Chapitre 2 SMA/SMI

(1)

Anneaux et corps : Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients

Anneaux et Corps

(2)

Anneaux et corps :

Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients Anneaux-CorpsSous-anneaux - Sous-corps

Dénition

Soit A un ensemble

muni de deux lois de composition internes + et ×.

On dit que (A, +, ×) est un anneau ou A est un anneau si les propriétés suivantes sont vériées :

1 _{(A, +)}est un groupe abélien.

2 La multiplication de A est associative.

3 La multiplication de A est distributive par rapport à l'addition de A

(3)

Anneaux et corps :

Dénition

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes + et ×.

(4)

Anneaux et corps :

Dénition

(5)

Anneaux et corps :

Dénition

(6)

Anneaux et corps :

Dénition

(7)

Anneaux et corps :

Dénition

(8)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{(R, +, ×),}

(C, +, ×), (Z, +, ×) sont des anneaux.

2 _{(R[X ], +, ×) est un anneau, appelé anneau de polynômes.} 3 _(RR_{, +, ×)} est un anneau.

(9)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×) sont des anneaux.}

(10)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×) sont des anneaux.} 2 _{(R[X ], +, ×)}

est un anneau, appelé anneau de polynômes. 3 _(RR_{, +, ×)} est un anneau.

(11)

Anneaux et corps :

Exemple

2 _{(R[X ], +, ×) est un anneau, appelé anneau de polynômes.}

3 _(RR_{, +, ×)} est un anneau.

(12)

Anneaux et corps :

Exemple

2 _{(R[X ], +, ×) est un anneau, appelé anneau de polynômes.} 3 _(RR_{, +, ×)}

est un anneau.

(13)

Anneaux et corps :

Exemple

(14)

Anneaux et corps :

Exemple

4 _Z[√2] = {a + b√2/a, b ∈ Z}

(15)

Anneaux et corps :

Exemple

(16)

Anneaux et corps :

Dénitions

On note par A∗_{l'ensemble A}∗_{= A − {}₀ A}.

Si A = {0A}on dit A est nul.

Si la multiplication de A est commutative on dit que (A, +, ·) est un anneau abélien ou commutative.

Si A admet un élément neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.

Si A est un anneau unitaire alors l'élément neutre pour la multiplication de A est appelé l'unité de A et noté 1A ou 1.

(17)

Anneaux et corps :

Dénitions

(18)

Anneaux et corps :

Dénitions

(19)

Anneaux et corps :

Dénitions

(20)

Anneaux et corps :

Dénitions

(21)

Anneaux et corps :

Dénition

On dit que A est intègre si :

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

1 _{Z est intègre.}

2 _{Z/6Z n'est pas intègre.}

3 _{Z/nZ × Z/nZ n'est pas intègre.}

4 _{(P (E ) , ∆, ∩)} n'est pas inègre si |E| ≥ 2. 5 _(RR_{, +, ×)} n'est pas intègre.

(22)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

1 _Z

est intègre.

(23)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

(24)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

2 _Z/6Z

n'est pas intègre.

(25)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

(26)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

(27)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

4 _{(P (E ) , ∆, ∩)} n'est pas inègre si |E| ≥ 2.

(28)

Anneaux et corps :

Dénition

∀a, b ∈ A : ab =0_A=⇒ [a =0A ou b =0A]

Exemple

(29)

Anneaux et corps :

Dénition

1 Si A est un anneau unitaire alors les éléments inversibles de A sont appelés les unités de A .

2 Si A est un anneau unitaire alors l'ensemble des unités de A est noté U (A).

3 Si A est un anneau unitaire et si U (A) = A∗ on dit que A est un corps.

(30)

Anneaux et corps :

Dénition

(31)

Anneaux et corps :

Dénition

(32)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un anneau abélien unitaire et}

U (Z) = {−1, 1} 6= Z∗Donc Z n'est pas un corps . 2 _{Q , R et Csont des corps abéliens .}

3 Si E est un ensemble quelconque alors (P (E) , ∆, ∩) est un anneau abélien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

4 _{(R[X ], +, ×)} n'est pas un corps.

Proposition

Si A est un corps alors A est intègre. La réciproque n'est pas toujours vériée.

(33)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un anneau abélien unitaire et} U (Z) = {−1, 1} 6= Z∗

Donc Z n'est pas un corps . 2 _{Q , R et Csont des corps abéliens .}

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

4 _{(R[X ], +, ×) n'est pas un corps.}

Proposition

(34)

Anneaux et corps :

Exemple

U (Z) = {−1, 1} 6= Z∗Donc Z n'est pas un corps .

2 _{Q , R et Csont des corps abéliens .}

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

Proposition

(35)

Anneaux et corps :

Exemple

2 _Q

, R et Csont des corps abéliens .

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

Proposition

(36)

Anneaux et corps :

Exemple

2 _{Q , R}

et Csont des corps abéliens .

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

Proposition

(37)

Anneaux et corps :

Exemple

2 _{Q , R et C}

sont des corps abéliens .

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

Proposition

(38)

Anneaux et corps :

Exemple

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

Proposition

(39)

Anneaux et corps :

Exemple

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

4 _{(R[X ], +, ×)}

n'est pas un corps.

Proposition

(40)

Anneaux et corps :

Exemple

1P(E )= E et U (P (E)) = {E}.

4 _{(R[X ], +, ×)} n'est pas un corps.

Proposition

(41)

Anneaux et corps :

Dénition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A ou A est une extention de B si les propriétés suivantes sont vériées :

1 _B est stable pour l'addition de A. 2 _B est stable pour la multiplication de A.

(42)

Anneaux et corps :

Dénition

1 _B est stable pour l'addition de A.

2 _B est stable pour la multiplication de A.

(43)

Anneaux et corps :

Dénition

(44)

Anneaux et corps :

Dénition

(45)

Anneaux et corps :

Théorème

Soient A un anneau et B une partie de A. B est un sous anneau de Asi et seulement si on a les deux propriétés suivates :

1 B est sous groupe de (A, +).

(46)

Anneaux et corps :

Théorème

(47)

Anneaux et corps :

Théorème

(48)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _Z

est un sous-anneau de Q. 2 _Z[√2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i√2] est un sous-anneau de C.

4 Les sous anneaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que n ∈ N.

(49)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un sous-anneau de Q.}

2 _Z[√2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i√2] est un sous-anneau de C.

(50)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un sous-anneau de Q.} 2 _Z[√2] est un sous-anneau de R.

3 _Z[i√2] est un sous-anneau de C.

(51)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un sous-anneau de Q.} 2 _Z[√2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i√2] est un sous-anneau de C.

(52)

Anneaux et corps :

Exemple

1 _{Z est un sous-anneau de Q.} 2 _Z[√2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i√2] est un sous-anneau de C.

(53)

Anneaux et corps :

Exemple

1 Soit A un anneau. A et {0_A} sont des sous anneaux de A appelés les sous anneaux triviaux de A

2 {0_A}est appelé le sous anneau nul de A

3 Si B et C sont des sous anneaux de A alors B ∩ C est aussi un sous anneau de A .

4 Toute intersection de sous anneaux de A est un sous anneau de A .

(54)

Anneaux et corps :

Exemple

(55)

Anneaux et corps :

Exemple

(56)

Anneaux et corps :

Exemple

(57)

Anneaux et corps :

Remarque

Si A est unitaire et si B est un sous anneau unitaire de A alors en général on a : 1B 6=1A.

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

Si A est unitaire intègre alors tous les sous anneaux unitaires non nuls de A ont le même élément unité que celui de A.

(58)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire

et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

(59)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}

est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

(60)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A

et on a : 1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

(61)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A =

(1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

(62)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6=

1B = (1, 0).

Remarque

(63)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Remarque

(64)

Anneaux et corps :

Remarque

Exemple

Remarque

(65)

Anneaux et corps :

Dénition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-corps de A si B est un sous-anneau de A et si (B, +, ·) est un corps.

Exemple

1 _{Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.}

(66)

Anneaux et corps :

Dénition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-corps de A si B est un sous-anneau de A et si (B, +, ·) est un corps.

Exemple

1 _{Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.} 2 _{{a + ib/a, b ∈ Q} est un sous-corps de C.}

(67)

Anneaux et corps :

Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients

Idéaux

Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients

Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens

Caractéristique

Dénition

Soient A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal de A, si I est un sous groupe de (A, +) et si on a : ∀a ∈ A et ∀x ∈ I : ax, xa ∈ I.

(68)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Exemple

1 Les idéaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que n ∈ N

2 {0_A}et A sont des idéaux de A appelés les idéaux triviaux de A

3 {0A}est appelé l'idéal nul de A.

4 Si A est unitaire et si I est un idéal de A alors I = A si seulement si 1 ∈ I .

5 Si A est un corps, les seuls idéaux de A sont {0_A} et A. 6 Les idéaux de A sont tous des sous-anneaux de A. 7 Les seuls idéaux de Q sont {0} et Q

8 _{Z est un sous-anneaux de Q qui n'est pas un idéal de Q.} 9 Si I et J sont des idéaux de A alors I ∩ J et I + J sont des

idéaux de A.

10 Toute intersection d'idéaux de A est un idéal de A. 11 Soit a un élément quelconque de A. Si A est abélien alors

aA = Aa = {ax tq : x ∈ A} est un idéal de A.

12 Si A est unitaire abélien alors l'idéal aA = Aa contient a et c'est le petit idéal de A contenant a. Dans cas on dit que aA = Aa est l'idéal de A engendré par a et noté

(a) = aA = Aa).

(69)

Anneaux et corps :

Idéaux

Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps

Anneaux quotients

Caractéristique

Dénition

Soient B un autre anneau f une application de A vers B .

1 Si f est homomorphisme de (A, +) vers (B, +) et si f est un homomorphisme de (A, ·) vers (B, ·) on dit que f est

homomorphisme d'anneaux de A vers B.

2 Si A et B sont unitaires et si f (1_A) =1B on dit que f est un

homomorphisme d'anneaux unitaire de A vers B.

3 Si A et B sont des corps on dit que f est un homomorphisme de corps.

(70)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Dénition

(71)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Dénition

(72)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Exemple

1 La conjugaison de C vers C est un automorphisme d'anneaux.

2 Soit A un anneau. L'application Z //_{A, k} //k1_A est un

(73)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Exemple

1 La conjugaison de C vers C est un automorphisme d'anneaux.

2 Soit A un anneau. L'application Z //_{A, k} //_k1_A est un

(74)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Image et Image directe

Soit A0 _{un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de}

Avers A0.

Si B est un sous anneau de A alors f (B) est un sous anneau de A0_.

Si B0 _{est un sous anneau de A}0 _{alors f} −₁_(B0₎_{est un sous}

anneau de A.

(75)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Avers A0.

Si B0 _{est un sous anneau de A}0 _{alors f} −₁_(B0₎_{est un sous}

anneau de A.

(76)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Avers A0.

Si B0 _{est un sous anneau de A}0 _{alors f} −₁_(B0₎ _{est un sous}

anneau de A.

(77)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Avers A0.

Si B0 _{est un sous anneau de A}0 _{alors f} −₁_(B0₎ _{est un sous}

anneau de A.

(78)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Anneaux quotients

Dénition

Soient A un anneau, I un idéal de A et π la surjection canonique du groupe additif vers le groupe additif AI .

1 Il exite une loi de composition interne et une seule dans l'ensemble AI noté multiplicativement tel que π soit un homomorphisme de (A, .) vers (AI , .).

2 ∀x, y ∈ A : xy = xy .

3 _{(AI , +, .) est un anneau appelé l'anneau quotient AI , et} π est un homomorphisme d'anneaux de (A, +, .) vers (AI , +, .).

(79)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Proposition

Soient A un anneau et I un idéal de A. 1 Si A est abelien alors AI est abelien.

2 Si A est unitaire alors AI est unitaire dont l'unité est p (1A) =1A.

Exemple

Pour tout entier naturel n, ZnZ est un anneau commutatif unitaire.

(80)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux quotients

Caractéristique

Proposition

Soit A un anneau, I un idéal de A et π la surjection canonique de A vers AI .

1 Si J est un idéal de A alors (J + I ) I = π (J) est un idéal de AI .

2 si I ⊂ J alors JI est un idé al de AI .

3 Soient J et K deux id éaux de A contenants I . Si JI = KI alors J = K.

(81)

Anneaux et corps :

Idéaux

Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal

Anneaux euclidiens Caractéristique

Dénition

Soit A un anneau commutatif unitaire intègre.

1 On dit qu'un idéal I de A est principal s'il existe un élément a ∈ A tel que I = aA.

2 Si les idéaux de A sont tous principaux, on dit que l'anneau A est pricipal.

Exemple

1 Les corps sont des anneaux principaux. 2 _{Z est un anneau principal.}

(82)

Anneaux et corps :

Idéaux

Dénition

Soient A un anneau et I un idéal de A. On dit que : I est un idéal premier de A, si on a :

∀x, y ∈ A : xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I . I est un idéal maximal de A, si : I 6= A.

(83)

Anneaux et corps :

Idéaux

Exemple

Soit A un anneau.

A est un idéal premier de A lui même, mais A n'est pas un idéal maximal de A.

{0_A}est un idéal premier de A si et seulement si A est un anneau intègre.

Si A est un corps alors {0A} est un idéal maximal de A.

Si A est commutatif unitaire alors {0A} est un idéal maximal

(84)

Anneaux et corps :

Idéaux

Exemple

Les idéaux premiers de Z sont {0}, Z et les idéaux de la forme pZ tels p soit un nombre premier.

Les idéaux maximaux de Z sont les idéaux pZ tels p soit un nombre premier.

Soit B un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de A vers B.

Si J est un idéal premier de B alors f −₁_(J)_{est un idéal}

(85)

Anneaux et corps :

Idéaux

Théorème

Soient A un anneau et I un idéal de A. Pour que I soit un idéal premier de A il faut et il sut que AI soit intègre.

Exemple

1 Si p est un entier naturel alors ZpZ est un intègre si seulement si p = 0 ou p = 1 ou p est un nombre premier.

2 _{Z0Z = Z {0}, ZZ, Z2Z, Z3Z, Z5Z et Z7Z}

sont des anneaux intègres.

3 _{Z4Z , Z6Z, Z8Z, Z9Z, Z10Z et Z12Z ne}

(86)

Anneaux et corps :

Idéaux

Théorème

Soient A un anneau et I un idéal de A. Si AI est un corps alors I est un idéal maximal de A.

Théorème

Soient A un anneau commutatif unitaire et I un idéal de A. I est un idéal maximal de A si et seulement si AI est un corps.

(87)

Anneaux et corps :

Idéaux

Exemple

1 Si p est un entier naturel alors ZpZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier.

2 _{Z2Z, Z3Z, Z5Z et Z7Z sont des corps.}

3 _{Z0Z = Z {0}, ZZ, Z4Z, Z6Z, Z8Z, Z9Z et}

(88)

Anneaux et corps :

Idéaux

Corollaire

Si A est un anneau commutatif unitaire alors tous les idéaux maximaux de A sont des idéaux premiers de A.

(89)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux euclidiens

Caractéristique

Anneau euclidien

Dénition

Soit A un anneau commutatif unitaire intègre.

On dit que A est un anneau euclidien s'il existe une application f de A? _{vers N telle que pour tout élément a de A et pour tout}

élément non nul b de A? _{il existe deux éléments q et r tels que :}

a = bq + r

r =0 ou (r 6= 0 et f (r) ≺ f (b)) .

Exemple

(90)

Anneaux et corps :

Idéaux

Anneaux euclidiens

Caractéristique

Théorème

Les anneaux euclidiens sont principaux.

Contre-exemple

Z[1 + i √

19

(91)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Dénition

Soient A un anneau et a ∈ A.

1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p

2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ini on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.

Exemple

1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 _{∀a ∈ Z}∗ _{: cara (a) =}0

3 Soit n ∈ N∗ _: Dans ZnZ on a : ∀k ∈ Z : cara k = n

(92)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Dénition

Exemple

(93)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Dénition

Exemple

1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1

2 _{∀a ∈ Z}∗ _{: cara (a) =}0

(94)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Dénition

Exemple

(95)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Dénition

Exemple

(96)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Proposition

Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 _{cara (a) =}0

2 _{∀k ∈ Z}∗: ka 6=0 3 _{∀k ∈ N}∗_{: ka 6=}0

(97)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Proposition

Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 cara (a) 6=0

2 _{∃k ∈ N}∗ tq : ka =0

3 _{∃k ∈ Z}∗ _{tq : ka =}0

Proposition

Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :

1 _{cara (a)}est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗ tq : ka =0 .

(98)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Proposition

Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 cara (a) 6=0

2 _{∃k ∈ N}∗ tq : ka =0

3 _{∃k ∈ Z}∗ _{tq : ka =}0

Proposition

Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :

1 _{cara (a)}est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗ tq : ka =0 .

(99)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Théorème

Si A est anneau intègre non nul alors tous les éléments non nuls de Aont la même caractéristique qui est soit 0 soit un nombre premier.

Exemple

1 _{cara (Z) = cara (Q) = cara (R) = cara (C) = 0.} 2 Si p est un nombre premier alors : cara (ZpZ) = p.

Remarque

Si A est anneau intègre non nul de caractéristique p et si k est un multiple de p alors : ∀x ∈ A : kx = 0.

(100)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Théorème

Soient Aun anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ Adeux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors : (a + b)p = ap+ bp.

Corollaire

Soient A un anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ Adeux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors : ∀n ∈ N : (a + b)pn = apn+ bpn.

(101)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Corollaire

Si A est un anneau commutatif intègre non nul de caractéristique p 6=0 alors pour tout entier naturel n ∈ N l'application suivante :

fn: A //A, a //fn(a) = ap

n

est un homomorphisme d'anneaux de A vers A qui est unitaire si A est unitaires.

(102)

Anneaux et corps :

Idéaux

Caractéristique

Proposition

Soient A un anneau commutatif unitaire intègre non nul de caractéristique 0.

∀n ∈ Z? _{: n}₁ A6=0.

Pour tout entier relatif n, on confond n1A avec n. C'est à dire

n devient un élément de A.