LOIS CONTINUES SYNTHÈSE DU COURS.
VOUS POUVEZ RECOPIER OU NON LES EXEMPLES.
I. Lois à densité.
Une densité de probabilité est une fonction qui vérifie les propriétés suivantes :
f est continue sur I
f est positive sur I
l aire sous la courbe de f est égale à 1.
Conséquence : Si la variable aléatoire X suit la loi de densité f, alors P(a X b ) P(a X b ) P(a X b ) P(a X b )
a
b
f (x)dx et P(X a) 0
Remarque : X prend donc une infinité de valeurs : toutes celles de l intervalle [ a b]. X suit une loi continue.
Définition : L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle [a b ] est E( X)
a
b
xf (x )dx .
Exemple :
Soit f la fonction définie sur [ 0 2 ] par f (x ) x.
1. Montrer que f est une fonction de densité.
2. X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f.
a. Déterminer P (X 1 ) b. Déterminer P (0,5 X 1) c. Déterminer E (X )
Correction :
1. f est continue sur [ 0 2 ] car c est une fonction polynôme de degré 1 f est positive sur [ 0 2 ] car si x [ 0 2 ] alors x est positif
L aire sous la courbe de f est
0 2
x dx
1 2 x²
0
2
1
2 ( 2 )2 1
2 0² 1 Alors f est une fonction de densité sur [ 0 2 ] .
2.
a. P( X 1) 0
b. 0,5 et 1 s ont bi en dans l int ervall e [ 0 2 ] .
P(0,5 X 1 )
0,5
1
xdx
1 2 x
20,5
1
1
2 1² 1
2 0,5² 3
8 c. E( X)
0 2
x²dx
1 3 x
30
2
1
3 ( 2 )3 1
3 0
32
3 2 II. Loi uniforme.
Définition : La loi uniforme sur [ a b] est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [ a b] par f (x) 1
b a .
Elle correspond à la modélisation du choix d un nombre au hasard dans l intervalle [ a b ].
Propriété : Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ a b]. Alors pour tous réels et de [ a b] avec : P( X )
b a et E( X) a b 2 .
Exemple :
On choisit un nombre au hasard entre 1 et 5. On note X le nombre choisi. X suit la loi uniforme sur [1 5].
1. Déterminer P (2 X 3) 2. Déterminer P (X 2) 3. Déterminer E (X ) Correction :
1. P(2 X 3) 3 2
5 1 1 4
2. P( X 2 ) P (2 X 5) 5 2
5 1
3 4 3. E( X) 1 5
2 3.
III. Loi exponentielle.
Définition : est un nombre réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre est la loi ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f (x) e
x.
La fonction f a pour primitive la fonction F définie par F (x ) e
x.
Formule à savoir retrouver : Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre alors, pour tous réel s a et b, P(a X b)=
e eMéthode : A l aide d une intégrale, on ne sait calculer que des probabilités de la forme P (a X b ). Il faut donc se ramener à ce cas. Pour cela, on utilise P( X a ) P (0 X a ) et P( X a ) 1 P (0 X a ) (événement contraire).
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
Alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. C'est-à-dire que pour tous réels t et h strictement positifs, on a P
X t(X t h) P( X h )
Par exemple, si X représente la durée de vie en jours d un composant, la probabilité qu un composant qui a déjà 3 jours dure encore deux jours (qui est P
X 3(X 5)) est égale à la probabilité qu un composant dure deux jours (qui est P (X 2)).
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . Alors E (X ) 1
Exemple :
Le temps d attente, en minutes, à un guichet est donné par la variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2.
1. Déterminer la probabilité d attendre entre 1 et 6 minutes.
2. Déterminer la probabilité d attendre plus de 3 minutes.
3. Un client a attendu 5 minutes. Quelle est la probabilité qu il attende encore plus de 3 minutes.
4. Déterminer le temps d attente moyen.
Correction :
1. P(1 X 6)
1
6
e
( x)dx
e
x1 6
e
6 0,2e
1 0,20,518
La probabilité d attendre entre 1 et 6 minutes est 0,518 2. P( X 3) 1 P(0 X 3) 1
0
3
e
( x)dx
e
x0 3
