrique usuelle, qui repose sur la possibilité de mesurer des longueurs aussi petites que l’on veut ; on montre que les raisons qui conduisent à envisager la limitation du domaine de validité de la géométrie métrique sont analogues à celles qui conduisent à une limitation des procédés de la mécanique clas-sique dans le domaine de l’atome de Bohr ; pour cela, on met la géométrie métrique sous forme hamiltonienne,
et en montre de plus que la détermination de la distance de deux points s’effectue par des méthodes tout à fait équivalentes à celles d’un optique géométrique nouvelle, dont on précise la portée en faisant jouer à la
cons-tante r0 le rôle d’une longueur d’onde et en même temps celui de la constante h dans le passage de la fonction d’action hamiltonienne S à la phase ~, en théorie de de Broglie
(S = h/2~~);
ces méthodes sont alors en défaut quand la géométrie métrique étudiée est celle d’un espace courbe dont le rayon de courbure est de l’ordre de grandeur de r0; on admet que cette circonstance est réalisée pour le domaine spatial occupé par les corpuscules élémentaires et les noyaux atomiques.La courbure ainsi introduite joue le rôle d’un champ de forces attractif spécial, le « champ nucléaire »,
entièrement distinct du champ de gravitation d’Einstein et chargé d’interpréter la stabilité et l’attraction mutuelle des corpuscules élémentaires; la méthode de quantification des longueurs qui en résulte sera donnée prochainement ; la constante h n’apparaît pas pour le moment explicitement dans la théorie.
1. But de
l’exposé.
- Dans un mémoirerécent,
Heisenberg (1)
aindiqué
la nécessité d’introduire enmicrophysique
unquantum
élémentaire delongueur,
permettant
d’interpréter
l’existence du rayon de l’électron ro ; celui-ci se manifesteexpérimentalement
par laproduction
degerbes
etd’explosions,
consécu-tives à la rencontre d’un électron et d’unphoton
degrande énergie, qui
devraitpermettre
de localiser cet électron dans un domainespatial
de dimensions linéairesplus petites
que ro ~ 10-13cm, en le
suppo-sant au repos par
rapport
ausystème
de référencechoisi ;
d’autresphysiciens,
entre autres Bohr etPauli,
ontégalement
insisté sur cette nécessité(2) ;
aucune tentative n’apourtant
été faite pourexpliquer
théoriquement
l’introduction d’une tellelongueur
élémentaire ;
leprésent exposé
a pour but deprésenter
la
géométrie
usuelle sous une formepermettant
d’in-troduire une limitation de ce genre.
2. Position du
problème. -
Si l’on admetl’exis-tence du rayon fini de
l’électron,
celasignifie
que,dans un
système
de coordonnées cartésiennesrectan-gulaires
au repos parrapport
à cedernier,
les axiomes(1) HEISENBERG. Ann. der Phys., 1938, 32, 20 ; Z. Pfi ysik, 1938,
110, 251 ; voir également : ~V. BoHR, Congrès de Physique nucléaire
Rome, 1932, p. 119 ; A. MARCH, Z. Pltszk,1936,104, 93 ; J.
SOLO-MoN, J. Phystque, 1931, p. 321.
(1) Handbiich der PhystA. Quintentheorie.
de la
géométrie métrique
usuelle ne sontplus
valablesau delà de la
sphère
minima définie parl’équation :
nous ne savons pas encore si tous les axiomes de la
géométrie
- même les axiomespurement
topolo-giques
- sont endéfaut,
ou si c’est seulement unepartie
des notionsgéométriques
habituellesqui perd
sa
signification
dans des domainesspatiaux
aussipetits,
mais nous sommes sûrs que les axiomesmé-triques,
en vertu de(1)
nepeuvent
continuer à êtreadmis sans conteste.
D’autre
part,
ilparaît
raisonnable d’admettre quela limitation
indiquée
par(1)
estindépendante
de lanature
physique
ducorpuscule
élémentaire ou dusystème
decorpuscules
élémentaires(noyaux
ato-miques)
considérés ;
nous devons nous attendre à ce que, dans certains cas, lequantum
delongueur
soitplus
grand
que ro, maisjamais plus petit ;
c’est d’ail-leurs ce quel’expérience
confirme,
car les dimensionsdes noyaux et la
longueur
d’onde deCompton
rela-tive au
proton
ph
sontjustement
de l’ordre deMpc
grandeur
de ro ; il est difficile de ne voir làqu’une
coïncidence ;
d’autrepart,
nous savons quel’inter-prétation
despropriétés
nucléairesexige
une modifi-cation de nosconceptions
habituelles,
enparticulier
en cequi
concerne la loi deCoulomb,
qui régit
lathéorie des
champs ;
comme,depuis
Einstein,
nous sommes habitués à associer intimement celle-ci à la structure del’espace,
nous sommes conduits à l’idée que cette dernière doit différernotablement,
à l’échellenucléaire,
de la structurespatiale
habituelle.D’un autre
côté,
la localisationspatiale
de consti-tuants élémentaires à l’intérieur du domainenucléaire,
suivant les méthodes de la
géométrie métrique,
n’estcertainement pas
possible ;
on en trouve la preuve dans un raisonnement de Bohr(1)
pour calculer le défaut de masse des noyaux en fonction de leursdimensions ;
si roreprésente
le rayon de l’atome d’hélium et si l’on admet que laposition
d’unproton
àl’intérieur du noyau d’hélium ne
peut
pas être déter-minée avec uneprécision
supérieure
à ro, le domaine devariation 3 p
de laquantité
de mouvement du pro-ton est fixé dans ces conditions par la relationd’incer-titude : 1
ce
qui
donne pour laparticule l’énergie cinétique
moyenne :
le défaut de masse de l’hélion est alors de :
alors que la valeur
expérimentale
est de :0,029. MC2;
les deux valeurs sont donc du même ordre de
grandeur ;
on en conclut que la
spécification
de laposition
desparticules
lourdes à l’intérieur du noyau d’hélium nedoit pas avoir
grande
signification
physique
et quec’est cette incertitude sur la
position qui
est engrande
partie responsable
del’énergie
de liaison du noyau d’hélium.La constante ro
paraît
donc traduire une limitationuniverselle de la
possibilité d’application
desprocédés
de mesure de lagéométrie
métrique
à laphysique
nucléaire et non à l’électron seul.
Nous
admettrons,
à titreexpérimental,
que, danstout domaine
spatial
de dimensions linéaires del’ordre de
grandeur
de 10-13 cm, les axiomes de lagéo-métrie
métrique
sont endéfaut ;
il doit donc en êtreainsi,
si notrehypothèse
estexacte,
à l’intérieur des noyauxatomiques
et desparticules
matériellesélé-mentaires,
quelles
que soient leurcharge
et leur masse propre.Si nous voulions tenir
compte
desexigences
de larelativité
restreinte,
nous devrions évidemmentrem-placer
la condition(1)
par la conditioninvariante,
portant
sur l’intervalle d’univers :(1) N. Bonn. Loc. cii.; HEibENBERG. Rapport au Congrès
Solvay, 1933, Structure et propriétés des noyaux atomiques.
dont
(1)
constitue laprojection
surl’hyperplan
spatial t
= to(1),
avec le choix dusigne
-.La
signification
de la condition(1)
est trèsparti-culière ;
on nepeut
pasinterpréter
cette dernière endisant que
l’espace
est constitué par une sorte de réseau dont les mailles auraient lalongueur
ro ; eneffet,
la théorie deschamps
nous montre que l’inter-.1 b. d .
1 d
action
coulombienne KZe
entre
deuxparticules
der2 p
charges respectives +
Ke etZe, supposées
ponc-tuelles,
de vitesse relativepetite
parrapport
à c, et à la distance r l’une de l’autre àl’instant t,
varie d’une manière continuelorsque r
varie : le termelongitudi-nal d’action coulombienne n’est pas
quantifié ;
parconséquent r
varie lui-même d’une manièrecontinue,
sans
restriction ;
l’expérience
nousapprend
seulementqu’il
existe une distance minima ro, au-dessous delaquelle
la loi de Coulomb cessejustement
d’êtreapplicable,
et où on nepeut
pas se servir de la notionusuelle de distance.
Nous avons donc affaire à une limitation d’un
carac-tère
spécial,
cequi
nous montre que la solution de ladifficulté ne
peut
certainement pas être recherchée dans le recours à un espace lacunaire ouponctué
danslequel
la distance r neserait jamais susceptible
que devariations
discontinues,
multiples
entiers de ro(par
exemple,
les espaces del,insfield) ;
autour d’unpoint
pris
commecentre,
nous pouvons tracer dessphères
concentriques
de rayon r deplus
enplus grand
ettelles que deux
sphères
de la familleayant
respective-ment pour rayons r et r’ > r
peuvent
être aussirap-prochées
l’une de l’autre que nous le voulons([r’
-r]
peut
êtreinfinitésimal),
mais ha famille commence,non à la
sphère
de rayonnul,
mais à celle de rayon minimum ro.Une
quantification
correcte de lagéométrie
doit rendrecompte
de cefait ;
pour trouver le moyen d’introduire cettequantification
etd’expliquer
ainsila stabilité des
corpuscules
élémentaires,
reportons-nous au
problème analogue qui
s’estposé
à laméca-nique
ondulatoire,
quand
il s’estagi
d’interpréter
la stabilité des orbitesélectroniques
etrappelons
com-ment elle l’a résolu : engénéral,
pour uneparticule
libre,
les conditions del’optique géométrique
sontvérifiées et la théorie
classique
est valable dans ce cas pour toutl’espace ;
ce n’est que dans l’intérieur del’atome,
c’est-à-dire dans des domaines trèspetits
qu’il
est nécessaire d’introduire des conditions deQuanta
qui
définissent les étatsstationnaires ;
cesconditions de
Quanta
sont rendues inévitables par lefait que
l’optique géométrique
n’estplus
valable dansce domaine.
Notre
façon
deprocéder
consistera àrapprocher
les deux
problèmes,
celui de la stabilité de l’atome deBohr et celui de la stabilité des
corpuscules
élémen-(1) Cette projection est admissille dans le cas de phénomènes qui varient lentement au cours du temps. comme on le verra par
taires et à rechercher s’ils n’admettent pas des solu-tions
analogues ;
cela va nous conduire à nousdeman-der
si,
de même que lamécanique classique
peut
êtreregardée
comme uneoptique géométrique
d’uncarac-tère
particulier
(conditionnée
par la constante h (i)/KpB
puisque
S = -
lesprocédés
de lagéométrie
métrique
2îne
pourraient
pas être assimilés à ceux d’uneoptique
géométrique
spéciale,
que nousregarderons
provi-soirement comme tout à fait
indépendante
de cellequi
est associée par L. deBroglie
à lamécanique
clas-sique ;
l’optique
ondulatoirequ’il
serait nécessaired’introduire
quand
seprésenteraient
dans cettegéo-métrie les
phénomènes
de diffraction serait alorsres-ponsable
de la défaillance desprincipes
de lagéométrie
métrique
dans le domaine nucléaire etélectronique
et rendraitcompte
en mêmetemps
de la stabilité descorpuscules
élémentaires et de leursassemblages ;
ce programme étant
tracé,
voyons comment nousallons passer à son exécution.
3.
Exposé
de la méthode suivie. - Nousvou-lons démontrer que
lorsque
l’on aborde des domainesspatiaux
de l’ordre degrandeur
de ro - ~0-13 cm, lagéométrie métrique
usuelle doit laisser laplace
à une sorte degéométrie
«quantique
» ou « ondulatoire »dont l’un des
objectifs principaux
est deprévoir
unelimitation
caractéristique
de la notion delongueur
etd’écarter les difficultés
qui
s’opposent
à l’édification d’une théorie cohérente des édifices nucléaires.Le raisonnement suivi pour
parvenir
à ce butcom-porte
plusieurs
articulations que nous allons mettreen évidence pour la clarté de
l’exposition;
toutd’abord,
nous allons montrer que la mise en
équation
d’unpro-blème de
dynamique
dessystèmes
enmécanique
newto-nienne,
qui
consiste,
comme on lesait,
à déterminerla forme fonctionnelle de
l’équation
d’Hamilton-J b. ô s H
.)
0 ., ,.Jacobi
2,
qi)
= 0,
est entièrementéquiva-
q lente à la détermination de lamétrique
riemannienned’une extension en
configuration E’,,
dont lescoor-données
q/1,
...,g’n
seront définiesplus loin;
une foisce
point
établi,
nous établirons une sorte deréciproque
en montrant que la déterminationmétrique
d’un espaceponctuel
quelconque
E~
défini par lescoor-données
xl,..., xn
revient à se donner dans cet espaceune famille de surfaces F
(xl,
..., xn, ai, ...,=
C,
définie par une
équation
différentielle aux dérivéespartielles
dupremier
ordre entièrementanalogue
àl’équation
d’ H amilton-J acobi de lamécanique
ana-lytique,
cequi équivaut
à mettre lagéométrie
mé-trique
sous forme d’un schémahamiltonien ;
la déter-minationmétrique
d’un tel espace s’effectue donc au moyen desprocédés
connus de lamécanique
analy-tique, qui
ont ainsi uneportée plus générale
que cellequi
leur est d’ordinaire attribuée. ll) S’étadt l’actiou liaiiiiltonienne, i la phases.Les méthodes de la
géométrie métrique
et celles dela
mécanique analytique
étant ainsi reconnueséqui-valentes,
nous introduironsl’analogie
bien connuedepuis
Hamilton et deBroglie
entre lesprocédés
decette dernière et ceux de
l’optiqu.e géométrique ;
en raison del’équivalence
entre lamécanique analytique
et la
géométrie métrique,
précédemment
démontrée,
nous pourrons alors établir
l’équivalence
desprocédés
de la
géométrie métrique
et del’optique géométrique,
en introduisant une fonction d’onde x =
el’~, une
sur-face de
phase 9
proportionnelle
à laquadrique
qui
fixe lamétrique
enchaque point
et unelongueur
d’onde a,qui
sert d’ailleurs de coefficient deproportionnalité.
Il restera à étudier les conditions de validité decette
optique
géométrique ;
on trouvera que cettedernière est en défaut
chaque
fois que lalongueur
d’onde X est de l’ordre degrandeur
du rayon decour-bure R de
l’espace ;
pour quel’ 0 ptique
géométrique
nesoit pas
valable,
lapremière
condition àremplir
estdonc
que la
géométrie
soitnon-euclidienne,.
nousadmet-trons que cette éventualité se
produit
dans le domainenucléaire,
cequi
revient à supposer R de l’ordre degrandeur
de la constante ro ~ 10-13 cm;l’optique
géométrique
ainsi définie est évidemment distincte de celle de deBroglie.
4. Le
problème
fondamental de ladynamique
analytique
et lagéométrie
métrique
del’exten-sion en
contiguration qui
lui est associée.-Considérons un
système
matérielqui
sedéplace
dansl’espace
euclidien ordinaire en fonction dutemps
newtonien t; soient
ql,
...,qn,
les coordonnéesgéné-ralisées du
système,
V(ql,..., qn)
sonénergie
poten-tielle,
2T =aiiqtqti
sonénergie cinétique,
E sonénergie
totaleconstante ;
la fonction d’actionqui
décrit l’état dusystème
àchaque
instant est : S = S°- Et ;
enparticulier,
si lesystème
matériel considéréest
regardé
comme unpoint
dans l’extension enconfi-guration
définie par lesq1, ... ,
~n, latrajectoire
suiviepar un tel
point
matériel entre deuxpositions
quel-conques sera définie par la condition :
0 J’
dS- = 0avec : .
où ds =
VaUf dq¿
dqh
est l’élém.ent linéaire fonda-mentalqui
définit conventionnellement lamétrique
del’espace
q(1) ;
leproblème
de ladynamique
dessystèmes
est ainsi ramené à unproblème
dedyna-mique
dupoint
matériel dansl’espace q ;
à son tour, ce dernierpeut
être réduit à unproblème
purement
géométrique,
en introduisant une extension enconfi-guration
nouvelle,
dont lescoordonnées q’i
sont telles que :(1)
Ce procédé a été utilisé en particulier par ScHRÔDixcER,Mémoires sur la liéoonique ondulatoire, tr. Proca, Alcan, éd.,
p. 22 ; voir également L. BRILLOVIa, Les tenseurs en Mécanique
299
et
qui
est parconséquent
applicable
conformément sur lamultiplicité
définie par lesqi ;
l’actionmauper-tuisienne s’écrira alors :
en fonction des
q’i
et l’élément linéaire de cet espacesera entre 2
points
Pet Q :
(io est la surface
qui
passe parP,
~1
cellequi
passe par~). ,
On voit donc que l’action
maupertuisienne
peut
êtreregardée
comme définissant une surface ou unefamille de surfaces dans
l’extension q’ ;
la distance dedeux surfaces voisines de la famille donne l’élément linéaire de
l’espace ;
la connaissance de dSo est donc absolumentéquivalente
à celle de l’élément linéairequi
définit lamétrique
del’espace q’ ;
nousconnaî-trons donc la nature de la
géométrie métrique qui
règne
enchaque point
del’espace q’,
si nous avons purésoudre le
problème mécanique
qui
consiste en ladétermination de la fonction So ou encore
l’équation
de
l’énergie
relative àSo ;
onprécise
la relation entreles surfaces So et les
trajectoires
delongueur
ds’qui
en sont les
caractéristiques
de la manière suivante :étant donnée une surface So =
Cte,
choisieparmi
lafamille des surfaces S = So
(q’1, ... ,
q’n)
- Et etexprimée
en fonctiondes q’
de manière àpouvoir
êtreregardée
comme une fonction depoints
dansl’exten-sion
q’,
on définit lestrajectoires orthogonales
à cettesurface en
chaque point
de la manière suivante(1) :
lacondition de
perpendicularité
des deux directionsdq’i
et dansl’espace q’
étant donnée par :et tout
déplacement 8q"?
eif ectué sur la surfaceS° = Cte satisfaisant à :
{1) Voir figure.
on
exprime
que laligne
Lqui
a enq’i
la directiond q’i
est
perpendiculaire
en cepoint
à la surface So enécri-vant que :
la différentielle d se
rapportant
à undéplacement
sur laligne
et la différentielle 8 à undéplacement
sur la surface(voir fig. 1) ;
les vecteurs decomposantes
aiÓ SA
sont donc collinéaires - u’en vertu
aik
etô
sont donc collinéairespuisqu’en
vertud s’
u q
1 p qô so
de
(11)
levecteur --
est
orthogonal
à la surface S°q "
en
q’i ;
il est facile de voir que l’on a :ô 80 en raison de
(9),
si ledéplacement
dS _ o
dq’i de
la surface So s’effectue normalement à So enq’2
enfonction de
l’arc s’ ;
eneffet,
dans ces conditions :en raison de
(9) ;
finalement on obtient :le membre de
gauche
de la relation(15)
peut
êtrepris
comme définition du carré de la
longueur
du vecteurU?,
d
*
unité » = en > suivant la définition
usuelle,
>nous pouvons admettre que
l’espace q’
est pourvu enchaque point q’ï
d’une déterminationmétrique quand
nous aurons
spécifié
ce que nous entendons parlon-gueur d’un vecteur unitaire ui attaché en
l’équa-tion :
définit donc la
métrique ;
mais en raison de(15),
cetteéquation
estidentique
à :équation
différentiellequi
définit la famille desur-faces So dont les
géodésiques
del’espace q’i
sont lestrajectoires orthogonales,
comme le montrel’équation
aux variations :
.-. 1
On
peut
donc définir enchaque point
lamétrique
de
l’espace q’
par deuxprocédés
entièrementéquiva-(’) Voir G. DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des
lents : le
premier,
qui
estgénéralement usité,
consiste à se donner enchaque point
un vecteur unitaire uiet la condition
(16),
qui
définit le carré de lalongueur
de ce vecteur ; le second consiste à se donner la famillede surfaces
6~
ouplutôt l’équation
aux dérivées par-tielles(17) qui
définitimplicitement
cette famille desurfaces comme famille de
quadriques ;
l’équa-tion
(17)
n’est pas autre chose quel’équation
d’Hamil-ton-Jacobi de lamécanique analytique ;
eneffet,
nosdéfinitions nous
donnent,
en faisant lechangement
de variables(7)
dans(17) :
ce
qui
est bienl’équation
enquestion ; quand
lepro-blème
mécanique
serapporte
à unpoint
matérielunique,
on a, en coordonnées cartésiennesrectangu-laires : qi =
x z et ai/1
8ik
m étant la massem
S
77? étant la massedu
point
matériel.5. Définition de la
métrique
riemanienne par lesprocédés
de lamécanique analytique.
---Nous venons de montrer que la
dynamique
newto-nienne des
systèmes
peut
être assimilée à unegéomé-trie
métrique
riemannienne dans l’extension enconfi-guration E’ n ;
ce sont naturellement lesprocédés
de ladynamique qui
ont dans ce cas unesignification
concrète,
l’espace
E’n
étantpurement
figuratif ;
maisce
qui
nousintéresse,
c’estjustement
le cas enquelque
sorte
réciproque :
l’espace
concret étant donné avecsa
métrique,
peut-on
montrer que lesprocédés
em-ployés
pourparvenir
à la détermination de cettemétrique
sontéquivalents
à ceux d’unemécanique
analytique correspondante (d’où, naturellement,
lesgrandeurs physiques
auront étééliminées,
comme onle verra
plus loin).
Plus
généralement,
étant donné un espaceEn
pourvu d’une
métrique
riemannienne,
est-ilpossible
de montrer que la détermination d’une tellemétrique
en
chaque point
deEn
revient à se donner dans cetespace une
équation
aux dérivéespartielles
compa-rable à
l’équation
d’Hamilton-Jacobi,
permettant
defixer une famille de surfaces dont les
trajectoires
ortho-gonales
sont lesgéodésiques
deEn. ?
La
réponse,
comme nous allons le voir estaffirma-tive ;
en gros, onpeut
dire que fixer lamétrique
d’unespace donné consiste à se donner une famille de
lignes
qui
définissent la distance d’unpoint
à un autre etqui
peuvent
êtreregardées
comme lescaractéristiques,
ausens
d’ H adamard,
d’une famille desurfaces,
solutiond’une
équation
d’Hamilton-Jacobi ;
dans certains casparticuliers privilégiés,
leslignes
ainsi définies coïn-cident avec lestrajectoires
de ladynamique
dupoint
matériel ;
le choix d’une formequadratique
pour le carré de l’élément linéaire estéquivalent
au choix d’une formequadratique
pour le carré de la fonctionde Hamilton
correspondante ;
naturellement,
onpeut
faire des choix différentsqui
conduiront à desmétriques
plus générales,
comme celle deFinsler,
parexemple ;
nous nous en tiendrons à lamétrique
rie-mannienne.Soient
x1, ... ,
xn les coordonnéesgénérales
d’unespace de Riemann
En ;
soit :le carré de l’élément linéaire
qui
fixe lamétrique
enchaque point,
les étant lescomposantes
duten-seur
métrique
fondamentald’Einstein ;
ds est l’arcd’une certaine
ligne
L(la
géodésique) qui joint
lespoints
Pet Q
infinimentvoisins ; imaginons
que led
petit déplacement
dx2 ds lelong
de laligne
Lsoit
orthogonal
en P à la surface :et que le
déplacement
8x2 s’effectue sur la surface en sorte que l’on a comme tout à l’heure :les
déplacements
dxiperpendiculaires
à la surf ace Fsont donc définis par :
d’où,
si les conditions(22)
et(23)
doivent êtreéqui-valentes pour des Õ Xi
quelconques.
X étant un facteur de
proportionnalité qu’on
peut
toujours
poserégal
à1 ;
on a alors commeprécé-dg-mmpnt, - *
est la
quadrique
élémentairequi
définit la
métrique
enP ;
l’équation
(25)
estanalogue
à
l’équation
d’Hamilton-Jacobi étudiéeprécédem-ment,
mais la surface F n’aplus
rien à voir avecl’action hamiltonienne et se définit
uniquement
pardes considérations
purement
géométriques.
Ainsi,
dans tout espace deRiemann,
onpeut
tou-jours
construire une famille de surfaces F telles que leslignes
L dont l’arc détermine la distance de deuxpoints
P etQ,
conformément auxprincipes
de lagéométrie métrique
définis par(20)
soient lestrajec-toires
orthogonales
enchaque point
à cette famille desurfaces ;
nous montreronsplus loin,
dans le cas301
peut
êtreregardée
commel’équation
directrice d’unetransformation de contact
qui
permet
de définir lesgrandeurs géométriques canoniquement conjuguées
aux x~.
En
fait,
la mise enéquation
duproblème qui
se pose à lamécanique analytique
et à lagéométrie
métrique
est effectuée
quand
on a donné leséquations
diffé-rentielles définissant une certaine famille de courbes dans un espace donné sous la forme :équations
qui
sont d’ailleurséquivalentes
à la seuleéquation
aux dérivéespartielles :
pour la
mécanique analytique,
les courbes ainsidéfi-nies sont les
trajectoires
parcourues par lepoint
maté-riel dans des conditions déterminées par la nature du
problème.
La
géométrie métrique
requiert
de mêmel’inter-vention des courbes définies par
(27),
mais dans unbut
diif érent, qui
consiste à déterminer la distance de deuxpoints quelconques ;
pour lefaire,
on estobligé
de faire passer par ces deuxpoints
une courbe depro-priétés
biendéfinies ;
naturellement,
la nature decette courbe est
indépendante
despoints considérés,
ou encore du
point
initial et de la direction de lacourbe en ce
point ;
elleappartient
donc à une familleà
(2 n - 1)
paramètres
degéodésiques;
leurlongueur
donne la mesure de la distance entre deuxpoints.
Du
reste,
la condition = 0qui
définit l’une despropriétés
fondamentales de la droite estidentique
de forme au
principe
de variation de lamécanique qui
définit les
géodésiques
d’un espacefiguratif ;
onpeut
donc bien associer un schéma
dynamique
spécial
àl’espace
métrique.
6. Relations entre la
géométrie métrique
del’extension
E",,
etl’optique
géométrique
L’origine
de lamécanique
ondulatoire a été la relation de deBroglie,
que nous avonsrappelée précédemment :
entre l’action hamiltonienne S et la
phase ({)
d’unphé-nomène
périodique
défini par la fonction d’onde :qu’en
résulte-t-il pour la déterminationmétrique
dansl’espace
E’ n?
Si l’on substitue à So laphase :
l’équation
(17)
donne :est la
longueur
d’onde associée au processus ondula-toire déterminé par les surfaces dephase
po dans l’extensionE’ n ;
en effet(13)
est maintenantrem-placé
par :-
ce
qui
permet
d’écrire :sous la forme :
d’où :
la différentielle
dyo
étant relative à undéplacement
qui
s’effectue sur la courbe normale à la surface enq’2 ;
on voit alorsque X
n’est pas autre chose que lalongueur qu’il
fautcompter
lelong
de la courbe pour obtenir undéplacement
corrélatif unité de la surface posupposée
entraînée dans ledéplacement ;
c’est doncen même
temps
la mesure du cheminqu’il
fautpar-courir le
long
de la courbe donnée pour que le phéno-mènepériodique
décritpar Ç
se retrouve enphase ;
c’est donc bien la
longueur
d’onde,
qui
est ainsi uneconstante
universelle ;
naturellement,
ce fait est dûà notre choix
particulier
de l’extension enconfigura-tion ;
eneffet,
si onprenait
l’extensionhabituelle q
définie par
d f
2 =V
i
, onaurait :
2(E- V)
et pour un
point
matérielunique,
avec descoordon-/ sk .
nées cartésiennes =- - comme
p. 30,
B m /
puisque :
2T =îeIV2;
lalongueur
d’onde dansBro-lie
x - - -
toutefois,
dans lagéométrie
ondulatoire gmv
que nous voulons
développer,
lalongueur
d’onde seprésentera toujours
sousl’aspect particulièrement
simple
donné par(32).
Si nous
regardons
maintenant commerigoureuse
l’équation
des ondes de deBroglie :
dans
l’espace q’,
cequi
revient à considérer lestra-jectoires
définies par(18)
comme lesbicaractéristiques,
au sensd’Hadamard,
de(38),
il y aura des cas où ladétermination de la
métrique
dans des domaines biendéfinis de
l’espace E’n
deviendraimpossible ;
eneffet,
cette détermination est liée par l’identité
(15)
à la validité del’équation d’optique géométrique
(31) ;
or,i:; - i Et
en
posant
= ei : =e
h et en substituant dans(38),
onobtient,
comme L. Brillouin(1) :
si bien que la détermination
métrique
del’espace
E’n
n’estpossible
que si la courbure de la surface p n’estpas
trop
accentuée dans le domaine de lalongueur
d’onde,
c’est-à-dire en l’absence desphénomènes
dediffraction ;
on voit clairement que de telsphéno-mènes se
présentent
quand
lamétrique
del’espace
E’n
est telle que les
trajectoires orthogonales
aux surfacesso,
qui
conditionnent cettemétrique,
constituent desgéodésiques
fermées,
de sortequ’une
surface mobileen fonction du
temps
de manière à coïncider succes.sivement avec chacune des surfaces So de la
famille,
revient sur elle-même et que cette circonstance seprésente
dans un domaine de l’ordre degrandeur
de lalongueur
d’onde i, : le rayon de courbure del’es-pace
E’ n
dans cetterégion
estcomparable
à X ;
il est essentiel que cette condition soitréalisée,
car sil’es-pace
El n
estpartout
euclidien,
le rayon de courbureest infini et
l’approximation
del’optique géométrique
est
toujours
valable ;
on sait que la condition R ~ Xest réalisée pour un électron
ponctuel
parcourant
son orbite dans l’atome deBohr ;
dans cesconditions,
ilest
impossible
de définir dans les domainescorres-pondants
deE’n
lamétrique
de cet espace ; onpeut
voir comment seprésente
l’impossibilité
de cettedétermination
simplement
enayant
recours auxanciennes conditions de
quanta
de Bohr-Sommerfeld(1) J. cle Physique, 1926, p. 321.
et aux relations d’incertitude
d’Heisenberg ;
nousavons, en
effet,
dans l’atome :si
les
sont les coordonnées oscillantesspéciales
deSommerfeld ;
en raison de la relation(9)
on en déduit que lalongueur
destrajectoires
del’espace E’n
cor-respondant, qui
sont dans ce domaine desgéodésiques
fermées,
estégale
ành ;
l’application
de la relation d’incertitude donne d’ailleurs :en sorte que l’incertitude sur la
longueur
de la trajec-toire ou la distance de deuxpoints
dans ce domaina deE’ n
estégale
au moinsà h ;
d’autrepart,
en dehors de cedomaine,
comme les conditions del’optique
géo-métrique
sontvérifiées,
une telle limitation estsuper-flue ;
on voitl’analogie
avec le faitsignalé plus
hautque la limitation des
procédés
de lagéométrie
mé-trique
n’avait lieu que dans les domainesspatiaux
occupés
par lescorpuscules
élémentaires et non dansl’espace
ambiant,
où la loi de Coulomb est valable.Naturellement,
il faut supposer que toutes lesgéo-désiques
tracées
dans le domainelitigieux
sontatteintes par les conditions de
quanta
et pas seulementcelles
qui
sont effectivement suivies parl’électron ;
enfait
l’espace
E’n
estpurement
figuratif
et soncarac-tère riemannien conventionnel et il ne faudrait pas pousser
trop
loinl’analogie.
La
mécanique
ondulatoire ou même l’anciennethéorie
quantique
de Bohr-Sommerfeld nousappa-raissent ainsi comme une véritable limitation de la
validité de la
géométrie métrique
d’un certain espace deconfiguration
E’ n,
la notion delongueur
au sensstrictement
métrique
duterme,
étant seule atteintepar les conditions de
quanta ;
il existe ainsi desrégions
del’espace
E’n
où l’on nepeut
pas déterminer dedis-tance entre deux
points, P
etQ plus petite que h ;
remarquonsque h joue
à la fois dans ces conditions le rôle dequantum
élémentaire delongueur
et delon-gueur d’onde du
phénomène périodique associé ;
celatient à ce que, comme l’a fait remarquer L.
Brillouin, (1)
la
longueur
d’ondejoue
le rôle de l’étalon naturel delongueur.
7. Relations entre les espaces
métriques
etl’optique
géométrique. -
Il reste à franchir unedernière
étape
pourparvenir
à notrebut ;
au lieu del’espace
fictifE’n,
nous devons faireintervenir,
comme auparagraphe
5,
l’espace physique
oul’espace-temps,
si nous voulons tenircompte
de larelativité,
et lui, associer de même une
optique géométrique ;
pour.
plus
degénéralité,
nous considéronsl’espace
n-dimen-l sionnel
En
duparagraphe
5.(1) L. BRILLOU I - Les tenseurs en mécanique et en élasticité,
On
parvient
à introduire les considérations et lesprocédés
del’optique
en introduisant dansl’espace
En
unphénomène périodique
défini enchaque
point
par la fonction d’onde :ou par :
où
p(xl, . - .,
xn)
= C est le facteur dephase ;
ici,
ilsemble que nous soyons
obligés
de faireappel
à unehypothèse
étrangère
à lagéométrie, puisque
nous pos-tulons sansjustification
d’aucune sorte l’existence duphénomène
périodique
dansl’espace physique,
exac-tement comme L. de
Broglie
dans sespremiers
tra-vaux ; ce
phénomène périodique
est alors aussiétran-ger à la structure de
l’espace physique
que la théorie deschamps
dans laphysique
newtonienne ;
leprogrès
essentiel
accompli
par Einstein a consisté à montrer, au moins dans le cas duchamp gravifique,
quel’exis-tence des
champs
de forces était étroitement liée à lanature même de
l’espace-temps ;
lamécanique
ondu-latoire de deBroglie-Schrôdinger-Dirac
se trouvedonc par
rapport
à la fonction d’onde dans la mêmesituation que la
physique
newtonienne parrapport
àla théorie des
champs :
lafonction ~
et leschamps
n’ont rien à voir avec la nature del’espace ;
il semble-rait que nousadoptions
le mêmepoint
de vue en intro-duisant sansjustification (42) ;
mais nous montreronsplus
loin que(42’)
n’estqu’un
aspect
de la formulepurement
géométrique
deCayley,
d’où l’onpeut
déduire lesmétriques
non euclidiennes(y peut
êtrealors
purement
imaginaire
et x
a unesignification
purement
géométrique) ;
nousprocédons
donc d’unemanière
comparable
à celled’Einstein ; mais,
pour la clarté del’exposition,
nouspréférons
montrer toutd’abord
pourquoi
il est nécessaire de faireappel
auxgéométries
non euclidiennes si nous voulonsjusti-fier la nécessité de l’introduction des considérations
ondulatoires ;
l’intervention de la formule deCayley
viendraplus
tard.Nous admettons que la
phase y
est liée à la surface Fdéfinie
précédemment
par la relation :où X est une constante universelle dont il est facile de
spécifier
lanature ;
eneffet,
ellecorrespond
à la lon-gueur d’onde duphénomène,
ce que l’onpeut
montrerpar le même raisonnement
qu’au paragraphe
précé-dent ;
la relation(25)
devient alors :(44)
estappelé l’équation
del’optique géométrique ;
lessurfaces q
de lafamille,
solutions de cetteéquation,
se déduisent l’une de l’autre par la construction
d’Huyghens ;
une surface mobilequi
sedéplace
en fonction d’unparamètre
en coïncidantsuccessive-ment avec chacune des surfaces
fixes,
progresse dansl’espace
En
comme le ferait un frontd’onde ;
naturel-lement,
cedéplacement
n’a pas besoin decorrespondre
à un mouvementréel,
puisque
nous restons dans le domaine de lagéométrie.
Nous supposerons
que la constante x estégale
aufacteur fondamental ro ~ 10-13 cm, dont nous avons
précédemment rappelé
le rôle enphysique atomique ;
si nous voulons que
l’optique géométrique
ne soitplus
valable dans des domainesspatiaux
de cettedimension,
nous sommesobligés
d’admettre quel’espace
ypossède
une courbure et que cette courburea la valeur énorme 1026
cm- 2;
à l’extérieur de cesdomaines, occupés
par lesparticules
élémentaire estles noyaux, il n’est
plus question
decourbure ;
rojouera
alors dans
l’espace physique
un rôlecomparable
àcelui de la constante de Planck dans l’extension en
configuration
E’ n
que nous avons étudiéeprécédem-ment.
8. Définition de la
métrique
euclidienne au moyen d’un schéma hamiltonien. - Nous allons brièvementindiquer
sur unexemple
comment laspécification
de lamétrique
estéquivalente
à unschéma
hamiltonien ;
nous avonspris
commeexemple
la
métrique euclidienne ;
si nous voulonssymboliser
le fait
qu’en chaque point
del’espace
euclidienordi-naire
(x,
y,z)
onpeut
procéder
à des mesures dedis-tances dans toutes les directions à
partir
d’unpoint
donné Pzo),
nous devons mettre en évidencele fait que la formule de distance :
est valable
quel
que soit r et pour une valeur donnéede r,
quel
que soit lepoint
x, y, z ; cela revient àasso-cier au
point
P la famille desphères concentriques :
le
point
P étantarbitraire,
xo,y°,
zo sont des cons-tantesarbitraires ;
(49) représente
alorsl’équation
directrice d’un groupe de transformations de
contact,
qui exprime
lapossibilité
dutransport
d’étalonsrigides
au senseuclidien,
dans toutes les directionsquels
que soient P et r ; différentions(49)
en tenantcompte
de cesarbitraires ;
on a :(1) Nous appellerons tour à tour les coordonnées x, y, z ou
xi (i = 1, 2, 3)
ce
qui
est bienl’équation
de Pfaffgénératrice
de latransformation ;
les Pi sontcanoniquement
conju-gués aux xi ;
ce sont des coefficients de’,direction,
définis par :les relations
(51)
sont bien formellementidentiques
àcelles que donne la
mécanique
analytique ;
lesfor-mules de la transformation de contact
considérée,
quej’ai déjà
étudiée dans unprécédent
article(2),
sont :avec :
.
elles
expriment
bien lapossibilité
d’undéplacement
d’étalonsrigides
dans toutes les directions àpartir
de
P ;
aupoint
Pcorrespond
alors lasphère (49) ;
définissons une fonction H des x et des p par :
H
(X,
y, z, px, py,pz)
=V px2
+ py~~ + pz2 = 1 ; (53)
la transformation
(52)
peut
être déterminée parl’intégration
deséquations canoniques :
en
remarquant
que H= vf
pi2
=1,
on a :1
considérons les surfaces : F = elles satisfont
bien à
l’équation
d’Hamilton- Jacobi :(2) J. de Physique, janvier 1939.
les surfaces
concentriques
(49)
se déduisent l’une del’autre par la construction
d’Huyghens ;
auxéqua-tions
mécaniques qui
expriment
la conservation del’impulsion correspondent
leséquations
géomé-triques
pi = C~qui
se déduisent de(52)
etexpriment
la conservation de la direction initialement
choisie,
quand
on suit un rayon rdéterminé ;
auprincipe
dela conservation de
l’énergie H
= E = Ctecorrespond
le
principe
de la conservation de lalongueur
duvec-teur unitaire pi ; la
mécanique
rationnelle n’a donc nullement lemonopole
du schéma hamiltonien.Les mêmes transformations sont valables en
rela-tivité
restreinte,
avec une dimension deplus ;
le rôleparticulier
dutemps
s’exprime
par le fait que le schémagéométrique
estremplacé
par un schémacinématique ; l’équation
H = Cteexprime
lacons-tance de la vitesse de la lumière.
9. Définition de la vitesse de
phase
dansl’espace- temps. -
Le caractèrecinématique
del’espace-temps
permet
de démontrer facilement queles surfaces de
phase
y sedéplacent
avec la vitesse dela
phase
par des considérationspurement
cinéma-tiques ;
le ds2 étantpris
sous la forme :on aura en
posant :
la relation :
la
phase
d’univers est :la
longueur
d’onde d’univers se définit par la condition:où ro et ~1 sont les coordonnées
temporelles
propres despoints-événements séparés
par un intervalle del’ordre de la
longueur
d’onded’univers X;
pour une coupe àtemps constant,
lestrajectoires spatiales
sontdonnées par l’extrêmale de :
- ...,
