Dé nition
Soit A un anneau commutatif unitaire intègre.
On dit que A est un anneau euclidien s'il existe une application f de A? vers N telle que pour tout élément a de A et pour tout élément non nul b de A? il existe deux éléments q et r tels que :
a = bq + r
r =0 ou (r 6= 0 et f (r) ≺ f (b)) .
Exemple
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Les anneaux euclidiens sont principaux.
Contre-exemple
Z[1 + i√19
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dé nition
Soient A un anneau et a ∈ A.
1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p
2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre i ni on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.
Exemple
1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) =0
3 Soit n ∈ N∗ : Dans Z nZ on a : ∀k ∈ Z : cara k = n
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dé nition
Soient A un anneau et a ∈ A.
1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p
2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre i ni on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.
Exemple
1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) =0
3 Soit n ∈ N∗ : Dans Z nZ on a : ∀k ∈ Z : cara k = n
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dé nition
Soient A un anneau et a ∈ A.
1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p
2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre i ni on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.
Exemple
1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1
2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) =0
3 Soit n ∈ N∗ : Dans Z nZ on a : ∀k ∈ Z : cara k = n
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dé nition
Soient A un anneau et a ∈ A.
1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p
2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre i ni on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.
Exemple
1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) =0
3 Soit n ∈ N∗ : Dans Z nZ on a : ∀k ∈ Z : cara k = n
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dé nition
Soient A un anneau et a ∈ A.
1 si le sous-groupe hai de A est d'ordre ni p on dit que a est de carctéristique p et on note : cara (a) = p
2 si le sous-groupe hai de A est d'ordre i ni on dit que a est de carctéristique 0 et on note : cara (a) = 0.
Exemple
1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) =0
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 cara (a) =0
2 ∀k ∈ Z∗: ka 6=0 3 ∀k ∈ N∗: ka 6=0
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 cara (a) 6=0
2 ∃k ∈ N∗ tq : ka =0
3 ∃k ∈ Z∗ tq : ka =0
Proposition
Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :
1 cara (a)est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗
tq : ka =0 .
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 cara (a) 6=0
2 ∃k ∈ N∗ tq : ka =0
3 ∃k ∈ Z∗ tq : ka =0
Proposition
Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :
1 cara (a)est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗
tq : ka =0 .
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Si A est anneau intègre non nul alors tous les éléments non nuls de Aont la même caractéristique qui est soit 0 soit un nombre premier.
Exemple
1 cara (Z) = cara (Q) = cara (R) = cara (C) = 0. 2 Si p est un nombre premier alors : cara (Z pZ) = p.
Remarque
Si A est anneau intègre non nul de caractéristique p et si k est un multiple de p alors : ∀x ∈ A : kx = 0.
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Soient Aun anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ Adeux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors : (a + b)p = ap+ bp.
Corollaire
Soient A un anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ Adeux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors : ∀n ∈ N : (a + b)pn = apn+ bpn.
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Corollaire
Si A est un anneau commutatif intègre non nul de caractéristique p 6=0 alors pour tout entier naturel n ∈ N l'application suivante :
fn: A //A, a //fn(a) = apn
est un homomorphisme d'anneaux de A vers A qui est unitaire si A est unitaires.
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soient A un anneau commutatif unitaire intègre non nul de caractéristique 0.
∀n ∈ Z? : n1A6=0.
Pour tout entier relatif n, on confond n1A avec n. C'est à dire n devient un élément de A.