Université Cadi Ayyad
Faculté poly-disciplinaire de Safi Département de Mathématiques et Informatique
Année Universitaire : 2019−2020 Filières : SMA
Semestre : 4
Module: Algèbre 6 Prof: Salah El Ouadih
Anneaux quotients et Théorèmes d’isomorphismes
(Séance de cours: Jeudi 02 Avril 2020)
1 Rappel du cours: Anneaux, Idéaux et Corps
1.1 Anneaux
Définition 1.1.1. Un anneau est un ensemble muni de deux lois de compo- sition internes (A,+, .), une addition + et une multiplication ., tels que :
• (A,+) soit un groupe abélien d’élément neutre, noté 0.
• La multiplication est associative et distributive sur l’addition à gauche et à droite, c’est-à-dire:
∀x, y, z ∈A, x.(y+z) = x.y+x.z et (x+y).z =x.z+y.z.
• La multiplication admet un neutre différent de 0, noté 1.
L’anneau A est dit commutatif quand sa multiplication est commutative.
Exemple 1.1.
1. (Z,+, .), (Q,+, .),(R,+, .), (C,+, .) sont des anneaux bien connus.
2. Pour tout n ≥ 1, l’ensemble (Z/nZ,+, .) est un anneau commutatif fini.
3. L’ensemble des suites réelles, muni de l’addition et du produit des suites, est un anneau. Même chose pour l’ensemble des fonctions de I dans R.
4. L’ensembleMn(R) des matrices réelles carrées d’ordren est un anneau non commutatif.
5. Z[i] ={a+ib/a, b∈Z}est un anneau commutatif : on l’appelle l’anneau des entiers de Gauss.
6. Pour K = R,C. l’ensemble (K[X],+,×) est un anneau commutatif d’élément unité le polynôme constant égal à 1.
Remarque 1.1.4. Dans un anneau non commutatif, un élément peut n’être inversible que à gauche ou que à droite.
Définition 1.1.5. Un élément a d’un anneau est inversible s’il existe b dans l’anneau tel que a.b=b.a= 1.
Proposition 1.1.6. L’ensemble U(A) des éléments d’un anneau qui sont inversibles est un groupe pour la multiplication.
Exemple 1.1.7.
1. U(Z) ={−1,1}
2. U(R) =R− {0}
3. U(Z/nZ) = {a/pgcd(a, n) = 1}
4. U(Z[i]) ={1,−1, i,−i}
5. U(Mn(R)) est l’ensemble des matrices de déterminant non nul..
Proposition 1.1.8. Soit (A,+, .)un anneau. Si a.b=b.a alors:
(a+b)n =
n
X
k=0
Cnkakbn−k, Cnk = n!
k!(n−k)!,
an−1 = (a−1)
n−1
X
k=0
ak.
Définition 1.1.9. Soit A un anneau. On appelle sous-anneau de A toute partie non-vide B deA qui vérifie les deux conditions suivantes:
1. B est un sous-groupe du groupe additif A.
2. B est stable par la multiplication de A, c’est-à-dire que l’on a: ∀x, y ∈ B, x.y ∈B.
Proposition 1.1.10. SoitAun anneau,B ⊂A. AlorsB est un sous-anneau de A, si et seulement si, 1∈B,∀x, y ∈B, x−y∈B et x.y ∈B.
Exemple 1.1.11.
1. Z est un sous-anneau de R.
2. Z[i] est un anneau commutatif, contenantZ comme sous-anneau 3. L’ensemble des fonctions dérivables surI ⊂Rconstitue un sous-anneau
des fonctions continues sur I, qui constitue lui-même un sous-anneau de l’ensemble des fonctions de I dans R.
Définition 1.1.12. Soit A et B deux anneaux. Un morphisme d’anneaux est une application f :A−→B telle que, pour tout a, b∈A:
f(a+b) = f(a) +f(b), f(a.b) =f(a).f(b), f(1A) = 1B.
On vérifie facilement qu’on a également : f(0A) = 0Ben calculantf(0A+0A).
Exemple 1.1.13.
1. z 7−→z réalise un automorphisme d’anneaux de C.
2. Soit A un anneau. L’applicationZ−→A;n7−→n1Aest un morphisme d’anneaux.
3. L’application de C dans R qui à un élément associe son module n’est pas un morphisme d’anneaux.
Proposition 1.1.14. Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B. Alors:
1. Si C est un sous-anneau de A, f(C) est un sous-anneau de B.
2. Si D est un sous-anneau non nul de B, f−1(D) est un sous-anneau de A.
Proposition 1.1.15. Un morphisme d’anneaux f de A vers B est injectif si et seulement si kerf est réduit à {0}. Il est surjectif si et seulement si Imf =B.
1.2 Idéaux
Il se trouve que la notion de sous-anneau n’est pas la plus riche ni la plus intéressante : en particulier, elle ne permet pas de définir des quotients car la relation d’équivalence aRb ⇐⇒ a−b ∈ B n’est en général pas compatible avec le produit lorsque B est seulement un sous-anneau de A. Pour définir des quotients, il faut utiliser des idéaux.
Définition 1.2.1. Si A est un anneau commutatif, un sous-ensemble non vide I s’appelle un idéal si :
1. I est un sous-groupe du groupe A, c’est-à-dire,∀x, y ∈I, x−y∈I.
2. ∀a∈A,∀x∈I, ax∈I.
On utilise parfois la notation I / A pour un idéal I deA.
Exemple 1.2.2.
1. {0} etA sont des idéaux dits idéaux triviaux de A.
2. Les idéaux deZ sont de la forme nZ.
3. Dans l’anneau F(R;R), l’ensemble des fonctions qui s’annulent en 0 est un idéal.
4. Pour touta∈A, l’ensemble des multiples dea est un idéal de A; on le note (a) ouaA :
aA= (a) = {ax/x∈A}.
Proposition 1.2.3. (très utile dans la pratique) Soit A un anneau commu- tatif.
1. Si I est un idéal de A qui contient 1, alors I = A.
2. Si I est un idéal de A qui contient un élément de U(A), alors I = A.
Preuve . Supposons 1∈I. Tout a∈ A s’écrit a= 1.a donc, comme 1∈I, il résulte de la définition d’un idéal que a ∈ I. On a alors A ⊂ I, donc A=I, ce qui prouve (1). Supposons maintenant queI contienne un élément x inversible dans A. On a 1 = xx−1 avec x ∈ I et x−1 ∈ A, donc 1 ∈ I, et on applique (1) pour conclure que I =A.
Proposition 1.2.4. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux commu- tatifs. Alors,
1. Si I ⊂ A est un idéal de A, alors f(I) est un idéal de l’anneau f(A);
(attention, ce n’est pas en général un idéal de B).
2. Si J ⊂B est un idéal de B, alors f−1(J) est un idéal de A.
3. En particulier, le noyau d’un morphisme d’anneaux est toujours un idéal.
Preuve . Regardons le premier cas: six et x0 sont dans f(I), b dans f(A), alors il existe y et y0 dans I et a dans A tels que :
x=f(y), x0 =f(y0), b =f(a)
Comme f est un morphisme et I un idéal, on a :
x−x0 =f(y−y0)∈f(I), bx=f(ay)∈f(I)
Remarquer que l’image de I n’est pas forcément un idéal de B. La suite de la démonstration est immédiate. Enfin, le dernier point découle de ce que {0} est un idéal.
Proposition 1.2.5.
1. L’intersection d’une famille quelconque d’idéaux de A est un idéal de A.
2. La somme de deux idéauxIetJest l’ensembleI+J ={x+y/x∈I, y∈J}.
Alors I+J est un idéal.
3. Le produit de deux idéauxIetJ est l’ensembleI.J :={P
kxkyk, xk ∈I, yk ∈J}, , où la somme est finie. Alors I+J est un idéal.
4. L’ensemble (x) + (y) ={xa+yb/a, b∈A} est le plus petit idéal de A contenant x ety.
Exemple 1.2.6. Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et Soient A et B deux polynômes non nuls. Alors:
1. aZ∩bZ= (a∨b)Zet (A×K[X])∩(B×K[X]) = (A∨B)×K[X].
2. aZ+bZ= (a∧b)Z et (A×K[X]) + (B ×K[X]) = (A∧B)×K[X].
3. aZ.bZ= (a.b)Zet (A×K[X])×(B×K[X]) = (A×B)×K[X].
Définition 1.2.7.
1. Soit I un idéal de A. L’idéal I est principal si et seulement si il existe x∈A tel que I = (x).
2. L’anneauAest principal si et seulement si tout idéal de cet anneau est principal.
Exemple 1.2.8. Les idéaux de l’anneau (Z,+, .) sont les nZ, n ∈Z. Donc tout idéal de l’anneau(Z,+, .)est principal et par suite l’anneau (Z,+, .)est principal.
Théorème 1.2.9. Soit I un idéal non nul de l’anneau (K[X],+,×). Il ex- iste un polynôme unitaire P0 et un seul tel que I =P0×K[X], i.e., l’anneau (K[X],+,×) est principal.
Proposition 1.2.10. Soit A un anneau commutatif.
1. (x) est le plus petit idéal de A contenant x.
2. (x) =A ⇐⇒ x∈ U(A).
Preuve .
1. Soit I un idéal deA contenantx. Commex∈I, on a xa∈I pour tout a∈A. Donc (x)⊆I.
2. Si (x) = A, alors 1 ∈ (x), de sorte qu’il existe y ∈ A tel que xy = 1, ce qui prouve x ∈ U(A). L’implication réciproque découle de la proposition 1.2.3.
Définition 1.2.11. SoitA un anneau commutatif etI un idéal propre deA (propre signifie que l’inclusion I ⊂A est stricte). On dit que
1. I est premier ssi pour tout a, b∈A,ab∈I =⇒ a∈I oub ∈I.
2. I est maximal ssi pour tout idéal J,I ⊂J =⇒ J =A ou J =I.
On notera que, par définition, l’idéal A n’est ni maximal ni premier.
Remarque 1.2.12. Les idéaux premiers d’un anneau A jouent un rôle extrêmement important. En arithmétique, si A est un anneau de nombres, ses idéaux premiers généralisent la notion usuelle de nombre premier dansZ. En effet, si un produit d’entiers abest multiple d’un nombre premier p, alors a ou b est multiple de p. La condition queI est propre, donc que I 6=A, est analogue à la convention qui dit que 1 n’est pas un nombre premier.
Proposition 1.2.13. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Alors l’image réciproque d’un idéal premier est encore premier.
Preuve . Soit Q⊂B un idéal premier et P =f−1(Q). Observons d’abord que P est propre. En effet, f(1A) = 1B ∈/ Q, puisque sinon, Q ne serait pas
propre. Ainsi 1 ∈/ P et P n’est pas propre. Soient a, b ∈ A avec ab ∈ P. Ainsif(ab) =f(a)f(b)∈Q. Comme Qest premier,f(a)ouf(b) appartient à Q, ce qui signifiea ∈P ou b∈P.
Théorème 1.2.14. (théorème de Krull)
Dans un anneau commutatif non trivial, tout idéal propre est inclus dans un idéal maximal.
Exemple 1.2.15.
1. DansZ, les idéaux propres sont lesaZ,a≥2; et les idéaux maximaux sont les pZ, p premier. Le théorème de Krull exprime simplement le fait que tout entier a≥2 est divisible par un nombre premier.
2. Dans C[X], les idéaux propres sont les (P), degP ≥ 1 ; et les idéaux maximaux sont les (X −a), a ⊂ C. Le théorème de Krull exprime simplement le fait que tout polynôme non constant admet une racine.
1.3 Corps
Définition 1.3.1. On appelle corps commutatif (ou plus simplement corps) tout anneau commutatif dans lequel tout élément non-nul est inversible (U(A) = A∗ =A− {0}).
Exemple 1.3.2.
1. Q, R, Csont des corps commutatifs.
2. Pour tout entierp≥2,Fp =Z/pZ est un corps si et seulement sip est premier.
3. Les anneaux Zet K[X]ne sont pas des corps.
Définition 1.3.3. Un élément a d’un anneau A est un diviseur de zéro, s’il est non nul, et s’il existe b non nul tel que a.b= 0.
Définition 1.3.4. Un anneau commutatif non nul est intègre s’il n’a pas de diviseur de zéro, i.e,
∀a, b∈A, a.b= 0 =⇒ a = 0 ou b= 0.
Exemple 1.3.5.
1. Les anneaux Z, Q, R, Csont des anneaux intègres.
2. Comme un inversible n’est jamais diviseur de zéro, un corps est intègre;
la réciproque est fausse : Z est intègre sans être un corps.
3. Mn(R) n’est pas intègre.
4. Z/6Z n’est pas intègre car, par exemple, 2.3 = 0 bien que 2 6= 0 et 36= 0.
5. Pour tout entiern≥2,Z/nZest intègre si et seulement sinest premier.
Théorème 1.3.6. SiAest un anneau fini, alorsAest intègre si et seulement si A est un corps.
Preuve . On a déjà dit qu’un corps est intègre. Supposons A fini, et con- sidérons, pour a ∈A non nul, l’application x7−→ ax. C’est une application deA dansA. Puisque A est intègre elle est injective : a.x=a.y =⇒ x=y.
Puisque A est fini elle est bijective : cela implique que 1 admet un antécé- dent, a est inversible.
Définition 1.3.7. Soit K un corps. On appelle sous-corps de K tout sous-anneau unitaire F de K tel que l’inverse de tout élément non-nul de F appartienne à F. i.e, 0,1∈F et∀x, y ∈F, x−y∈ F et pour tout y 6= 0, xy−1 ∈F.
Exemple 1.3.8.
1. Q ⊂R⊂ C sont des corps; ils contiennent comme sous-anneau Z qui, lui, n’est pas un corps.
2. Q[i] ={p+iq/p, q∈Q}est un sous-corps deQ; il contientZ[i]comme sous-anneau qui, lui, n’est pas un corps.
Proposition 1.3.9. Soit A un anneau commutatif, alors: A est un corps si et seulement si les seuls idéaux de A sont {0} et A.
Preuve . Si A est un corps, tout idéal non nul contient un inversible, donc coïncide avec A. Réciproquement, Supposons que A n’admette que {0} et A comme idéaux. Soit x ∈ A quelconque non-nul. L’idéal (x) étant alors distinct de {0}, on a nécessairement (x) = A, d’où x ∈ U(A). Ainsi tout élément non-nul de A est inversible dans A: on conclut que A est un corps.
Corollaire 1.3.10. Tout morphisme non trivial d’un corps dans un anneau est injectif.
