CALCUL DES CONSTANTES DIÉLECTRIQUES DANS LES SEMICONDUCTEURS III-V ET II-VI

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Submitted on 1 Jan 1974

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CALCUL DES CONSTANTES DIÉLECTRIQUES DANS LES SEMICONDUCTEURS III-V ET II-VI

M. Lannoo, J. Decarpigny

To cite this version:

M. Lannoo, J. Decarpigny. CALCUL DES CONSTANTES DIÉLECTRIQUES DANS LES SEMI- CONDUCTEURS III-V ET II-VI. Journal de Physique Colloques, 1974, 35 (C3), pp.C3-97-C3-100.

�10.1051/jphyscol:1974315�. �jpa-00215563�

JOURNAL DE PHYStQUE Colloque C3, supplément au no 4, Tbme 35, Aürii 1974, page C3-97

CALCUL DES CONSTANTES DIÉLECTRIQUES DANS LES SEMICONDUCTEURS III-V ET II-VI

M. LANNOO et 3. N. DECARPIGNY

Physique des Solides, ISEN 3, rue François-Baës 59046 Lille Cedcx, France

Résumé. ^- Cc travail concerne t'étude des susceptibilités du 1" et du 2' ordre dans les scmi- conducteurs composés 111-V et II-VI. Pour celle du 1" ordre, on détermine les divers moments de

E Z ( ~ ) dans l'approximation dc Hartree-Fock. Ensuite on utilise une reprSsentation approchée de

E Z ( ( ~ ) ) (SOUS forme de fonctions delta par exemple) dont les paramètres sont Svalués de façon à

satisfaire les prcmiers moments de la courbe exacte. On applique enfin ce niodèle approché ail calcul de la susceptibilité qui est proportionnelle au moment d'ordre - 1.

On discute l'emploi de techniques similaires pour le calcul de la susceptibilité du second ordre dans ces systèmes.

On donne enfin des résultats numériques préliminaires obtenus dans I'approximation dcs liaisons fortes.

Abstract. - This work develops a study of the 1st and 2nd order dielectric constants of Ili-V and II-VI semiconductor compounds. For the 1st order one the moments of & 2 ( 0 ) ) are derived in the Hartree-Fock approximation. An approximate representation of & * ( ( O ) is then used (built from delta functions for instance) whose parametcrs are determined to satisfy the first moments of the exact curve. The mode1 is finatly applied to the calculation of the susceptibiiity which is proportionnai to the moment of order -- 1.

The use of similar techniques for the calculation of the second order susceptibility is also discussed

.

Preliminary numerical results are given using thc tight-binding approximation.

Introduction.

-

Les évaluations théoriques des susceptibilités diélectriques dans les semiconducteurs III-V et 11-VI peuvent se classer en deux catégories : d'une part celles qui sont basées sur le modèle phé- noménologique de Phillips et Van Vechten [Il à [ 6 ] , d'autre part celles qui ramttnent le calcul des suscep- tibilités à celui de valeurs moyennes dc certains opérateurs dans l'état fondamental 171, [8], [9]. Ces dernières. bien qu'ayant conduit à de moins bons résultats pour les susceptibilités du 2" ordre, sont néanmoins plus satisfaisantes du point de vue théo- rique.

Dans ce travail, nous appliquons la méthode des moments à I'étiide des susceptibilités. Par exemple pour la susceptibilité du ICr ordre, nous évaluons les 3 moments les plus bas de &,(a) qui se réduisent à des valeurs moyennes d'opérateurs dans l'état fonda- mental. Nous utilisons ensuite une représentation approchée de &,(a) (ici, sous forme de fonctions delta) dont Ies paramètres sont déterminés de façon à satisfaire les premiers moments de la vraie courbe.

Le modèle permet alors d'obtenir fa susceptibilité du ler ordre qui est proportionnelte au moment d'ordre

-

1.

La méthode est exposée dans la section 1. Dans la section 2 on discute quelques résultats préliminaires ainsi que l'effet de certaines approximations. La

section 3 est consacrée à une discussion rapide des corrections de champ local ainsi qu'à l'extension de la méthode au calcul des susceptibilités du 2e ordre.

1 . Moments de c,(w). - La constante diélectrique statique, à fréquence nulle peut s'écrire

avec, dans l'approximation d e Hartree-Fock

1

t.

>

^ct

1

c

>

sont des états de la bande de valence et des bandes de conduction, E,, E, leurs énergies,

5

la projection de la position électronique r le long d'un axe

<

I I 1

>,

V le volume du système.

On peut définir les moments Mn de c2(E) par

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1974315

C3-98 M. LANNOO ET J. N. DECARPIGNY Ces moments peuvent s'évaluer à partir de la fonc-

tion f ^{( 8 )} [IO] définie par

la relation donnant Mn s'écrivant

La fonction

f'

( t ) peut alors se transformer pour faire apparaître I'Hamiltonien à 1 électron du sys- tème JC

Dans (6)

1

o'

>

représente aussi un état de la bande de valence et l'on a utilisé la relation de ferme- ture. De cette façon on peut calculer &In sous la forme

pris n fois

.

(7) On peut maintenant appliquer (7) au calcul des moments les plus bas. En développant les commuta- teurs on aboutit à :

où N est le nombre total d'électrons

Ces moments sont les plus simples, les moments d'ordre supérieur à 2 faisant intervenir le potentiel et ses dérivées.

Dans ce formalisme, la constante diélectrique statique peut se réécrire

Dans (8) il est facile de voir que

ou w, est la fréquence de plasma.

On peut donc écrire la constante diélectrique ~ ~ ( 0 ) sous la forme utilisée par Phillips

avec

Ce type d'expression a déjà étS utilisé par d'autres auteurs [1

I l ,

Ici il nous servira à effectuer le calcul de E:. Le problème qui se pose est alors le suivatlt : étant donnée une courbe définie positive, comment calculer son moment d'ordre

-

1 à partir de la connaissance de quefques moments Mo, M,, M2 '?

Ce problème est analogue

A

celui qui se pose pour le calcul de diverses propriétés intégrales à partir des premiers moments de la densité d'états [12], (131, [14]. Nous le résoudrons de façon similaire, en repré- sentant z 2 ( E ) de façon approximative (par des fonc- tions delta par exemple),

2. Calcul de ~ ~ ( 0 ) . - 2 . 1 MODELES R E P R ~ S E N T A N T

c2(E). - NOUS utiliserons ici deux modèles simples pour représenter la courbe E ~ ( E ) ilormée à l'unité.

Les moments de celte courbe seront

avec

Le premier modèle consiste à prendre pour &,(El une fonction delta de poids égal à 1, placée à une énergie inconnue E l . Celle-ci sera déterminée en admettant que la courbe approximative doit avoir le même premier moment m , que la courbe réelle.

Alors, on obtient

et donc finalement

Le second modèle, un peu plus évolué, tient compte de la largeur de c2(E). On utilise cette fois-ci deux fonctions delta de poids f à des énergies inconnues E , ct E,. Celles-ci sont déterminées de manière à

CALCUL DES CONSTANTES DIÉLECTRIQUES DANS LES SEMICONDUCTEURS III-V ET II-VI C3-99

reproduire les deux premiers moments de la courbe exacte m , et m,. On obtient les équations

A partir de (15) et (12) on obtient alors

II est à noter que si c 2 ( E ) devient très étroite m , tend vers m: et (16) redonne (14). Il est aussi clair que l'on peut utiliser des modèles plus évolués que des fonctions delta, mais ceci fera l'objet de calculs ultérieurs.

2 . 2 CALCULS Y U M ~ R I Q U E S

-

D*après (8) le calcul des moments demande la connaissance des fonctions d'onde de la bande de valence. Nous admettrons que celles-ci sont bien décrites, dans l'approximation des liaisons fortes, par des combinaisons linéaires d'orbitales liantes. Celles-ci sont elles-mêmes des combinaisons linéaires de deux orbitales hybridées sp3 centrées sur des premiers voisins et pointant l'une vers l'autre. Le modèle utilisé est analogue à celui de Coulson, Redei et Stocker [15] et après modifica- tion des paramètres, a permis 'd'obtenir de façon très satisfaisante, les charges transverses effectives dans ces systèmes [16]. Les moments s'écrivent alors

où la somme sur i s'effectue sur les quatre orbitales liantes d'une cellule élémentaire du cristal. En pre- nant pour fonctions atomiques s et p les formes analy- tiques de Slater, nous avons obtenu les résultats préliminaires suivants :

2.2.1 Calcul approximatif. - Pour simplifier les calculs numériques, nous avons tout d'abord négligé dans (17) tous les éléments de matrice entre orbitales hybridées sp3 différentes, le calcul des éléments intra- orbitales étant simple. Nous avons aussi négligé les recouvrements entre orbitales sp3 appartenant à des atomes différents.

Nous avons d'abord calculé les valeurs de m , qui dans le ler modèle sont égales à E,. Elles sont données dans Ie tabieau 1 où elles sont comparées à celles de Phillips [Il, 121. L'accord est satisfaisant, surtout pour la série Ge, GaAs et ZnSe.

Pour tester la validité de ces calculs, nous avons évalué m, pour le diamant, en utilisant les mêmes

TABLEAU 1

R&sultats numériques dans fe 1 er modèle

ml

eV E*

Phillips

- - -

C 14,94 13,6

BN 16,58 15,3

Si 6,08 4,8

AIP 7.6 5,63

Ge 4,38 4,3

GaAs 5,2 5,18

ZnSe 6 3 7,05

approximations. Nous trouvons n2, égal à (24,5 eV)' alors que m , vaut 14,9 eV. L'utilisation du 2e modèle oit Eg est donné par (16) conduit alors à des résultats aberrants. On peut donc estimer que le 2" modèle représente un test très sévère de la validité des approxi- mations utilisées pour le calcul des moments.

2.2.2 Calcul plus cumplet pour. le diamant. - Tou- jours à partir de fonctions atomiques s et p de Slater, nous avons tenu compte dans (17) des éléments de matrice entre une orbitale sp3 et les trois autres cen- trées sur le même atome ainsi que celle centrée sur le voisin et pointant vers l'orbitale considérée.

Nous avons de plus tenu compte du recouvrement entre deux orbitales sp3 participant à une même liaison.

Nous trouvons alors que le moment t n , augmente d'environ 4

%

par rapport à sa valeur précédente ce qui donne pour E, dans le ler modèle une valeur de

15,6 eV.

Le changement est beaucoup plus important en ce qui concerne m,. Celui-ci devient égal à 1,25 x m:*

L'application du 2e modèle donne alors pour E, une valeur de 13,7 eV pratiquement identique à celle de Phillips.

La concIusion principale de ces calculs préliminaires est qu'une description fine des phénomènes demande l'inclusion des termes interorbitaux et des recouvre- ments. Ceci peut s'avérer important pour les valeurs de E, dans les systèmes ioniques ainsi que dans l'étude des susceptibilités du 2e ordre.

3. Discussion et extension au calcul de la suscepti- bilité du second ordre.

-

Dans le cadre de la même méthode on peut envisager plusieurs améliorations au calcul des susceptibilités du ler ordre. Tout d'abord il serait intéressant d'employer de meilleures fonctions atomiques en particulier pour les séries de Ge et Sn. ^' Ensuite on peut employer de meilleurs modèles pour représenter e 2 ( E ) . En particulier, il serait intéressant de voir ce que donnerait un modèle de créneaux borné inferieurement par le gap direct E, et satisfai- sant à m l et m 2 . Ces diverses améliorations feront l'objet d'un travail ultérieur. Il serait aussi utile

C3-100 M. LANNOO ET J . N. DECARPIGNY

d'évaluer des moments d'ordre plus élevé mais ceci

M ~ , ~ ,

= (- 1)'

1 [ ^< 1

e L n ~ j

1 >

^-

semble être assez dificile. ^O

Un autre point important concerne les corrections de champ local. Celles-ci demandent un calcul self- consistant en présence d'un champ électrique stati- que. Celui-ci peut se faire dans l'approximation des liaisons fortes. Le modkle self-consistant est détaillé en [16]. Le même raisonnement (que nous n'avons pas la place de reproduire ici) effectué en présence d'un champ électrique, permet de montrer que, au moins dans ce modèle simple, les corrections de champ local doivent être négligeables. Ceci semble être confirmé par le bon accord obtenu pour &,(O) sans tenir compte de ces corrections.

Voyons finalement comment il serait possible d'appliquer la méthode précédente au calcul de la susceptibilité du 2e ordre. Celle-ci est donnée par :

< u ~ ~ ~< C I ~ I C ~ > c > < C ~ I ~ I

,,,,

~ >

X - -

( E c - Eu) ( E c , - E t )

les notations étant les mêmes que pour ~ ~ ( 0 )

-

en (2) et

5

est égal à

5

moins sa valeur moyenne.

On peut définir des moments généralisés

x

<

^c'

1

⁽

1

u

>

^{( E , -} E,)" (E,. ^- E,)"' . (19) Par une manipulation analogue à celle utilisée pour el(0) on peut écrire :

-

<

^1;

/

^{[ n ]}

? 1

^u'

> <

^v'

1

[ I I ' ]

1

^v

>

1;'

+ 2

< v I [ n ] I v r > < v ' I t I u u >

v ' , C"

x

<

u"

1

^{[ n ' ]}

1

^u

> I

1 où

[n] = [X, [K, ... [X,

r ] ] ]

^{pris n fois}

Comme précédemment on peut calculer facilement Mo,, Ml, M o l et M l , . Par l'intermédiaire d'un modèle simplifié, à base de fonctions delta par excm- ple, on pourra donc espérer en déduire M . _ , , - , . Notons enfin que les mêmes modèles pour E , et X(2' permettront d'obtenir la dépendance en fréquence de ces quantités, en parficulier pour c l où les résul- tats ont été produits de façon systématique [1 Il.

4. Conclusion. -- Nous avons pu montrer que la méthode des moments s'applique de façon intéres- sante au calcul des susceptibilités. Des calculs préli- minaires approchés ont permis d'obtenir pour I'ensem- ble des covalents, III-V et II-VI un bon ordre de grandeur de c , ( O ) . Un calcul plus complet pour le diamant redonne pratiquement la valeur expérimentale.

Il est donc permis d'espérer que l'extension de cette méthode permettra de déterminer correctement les valeurs des susceptibilités du 2" ordre pour tous ces systèmes.

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DISCUSSION

J. JERPHAGNON. - Hopfield a proposé une règle de

M.

LANNOO. - NOUS n'avons pas examiné ce point.

sommation faisant intervenir le moment M , . Le calcul II serait intéressant de le faire. On peut néanmoins effectif de cette règle de sommation est-il possible remarquer que Mn pour n 2 3 fait intervenir le poten-

d'après votre modèle ? tiel et ses dérivées.